Limites e Continuidade

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Uma função f é contínua em um número x0 se
)()(lim 0
0
xfxf
xx


Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a) b) c)
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
 ba,
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
Propriedades
 P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
a “a”, é igual a “a”.
3,0lim
3,0


x
x
3lim
3


x
x
ax
ax


lim
Exemplos:
3
5
5lim
3


x
x




x
x
lim
ex
ex


lim
Operação com limites
 P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
tende a “a”, é igual a própria constante:
KK
ax


lim
Operação com limites
44lim
3

x
Exemplos:
33 55lim 
x
 
2
lim
x
ee
x

 2
lim
 P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

1552.325limlim3lim
5lim3limlim)53(lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2




xxx
xxxx
xx
xxxx
Exemplo:
Operação com limites
 P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2




xx
xxxx
xx
xxx
Exemplo:
Operação com limites
 P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
  )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 

93.3lim.lim.lim)(lim
333
2
3


xxxxx
xxxx
Operação com limites
Exemplo:
 P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









10
1
727
53
)7(lim
)5(lim
7
5
lim
3
3
3
33

















 x
x
x
x
x
x
x
Operação com limites
Exemplo:
 P7 - O limite da potência de uma função (f(x))
n, onde n é um
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
função (caso exista):
n
ax
n
ax
xfxf ))(lim())((lim


813))2(lim()2(lim 443
1
43
1


xxxx
xx
Operação com limites
Exemplo:
 P8 - O limite da raiz de uma função , é a raiz do
limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
a zero:
n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim


n xf )(
51)2(4)2()14(lim14lim 44
2
4
2


xxxx
xx
Operação com limites
Exemplo:
Cálculo 1 - Limites
Resumindo:
Propriedades dos Limites
 Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
eLxf
ax


)(lim ,)(lim Mxg
ax


 Regra da soma(subtração):
 Regra do Produto:
 Regra da multiplicação por escalar:
 Regra do quociente:
MLxgxfxgxf
axaxax


)(lim)(lim)()(lim
MLxgxfxgxf
axaxax
.)(lim).(lim)().(lim 

Lcxfcxfc
axax
.)(lim.)(.lim 

M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 )(lim
)(lim
)(
)(
lim
 Regra da potência:
 Regra da raíz
se é impar.
nn
ax
n
ax
Lxfxf 

))(lim()(lim
n
n
ax
n
ax
Lxfxf 

)(lim)(lim
nLxf
ax
,0)(lim 

 Regra do logaritmo:
 Regra do seno (o mesmo para o cosseno)
 Regra da exponencial:
0)(limlog
))(lim(log))((loglim




xfseL
xfxf
ax
c
ax
cc
ax
Lxfxf
axax
sen))(limsen()(senlim 

L
xf
xf
ax
ccc ax  

)(lim
)(lim
Cálculo 1 - Limites
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
)()(lim cPxP
cx


Limite de uma função polinomial
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se
0
1
1 ...)( axaxaxP
n
n
n
n 


então 0
1
1 ...)()( lim acacacPxP
n
n
n
n
cx
 

Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
243 lim
245
245
2 x





xxxx
Cálculo 1 - Limites
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do
denominador não seja zero:
Se e são polinômios e , 
então
)(xP )(xQ 0)( cQ
)(
)(
)(
)(
lim
cQ
cP
xQ
xP
cx


Cálculo 1 - Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
0
6
0
5)1(
3)1(4)1(
5
34
lim
2
23
2
23
1






 x
xx
x
Cálculo 1 - Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
0
0
 
2
2
2
1
lim 

 xx
xx
x
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um
denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também
é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em
comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma
fração mais simples, com os mesmos valores da original para x  1:
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(2
2
2 






Se x  1
Cálculo 1 - Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores
quando x  1 por substituição:
)1(
)1)(2(2
limlim
1
2
2
1 




 xx
xx
xx
xx
xx
3
1
212
lim
1




 x
x
x
Cálculo 1 - Limites




 )22(
22
lim 
0 hh
h
h
22
1
202
1



h
h
h
22
lim
0


  
 22
22.22
lim
0 


 hh
hh
h
)22(
lim
0 

 hh
h
h
22
1
lim
0 

 hh
Calcule
Cálculo 1 - Limites
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a facilitar o
entendimento dos exercícios mais complexos que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
x + ∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5
x 4
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7
x 4
Cálculo 1 - Limites
3
6
R: -3
R: 0
R: 
4
31
1
1x
x
Lim
x


i) 
3
1
1
1x
x
Lim
x


j) R: 2/3 
3
21
3 2
1x
x x
Lim
x
 

g) 
0
3 3
x
x
Lim
x
 
h) 
R: 4/3
f) 
1
452
1 

 x
xx
Lim
x
Cálculo 1 - Limites
Se f, g e h são funções que estão definidas em algum
intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no
próprio x0, f(x)  g(x)  h(x), para todo x em I, tal que x  x0 e
então Lxhxf
xxxx


