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Coleção: Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático 
Volume 3 de 4 – PARTE A – JOGOS de #01 a #20 
 
 
60 Jogos 
Para o 
Pensamento 
Geométrico 
 
 Aury de Sá Leite 
Edição Preliminar/Draft 
 
 
 
 
Obra sob a licença 
Creative Commons 
Desta Mesma Coleção: 
Volume 1: Jogos Para o Pensamento Lógico; 
Volume 2: Jogos Para o Pensamento Aritmético; 
Volume 4: Jogos Para o Pensamento Algébrico. 
 
 
 
 
 
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Pensamento Lógico Edição Preliminar (Draft) do Volume 1 de 4 da Coleção: Jogos Para o 
Pensamento Lógico-Matemático, de autoria de Aury de Sá Leite 
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no ite 0.9. – ‘Elaboração do Material’ 
 
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primeiramente em 16 de dezembro de 2002 pelo Creative Commons, uma 
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derivadas somente sob uma licença idêntica à que governa a obra original. 
Combinações 
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Das cinco inválidas, quatro incluem ao mesmo tempo as cláusulas "nd" e "sa", que são mutuamente 
exclusivas; e uma não inclui nenhuma das cláusulas. Das onze combinações válidas, as cinco que 
não têm a cláusula "by" foram removidas, já que 98% dos licenciadores pediam Atribuição. No 
entanto, elas permanecem no website para referência. Sendo assim, restam seis licenças de uso 
regular: 
1. Somente atribuição (BY) 
2. Atribuição + Uso não comercial (BY-NC) 
3. Atribuição + Não a obras derivadas (BY-ND) 
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5. Atribuição + Uso não comercial + Não a obras derivadas (BY-NC-ND) 
6. Atribuição + Uso não comercial + Compartilhamento pela mesma licença (BY-NC-SA) 
7. Como exemplo, a licença de Atribuição do Creative Commons (BY) permite 
compartilhamento e reelaboração (derivativos), mesmo para uso comercial, desde que seja 
dada a atribuição. 
 
 
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PROLEGÔMENOS 
Construção do Pensamento Geométrico na Pré-Escola e nas 
Escolas de Ensino Fundamental e Médio 
O ensino/aprendizagem da Geometria Euclidiana 
Plana e Espacial é um problema não somente didático 
– relativo à criação e oferta das oportunidades de 
aprendizagem aos estudantes –, mas também 
pedagógico, naquilo que se refere ao que ensinar e em 
que ordem, isto sem falar nas interligações/conexões e 
hierarquizações dos conceitos. Não iremos discutir 
aqui as diversas propostas pedagógicas encontráveis 
na literatura, sendo que este livro trata tão somente a 
criação de várias oportunidades de aprendizagem 
através da proposta de 60 Jogos Para o Pensamento 
Geométrico Euclidiano. No tocante à ordem de 
apresentação dos jogos pelos educadores aos seus 
alunos, o autor não faz sugestões, mas conta com o 
com a sensibilidade dos educadores mergulhados no 
difícil desafio de fazer com que seus alunos aprendam 
Geometria. 
 
0.1.- A Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano 
Propor oportunidades de aprendizagem para seus alunos, que levem efetivamente à 
Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano tem sido um grande desafio para os educadores, 
não somente pela quantidade de conceitos envolvidos, mas pela dificuldade de torná-los claros e 
conexos para aqueles que aprendem, bem como, aplicáveis de forma efetiva à resolução de 
problemas. 
O estudo da Geometria Euclidiana seja através do método hipotético-dedutivo, seja 
intuitivamente através de um formulário tomado como “dicionário da linguagem geométrica” 
objetivando a resolução de problemas, exige do professor grande habilidade pedagógica que 
envolve o conhecimento sobre: 
(1) O que expor; 
(2) Em que seqüência expor o conteúdo escolhido; 
(3) Como expor cada um destes conteúdos; 
(4) Como interligar ou conectar de forma significativa os diversos conceitos; 
(5) Como avaliar a aprendizagem daquilo que foi exposto. 
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0.2.- A Aprendizagem da Geometria no Ensino Fundamental 
O conteúdo da Geometria Euclidiana deveria ser abordado com maior ênfase na disciplina 
de Matemática ministrada nas 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental e retomada na 2ª série do 
Ensino Médio − apesar de indicações de que se devesse fazê-lo ao longo de todas as séries de 
escolarização. 
A Geometria Euclidiana é uma linguagem formal, uma das mais sofisticadas e bem 
organizadas entre aquelas geradas pelo ser humano, praticamente a primeira ciência estabelecida a 
partir de um conjunto de axiomas. Apesar disto, ela se vê hoje apresentada, na maioria absoluta das 
escolas, como um amontoado de informações sem nenhuma conexão e praticamente sema 
possibilidade de aplicação na vida escolar (como no estudo das Ciências, como a Física ou a 
Química) ou mesmo, minimamente, na vida prática. 
Um dos sinais que caracterizam de forma contundente o problema é o que geralmente ocorre 
com os professores do Ensino Médio que, para poderem apresentar a Geometria de Posição e a 
Geometria Métrica Espacial, necessitam apresentar antes, toda a Geometria Plana. Ocorre que a 
maioria dos alunos, agora na 2ª série do Ensino Médio, nunca a estudou antes e, mesmo os que o 
fizeram, não fixaram seus conceitos mais básicos, apresentando um conhecimento extremamente 
lacunar e desconexo. 
0.3.- Uma Visão Profunda do que seja a Geometria Euclidiana 
Antes de mais nada vamos o que significam neste contexto as palavras que utilizaremos a 
seguir para estabelecer o que seja a Geometria Euclidiana: ‘sistema’ e ‘axioma’. 
Sistema: Um conjunto de elementos, concretos ou abstratos, intelectualmente 
organizados, formado por ideias logicamente solidárias, consideradas nas suas 
relações a partir de um conjunto de regras ou leis que o fundamentam permitindo 
fornecer explicações para uma grande quantidade de fatos. 
Axioma: Proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem 
deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático. 
Premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira, fundamento de uma 
demonstração, porém ela mesma indemonstrável, originada, segundo a tradição 
racionalista, de princípios inatos da consciência ou, segundo os empiristas, de 
generalizações da observação empírica. O princípio aristotélico da contradição: "nada 
pode ser e não ser simultaneamente" é um exemplo do que é considerado desde a 
Antiguidade um axioma fundamental da lógica dual (lógica com apenas dois valores 
verdade: V e F). 
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0.3.1- A Geometria Euclidiana Vista como um Sistema Fechado 
A Geometria Euclidiana é um Sistema Lógico Fechado (Sistema Logicamente Autocontido), 
isto é, é uma convenção teórica em que, a partir dos conceitos primitivos (ponto, reta, plano e 
espaço) se estabelece um conjunto de axiomas2 que permitirão: propor definições, observar as 
propriedades mais notáveis e demonstrar dos Teoremas. Para provar estes Teoremas normalmente 
não se recorre somente aos axiomas, às definições e propriedades, mas se utiliza como ferramental 
os conceitos da Lógica Matemática, ideias da Trigonometria e da Álgebra, recorrendo-se muitas 
vezes às Construções Geométricas, em particular àquelas conseguidas com Régua e Compasso. As 
construções geométricas com régua e compasso e com o uso dos transferidores, é normalmente 
denominada geometria experimental por envolver materiais concretos para a verificação das 
propriedades geométricas. Esta seria uma das formas imprescindíveis de se apresentar e estudar os 
diversos entes geométricos, suas propriedades imediatas e as propriedades construtivas ou aquelas 
definidas a partir daqueles materiais concretos logicamente estruturados. 
Em resumo, a Geometria Euclidiana é um imenso Sistema de Conhecimentos baseado numa 
Estrutura Axiomática e Experimental. Criada de forma artificial pelo espírito humano, curiosamente 
os elementos e propriedades da Geometria Euclidiana estão em correspondência com o espaço 
físico que nos cerca, e que, por isto, precisa ser profundamente justificada através da Lógica 
Matemática, da Trigonometria, da Álgebra e através de Construções com Régua e Compasso e com 
o uso de Transferidores. 
0.3.2.- A Natureza Artificial dos Conceitos da Geometria Euclidiana 
Na primeira metade do século XIX, quando do surgimento das Geometrias Não-Euclidianas 
– a Geometria de Lobatchewski e a Geometria de Riemann –, os filósofos se confrontam com as 
seguintes questões: 
• A Geometria Euclidiana é um reflexo da realidade que nos cerca? 
• Sabendo-se que o espaço físico não tem uma estrutura euclidiana, ele teria uma 
estrutura não-euclidiana? 
• O que melhor se adaptaria ao espaço físico: os axiomas/teoremas de Euclides ou os 
axiomas/Teoremas de uma das geometrias não-euclidianas? 
 
