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- Cálculo 2: Lista de exerćıcios 1 - Séries Alternadas, Testes da Razão e da Raiz
1. Determine se a série é convergente ou divergente:
(a)
∞∑
n=1
2
2n
(b)
∞∑
n=1
nn
2n
(c)
∞∑
n=1
n!
nn
(d)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
(e)
∞∑
n=1
3.5. · · · .(2n+ 1)
n!
(f)
∞∑
n=1
23n
32n
(g)
∞∑
n=1
(n!)23n
(2n)!
(h)
∞∑
n=1
√
n
(
2n− 1
n+ 13
)n
(i)
∞∑
n=1
(
n+ 1
n
)3n
1
3n
(j)
∞∑
n=1
en
(
n
n+ 1
)n2
(k) − 13 +
2
4 −
3
5 +
4
6 −
5
7 + · · · (l)
4
7 −
4
8 +
4
9 −
4
10 +
4
11 + · · ·
(m)
∞∑
n=1
(−1)n−1√
n
(n)
∞∑
n=1
(−1)n−1
ln(n+ 4)
(o)
∞∑
n=1
(−1)n 3n− 1
2n+ 1
(p)
∞∑
n=1
(−1)n n
10n
(q)
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
2
n3 + 4
(r)
∞∑
n=1
(−1)n n
lnn
(s)
∞∑
i=1
cosnπ
n3/4
(t)
∞∑
n=1
(−1)nsen
(π
n
)
(u)
∞∑
n=1
(−1)nn
n
n!
2. Encontre os valores de p para os quais a série é convergente:
(a)
∞∑
n=1
(−1)n−1 1
np
(b)
∞∑
n=1
(−1)n 1
n+ p
3. Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
(a)
∞∑
n=1
(−10)n
n!
(b)
∞∑
n=1
(−1)n+1
4
√
n
(c)
∞∑
n=1
e−nn!
(d)
∞∑
n=1
sen(2n)
n2
(e)
∞∑
n=1
nn
31+3n
(f)
∞∑
n=1
(−1)n e
1/n
n3
(g)
∞∑
n=2
(−1)n
lnn
(h)
∞∑
n=1
(
n2 + 1
2n2 + 1
)n
(i)
∞∑
n=1
cos(nπ/3)
n!
4. Os termos de uma série são definidos recursivamente por a1 = 2 e an+1 =
5n+1
4n−3an. Determine se
∑
an converge ou
diverge.
5. Os termos de uma série são definidos recursivamente por a1 = 2 e an+1 =
2+cosn√
n
an. Determine se
∑
an converge ou
diverge.
6. Para quais inteiros positivos k a série
∞∑
n=1
(n!)2
(kn)!
é convergente?
7. (a) Mostre que
∞∑
n=0
xn
n!
converge para todo x.
(b) Deduza que lim
n→∞
xn
n!
= 0.
Respostas:
1.
(a) Converge (b) Diverge (c) Converge (d) Converge (e) Diverge (f) Converge
(g) Converge (h) Diverge (i) Converge (j) Diverge (k) Diverge (l) Converge
(m) Converge (n) Converge (o) Diverge (p) Converge (q) Converge (r) Diverge
(s) Converge (t) Converge (u) Diverge
2. (a) Converge ⇔ p > 0;
(b) Converge para todo p tal que bn está bem definido, isto é, para n+ p 6= 0, com n ≥ 1 ou seja, converge para todo
p que não seja um inteiro negativo.
3. (a) AC (b) CC (c) D (d) AC (e) D (f) AC (g) CC (h) AC (i) AC
4. Diverge.
5. Converge Absolutamente.
6. A série converge para k ≥ 2.
7. Use o teste da razão.