)(lim)(lim
00
Lxg
xx


)(lim
0
Teorema do confronto
Cálculo 1 - Limites
Ilustração do uso do teorema do confronto
2
x 0
1
lim x sen 0
x

Cálculo 1 - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o
valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na
expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem
sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se
faz a substituição direta de x por seu valor de tendência
e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0).
Veja os casos nos slides seguintes.
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais 
 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e
denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de
tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador
quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a).
Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a.
422)2(lim
2
)2)(2(
lim
2
4
lim
0
0
22
42
2
4
lim
22
2
2
22
2














x
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
Indeterminação
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais 
 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na
substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O
limite existirá somente se os limites laterais forem iguais.
.
2
1
lim..........
2
1
lim
0
1
22
1
2
1
lim
22
2








 

x
e
x
x
xx
x
Portanto o limite não existe
Indeterminação
Cálculo 1 - Limites
Regras adicionais 
 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma
função racional, os limites destas funções, quando x tende
para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior
ordem, veja os exemplos abaixo.






222
22
323
).(5)5(lim)125(lim
).(22lim
2
lim
2
352
lim
xxx
x
x
x
x
xxx
xx
xxx1o exemplo (função racional):
2o exemplo (função polinomial):
 Expressões indeterminadas
Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já 
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
3
27
lim
3
3 

 x
x
x
0
0
33
273
3
27
lim
33
3






 x
x
x
Cálculo 1 - Limites
Cálculo 1 - Limites
 Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
Cálculo 1 - Limites
 Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando
nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
 Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar
a este valor?
27
3
27
lim
3
3



 x
x
x
Cálculo 1 - Limites
 Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!
 Neste exemplo, 
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
Basta então calcular:
)93)(3(27 23  xxxx
93
)3(
)93)(3(
)( 2
2



 xx
x
xxx
xf
27)93(lim 2
3


xx
x
Cálculo 1 - Limites
 Produtos Notáveis!!!
 Diferença de quadrados
 Exemplos:
)).((22 bababa 
2222 ..)).(( bababbaababa 
)4).(4(162  xxx
)3).(3(9 22 ayayay 
)94).(32).(32()94).(94(8116 2  xxxxxx
Cálculo 1 - Limites
 Trinômio quadrado perfeito
 Exemplos:
2)2(22244  aaaaa
23232336 )34(33).4(2)4(92416  yyyyy
22222 2)).(()( bababbaababababa 
22222 2)).(()( bababbaababababa 
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença 
de quadrados a2 - b2.
Cálculo 1 - Limites
 Soma e Diferença de Cubos
 Exemplos:
)).(( 2233 babababa 
)42).(2()22.).(2(8 2223  xxxxxxx
)252016).(54(5)4(12564 2333  aaaaa
)).(( 2233 babababa 
Cálculo 1 - Limites
 Cubo perfeito
 Exemplos:
32233 33)( babbaaba 
3322323 )2(22.32.38126  xxxxxxx
3322332 )3(.3.3.3.3392727 aaaaaaa 
32233 33)( babbaaba 
Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;
Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.
Cálculo 1 - Limites
 Infinito e Limite (Sutil e profundo)
 O conceito de limite está intimamente atrelado ao
conceito de infinito. Trata-se de um dos conceitos mais
fecundos da matemática e o principal para o
desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral.
 Ele primeiro surgiu sob a forma de processos
convergentes ilimitados.
 O primeiro testemunho literário encontra-se nos
paradoxos de Zenão de Eléa, matemático e discípulo de
Parmênides.
Cálculo 1 - Limites
 O Paradoxo da Dicotomia
 O argumento desse paradoxo consiste basicamente na
idéia de que aquilo que se move tem que chegar na
metade de seu percurso antes de chegar ao fim.
 O raciocínio é o seguinte: antes de percorrer todo o
percurso, o objeto que se move deve percorrer metade
do percurso. Antes de percorrer a metade que falta,
deve percorrer a metade deste, ou seja, a metade da
metade (um quarto do percurso inicial), e assim
sucessivamente, o objeto deverá percorrer um conjunto
infinito de intervalos.
M1 M2 M3
2
1
4
1
8
1 ...
Cálculo 1 - Limites
 O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
 O paradoxo de Aquiles e a Tartaruga possui o mesmo
argumento que o paradoxo da dicotomia, porém em vez
de um objeto, temos dois objetos em movimento com
velocidades diferentes.
 Ele é assim enunciado: Numa corrida entre Aquiles e a
Tartaruga em que a Tartaruga sai com uma certa
vantagem, mesmo sendo mais lenta que Aquiles, este
jamais a alcança; pois aquele que persegue tem primeiro
de chegar ao ponto de onde a fuga do mais lento
começou, e o mais lento tem necessariamente de já
estar a alguma distância à frente.
Cálculo 1 - Limites
...
100
1
10
1
110100 
 O Paradoxo de Aquiles e a Tartaruga
 Suponha que Aquiles é 10 vezes mais rápido que a Tartaruga
e que esta parte com uma vantagem de 1000 m. Quando
Aquiles percorre os 1000 m, a Tartaruga já está 100 m a sua
frente. Aquiles percorre os 100 m que o separa da Tartaruga,
mas, nesse tempo, a Tartaruga já percorreu 10 m, mantendo a
vantagem. Aquiles percorre os 10 m, mas, nesse tempo, a
Tartaruga está 1 m a sua frente e assim sucessivamente. Isto
quer dizer que Aquiles nunca alcança a Tartaruga?
Cálculo 1 - Limites
 Infinito e Limite
 Considere que o intervalo AB do primeiro paradoxo é igual a
1. O ponto M1 divide o intervalo ao meio, portanto a primeira
metade equivale a ½. O segundo ponto, M2, divide a metade
restante ao meio, portanto equivale a ¼ do comprimento
original. Logo, o intervalo pode ser expresso como uma
soma de intervalos que cresce ilimitadamente por partes que
sempre são menores que a imediatamente anterior:
 O paradoxo está no fato de a série não crescer até ao
infinito, pois a sua soma sempre permanece menor que 1,
por mais intervalos que por ventura viermos a adicionar.
1...
16
1
8
1
4
1
2
1