 
2 Há Várias propostas de axiomatização da Geometria Plana e Espacial sugeridas por: Hilbert, 
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As respostas a estas questões foram dadas por Jules-Henri Poincaré (1854-1912), 
matemático, físico e filósofo francês, respostas estas das quais podemos destacar os seguintes 
tópicos: 
• Os axiomas geométricos são convenções, não são fatos experimentais. 
• Os axiomas geométricos podem permanecer rigorosamente verdadeiros mesmo que 
as leis experimentais que determinariam a sua adoção sejam apenas aproximativas. 
• A nossa escolha sobre qual das teorias geométricas deva ser confrontada com fatos 
experimentais, é livre e deve ser guiada somente pela necessidade de se evitar 
contradições. 
• Os axiomas das geometrias – de Euclides, de Lobatchewski ou de Riemann – nada 
mais são que ‘definições’ mascaradas, o que não ocorre com os axiomas da 
aritmética 
• “Bem, essa interrogação não tem nenhum sentido [...]. Uma geometria não pode ser 
mais verdadeira que outra: ela só pode ser apenas mais cômoda", (in) Giovanni 
Reale e Dario Antiseri - História da Filosofia. 
0.3.3.- A Geometria Euclidiana é Uma Convenção 
Os axiomas, as propriedades e os teoremas da Geometria Euclidiana estabelecidos há mais 
de dois mil anos (300 anos antes de Cristo), são genuínas criações do espírito humano que permitem 
elaboradas construções intelectuais, mas que não têm nenhuma correspondência exata no espaço 
físico que nos circunda. 
A Geometria Euclidiana é uma convenção, um campo específico do conhecimento humano, 
amplo e complexo em que os conceitos, definições e propriedades estão logicamente interligados e 
espalhados por uma rede conceitual muito complexa. Apesar desta rede se apresentar com uma forte 
coesão interna, tem-se que buscar externamente, seja na Trigonometria, seja na Álgebra e 
principalmente na Lógica Matemática, recursos para a demonstração de seus teoremas. 
0.3.4.- A Geometria Euclidiana: Uma Linguagem Particular e Específica 
Em alguns países a Geometria Euclidiana é ensinada como uma disciplina independente da 
Matemática. No Brasil, há trinta ou quarenta anos atrás se fazia uma distinção entre o ensino das 
Construções Geométricas com régua e Compasso que ficava a cargo da disciplina ‘Desenho 
Geométrico’ e a Geometrias Métrica e Posicional que ficava a cargo, como ainda hoje, da disciplina 
‘Matemática’. O que se perdeu, e que é muito grave, foi o conteúdo do Desenho Geométrico. 
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A Geometria Euclidiana por ser totalmente uma construção do pensamento humano baseada 
em ideias arbitrárias, torna-se pedagogicamente uma linguagem a ser aprendida dentro de um 
contexto particular, a escola. 
Sabe-se que a aprendizagem de uma linguagem deve se dar através da compreensão de um 
vocabulário e da sua gramática – um sistema de regras implícita da linguagem vista como um 
mecanismo de geração de sentenças válidas nesta linguagem a partir do vocabulário. 
No caso da Geometria, a aprendizagem da linguagem deve se dar através de um conjunto de 
conceitos – que deveríamos reunir em um dicionário – definidos a partir dos conceitos intuitivos ou 
não definidos (ponto, reta, plano e espaço), bem como de uma ‘gramática’ que neste caso são 
construtos lógicos como os axiomas, as definições e propriedades, que permitirão a prova dos 
teoremas. 
No caso das linguagens, os dicionários e as gramáticas são suficientes para a compreensão 
das construções lingüísticas, já no caso da Geometria, o dicionário teria que um dicionário com 
recursos de navegação hipertextual , ou seja, os conceitos fariam parte de uma Teia Conceitual 
bastante complexa, em que os elementosse correlacionam de muitas maneiras até mesmo 
inesperadas. 
 
 
Neste livro iremos pensar a Teia Conceitual da Geometria 
Euclidiana como sendo um dicionário com recursos exaustivos de 
hipertextualidade. 
0.4.- As Geometrias Não-Euclidianas 
É importantíssimo notar que o tratamento dado neste livro à Geometria é particular, ou seja, 
trata da Geometria denominada Euclidiana, no entanto, existem “outras geometrias”, aquelas 
denominadas Geometrias Não-Euclidianas como a de Lobatchewski (Geometria Hiperbólica) - que 
fora pressentida por Gauss, a Geometria de Riemann (Geometria Elíptica) e a de Bolyai (Geometria 
Absoluta). As Geometrias Não-Euclidianas normalmente se prestam à modelagem de fenômenos 
físicos que ultrapassam o nível de conhecimento apresentado no Ensino Fundamentais e Médio. 
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0.5.- Sobre Este Livro 
Este livro se dedica a apresentar a Construção do Pensamento Geométrico Euclidiano 
através de experimentação ou mais exatamente através de Jogos Para o Pensamento, introduzindo 
subjacentemente técnicas e idéias que nos conduzem a diversas formas de se repensar o “ensino” da 
Geometria Euclidiana, sem, contudo ditar regras. 
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JGEOM#01– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 01 
O Baralho das Figuras Geométricas Planas e Sólidas 
A nomenclatura das figuras geométricas, sejam elas 
planas ou tridimensionais, praticamente são parte 
necessária do vocabulário escolar: quadrado, 
retângulo, pentágono, hexágono, círculo, 
circunferência, cubo, cilindro, esfera, etc, e mais, são 
palavras necessárias, no dia-a-dia, para nomear os 
objetos que nos cercam. Por isto o autor sugere que a 
aprendizagem da Geometria se iniciar pela 
identificação, pelos nomes, tanto das figuras 
geométricas planas como das tridimensionais. Um 
baralho aqui sugerido pode dar conta desta tarefa. 
1.1.- Figuras Geométricas: Planas e Tridimensionais 
Parece-nos que há uma ordenação pedagógica clara e muito tradicional no ensino da 
Geometria – pelo menos é aquela adotada pela maioria dos autores de livros didáticos –, que 
apresentaremos sob a forma de um rápido resumo: 
1. Geometria Plana Posicional e Métrica – Ensinada ao longo de todo o Ensino 
Fundamental de forma desconexa e bastante descontinuada em termos de 
sequência: 
• Introduzidos os conceitos intuitivos de ponto, reta, plano e espaço 
tridimensional, vem a seguir os conceitos de ângulos com suas 
classificações e propriedades, os conceitos de pares de retas paralelas, 
incidentes e transversais – e às vezes, mas nem sempre, o conceito de retas 
reversas –, suas propriedades e a demonstração de um ou outro teorema; o 
conceito de medidas lineares e suas transformações. 
• Os polígonos são introduzidos estudando-se os triângulos, suas 
propriedades e as classificações quanto aos lados e quanto aos ângulos a 
partir do que são demonstrados alguns teoremas; e ainda os quadriláteros, 
pentágonos, hexágonos regulares, sendo que é também introduzida a 
nomenclatura dos demais polígonos quanto ao número de lados e são 
discutidas algumas propriedades quanto às diagonais. Aqui o conceito de 
métrica parte das medidas de ângulos (graus, grados e radianos), passando 
pelas transformações de medidas lineares para se chegar ao cálculo de áreas 
e às transformações destas unidades de medida. 
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2. Geometria Espacial Posicional – Ensinada a partir do 2º ano do Ensino Médio a 
duras penas tanto para o professor como para o aluno, que não vêem a hora 
daquela ‘chatice terminar’ (sic). 
• Os conceitos de pares de retas são retomados, alguns teoremas são 
provados; o conceito de pares de planos e suas propriedades e ângulos 
planos formados por dois, três ou mais planos, conjuntos de retas e de 
planos, sendo que teoremas podem ser provados. 
3. Geometria Espacial Métrica – Os sólidos geométricos são estudados e o cálculo 
de seus volumes e áreas são estudados a partir do 2º ou 3º ano do Ensino Médio 
a duras penas tanto para o professor como para o aluno, pois este último não 
reteve praticamente nada do que foi ensinado antes ao longo de sua 
escolarização. 
1.1.1.- Como, Quando e de que Forma Iniciar O Ensino da Geometria 
Uma discussão pedagógica que persegue os educadores quando pretendem introduzir os 
conceitos de geometria logo no início da escolarização como, por exemplo, no Ensino Básico 
(principalmente durante os 3 anos iniciais de escolarização, que envolvem crianças de 6, 7 até 8 ou 
9 anos de idade): o que e como deve ser ensinada esta disciplina para que as crianças passem a 
aprender prazerosamente e consigam reter o máximo de informações. Os conhecimentos de 
Geometria serão praticamente exigidos não somente no dia-a-dia delas, mas mais à frente como 
embasamento para a aprendizagem de várias outras disciplinas práticas, teóricas e/ou e científicas. 
Muitos educadores vêm sugerindo que o ensino da Geometria deve partir dos sólidos 
geométricos, os seguidores de Maria Montessori aí incluídos. Do material Montessoriano consta 
uma família de sólidos geométricos – mostrada abaixo – que a partir de algum instante da 
aprendizagem devem ser identificados pelos seus nomes, sendo que em seguida os componentes 
geométricos que limitam aqueles sólidos devam também ser identificados nominalmente. 
 
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O leitor poderá ver que o material é bastante limitado e dele constam sólidos cujo 
enquadramento geométrico nos parece bastante estranho: como um ‘ovo’ e um ‘elipsóide’, sendo 
que no conjunto poderiam ser acrescentadas: as pirâmides com base triangular, pentagonal e 
hexagonal; um cone com base elíptica; prismas com base retangular, com bases pentagonais e 
hexagonais. 
No comércio existem famílias bastante completas de sólidos geométricos, normalmente em 
acrílico transparente, que permitem a introdução de líquidos coloridos para se dar ênfase às suas 
diagonais, possíveis secções, etc. 
Uma proposta que o autor faz é da introdução metódica da nomenclatura das figuras 
geométricas planas e tridimensionais através da utilização de um conjunto de cartas de um baralho 
cujo módulo básico é apresentado a seguir. 
1.2.- O Baralho: Módulo Básico 
O módulo básico das cartas deste baralho é mostrado na figura abaixo. As cartas deste 
baralho medem 10 cm de altura por 6,5 cm de largura, dividido em três regiões: 
 
xxxxxxxxxxxx 
yyyyyyy 
XXXXXXX 
6,5 cm 
10 cm 
 
• Uma região intermediária com uma figura geométrica colorida; 
• Uma região superior com o nome genérico daqueles tipos de figura: triângulos; 
quadriláteros; pentágonos; hexágonos; Sólidos Geométricos, Poliedros de Platão, etc. 
• Uma região inferior com o nome específico daquela figura: triângulo equilátero, ..., 
triângulo retângulo, ...; quadrado, retângulo, ...; pentágono regular, pentágono 
qualquer, ...; cubo, prisma, ...; tetraedro, hexaedro, ..., etc. 
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1.3.- As Figuras Geométricas Planas com a Nomenclatura 
Basicamente há dois tipos de cartas neste baralho, o que nos permite dividi-las 
pedagogicamente em duas famílias: 
(1) As cartas de identificação imagem/nomenclatura – nas quais as figuras geométricas são 
aquelas mais comuns; 
(2) As cartas de identificação nomenclatura/propriedade notável – como as dos triângulos 
classificados quanto à medida dos ângulos ou quanto à medida dos lados; as dos 
trapézios quanto às medidas dos lados ou dos ângulos. 
1.3.1.- Cartas de identificação imagem/nomenclatura 
A seguir mostramos a família básica dos baralhos contendo algumas figuras geométricas 
planas e sua nomenclatura. Cabe ao educador a partir de sua visão pedagógica e em função da idade 
de seus alunos escolher no conjunto destas cartas de baralho umsubconjunto de cartas que inclua 
aquelas mais significativas, naquele momento da aprendizagem. Um destes subconjuntos 
pedagogicamente convenientes a uma primeira abordagem deveria incluir as cartas de 1 até 7, por 
exemplo, incluindo-se aí, depois de bem retidos os nomes destas 7 primeiras figuras, as cartas de 
número 10, 12, 14, 15 e 16. A partir disto as demais cartas do baralho poderão ser introduzidas no 
subconjunto a partir das necessidades emergentes. 
 
 
 
triângulo 
qualquer 
Triângulos 
 
 
quadrado 
Quadriláteros 
 
retângulo 
Quadriláteros 
 
paralelogramo 
Quadriláteros 
 
[1] [2] [3] [4] 
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 14 
 
losango 
Quadriláteros 
 
pipa 
Quadriláteros 
 
trapézio 
qualquer 
Quadriláteros 
 
quadrilátero 
qualquer convexo 
Quadriláteros 
 
 
 
 
quadrilátero 
qualquer côncavo 
Quadriláteros 
 
pentágono 
regular 
Polígonos 
 
 
pentágono 
qualquer 
Polígonos 
 
 
hexágono 
regular 
Polígonos 
 
 
 
 
 
hexágono 
qualquer 
Polígonos 
 
 
octógono 
regular 
Polígonos 
 
 
octógono 
qualquer 
Polígonos 
 
 
 
 
círculo = 
interior + fronteira 
Círculos 
 
circunferência = 
fronteira do círculo 
Circunferências 
 
elipse 
Elipses 
 
 
 [16] [17] [18] 
 [13] [14] [15] 
[9] [10] [11] [12] 
[5] [6] [7] [8] 
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 15 
1.3.2.- Cartas de identificação nomenclatura/propriedade notável 
 Os triângulos e os trapézios, devido às suas possibilidades de classificação seja quanto à 
medida dos lados, seja quanto à medida dos ângulos, permite com que se acrescentem mais 9 cartas 
ao baralho. Estas cartas podem ser estudadas em separado até que se dominem bem seus 
nomenclatura/propriedades notáveis, podendo depois disto serem incorporadas ao conjunto básico. 
1.3.2.1.- Triângulos Classificados Quanto à Medida dos Lados 
 
triângulo 
equilátero 
Triângulos 
 
triângulo 
isósceles 
Triângulos 
 
triângulo 
escaleno 
Triângulos 
 
1.3.2.2.- Triângulos Classificados Quanto à Medida dos Ângulos 
Ao classificarmos triângulos quanto aos ângulos é preciso ressaltar o seguinte: todos eles 
possuem sempre dois ângulos agudos, sendo que será justamente o terceiro ângulo que servirá para 
classificá-lo. 
 
triângulo 
retângulo 
Triângulos 
2 ângulos agudos 
1 ângulo reto 
 
 
triângulo 
acutângulo 
 
Triângulos 
3 ângulos agudos 
 
triângulo 
obtusângulo 
Triângulos 
2 ângulos agudos 
 1 ângulo obtuso 
 
 
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 16 
1.3.2.3.- Trapézios Classificados Quanto à Medida dos Lados/Ângulos 
 
trapézio 
isósceles 
Quadriláteros 
 
trapézio 
escaleno 
Quadriláteros 
 
trapézio 
retângulo 
Quadriláteros 
 
1.4.- As Figuras Geométricas Planas sem a Nomenclatura 
Além do baralho com a nomenclatura das figuras planas, os educadores irão dispor ainda de 
um baralho contendo a mesma quantidade de cartas que correspondem exatamente às cartas 
anteriores, somente que desprovida da nomenclatura. 
Depois de aprendidos os nomes destas figuras, estas novas cartas poderão ser utilizadas para 
verificar se as crianças aprenderam corretamente os nomes das diversas figuras planas. 
 
 
 
Triângulos 
 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
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Quadriláteros 
 
 
Polígonos 
 
 
Polígonos 
 
 
Polígonos 
 
 
 
Polígonos 
 
 
 
Polígonos 
 
 
 
Polígonos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulos 
 
 
Triângulos 
 
 
Triângulos 
 
 
Triângulos 
2 ângulos agudos 
1 ângulo reto 
 
 
 
 
Triângulos 
3 ângulos agudos 
 
 
Triângulos 
2 ângulos agudos 
 1 ângulo obtuso 
 
 
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 18 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
 
Quadriláteros 
 
 
1.5.- As Famílias de Sólidos Geométricos 
A família de figuras Geométricas Espaciais denominadas Sólidos Geométricos é apresentada 
a seguir, aproveitando-se para introduzir as curvas/superfícies planas produzidas quando um plano 
intercepta o cone – as cônicas. 
 
cubo 
Sólidos 
Geométricos 
 
cilindro 
Sólidos 
Geométricos 
 
esfera 
Sólidos 
Geométricos 
 
cone 
Sólidos 
Geométricos 
 
 
prisma de base 
triangular 
Sólidos 
Geométricos 
 
prisma de base 
retangular 
Sólidos 
Geométricos 
 
prisma de base 
quadrada 
Sólidos 
Geométricos 
 
 
prisma de base 
pentagonal 
Sólidos 
Geométricos 
 
prisma de base 
hexagonal 
Sólidos 
Geométricos 
 
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pirâmide de base 
triangular 
Sólidos 
Geométricos 
 
pirâmide de base 
quadrada 
Sólidos 
Geométricos 
 
pirâmide de base 
pentagonal 
Sólidos 
Geométricos 
 
pirâmide de base 
hexagonal 
Sólidos 
Geométricos 
 
 
No JGEOM#14 o professor interessado encontrará algumas indicações técnicas que 
permitirão desenhar os sólidos geométricos com relativa facilidade. 
1.5.1.- Como são Obtidas as Cônicas 
Um plano que atravesse um cone pode fazê-lo das seguintes maneiras: não-paralelo ou 
paralelo ao eixo de revolução. Estas seções geram as curvas/superfícies cônicas nas interseções da 
superfície do cone com os planos cortantes. Abaixo mostramos as superfícies cônicas e as curvas 
que limitam estas superfícies. 
 
 
 elipse parábola hipérbole 
 
 
elipse 
Cônicas 
 
parábola 
Cônicas 
 
 
hipérbole 
Cônicas 
 
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Cônicas 
 
 
Cônicas 
 
 
 
Cônicas 
 
 
1.6.- Os Poliedros de Regulares 
Para estudarmos os Poliedros Regulares precisamos recorrer aos conceitos de Poliedros 
Côncavos e de Poliedros Convexos, bem como ao Teorema de Eüler e à definição dos Poliedros de 
Platão, como se verá a seguir. 
1.6.1.- Poliedros Côncavos e Convexos 
Os poliedros podem ser classificados como convexos ou côncavos. Um sólido geométrico 
limitado por n polígonos convexos, n ≥≥≥≥ 4, tais que: 
[1] dois destes polígonos nunca estarão no mesmo plano; 
[2] cada lado de cada um destes polígonos é comum a dois polígonos no máximo e 
[3] o plano de cada polígono deixa todos os demais polígonos num outro semi-espaço, 
é denominado Poliedro Convexo. A reunião destes polígonos (as faces) é denominada superfície 
do poliedro. 
 
Exemplos e Contra-exemplos: 
 
 
Poliedro Convexo Poliedro Côncavo 
 
 
1.6.2.- Teorema de Eüler 
Sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces de um poliedro 
convexo, sempre valerá a relação: 
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V + F = A + 2 
 
Exemplos: 
 
F = 6 
V = 8 
A = 12 
F = 8 
V = 12 
A = 18 
F = 4 
V = 4 
A = 6 
 
 
1.6.3.- Os Poliedros de Platão 
Chamamos Poliedro de Platão aos poliedros tais que todas as suas faces têm o mesmo 
número de arestas, todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas e para eles 
valem o Teorema de Eüler. 
Exemplos e Contra-exemplos: 
 
Os poliedros (1), (2) e (3) são poliedros de Platão, já os poliedros (4), (5) e (6) não são. 
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 
 
 
Teorema: Há cinco e somente cinco tipos de poliedros de Platão. 
 
1.6.4.- Poliedros Regulares 
Um poliedro convexo é regular quando, esomente quando: 
[1] suas faces são polígonos regulares e congruentes entre si; 
[2] seus ângulos poliédricos são todos congruentes. 
���� Notar: Um Poliedro Regular é um Poliedro de Platão, mas nem todo Poliedro de Platão 
precisa ser um Poliedro Regular. 
 
Os poliedros de Regulares são sólidos geométricos especiais, ou seja precisam ser Poliedros 
de Platão, mas devem possuir: todas as faces congruentes e os todos os ângulos congruentes. Por 
exemplo, o cubo, que pode ser considerado um prisma, neste grupo de sólidos passa a ser 
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 22 
classificado como sendo um hexaedro. A nomenclatura destes 5 sólidos geométricos – e só existem 
estes cinco – pode ser relembradas pelo mnemônico; THODI. 
 
 Os poliedros regulares são cinco: 
 Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro 
 
 
A seguir são apresentadas as cartas de baralho com os Poliedros Regulares as suas 
respectivas planificações. 
 
 
Tetraedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
planificação do 
tetraedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
hexaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
 
planificação do 
hexaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
 
Octaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
 
planificação do 
octaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
dodecaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
 
planificação do 
dodecaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
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Icosaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
 
planificação do 
icosaedro regular 
Poliedros de 
Platão 
 
 
1.7.- Aos Educadores 
As cartas de baralho mostradas neste JGEOM#01 devem ser utilizadas com muito cuidado e 
ao longo dos diversos anos de escolarização. Há crianças que identificam algumas das figuras e 
sólidos geométricos, mas a maioria delas tem dificuldade de aprendizagem com relação a este 
conteúdo devido à abstração: são imagens que devem ser identificadas por seus nomes nem sempre 
claros ou evidentes para elas. 
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 24 
JGEOM#02– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 02 
Os ‘Pattern-Blocks’ ou ‘Blocos-Padrão’ 
Propomos aqui trabalhar com os Planiblocos-Padrão 
que são uma versão mais barata dos Blocos-Padrão 
(Pattern-Blocks), que são normalmente encontrados no 
comércio, feitos de madeira ou plástico, sendo que no 
primeiro caso são sólidos e no segundo caso, são ocos. 
Impressos em papel sulfite, plastificados e em seguida 
recortados, os planiblocos permitem realizar os 
mesmos jogos pedagógicos propostos para os Blocos-
Padrão originais. 
2.1.- Os Seis Blocos-Padrão e os Planiblocos-Padrão 
A seguir são mostradas as seis peças do tradicional manipulativo pedagógico que os 
educadores americanos denominam ‘Pattern-Blocks’, nome este que poderia ser traduzido como 
‘Blocos-Padrão’ ou ‘Blocos Padronizados’. Estas peças são elaboradas em madeira e normalmente 
têm a espessura de 0,5 cm. 
 
 
2.2.- A Quantidade Ideal de Blocos-Padrão 
A seguir o leitor encontrará uma indicação da quantidade ideal de cada uma destas peças, 
com a finalidade que haja sempre um número disponível de peças que possibilitem a realização dos 
Jogo Para Pensamento Geométrico que serão a seguir sugeridos. A quantidade de blocos não é 
padronizada, sendo que num conjunto de 250 peças – que é, no caso, um conjunto bastante grande –
, devem ser encontradas: 
• 25 hexágonos – blocos da cor amarela; 
• 25 quadrados – blocos da cor laranja; 
• 50 triângulos equiláteros – blocos da cor verde; 
• 50 trapézios – blocos na cor vermelha; 
• 50 losangos – blocos na cor azul; 
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• 50 triângulos isósceles obtusângulos – blocos na cor creme. 
Propomos aqui que o leitor adquira este material concreto no comércio, em casas 
especializadas em materiais pedagógicos. 
É claro que podemos imprimir e plastificar este material, como será mostrado a seguir, no 
entanto haverá uma desvantagem: o material adquirido no comércio tem pelo menos 0,5 cm de 
espessura, enquanto nós iremos trabalhar com figuras planas, o que dificultará a justaposição das 
peças particularmente quando se trabalha com crianças pequenas. 
2.3.- Criando os Planiblocos-Padrão 
Neste JGEOM nós iremos propor a criação dos Planiblocos-Padrão em substituição aos 
Blocos-Padrão confeccionados em madeira, que são mostrados a seguir. 
 
 
2.3.1.- Recortando o Hexágono Amarelo 
Um hexágono é dito regular se, e somente se, for um polígono plano fechado que possui os 
seis lados congruentes9 e os seis ângulos internos, também congruentes – cada um deles medindo 
120º. A figura a seguir nos mostra um hexágono regular as suas nove diagonais. Três delas, as que 
passam pelo centro da figura, foram desenhadas em vermelho, e as diagonais que não passam pelo 
centro, no total de seis, foram desenhadas em azul. 
 
 
 
9 Congruentes: coincidente ou correspondente em características, em propriedades, medidas etc 
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 26 
Os planiblocos apresentados acima são, na verdade, somente alguns dos possíveis recortes 
que podem ser obtidos a partir do hexágono amarelo. Cada uma destes recortes recebe uma cor 
padronizada distinta, a saber: vermelho, laranja, azul, verde e creme. 
 
 
2.3.2.- Um Jogo Para O Pensamento Geométrico 
Este é um jogo bastante simples, mas básico para que se possa compreender como as peças 
dos Planiblocos-Padrão se encaixam uma às outras formando um novo hexágono congruente10 ao o 
hexágono amarelo. 
Usando várias das peças amarelas como suporte, solicitar aos participantes que formem 
todas as possíveis ‘coberturas’ daquela peça utilizando as demais cinco peças restantes. Veja a 
seguir algumas das possibilidades de cobertura do hexágono amarelo. 
 
 
2.4.- Quatro Jogos Para O Pensamento Lógico 
As peças do ‘Pattern-Blocks’ são plenamente encaixáveis podendo formar aquilo que 
denominaremos montagens planas. Podemos utilizar várias vezes cada uma de todas estas seis peças 
para realizar estas montagens. 
2.4.1.- O Jogo das Cópias 
O reconhecimento de que as peças dos Blocos-Padrão se encaixam de forma bastante 
perfeita formando hexágonos, será básica para que possamos construir ‘montagens’ bastante 
complexas realizadas com aquelas peças. As montagens assim realizadas poderão ser copiadas em 
 
10 Conforme o Dicionário Houaiss, congruente significa: “coincidente ou correspondente em características, em 
propriedades etc.; conforme, concordante, harmônico idêntico ou correspondente na constituição, forma ou 
estrutura”. Particularmente no estudo da Geometria, ‘congruente’ significa: aquilo que tem a mesma medida que 
o outro. 
 
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 27 
seguida por vários participantes do Jogo das Cópias. Neste jogo há um ‘gerente’ que realiza as 
montagens e os participantes que devem tentar reproduzi-las. 
• O ‘gerente’ do jogo faz, sem que os demais participantes possam ver, uma montagem com 
as peças dos Blocos-Padrão sobre um anteparo rígido;. 
• O ‘gerente’ mostra durante um período de tempo julgado suficiente para que os 
participantes possam memorizar a montagem ali apresentada; 
• O gerente, de forma que os participantes do jogo possam a montagem e a esconde 
solicitando que os participantes realizem as montagens de memória; 
• Vence quem primeiro terminar a montagem, desde que a mesma esteja correta. 
Veja a seguir alguns dos exemplos das montagens planas a serem montadas e exibidas pelo 
‘gerente’ no jogo das cópias. 
 
 Recomenda-se, quando os participantes forem ainda pequenos, que as montagens fiquem 
expostas, para que eles possam copiá-las, até que seja oportuno propor a eles, que realizem asmontagens de memória. 
2.4.2.- O Jogo das Sequências 
Este é um jogo de Lógica em que se exigirá a complementação faixas, cujos exemplos são 
mostrados a seguir. Estas faixas devem apresentar-se com uma ‘sequência de colocação das peças’ 
bem visível, ou seja, elas devem possuir uma ‘lei de formação bastante clara’ do seqüenciamento 
das peças que a compõe. 
 
 
 
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 28 
 
 
 
 
• Num espírito um pouco distinto do jogo anterior, um gerente deve criar sequências de 
peças como aquelas dos exemplos mostrados acima; 
• As montagens devem ficar expostas e os participantes devem dar continuidade à 
sequência até que um novo ciclo (uma montagem exatamente igual à anterior) seja 
realizado; 
• Vence aquele que primeiro terminar a sequência das pelas de forma correta. 
2.4.3.- O Jogo das Simetrias 
Este é um jogo em que participantes devem montar uma figura simétrica àquela que a eles 
foi apresentada. Veja os exemplos a seguir. 
 
