REVISÃO 2

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VARIAVEL ALEATÓRIA DISCRETA:
Uma variável aleatória X é dita discreta se o seu conjunto de valores X(S) é finito ou então infinito contável ou enumerável. 
CALCULO DA PROBABILIDADE OCORRE POR MEIO DA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
Exemplo: Seja S o espaço amostral formado pelas seqüências obtidas no lançamento de 3 moedas equilibradas. Seja X a variável aleatória definida como sendo o número de caras da seqüência. Assim: 
S = { ccc, cck, ckc, kcc, kkk, kck, kkc, ckk }
X = número de caras, ou seja, { 0, 1, 2, 3 }
	X
	0
	1
	2
	3
	P(X)
	1/8
	3/8
	3/8
	1/8
 ESPERANÇA:
µ = E(X) = Σ xi * p(xi) 
E(X) = 0*1/8 + 1*3/8+ 2*3/8 + 3*1/8
E(X) = 1,5 cara
VARIANCIA:
σ² = V(X) = Σ p(xi)*(xi - µ)²
OU
σ² = V(X) = E(X²) - [E(X)]²
E(X²) = 1/8*0² + 3/8*1² + 3/8*2² + 1/8*3² 
E(X²) = 3
V(X) = 3 – 1,5²
V(X) = 0,75
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO: 
BERNOULLI:
P(X=x) = px * q1 – x
E(X) = p
VAR(X) = p*q
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o número de bolas verdes, determinar P(X), E(X) e VAR(X).
 X = número de bolas verdes
 P(X=1) = 20/50 
 P(X=0) = 30/50 
 P(X=1) = 20/501 * 30/50 1 – 1
 P(X=1) = 20/50 
 E(X) = 20/50
 VAR(X) = 20/50 * 30/50
 VAR(X) = 600/2500 
BINOMIAL:
E(X) = n*p
VAR(X) = n* p*q
Exemplo: Uma urna tem 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta novamente na urna. O experimento é repetido cinco vezes. Qual é a probabilidade de observarmos 3 bolas vermelhas?
POISSON:
E(X) = λ
VAR(X) = λ
Exemplo: Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem defeitos a uma taxa de 1 a cada 2000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 metros de fita magnética: Não tenha defeitos? Tenha no máximo dois defeitos? Tenha pelo menos dois defeitos? 
GEOMÉTRICO:
P(X=x) = qx-1 * p
E(X) = 1/p
VAR(X) = q/p²
Exemplo: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é de 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar sinal aberto pela primeira vez?
p=0,20 P(X=x) = qx-1 * p
q = 0,80 P(X=5) = 0,804 *0,20
X=5 P(X=5) = 0,08192 ou 8,19%
PASCAL:
Exemplo: A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é de 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontra-lo aberto pela quarta vez. 
VARIAVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA:
Se o conjunto de valores for infinito não enumerável então a variável é dita contínua, isto é X(S) vai estar em um intervalo de números reais. 
CALCULO DA PROBABILIDADE OCORRE POR MEIO DA INTEGRALIZAÇÃO DE UMA FUNÇÃO:
Exemplo: Dada a função f(x) = x3/4 para o intervalo [0,2]. Calcule a probabilidade P(0<X<0,6). 
Integral da f(x): x4/16
P(0<X<0,6)
P(x2) – P(x1)
0,64/16 – 04/16
P = 0,0081
ESPERANÇA:
E(X) = x*f(x)
E(X) = X*X³/4
E(X) = X4/4
Integral : X5 /20
E(b) – E(a)
25/20 – 05/20
E(X) = 1.6
VARIANCIA: 
σ² = V(X) = E(X²) - [E(X)]²
E(X²) = X²*fx
E(x²) = x²*x³/4
E(X²) = X5/4
Integral: x6 /24
E(X²) = E(b) – E(a)
E(x²) = 26/24 – 06/24
E(x²) = 2,66
VAR(X) = 2,66 – 1,6²
VAR (X) = 0,1
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO:
UNIFORME:
P(X)= [x – a/ b – a]
E(X)= b+a/2
VAR(X) = (b – a)² / 12
a) Exemplo: O tempo requerido para completar uma operação de montagem segue um intervalo de 30 a 40 minutos. Determine a probabilidade de uma montagem requerer de 34 a 36 min para ser completada.
P(34<X<36)
F(x2) – F(x1)
[x – a/ b – a] - [x – a/ b – a]
[36 – 30/40-30] – [34 – 30/40-30]
0,6 – 0,2 = 0,40 ou 40%
EXPONENCIAL:
P(X) = [ e –λ*a - e –λ*b]
E(X) = 1 / λ
VAR (X) = 1 / λ²
Exemplo: Em um estabelecimento comercial o tempo de espera entre duas pessoas, pode ser representado por uma taxa de 1/24 mim. Determine a probabilidade do tempo de espera estar entre 0 a 27 min.
P(0<X<27)
[ e –λ*a - e –λ*b]
[ e –1/24*0 - e –1/24*27] 
[ e0 - e –1,125]
[ 1 – 0,3246]
0,6754
NORMAL:
Z = X - µ/ DP
Exemplo: P(100<X<106)
Z = X - µ/ DP
Z = 100 – 100 / 5 = 0
Z = 106 – 100 / 5 = 1,2
P(100<X<106) = 0,3849