Medidas de Tendência Central em Estatística

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Estatística
Medidas de Tendência Central
Profa. Juliana Vicente Professora Mª Juliana Vicente dos Santos
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE
AULA 3: Medidas de Tendência Central
Medidas Separatrizes
Medidas de Tendência Central
As medidas de Tendência Central, também 
conhecidas como Medidas de Posição central, 
descrevem as características de um conjunto de 
dados, determinando sua posição central. Ou seja, 
é a tendência dos dados em se agruparem em 
torno de valores centrais da distribuição de 
frequência.
Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central mais comuns 
são:
Média;
Mediana;
Moda
Medidas de Tendência Central
Média Aritmética é a soma de todos os 
valores de um grupo de dados dividida pelo 
número total de observações.
Média Populacional: 
𝝁 =
σ𝒙
𝑵
Média Amostral:
ഥ𝒙 =
σ𝒙
𝒏
Medidas de Tendência Central
Média Aritmética.
 É a medida mais usada e frequentemente mais 
confiável ;
 Depende de todos os dados coletados e sofre 
modificações de acordo com os valores dos 
dados extremos.
 Exemplo:
Notas: 10, 4.5, 2.0, 1.5, 7.5, 2.5, 3.0, 4.5
ഥ𝒙 =
σ 𝒙
𝒏
= 
10+4.5+2.0+1.5+7.5+2.5+3.0+4.5
𝟖
= 𝟒. 𝟒𝟑𝟕𝟓
Medidas de Tendência Central
Média Aritmética para dados agrupados.
Quando os dados estão agrupados em uma 
distribuição de frequência definimos a média 
como segue:
 Dados agrupados
ഥ𝒙 =
σ 𝒙𝒎𝒇𝒊
𝒏
Sendo 𝒙𝒎 o ponto médio da classe
 Dados não agrupados 
ഥ𝒙 =
σ 𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
Medidas de Tendência Central
 Exemplo:
Média de Entrevistados
Medidas de Tendência Central
Propriedades:
›1º - A Média de um conjunto de números pode
sempre ser calculada;
›2º - Para um dado conjunto de números, a
média é única;
›3º - A média é sensível a (ou afetada por) todos
os valores do conjunto. Assim, se um valor se
modifica, a média também se modifica;
Medidas de Tendência Central
Propriedades:
›4º - Somando-se uma constante a cada valor do
conjunto, a média ficará aumentada do valor
dessa constante.
Subtraindo-se de cada valor do conjunto
uma constante, ou multiplicando-se ou dividindo-
se por ela cada valor do conjunto, a média fica
subtraída dessa constante, ou multiplicada ou
dividida por ela;
›5º - A soma dos desvios dos números de um
conjunto a contar da média é zero.
Medidas de Tendência Central
Média Ponderada.
 A média ponderada é calculada quando os 
dados possuem pesos diferentes. 
ഥ𝒙 =
σ 𝒙𝒊𝒘𝒊
σ𝒘𝒊
Exemplo:
Medidas de Tendência Central
 Exemplo:
Média da Disciplina de Estatística
ഥ𝒙 =
σ 𝒙𝒊𝒇𝒊
𝒏
=
𝟑∗𝟐+𝟕∗𝟑
𝟓
=5.4
Medidas de Tendência Central
Mediana (Md) é o valor central da série de dados, 
ela divide o conjunto de dados em duas partes 
iguais.
 A mediana é usada quando os dados sofrem influência dos 
valores extremos.
 Se temos uma quantidade de dados ímpar, a mediana será 
o valor central . Caso contrário, se a quantidade de dados é 
par, a mediana será a média dos dois dados centrais.
Exemplo:
 Conjunto de dados com quantidade par.
- (3, 2, 9, 1, 7, 0, 12, 5)
Organizando o Rol : 0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 12
𝑴𝒅 =
𝟑 + 𝟓
𝟐
= 𝟒
Medidas de Tendência Central
Exemplo:
Conjunto de dados com quantidade ímpar.
- (3, 2, 9, 1, 9, 7, 0, 9, 1, 12, 5)
Organizando o Rol : 0, 1, 1, 2,3,5, 7, 9, 9, 9, 12
𝑴𝒅 = 𝟓
Ou seja, o valor da mediana será o elemento da 
(
𝒏+𝟏
𝟐
) posição do conjunto.
Medidas de Tendência Central
Medidas de Tendência Central
Moda (Mo) é o valor mais frequente no conjunto de 
dados.
Medidas de Tendência Central
Quando usar?
 quando desejamos obter uma medida rápida e 
aproximada de posição;
 quando a medida de posição deve ser o valor 
mais típico da distribuição.
Medidas de Tendência Central
O conjunto de dados pode ser:
Amodal;
Modal;
Bimodal;
Trimodal;
Polimodal.
Exemplo:
A nota que aparece com mais 
frequência é Mo= 5 pois tem 
maior frequência.
Medidas de Tendência Central
Exemplo:
Considerando a série: 2 3 4 4 4 6 7 7 7 8 8 9 000
O conjunto de dados acima é trimodal
Mo = 4, 7, 0
Exemplo:
Quando os dados estão agrupados em uma 
distribuição de frequência com intervalo de classe:
-Identificar a classe de maior frequência: “Classe 
Modal”;
- A moda será o ponto médio da classe modal : 
𝒙𝒎 =
𝑳𝒔+𝑳𝒊
𝟐
Medidas de Tendência Central
Complementando...
Mediana para dados agrupados.
1ºpasso: Determinar as frequências acumuladas;
2ºpasso: Calcular a ordem 
𝒏
𝟐
(sendo “n ” ímpar ou par);
3ºpasso: Identifica-se a Classe mediana, pela 
frequência acumulada (𝑭𝒂𝒄);
4ºpasso: Utiliza-se a fórmula :
𝑴𝒅 = 𝒍𝑴𝒅 +
(
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒂𝒄 (𝒂𝒏𝒕))
𝒇𝒊
∗ 𝒉
Sendo:
𝒍𝑴𝒅 : limite inferior da classe mediana;
n: tamanho da amostra;
𝑭𝒂𝒄 (𝒂𝒏𝒕): frequência acumulada da classe anterior à 
classe mediana;
h: amplitude da classe mediana (largura da classe);
𝒇𝒊: frequência da classe mediana.
Medidas de Tendência Central
Exemplo:
𝑴𝒅 = 𝒍𝑴𝒅 +
(
𝒏
𝟐 − 𝑭𝒂𝒄 (𝒂𝒏𝒕))
𝒇𝒊
∗ 𝒉 = 𝟓𝟓 +
𝟐𝟑, 𝟓 − 𝟏𝟒
𝟏𝟏
∗ 𝟒
𝑴𝒅 = 𝟓𝟖, 𝟒𝟓
𝐹𝑎𝑐𝑓𝑖
Medidas de Tendência Central
Média ഥ𝒙 =
𝟏𝟗𝟒𝟒
𝟓𝟎
= 𝟑𝟖, 𝟖𝟖
Mediana 
𝒏
𝟐
=
𝟓𝟎
𝟐
= 𝟐𝟓 4ºclasse 
𝑴𝒅 = 𝒍𝑴𝒅 +
(
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒂𝒄 (𝒂𝒏𝒕))
𝒇𝒊
∗ 𝒉 = 𝟑𝟔 +
𝟐𝟓−𝟐𝟎
𝟏𝟓
𝟏𝟐 = 𝟒𝟎
𝑴𝒅 = 𝟒𝟎
Moda 𝑴𝒐 = 𝟒𝟐
𝒙𝒎 ∗ 𝒇𝒊
30
144
210
630
378
396
156
1944
Definição Vantagens Limitações
MÉDIA = 
• Reflete cada 
valor;
• Possui 
propriedades 
matemáticas 
atraentes.