Eixo de Simetria 
MODELO Cópia Simétrica 
 
 
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Eixo de Simetria 
MODELO Cópia Simétrica 
 
É usual que no lugar do eixo de simetria se utilize um espelho plano (colocado 
perpendicularmente ao plano da montagem e voltado para ela) para refletir a figura, podendo-se 
assim conferir a figura dada como solução com a sua imagem refletida no espelho. 
2.4.4.- O Jogo da Nomenclatura 
O educador deverá verificar a conveniência (quando, como e com que quantidade de 
detalhes) se deverá introduzir a nomenclatura dos diversos elementos componentes dos Blocos-
Padrão: 
 
 Paralelogramos: retângulos e losango 
 
 Triângulos: equilátero e isósceles 
 
 Trapézio: trapézio isósceles 
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 Hexágono: hexágono regular 
O jogo Consiste no reconhecimento das diversas peças do 
O educador deve aproveitar a oportunidade para discutir cada um destes conceitos e dar 
exemplos de outros tipos de figuras planas, completando o quadro acima com a classificação: dos 
triângulos, dos trapézios, e das figuras geométricas quanto à quantidade de lados e quanto a 
regularidade ou não. 
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 31 
JGEOM#03– JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 03 
Propondo Novos Conjuntos de ‘Blocos-Padrão’ 
A decomposição do pentágono, do hexágono e do 
octógono regulares a partir de segmentos de reta 
escolhidos sobre as suas diagonais nos permitirá 
pensar sobre a possibilidade da criação de novos 
conjuntos de Blocos-Padrão (Pettern-Blocks). Algumas 
tarefas bastante interessantes, propostas sob a forma 
de Jogos Para o Pensamento, são deixadas para os 
leitores. 
3.1.- Decompondo o Pentágono, o Hexágono e o Octógono 
Vamos propor a seguir que procedamos à decomposição das seguintes três figuras 
geométricas planas regulares11: o pentágono, o hexágono e o octógono, utilizando segmentos 
retirados de suas diagonais para formar novas figuras geométricas planas fechadas. 
 
 
 
 
 
 
3.2.- O Pentágono Regular e suas Possíveis Decomposições 
O mesmo que fizemos com o hexágono regular no JGEOM#02, a sua decomposição em 
função das diagonais, será feito a seguir com o pentágono. Por outro lado, vamos tentar novos tipos 
de decomposições denominadas ‘côncavas’, como será mostrado mais adiante. 
3.2.1.- Um jogo Para o Pensamento 
Cabe ao leitor tentar, nas figuras da página a seguir, que figura no CD-R que acompanha 
este livro, escolher as possíveis decomposições do pentágono regular em função de suas cinco 
diagonais, bem como escolher as peças mais interessantes a serem tomadas como ‘Blocos-Padrão’. 
O leitor verá logo a seguir uma série de sugestões para estas decomposições. 
 
11 Polígonos Regulares: são figuras geométricas planas fechadas cujos lados têm a mesma medida (são congruentes) e 
os ângulos têm a mesma medida (são congruentes). 
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3.2.2.- Sugerindo Algumas Novas Decomposições 
A seguir vamos mostrar as possíveis decomposições de uma figura geométrica regular plana que 
classificaremos como convexas e côncavas. Mas antes vamos introduzir os conceitos e/ou 
definições de figuras geométricas planas fechadas, bem como os de figuras geométricas planas 
convexas e côncavas 
 
• Poligonais abertas e Fechadas Planas Abertas e Fechadas 
As figuras geométricas a seguir apresentam duas poligonais, uma aberta e outra fechada. As 
poligonais fechadas são denominadas polígonos. No caso, o polígono (com o interior em amarelo) é 
um quadrilátero. 
 
A 
C 
B D 
 
 
A 
C 
B D 
 
 
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 33 
Para a leitura das definições expressas de forma simbólica dadas logo abaixo de cada uma 
das seguintes figuras geométricas, deve-se utilizar a seguinte legenda: 
 
 
• Figuras Geométricas Planas Convexas 
Sejam dados: α um plano, A e B pontos do plano α, AB o segmento de reta de extremidades A e 
B. R é uma Região Plana Convexa se, e somente se: A região R está contida no Plano α e se para 
qualquer A e B pertencentes a α tem-se que o segmento de reta AB está contido em R. 
 
A 
B 
R é uma Região Plana Convexa ⇔ RABRBeRAR ⊂⇒∈∀∈∀∧⊂ α . 
 
• Figuras Geométricas Planas Côncavas 
Sejam dados: α um plano, A e B pontos do plano α, AB o segmento de reta de extremidades A e 
B. R é uma Região Plana Côncava se, e somente se: A região R está contida no Plano α e se para 
qualquer A e B pertencentes a α tem-se que o segmento de reta AB não está contido em R. 
 
A 
B 
R é uma Região Plana Côncava se, e somente se: RABRBeRAR ⊄⇒∈∃∈∃⊂ ,α 
 
Legenda: 
∀∀∀∀ - para todo ∃∃∃∃ - existe pelo menos um ⇒⇒⇒⇒ - se ... então ... 
∈∈∈∈ - ... pertence a ... ⊂⊂⊂⊂ - ... está contido em ... ⊄⊄⊄⊄ - não está contido em ... 
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3.2.2.1.- Decomposições do Pentágono em Figuras Convexas 
 
 
 
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3.2.2.2.- Decomposições do Pentágono em Figuras Côncavas 
 
 
 
 
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3.3.- O Hexágono Regular e suas Possíveis Decomposições 
Vamos a seguir mostrar um estudo em que tentaremos gerar as peças do ‘Pattern-Blocks’ a 
partir de um hexágono regular e do traçado de todas as suas 9 diagonais. 
 
 
Veja nas figuras a seguir, como são conseguidos os seis ‘blocos padrão’ (vide JARIT#02) 
quando se levam em conta as figuras extraídas do hexágono aproveitando-se o traçado de suas 
diagonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4.- Recompondo o Hexágono Regular com os Blocos 
Veja agora como ‘recompor’ o hexágono utilizando os blocos-padrão. Note ainda que as 
cinco primeira das recomposições do hexágono a seguir apresentadas, puderam ser feitas com 
apenas um único tipo de bloco, enquanto a última delas, a sexta, exigiu o uso de blocos de formas 
distintas, sem o que, a recomposição seria impossível. 
 
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3.5.- Um Jogo Para o Pensamento 
 É evidente que muitas outras possíveis recomposições do hexágono podem ser tentadas 
utilizando-se certas misturas de peças. Cabe ao leitor, a partir de alguns dos exemplos que damos a 
seguir, tentar outras e verificar quais são todas elas. Este é um bom Jogo Para o Pensamento 
Geométrico. 
 
 
3.6.- Um Jogo Para o PensamentoDeve ter ficado evidente para o leitor que 
ocorre algo de muito curioso com relação às peças 
que foram recortadas do hexágono básico, elas não 
correspondem a todas as possibilidades de se 
seccionar (recortar) um hexágono tomando-se como 
base as suas diagonais. 
E a seguir apresentamos ao leitor uma folha 
com vários desenhos do hexágono regular e suas nove 
diagonais, desafiando-o a encontrar mais algumas 
possibilidades da obtenção de novas figuras. A folha 
pode ser encontrada no CD-R que acompanha o livro 
e que pode ser impressa. 
 
 
 
‘ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.6.1.- As Decomposições Convexas Sugeridas pelo Autor 
Confira a seguir as novas figuras côncavas que o autor encontrou. Será que existem outras 
figuras possíveis, além destas dez aqui apresentadas? 
Triângulos 
 
 
Retângulo 
 
 
Losango 
 
 
Hexágono 
 
 
Pipas 
 
 
 
 
 
 
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3.6.2.- As Decomposições Côncavos 
As figuras da página a seguir (lei o item 3.4. acima) se destinam à geração de 
decomposições côncavas, o que deve ser realizado pelo leitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.7.- O Octógono Regular e suas Possíveis Decomposições 
O desafio da decomposição em figuras convexas e côncavas do octógono é deixado como 
um Jogo Para o Pensamento Geométrico para o leitor. No entanto, o autor a seguir dá alguns 
exemplos de decomposições convexas e côncavas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O octógono regular é apresentado a seguir sob a forma de um desafio a ser encarado pelos 
leitores. O autor não irá sugerir nenhuma solução. Algumas sugestões são dadas para estimular o 
leitor a pensar novas soluções. 
 
 [1] [2] [3] [4] 
 
 [5] [6] [7] [8] 
 
 As figuras em azul dos exemplos acima sugerem alguns tipos possíveis de classificação 
geométrica, tais como: 
� Convexas: de [1] até [4] 
� Côncavas: de [5] até[8] 
� Simétricas: [1], [2], [5], [7] e [8] 
� Assimétricas: [3], [4] e [6] 
3.8.- Uma Nova Idéia 
Uma forma bastante interessante de realizar estas decomposições seja dos pentágonos, 
hexágonos ou octógonos é fazê-lo com o uso de figuras geométricas bastante grandes que possam 
plastificadas e depois recortadas com uma tesoura. No caso de se utilizar o material emborrachado 
EVA, recorta-los com um estilete guiado por uma régua de metal – preferencialmente às réguas de 
plástico ou madeira. 
 No CD-R que acompanha este livro há páginas no tamanho A4 – cada uma delas com uma 
dos três pentágonos em cores distintas –, que podem ser impressas para serem em seguida 
recortadas. Mostradas abaixo numa escala bem menor: 
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3.9.- Sobre o JGEOM#14 
O JGEOM#14 que figura nesta parte A deste livro faz um aprofundamento no estudo do 
pentágono, hexágono, heptágono e octógono, não somente no que toca à decomposição destes 
polígonos em triângulos e a recomposição dos mesmos, bem como discute e mostra passo-a-passo a 
forma de construí-los com régua e compasso. O leitor poderá encontrar muitas informações 
interessantes neste outro JGEOM. 
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 43 
JGEOM#04 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 04 
O Jogo da Composição de Figuras 
Nos Jogos anteriores (JGEOM#02 e JGEOM#03) as 
diversas peças das decomposições do pentágono, do 
hexágono ou do octógono, poderiam ser utilizadas 
tantas vezes quanto necessário, isto é, de forma 
repetitiva, para a obtenção das novas composições. No 
caso do atual JGEOM, o módulo é bastante simples – 
com duas, três quatro ou mais peças únicas que se 
destinarão à criação de novas figuras, peças estas que 
não podem ser repetidas, mas isto sempre estará 
limitado pela quantidade de peças daquele único 
módulo. 
 