Cálculo 1 - Limites
Zenão de Eléa
(*501 - † 425 a. C.)
Bertrand Russell
*18/05/1872 – †02/02/1970 
Cálculo 1 - Limites
 Conceito intuitivo de Limite
 Vamos supor que temos que preencher um quadrado de 
lado L, hachurando sempre a metade da área restante:
Cálculo 1 - Limites
 Conceito intuitivo de Limite
 A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela 
que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites
 Conceito intuitivo de Limite
 A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela 
que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites
 Conceito intuitivo de Limite
 A próxima área a ser hachurada seria a metade daquela 
que restou, portanto:
Cálculo 1 - Limites
 A solução dos paradoxos
 A solução dos paradoxos têm a ver com o conceito de limite 
e convergência de séries numéricas.
 Para o pensamento ingênuo da Antiguidade, o entendimento 
puramente quantitativo segundo o qual quando alguma 
coisa sempre aumenta acabará por ultrapassar todos os 
limites é que conduz ao erro.
 O erro está em supor, intuitivamente, que a soma de infinitos 
intervalos deve ser necessariamente infinita.
 Tanto no caso do paradoxo da dicotomia quanto no de 
Aquiles a soma da série tende a convergir para um valor 
finito. É nesse ponto que Aquiles encontra a Tartaruga!
Cálculo 1 - Limites
 Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
Considere, por exemplo, a função 
 Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se
aproximar cada vez mais de 0.
x
xf
1
)( 
0
1
lim 
 xx
Cálculo 1 - Limites
 Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não
podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de
cálculo algébrico.
 Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas:
b + (+  ) = + 
b + ( -  ) = - 
(+  ) + (+  ) = + 
(-  ) + (-  ) = - 
(+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo  - ,
é dito um símbolo de indeterminação.
(+  ) . (+  ) = + 
(+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente.
É uma indeterminação.
 /  = nada se pode afirmar inicialmente.
É uma indeterminação.
Cálculo 1 - Limites
 No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a
expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor
do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas
algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:
 - 
 . 0
 / 
0
0  0
1
1-
Cálculo 1 - Limites
 Exemplo:
Calcule o limite, se existir, de:
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, 
teria uma indeterminação do tipo
14
13
lim


 x
x
x


Cálculo 1 - Limites
Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o 
denominador por x:
 Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito,
o raciocínio é análogo.
4
3
04
03
1
lim4lim
1
lim3lim
)
1
4(lim
)
1
3(lim
1
4
1
3
lim
14
13
lim 






























x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx