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Topografia Unidade I- Unidades de medidas e escalas Prof.: Luana Leal Fernandes Araújo luana.leal@estacio.br 1 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Sumário da aula Medidas de comprimento Medida angular Escalas Revisão trigonometria plana Exercício de fixação 2 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas lineares 3 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Em Topografia, são medidas duas espécies de grandezas, as lineares e as angulares, mas, na verdade, outras duas espécies de grandezas são também trabalhadas, as de superfície e as de volume. O sistema de unidades utilizado no Brasil é o Métrico Decimal, porém, em função dos equipamentos e da bibliografia utilizada, na sua grande maioria importada, algumas unidades relacionadas abaixo apresentarão seus valores correspondentes no sistema Americano, ou seja, em Pés/Polegadas. 4 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra. Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s. O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional (SI). 5 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento 6 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Tabelas de conversão 7 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Tabelas de conversão polegada = 2,75 cm = 0,0275 m polegada inglesa = 2,54 cm = 0,0254 m pé = 30,48cm = 0,3048 m jarda = 91,44cm = 0,9144m milha brasileira = 2200 m milha terrestre/inglesa = 1609,31 m 8 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Tabelas de conversão 9 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Tabelas de conversão 10 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Tabelas de conversão 11 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Tabelas de conversão 12 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medidas de comprimento Exemplo: 1.Tem-se para a medida da distância horizontal entre dois pontos o valor de 1.290,9078 polegadas. Qual seria o valor desta mesma medida em quilômetros? Se 1 polegada = 0,0275m 1.290,9078 * 0,0275 = 35,50 m 35,50m /1000 = 0,035km 13 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medida angular 14 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medida angular Radiano Um radiano é o ângulo central que subentende um arco de circunferência de comprimento igual ao raio da mesma. É uma unidade suplementar do SI para ângulos planos. 2πR — 360º arco = R = raio 15 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medida angular UNIDADE SEXAGESIMAL Grau 1 grau = 1/360 da circunferência grau ° 1° = (π /180) rad minuto ’ 1’ = 1°/60= (π/10800) rad segundos ” 1” = 1°/3600= (π/648000) rad 16 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Medida angular UNIDADE DECIMAL Grado 1 grado =1/400 da circunferência Um grado é dividido em 100’ e cada minuto tem 100”. 17 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Exemplo 1.Determine o valor em grados centesimais (centésimos e milésimos de grado) e em radianos para o ângulo de 15717'30,65". 18 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Exemplo Soma e subtração de ângulos 234° 35’ 38” 145° 42’ 29” 20 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Exemplo Soma e subtração de ângulos 80° 48’ 30” 70° 58’ 55” 21 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Revisão trigonometria plana 22 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Revisão de trigonometria plana RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. A partir da figura 2.2 podem ser estabelecidas as seguintes relações: *Teorema de pitágoras a² = b² + c² 23 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Exemplo No triângulo abaixo, determinar as relações solicitadas. 24 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Revisão de trigonometria plana LEI DOS SENOS “Num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro da circunferência circunscrita”. 25 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Revisão de trigonometria plana LEI DOS COSSENOS “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”. a² = b² + c² – 2.b.c. cos A 26 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Exemplo Um observador na margem de um rio vê o topo de uma torre na outra margem segundo um ângulo de 56º 00’00”. Afastando-se de 20,00 m, o mesmo observador vê a mesma torre segundo um ângulo de 35º 00’00”. Calcule a largura do rio. 27 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas 28 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas Segundo ESPARTEL (1987) o desenho topográfico nada mais é do que a projeção de todas as medidas obtidas no terreno sobre o plano do papel. Neste desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza (VG) e as distâncias são reduzidas segundo uma razão constante. A esta razão constante denomina-se ESCALA. 29 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas E= 1 𝑀 = 𝑙 𝐿 • "L" representa qualquer comprimento linear real, medido sobre o terreno. • "l" representa um comprimento linear gráfico qualquer, medido sobre o papel, e que correspondente ao comprimento medido sobre o terreno. • "M" é denominado Título ou Módulo da escala e representa o inverso de (l /L). 30 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas A escala pode ser apresentada sob a forma de: • • fração : 1/100, 1/2000 etc. ou • • proporção : 1:100, 1:2000 etc. Podemos dizer ainda que a escala é: • • de ampliação : quando l > L (Ex.: 2:1) • • natural : quando l = L (Ex.: 1:1) • • de redução : quando l < L (Ex.: 1:50) 31 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas Ainda segundo DOMINGUES (1979) a escala gráfica fornece, rapidamente e sem cálculos, o valor real das medidas executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação sofrida por este. Exemplo: • Supondo que a escala de uma planta seja 1:100 e que o intervalo de representação seja de 1m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto: A figura a seguir mostra outros tipos de representação da escala gráfica. 32 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas Principais escalas e suas aplicações 33 Aplicação Escala Detalhes de terrenos urbanos 1:50 Planta de pequenos lotes e edifícios 1:100 e 1:200 Planta de arruamentos e loteamentos urbanos 1:500 1:1.000 Planta de propriedades rurais 1:1.000 1:2.000 1:5.000 Planta cadastral de cidades e grandes propriedades rurais ou industriais 1:5.000 1:10.000 1:25.000 Cartas de municípios1:50.000 1:100.000 Mapas de estados, países, continentes etc. 1:200.000 a 1:10.000.000 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas Escala 1:100 (um para cem), significa que cada 100 unidades reais serão representados no papel por uma unidade, ou seja 100 cm reais será representado por 1 cm. Para sabermos com que valor se representa uma medida no desenho, basta dividi-la pela escala. Representar no desenho, o comprimento de 324 m em escala 1:500: d = 324 m / 500 = 0,648 m, ou seja, 64,8cm. 34 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas ESCALA MENOR 1:10.000.000 1 10.000.000 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 Maior denominador Menor riqueza de detalhes 35 ESCALA MAIOR 1:100.000 1 10.000 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 Menor denominador Maior riqueza de detalhes Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas De modo geral: Do real para o papel divide-se pela escala. Do papel para o real multiplica-se pela escala. Fórmulas: Escala = Medida Real / Medida Planta Medida Real = Escala * Medida da planta Medida da planta = Medida Real / Escala 36 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Escalas Exemplo: Medindo-se uma figura retangular sobre uma planta em escala 1:200, obtiveram-se lados de 12 e 5cm. Qual a superficie do terreno que o retângulo representa? 37 Materiais de construção civil: análise de qualidade e uso em obras Exercício de fixação 38
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