4.1.- Um Primeiro Módulo de Trabalho 
 A seguir iremos mostrar um módulo para jogos de criação de novas figuras, o que 
somente é limitado pela criatividade do jogador. O módulo deve ser recortado, para em seguida, 
com apenas as suas três partes permitir a criação de novas e até mesmo inesperadas composições 
geométricas. 
 
 
 
 
4.1.1.- Construindo o Nosso Módulo e Jogando com Ele 
 O módulo que pode ser impresso a partir de um arquivo que o leitor encontrará no 
CD-R, devendo ser plastificado e recortado possui as seguintes características: 
• Ele é um retângulo com 5 cm de altura por 10 cm de base; 
• Cortar o retângulo segundo os segmentos de reta AM1 e M2D, obtendo dois 
triângulos e um paralelogramo. 
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 M2 
A 
D C 
B 
M1 
 
 
• Jogue livremente com duas ou três das peças tentando formar, por justaposição exata 
– as medidas dos lados a serem juntados devem sempre ter o mesmo comprimento, 
devem ser congruentes – as figuras geométrica possíveis, classificando cada uma 
delas, quanto a serem figuras geométricas reconhecíveis pelo nome: triângulo, 
quadrado, retângulo, etc, e ainda se são ou não figuras convexas ou côncavas. 
4.1.2.- Analisando Algumas da Figuras Formadas 
 
 A seguir são mostradas algumas das figuras possíveis de serem formadas com duas 
das peças do nosso módulo básico. 
 
 
quadrado 
triângulo isósceles 
trapézio equilátero trapézio retângulo 
pentágono côncavo 
 
 
Algumas das figuras possíveis de serem formadas com três das peças do nosso módulo 
básico. 
 
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 45 
 
 
trapézio equilátero paralelogramo 
triângulo retângulo 
isósceles 
 
 
4.1.3.- Adotando um Módulo Monocromático 
 O leitor irá encontrar no CD-R do livro um módulo exatamente igual ao anterior 
somente que com uma única cor – monocromático – com o qual poderá realizar novamente o jogo 
anterior. 
 
 
4.2.- Um Novo Módulo de Trabalho 
 A seguir é mostrado um novo módulo e algumas das possíveis construções que 
podem ser elaboradas com as suas duas peças. A medida deste módulo mede 5cm × 5cm. 
 
 
 
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 46 
 
 
paralelogramo trapézio equilátero triângulo retângulo 
escaleno 
pentágonos côncavos quadrilátero convexo 
 
4.3.- Um Jogo Para o Pensamento 
A partir do módulo anterior iremos obter um outro módulo semelhante ao primeiro somente 
que simétrico àquele, como mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Para distinguir um módulo do outro iremos colorir as duas peças deste novo módulo com 
cores distintas das cores do primeiro módulo, e junta-lo como se fosse um único módulo com quatro 
partes. 
 
 
 
A seguir são mostradas algumas das composições bem como as suas respectivas simetrias. 
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4.3.1.- Adotando Módulos Simétricos Monocromáticos 
As quatro peças deste módulo são simétricas duas s as duas. De alguma forma isto poderá 
dificultar a construção das figuras mostradas acima. Recorte os módulos (recorrendo ao CD-R deste 
livro), embaralhe as quatro peças e tente montar as figuras anteriormente mostradas. 
 
 
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4.3.2.- Outras Figuras 
As figuras a seguir foram construídas com os módulos monocromáticos, sem a necessidade 
de se buscar, ou não,as suas simétricas. Algumas delas são repetições das figuras apresentadas 
acima, mas outras são distintas. Confira. 
 
 
 
 
 
 
Se você sentiu dificuldade em obter as figuras acima utilizando os módulos simétricos 
monocromáticos, veja as mesmas figuras construídas com os módulos simétricos coloridos. 
 
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4.4.- Algumas Sugestões de Outros Módulos 
No CD-R que acompanha este livro há sugestões de outros módulos que permitirão ao leitor 
realizar as suas próprias construções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 50 
 
 
 
 
 
O leitor poderá ainda usar de forma conjugada vários tipos de módulos, o que irá, de alguma 
forma, dificultar o trabalho a ser realizado. Um trabalho de composição de figuras bastante 
interessante será proposto com os Triângulos Construtores de Maria Montessori (vide JGEOM#11). 
4.5.- Nota Importante 
O jogo da Justaposição de Figuras se torna muitíssimo interessante quando os participantes 
jogam contra o relógio. Neste caso cada jogador forma suas figuras e as desenha numa folha de 
papel A4. No caso de crianças pequenas as figuras podem ser desenhadas utilizando-se os próprios 
recortes plastificados como gabarito para os desenhos. Prevendo isto as páginas com os módulos 
que acompanham este livro, e que devem ser impressas a partir do CD-R, depois de plastificadas e 
recortadas, apresentam-se com todos os módulos multiplicados por três. 
Crianças treinadas com alguns tipos de módulos básicos podem ser desafiadas a jogarem 
com um dos seis módulos do item 4.4. acima. 
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 51 
JGEOM#05 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 05 
O Jogo Cooperativo das Composições 
Falaremos aqui sobre os jogos cooperativos e 
sobre o papel do colaborador visando fazer 
uma distinção nos papéis por eles exercidos. O 
leitor encontrará neste JGEOM três jogos 
cooperativos envolvendo composições 
geométricas. 
 
5.1.- Sobre Cooperadores e Colaboradores 
Podemos entender que uma cooperativa é uma sociedade, uma empresa ou coligação 
constituída por pessoas que objetivam desempenhar determinadas atividades em igualdade de 
condições – tais como deveres e direitos –, visando a obtenção de benefícios comuns. 
Se por um lado, se espera que os cooperados desempenhem papéis – realizem tarefas e 
assumem obrigações – mais ou menos equivalentes dentro daquele grupo, por outro lado, um outro 
tipo de cooperado pode ser chamado para fazer parte temporária daquela cooperativa: um 
colaborador, de quem se espera algum grau de especialização – habilidade ou conhecimento 
específico – que venha a trabalhar em benefício do grupo. 
5.1.1.- Sobre os Jogos Cooperativos e Colaborativos 
Um Jogo Cooperativo é aquele em que um grupo de jogadores deve formar uma coligação 
em que eles passam a ser considerados agentes de uma mesma categoria que precisam entrar em 
consenso sobre o processo de decisão, objetivando a obtenção de resultados positivos em um jogo. 
No caso de jogos cooperativos não há vencedores individuais, mas todo o grupo se beneficia do 
resultado conseguido. 
A maioria absoluta dos jogos são jogos competitivos, por outro lado, são pouquíssimos os 
jogos cooperativos, pois eles exigem que os participantes coordenem os seus esforços para a 
obtenção do sucesso. 
5.1.2.- As Tarefas dos Cooperadores e Colaboradores 
No caso de nossa coleção de livros Jogos Para o Pensamento Lógico-Matemático, até o 
momento, a quase absoluta maioria dos jogos eram jogos competitivos, sendo que os demais – mas 
apenas alguns deles – eram jogos solitários, onde podem haver colaboradores eventuais – pessoas 
que nos observam jogando e dão palpites. O que ocorre no caso dos jogos cooperativos – no caso 
particular dos jogos destes livros – é que, grupos de crianças, adolescentes, adultos e/ou pessoas da 
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 52 
terceira idade passam a interagir com os mesmos objetivos, seja para aprender a jogar, jogar e/ou a 
modificar e adaptar as regras dos jogos. Como consequência, podemos apontar que estes tipos de 
jogos, indiretamente, acabam por estimular: 
• A leitura e interpretação, absolutamente necessárias para a aprendizagem das Regras dos 
Jogos. 
• As reuniões colaborativas em que aqueles que sabem, ensinam os que não sabem (os que 
sabem ler e interpretar ensinam aqueles que não sabem ler ou não conseguem interpretar as 
regras dos jogos). 
5.2.- Um Primeiro Jogo Cooperativo 
Este é o módulo básico de uma letra ‘T’ que ao ser recortado em papel cartão bicolorido – 
frente de uma cor, verso de outra cor – ou cartão monocolorido – frente e verso de uma mesma cor 
– de acordo com os modelos mostrados logo abaixo servirão de base para um nosso primeiro jogo 
cooperativo. Uma alternativa aos recortes em papelão ou papel cartão são os modelos em escala 
maior podem ser impressos a partir do CD-R que acompanha este livro, recortados e plastificados, 
para somente então serem recortados. 
A seguir são mostradas a letra ‘T’ e algumas das possíveis maneiras de recortá-la. Na 
primeira linha estão as peças mais simples – que possivelmente facilitarão a montagem do quebra 
cabeça –, na segunda linha estão as peças mais complexas. Cabe ao educador (aplicador/gerente) 
escolher os modelos mais adequados às idades dos jogadores. Nada impede que figuras da primeira 
e segunda linha sejam escolhidas indiferentemente, o que propiciará a oportunidade de se oferecer 
várias partidas deste jogo de forma a apresentarem dificuldade crescente. 
 