É influenciada por 
valores extremos.
MEDIANA
Metade dos 
valores são 
maiores, metade 
são menores.
Menos sensível a 
valores extremos do 
que a média.
Difícil de determinar 
para grande 
quantidade de dados.
MODA
Valor mais 
frequente.
Valor “típico”: maior 
quantidade de 
valores 
concentrados neste 
ponto.
• Não se presta a 
análise 
matemática;
• Pode não ser moda 
para certos 
conjunto de dados;
X
n
X i
Quadro comparativo entre Média, 
Mediana e Moda.
Medidas Separetrizes
Agora, vamos comentar sobre outras
medidas de posição, menos utilizadas, 
porém importantes em algumas situações. 
As separatrizes não são medidas de 
tendência central. 
São elas: quartis, decis e percentis. 
Os quartis, decis e percentis são
muito similares à mediana, uma vez
que também subdividem a 
distribuição de dados de acordo
com a proporção das frequências
observadas. 
Medidas Separetrizes
Fractis
 Números que dividem um conjunto ordenado de
dados em partes iguais.
 A mediana é um fractil, pois divide um conjunto
ordenado de dados em duas partes iguais.
 Os quartis, decis e percentis são outros tipos de
fractis, que dividem o conjunto de dados
respectivamente em quatro, dez e cem partes iguais.
Medidas Separetrizes
0% 25% 50% 75% 100%
Q1 Q2=Md Q3
Quartis são os valores de uma série de
dados ordenados que a divide em quatro
partes iguais.
Quartis
Q1 – primeiro quartil: cerca de um 
quarto(25%) de dados fica abaixo do 
primeiro quartil
Q2 – segundo quartil (mediana): cerca de 
metade (50%)dos dados fica abaixo do 
segundo quartil
Q3 – terceiro quartil: cerca de três 
quartos(75%) dos dados fica abaixo do 
terceiro quartil.
Medidas Separetrizes
Para dados 
não 
agrupados:
1º. Ordene o conjunto de 
dados:
2º. Obtenha a mediana
3º. O primeiro e terceiro 
quartis são as medianas 
das metades inferior e 
superior do conjunto de 
dados
Exemplo
A pontuação nos testes de 15 empregados 
envolvidos em um curso de treinamento é mostrada 
a seguir. Encontre os quartis.
13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17
 1º. Ordene o conjunto de dados:
5 7 9 10 11 13 14 15 16 17 18 18 20 21 37
 2º. Obtenha a mediana
Q2 = 15
 3º. O primeiro e terceiro quartis são as medianas das 
metades inferior e superior do conjunto de dados
Q1 = 10 e Q3 = 18
 Interpretação: cerca de um quarto dos funcionários fez 
dez pontos ou menos, cerca da metade fez 15 pontos ou 
menos e cerca de três quartos conseguiu dezoitopontos 
ou menos.
Para dados agrupados:
 O cálculo é semelhante ao da mediana.
 Para o primeiro quartil (k = 1):
 onde:
 Lk ➔ limite inferior da classe que contém o quartil;
 L ➔ valor da posição do quartil
 F(ant) ➔ é a freqüência acumulada da classe anterior à 
classe do quartil;
 h ➔ amplitude da classe;
 F ➔ freqüência simples da classe que contém o quartil.
 O mesmo cálculo é efetuado para se obter o terceiro quartil.
𝑄𝑘 = 𝐿𝑘 +
(𝐿−𝑭𝒂𝒄 𝒂𝒏𝒕 )
𝒇𝒊
∗ ℎ
Ex.: Calcule o primeiro quartil para a 
distribuição a seguir: 
Peso (Kg) Nº equipamentos 
(𝒇𝒊)
Fa
10 ⎯ 30 8 8
30 ⎯ 50 26 34
50 ⎯ 70 57 91
70 ⎯ 90 42 133
90 ⎯ 110 27 160
110 ⎯ 130 16 176
176 -
1º Passo: calcule a 
frequência 
acumulada;
2º Passo:
3º Passo:
57
)3444( −
= 50 + * 20 = 53,5𝑄1 = 𝐿1 +
(𝐿−𝑭𝒂𝒄 𝒂𝒏𝒕 )
𝒇𝒊
∗ ℎ
 Da mesma maneira, obtém-se o 
terceiro quartil, que terá valor 
89,52.
Mediana : 56,14
Decil
✓ Decis ( P1, P2,...P9) são os 9 valores que
separam uma série de dados em 10
partes iguais.
✓ Observação: P5=Md
✓ Dados agrupados: o cálculo dos percentis
se dá pela substituição na formula da
mediana de
𝒏
𝟐
por onde k é o
número de ordem do percentil.
𝑘 σ𝑓𝑖
10
Percentil
✓ Percentis ( P1, P2,...P99) são os 99 valores que 
separam uma série de dados em 100 partes iguais.
✓ Observação: P50=Md P25=Q1 P75=Q3
✓ Dados agrupados: o cálculo dos percentis se dá pela 
substituição na formula da mediana de 
𝒏
𝟐
por 
onde k é o número de ordem do percentil. 
𝑘 σ𝑓𝑖
100
Calcule os quartis da série: 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Exemplo : Dados não agrupados
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }
✓ A série ordenada.
✓Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5
✓Quartil 1 = mediana da série à esquerda de Md : 
{ 1, 1, 2, 3, 5, 5 }
Q1 = (2+3)/2 = 2,5
✓Quartil 3 = a mediana da série à direita de Md : 
{6, 7, 9, 9, 10, 13 }
Q3 = (9+9)/2 = 9
Exemplo : Dados não agrupados
Exemplo: Dados Agrupados
Determine os quartis. ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA 
FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
total 40
Dados fictícios.
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADA Fac
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
total ∑=40
Classe mediana: a classe correspondente a frequência 
acumulada imediatamente superior a
2
 if
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADA Fac
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total ∑=40
20
2
40
2
=
==
=
 if
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADA Fac
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total ∑=40
20
2
40
2
=
==
=
 if
𝑴𝒅 = 𝑳𝒎𝒅 +
𝒏
𝟐 − 𝑭𝒂𝒄(𝒂𝒏𝒕) 𝒉
𝒇𝒊
= 𝟏𝟓𝟖 +
𝟐𝟎 − 𝟏𝟑 𝟒
𝟏𝟏
= 𝟏𝟔𝟎, 𝟓𝟒
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADA Fac
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total ∑=40
10
4
40
4
=
==
=
 if
𝑸𝟏 = 𝑳𝟏 +
𝟏 ∗ σ𝒇𝒊
𝟒
− 𝑭𝒂𝒄(𝒂𝒏𝒕) 𝒉
𝒇𝒊
= 𝟏𝟓𝟒 +
𝟏𝟎 − 𝟏𝟑 𝟒
𝟗
= 𝟏𝟓𝟐, 𝟔𝟕
ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A - 2007
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADA Fac
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total ∑=40
30
4
40.3
4
3
=
==
=
 if
𝑸𝟑 = 𝑳𝟑 +
𝟑σ𝒇𝒊
𝟒 − 𝑭𝒂𝒄(𝒂𝒏𝒕) 𝒉
𝒇𝒊
= 𝟏𝟔𝟐 +
𝟑𝟎 − 𝟐𝟒 𝟒
𝟖
= 𝟏𝟔𝟓
ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
fi
FREQUENCIA
ACUMULADA Fac
—׀ 150 154
—׀ 154 158
—׀ 158 162
—׀ 162 166
—׀ 166 170
—׀ 170 174
4
9
11
8
5
3
4
13
24
32
37
40
total ∑=40
0% 25% 50% 75% 100%
Q1
152,57
Q2=Md
160,54
Q3
165