FIGURAS SIMPLES: 
 
 
 
 
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 53 
FIGURAS COMPLEXAS: 
 
 
 
 
 
 
 
Apenas três destes oito modelos devem ser escolhidos e recortados em papelão ou cartolina 
de uma mesma cor, e apenas um deles, o módulo básico – aquela que não é recortado – deve ter a 
cor diferente dos modelos recortados. 
No tocante à cor de cada uma das letras ‘T’ a serem recortadas cabe ao educador escolher de 
acordo com a sua experiência (se trabalha com crianças pequenas ou adultos) se elas terão uma face 
de cada cor (por exemplo: amarela de um lado e branca do outro) ou se de uma única cor, tanto na 
frente como no verso. 
5.2.1.- Regras do Jogo e Sugestões 
 O jogo basicamente consiste no seguinte: 
(1) Este é um jogo para 4 jogadores; 
(2) Escolher uma quantidade letras ‘T’ recortadas menor que a quantidade de jogadores 
– no caso de 4 jogadores, 3 figuras ‘T’ recortadas; 
(3) Embaralhar sobre o tampo de uma mesa os diversos pedaços recortados; 
(4) Solicitar que os jogadores montem ‘o’ quebra cabeças; 
(5) Observar as discussões do grupo e não interferir no processo; 
(6) Depois de algum tempo diga ao grupo que eles devem formar 3 figuras iguais; 
(7) No caso de extrema dificuldade do grupo chegar a algum resultado, o perfil da letra 
"T poderá ser fornecido como uma alternativa final. 
5.2.1.1.- Sugestões 
O que se sugere a seguir são experimentações que podem ser levadas a efeito por educadores 
interessados em saber/verificar como os jogadores agem frente ao desafio de um jogo cooperativo: 
• Cabe ao educador – aqui denominado aplicador ou gerente do jogo – escolher pular a 
etapa (5) das regras acima, sendo que no caso de crianças pequenas deve-se avisar que 
‘são 3 letras ‘T’ que devem ser formadas’. 
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 54 
• Outra forma mais simples de se apresentar este jogo – e isto no caso de crianças muito 
pequenas ou idosos que apresentem mais dificuldade – é o de se adotar cores distintas 
para cada uma das letras a serem recortadas. Neste caso, as etapas (5) e (6) descritas 
acima, são dispensáveis. 
• A escolha de quais dos modelos recortados devem ser utilizados também dependerá doaplicador/gerente do jogo. A escolha poderá recair sobre peças simples ou das mais 
complexas, ou um misto delas. 
• O aplicador/gerente do jogo deve manter um mapa com todas as oito peças desenhadas 
em verdadeira grandeza para poder selecionar quais das peças pertencem a cada uma 
destas oito figuras – no CD-R o leitor irá encontrar este mapa separado em duas partes: 
‘Mapa 1 – Figuras Simples’ e ‘Mapa 2 – Figuras Complexas’. 
5.3.- Um Segundo Jogo Cooperativo com Uso de Envelopes 
O estudo desta forma de trabalho, o cooperativo, pode ainda ser levado a efeito através de 
um jogo extremamente interessante, e bem mais fácil do que o anterior, que consiste no seguinte: 
(1) Este é um jogo para até 4 participantes; 
(2) Recortar quadrados de cartolina de uma mesma cor embaralhá-los e os colocar de 
forma aleatória em tantos envelopes quanto são os participantes do jogo. 
(3) Distribuí-los aos participantes e aguardar que eles tomem decisões sobre o como 
montar o quebra cabeça. 
(4) O uso de envelopes torna o jogo, pelo menor inicialmente, um jogo aparentemente 
individual, o que na verdade não é. 
(5) O educador só deve abordar esta nova forma de jogar após ter experienciado muito 
bem a forma de jogar do nosso primeiro jogo – o dos recortes da letra ‘T’, assim, 
podendo tomar decisões ou sugerir idéias que tornem o jogo uma experiência 
interessante para si e para os jogadores. O educador deverá agir como um animador. 
FIGURAS SIMPLES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 55 
FIGURAS COMPLEXAS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O educador, como no caso anterior irá estar de posse de um mapa com as figuras para que 
possa remontá-las e criar novas estruturas de jogos através de distintas distribuições de peças nos 
envelopes. 
5.4.- Mais Jogos deste Tipo 
Os educadores mais atentos ou mais interessados poderão criar seus próprios jogos 
recorrendo a figuras como o retângulo, o triângulo, o losango, o pentágono, o hexágono etc, 
propondo as suas próprias maneiras de recortar estas figuras. 
Há mais jogos envolvendo quadrados que podem ser utilizados em jogos cooperativos no 
JGEO#19. 
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 56 
JGEOM#06 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 06 
Estudando Simetrias e os seus Eixos de Simetria 
As figuras simétricas são exatamente as mesmas 
amenos da posição, isto é, elas se contrapõem uma à 
outra, havendo correspondência exata de tamanho, de 
forma e que estejam dispostas cada uma delas em lados 
opostos com relação a um plano, linha reta ou ponto. 
Neste JGEOM iremos estudar em detalhes a simetria 
relativa a uma linha reta denomina eixo de simetria. 
6.1.- Sobre Simetrias e Eixos de Simetria 
Se você pode refletir ou ‘girar’uma figura plana – geométrica ou não – através de uma linha 
e a figura ficar inalterada, então a figura tem um eixo de simetria ou é dita uma figura simétrica por 
reflexão em torno de um eixo; mas a simetria pode se dar através de um ponto, neste caso temos 
uma figura simétrica com relação a um ponto. Cave observar que: O eixo de simetria divide uma 
figura em duas metades espelhadas, isto é, como se fossem um objeto e a sua imagem num espelho; 
já o ponto de simetria vai nos fornecer uma figura duplamente invertida – confira!. 
 
 
 
 
 
Nas figuras geométricas a seguir, as linhas tracejadas abaixo são os eixos de simetria. 
Enquanto o pentágono tem apenas um eixo de simetria o quadrado possui 4 eixos de simetria, já o 
triângulo tem 3 eixos de simetria: 
 
 
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 57 
Em geometria, o eixo de simetria é uma linha que divide uma figura em duas partes 
idênticas e simétricas. Vejamos abaixo os eixos de simetria de algumas letras do tipo bastão: 
 
A H X 
 
6.2.- Simetrias Com Relação a um Ponto ou um Plano 
Podemos ainda ter outros tipos de simetria, sejam elas com relação a um ponto ou com 
relação a um plano, como as vistas nas figuras mostradas a seguir. 
 
P 
 
 
 
6.3.- Jogos Para o Pensamento 
A seguir iremos apresentar alguns Jogos Para o Pensamento envolvendo simetrias e seus 
eixos de simetria. 
Usaremos como ‘espelho’ para refletir estas figuras e confirmar os seus eixos de simetria – 
uma tira de papelão sobre a qual colaremos um tira de ‘silver’. O ‘silver’ uma fita plastificada 
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 58 
prateada que reflete as imagens como um espelho. Você pode adquirir rolos desta fita adesiva em 
lojas que vendem material escolar, de construção ou de artesanato. 
6.3.1.- Jogo Para o Pensamento Geométrico – Simetrias 1 
Este é o nosso primeiro Jogo Para o Pensamento Geométrico envolvendo o uso de espelho 
para se buscar os eixos de simetria de diversas figuras simples e compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A primeira folha apresentada acima (colorida) deve ser impressa (vide o CD-R que 
acompanha o livro) e a seguir plastificada. A segunda folha a ser impressa sem as cores apresenta 
exatamente 4 reproduções idênticas à primeira folha, com desenhos em cinza e preto, para que os 
jogadores tracem com o auxílio de uma régua transparente os eixos de simetria. Cada uma destas 
reproduções deve ser dada a cada um dos jogadores. 
6.3.1.1.- Algumas Sugestões 
• Para jogadores adultos deve-se primeiramente solicitar que tracem os eixos de 
simetria da primeira porção de figuras (as que estão acima da primeira metade da 
folha colorida) para somente então entregar a eles os ‘espelhos’. 
• As figuras da parte inferior da folha (desenhos compostos por várias figuras 
geométricas) devem ser estudadas quanto à simetria e seus eixos de simetria numa 
segunda etapa deste Jogo Para o Pensamento. 
• O uso de espelhos de vidro não é recomendado, no entanto pequenos retângulos de 
espelho de vidro poderão ser utilizados por adultos, desde que as bordas dos espelhos 
sejam laminadas (lixadas). 
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6.3.2.- Jogo Para o Pensamento Geométrico – Simetrias 2 
Esta é outra folha, agora com letras do tipo bastão, para que sejam encontrados os eixos de 
simetria. A idéia é a mesma do Jogo Para o Pensamento anterior: obter os eixos de simetria. 
 
 
A B C D E 
F G H I J K 
L M N O P 
Q R S T U V 
W X Y Z 
 
 
 
 
 
 
A B C D E 
F G H I J K 
L M N O P 
Q R S T U V 
W X Y Z 
 
 
 
 
A B C D E 
F G H I J K 
L M N O P 
Q R S T U V 
W X Y Z 
 
 
 
 
 
A B C D E 
F G H I J K 
L M N O P 
Q R S T U V 
W X Y Z 
 
 
 
 
A B C D E 
F G H I J K 
L M N O P 
Q R S T U V 
W X Y Z 
 
 
Como no jogo anterior a primeira folha apresentada acima deve ser impressa (vide o CD-R 
que acompanha o livro) e a seguir plastificada. A segunda folha também deve ser impressa e cada 
uma das 4 reproduções deve ser distribuída uma para cada jogador para que tracem eixos de 
simetria.. 
6.3.3.- Jogo Para o Pensamento Geométrico – Simetrias 3 
Tente ler as duas frases a seguir. Não conseguiu? Então faça a leitura delas através de um 
espelho: aproxime este página de um espelho e leia. 
 
Sabe-se que Leonardo da Vinci tomava nota de suas idéias usando este tipo de escrita. Você 
seria capaz de escrever a frase: “OI TUDO BEM COM VOCÊ?”, para em seguida conferi-la através 
de um espelho? 
 
OI, TUDO BEM COM VOCÊ? 
 
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 60 
JGEOM#07 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 07 
Um Tabuleiro, Peças Coloridas e Simetrias 
Propomos aqui, trabalhar com pequenas fichas 
circulares de plástico e dois tipos de tabuleiro. O 
objetivo dos jogos é o de alocá-las sobre os tabuleiros 
formando disposições simétrica ou assimétrica. A 
quantidade de fichas a serem alocadas é obtida através 
do lançamento de um ou dois dados hexagonais, de 
acordo com otamanho dos tabuleiros: com 3 × 3 ou 
com 4 × 4 quadrículas. 
7.1.- As Peças Básicas do Jogo 
O material básico tabuleiro de 3 × 3 quadrículas, peças circulares de plástico que caibam nas 
quadrículas e um ‘espelho’ feito com fita adesiva ‘silver’ (fita metalizada) colada sobre papel 
cartonado. Alternativamente pode-se adotar ainda um tabuleiro com 4 × 4 quadrículas para jogos 
mais complexos. 
 
 
 
 
O jogo básico com estes tabuleiros consiste em se tentar distribuir peças circulares num 
tabuleiro e encontrar os eixos de simetria, que podem ser apenas um ou no máximo quatro. Há 
casos em que o jogo consiste da criação de disposições de ficha que não apresentem nenhum eixo 
de simetria. 
7.2.- Distribuição das Peças Coloridas e os Eixos de Simetria 
 Existem três formas de distribuição de peças em um tabuleiro: 
 
(a) Preenchimento parcial com peças de uma mesma cor; 
(b) Preenchimento parcial com peças de cores distintas; 
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 61 
7.2.1.- Preenchimento Parcial com Peças de uma Mesma Cor 
A seguir iremos dar alguns exemplos de preenchimento parcial de um tabuleiro com peças 
de uma única cor. 
As seguintes disposições de peças sobre o tabuleiro se constituem em simetrias com um, 
dois ou até três eixos de simetria. O primeiro tabuleiro possui apenas 1 eixo de simetria, o segundo 
tem apenas 2 eixos e o terceiro tem 4 eixos de simetria. Recomenda-se utilizar o ‘espelho’ de 
‘silver’12 para conferir as simetrias. 
 
 
 
7.2.1.1.- Um Jogo Para o Pensamento 
Um jogo para o Pensamento que propomos aqui é o seguinte: Nos tabuleiros 3 × 3 abaixo, 
distribuir peças de uma mesma cor de forma que a disposição das mesmas peças tenha 
sucessivamente 1, 2 e 4 eixos de simetria: 
 
 
 
 
 
 
 
12 Vide o JGEOM#06 como fazer o espelho de silver com base numa cartolina ou papel cartão. 
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7.2.2.- Preenchimento Parcial com Peças de Cores Distintas 
A simetria, quando se utilizam cores distintas deve ser verificada também com relação às 
cores. Veja que no primeiro caso das figuras mostradas a seguir, quando usando somente fichas 
vermelhas teremos 4 eixos de simetria, enquanto ao utilizarmos duas cores distintas, os eixos 
passarão a ser apenas 2, ou tão somente 1. 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir iremos mostrar mais um caso em que a mudança de cor de uma das peças afeta as 
possibilidades de se traçar eixos de simetria no tabuleiro. 
 
 
 
7.2.2.1.- Mais um Jogo Para o Pensamento 
Nos tabuleiros 3 × 3 abaixo, distribuir peças de duas cores distintas de forma que a 
disposição das mesmas peças tenha sucessivamente 1, 2 e 4 eixos de simetria: 
 
 
 
 
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7.3.- Um Primeiro Jogo Para o Pensamento 
Este é um jogo é um jogo para dois jogadores em que se deve utilizar o tabuleiro com 3 × 3 
quadrículas e um dado hexagonal. 
7.3.1.- As Regras do Jogo 
1. As fichas dos jogadores devem ser de cores distintas; 
2. Dever-se combinar com antecedência a quantidades de rodadas que haverá no jogo; 
3. O primeiro jogador deve lançar um dado hexagonal; 
4. O valor obtido corresponderá à quantidade de fichas que deverão ser alocadas no tabuleiro; 
5. O jogador deve alocar as suas fichas de forma que haja pelo menos um eixo de simetria na 
disposição das fichas; 
6. A quantidade de eixos simétricos obtidos deve ser contada, correspondendo cada eixo a um 
ponto a ser anotado para aquele jogador; 
7. O jogador adversário deve conferir os eixos de simetria usando o espelho de ‘silver’; 
8. Anotados os pontos do primeiro jogador, o segundo jogador deverá lançar o dado e dar 
continuidade ao jogo; 
9. O jogo termina quando a última rodada combinada terminar (vide acima: a regra 2); 
10. Vence o jogador que fez mais pontos. 
7.3.2.- Observações 
• Quando o número obtido no lançamento do dado for ímpar, acabará ficando claro para os 
jogadores que, uma das fichas deverá ser colocada na quadrícula central do tabuleiro, sob 
pena de não se conseguir 4 eixos de simetria. 
• Pode-se combinar ainda que o jogo envolva fichas de duas cores distintas para cada um dos 
jogadores, sendo que quando o número obtido no dado for par, deve-se adotar a metade das 
fichas com uma cor e a outra metade com a outra cor; se a quantidade obtida no dado for 
ímpar, uma das cores, indiferentemente, deve possuir uma ficha a mais. 
• No caso de jogos envolvendo duas cores de fichas, a simetria deve se dar também com 
relação às cores. 
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7.4.- Um Segundo Jogo Para o Pensamento 
Este é um outro jogo para dois jogadores em que se deve utilizar o tabuleiro com 4 × 4 
quadrículas e dois dados hexagonais. As regras do jogo são praticamente iguais à do jogo anterior, 
sendo que os valores relativos às quantidades de fichas será o obtido no lançamento de dois dados 
hexagonais. 
7.4.1.- As Regras do Jogo 
1. As fichas dos jogadores devem ser de cores distintas; 
2. Dever-se combinar com antecedência a quantidades de rodadas que haverá no jogo; 
3. O primeiro jogador deve lançar dois dados hexagonais; 
4. O valor obtido corresponderá à quantidade de fichas que deverão ser alocadas no tabuleiro; 
5. O jogador deve alocar as suas fichas de forma que haja pelo menos um eixo de simetria na 
disposição das fichas; 
6. A quantidade de eixos simétricos obtidos deve ser contada, correspondendo cada eixo a um 
ponto a ser anotado para aquele jogador; 
7. O jogador adversário deve conferir os eixos de simetria usando o espelho de ‘silver’; 
8. Anotados os pontos do primeiro jogador, o segundo jogador deverá lançar o dado e dar 
continuidade ao jogo; 
9. O jogo termina quando a última rodada combinada terminar (vide acima: a regra 2); 
10. Vence o jogador que fez mais pontos. 
7.3.2.- Observações 
• Se o número obtido no lançamento dos dados for ímpar, será praticamente impossível obter-
se 4 eixos de simetria pois este tabuleiro não possui uma quadrícula central. 
• Pode-se combinar ainda que o jogo envolva fichas de duas cores distintas para cada um dos 
jogadores, sendo que quando o número obtido no dado for par, deve-se adotar a metade das 
fichas com uma cor e a outra metade com a outra cor; se a quantidade obtida no dado for 
ímpar, uma das cores, indiferentemente, deve possuir uma ficha a mais. 
• Os jogadores podem ainda combinar que, no caso da obtenção de um valor ímpar no 
lançamento dos dados, deve-se adotar o primeiro número par uma unidade menor que o 
valor obtido. 
• No caso de jogos envolvendo duas cores de fichas, a simetria deve se dar também com 
relação às cores. 
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JGEOM#08 – JOGOS PARA O PENSAMENTO GEOMÉTRICO Nº 08 
Cartões Conceituais Geométricos 
Os cartões que serão a seguir apresentados são baseados em 
conceitos pertencentes à geometria. Estes cartões diferem dos 
cartões destinados à ‘formação de conceitos’ e daqueles 
destinados à ‘descoberta de conceitos’ através de jogos 
indutivos. Os cartões Conceitos-Geométricos se destinam à 
formação de grupos de cartões cujas instâncias sejam 
equivalentes, ou seja, eles permitem a elaboração de 
agrupamentos de cartões baseados em atributos não idênticos, 
mas apenas logicamente equivalentes. 
8.1.- Escolhendo 30 Cartões Entre os 180 Possíveis 
O conjunto de Cartões com Conceitos Geométricos difere dos cartões destinados à 
‘formação de conceitos’ estudados no livro “40 Jogos Para o Pensamento Lógico”, tais como: os de 
Heidbreder (JLOGC#35) e daqueles destinados à ‘descoberta de conceitos’ através de Jogos 
Indutivos, bem como os cartões de Bruner, Goodnow e Austin (JLOG#36) e os cartões Quantidade-
Posição-Cores (JLOGC#37). Os com Cartões Conceitos Geométricos se destinam à formação de 
grupos