Respostas - Lista de exercício (Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidades)

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Resoluções
Silvio Henrique M. Gomes
silviogomes@usp.br
Vamos então construir o seguinte quadro:
xi P(X = xi) ou P(xi) xiP(xi) xi²P(xi)
0 1/2 0*1/2 = 0 0² * ½ = 0
1 1/3 1*1/3 = 1/3 1² * 1/3 = 1/3
2 1/6 2*1/6 = 2/6 2²*1/6 = 2/3
TOTAL 2/3 1
A primeira coluna são os valores de xi, a segunda coluna a probabilidade de X assumir um valor de xi.
As duas últimas são colunas para cálculo da esperança e variância respectivamente.
Sabemos que a esperança de X é calculada a partir de:
E(X) = ∑ x i P( xi)
E(X) = 2/3 ou 0,6667
E a variância de X:
var(X) = E( X2)−[ E(X )]2
var(X) = 1 – [2/3]²
var(X) = 1 – 4/9
var(X) = 1-4/9 = 5/9 ou 0,555
Aqui temos uma plantação de eucalipto com 30% de probabilidade de ser atacada por formigas. Ou
seja, nosso parâmetro da binomial é π=0,30, portanto nosso complemento é 1- π = 0,70. Nosso n, neste
caso, será 10 (n=10). 
Vamos então resolver o item a):
Para que X possa ser estudada como uma variável aleatória binomial, ela deverá seguir os seguintes
pressupostos:
P(x i)≥0 e ∑i P(xi)=1
Portanto, para observar se a família binomial satisfaz esses pressupostos devemos calcular as possíveis
combinações do nosso espaço amostral:
Assim temos nossa função de probabilidade da família binomial:
P(X=x)=(nx)π
x
(1−π)n−x
Para nosso exemplo ela será atribuida da seguinte maneira:
P(x)=(10x )0,30
x
(1−0,30)10−x para x=0, 1,2, …, 10
Assim:
P(x)=(100 )0,30
0
(1−0,30)10−0=
10!
0!10−0 !
0,300(1−0,30)10−0=0,02825
Faremos para todos os valores de x e preencheremos o quadro com as probabilidades de X=x:
xi P(X=xi) ou P(x)
0 0,02825
1 0,12106
2 0,23347
3 0,26683
4 0,20012
5 0,10292
6 0,03676
7 0,00900
8 0,00145
9 0,00014
10 0,000006
∑ 1
Como os resultados atendem os pressupostos relatados anteriormente, a variável número de árvores
atacadas por formigas pode ser estudada como uma variável aleatória binomial.
b) X~B(n=10, π=0,3) ; P(X=x)=(10x )0,30
x
(1−0,30)10−x para x=0, 1,2, …, 10
Observe que a função f(x) assume valores zero quando: x<0 e x>1. Ou seja, estamos restringindo como
regra da função o nosso domínio.
Pela estrutura básica da função temos: y=f(x). Ou seja, f: A → B, dados dois conjuntos A e B.
O conjunto A é conhecido como domínio. Esse nome é escolhido para esse conjunto devido ao papel
dos seus elementos na função. Lembre-se de que o conjunto A é que determina a variável independente.
Portanto, os elementos do conjunto A possuem o “domínio” sobre os resultados da função, uma vez que
os resultados de y obtidos dependem do valor x escolhido. Mas, qual seria a nossa função?
Nesse caso nossa função é f(x) = kx², caso a regra 0≤x≤1 seja atendida. Ou seja, y=f(x) será y=kx².
Como estamos falando de uma variável aleatória contínua, vamos então às propriedades das funções de
distribuições dessa magnitude (também chamadas de funções de densidade contínuas):
Nos modelos contínuos, as funções de distribuição são funções monotônicas contínuas com
contradomínio no intervalo [0,1], logo as funções de densidade derivadas delas têm duas propriedades:
i) f (x)≥0
ii) ∫
−∞
+∞
f (x)dx=1 , se o contradomínio de F(x) é o intervalo [0,1], a integral de sua derivada em
todo o domínio será necessariamente unitária.
Agora podemos responder:
a) Determine k de modo que a função f(x) seja um função de densidade de probabilidade.
Atribuindo-se a segunda propriedade e f(x) = kx² teremos:
∫
−∞
+∞
f (x)dx=1
como k é uma constante podemos isolar o termo da integral definida:
∫
0
1
k x ² dx=1⇒k [ x
3
3 ]0
1
=k [1
3
3
−
03
3 ]⇒ k 13=1
Assim,
k=3∗1→3
b) faça o gráfico de f(x):
c) Calcule P(0,5 < x ≤ 1)
Observe o gráfico abaixo:
Agora restringimos a área a ser calculada, sendo k=3 teremos
∫
0,5
1
k x ² dx⇒ k [ x
3
3 ]0,5
1
=3 [1
3
3
−
0,53
3 ]=3[ 13−0,1253 ]⇒ 2124 =0,875
d) calcule a média e a variância de X
# valor médio ou esperança
μX=E(X) = ∫
−∞
+∞
x f (x)dx
E(X) = ∫
0
1
x kx2dx=∫
0
1
kx3 dx⇒ k [ x
4
4 ]0
1
=3[1
4
4
−
04
4 ]=3 [14 ]=34 ou 0,75
# cálculo da variância
E(X²) = ∫
−∞
+∞
x2 f (x)dx
E(X²) = ∫
0
1
x2 kx2dx=∫
0
1
kx4 dx⇒ k [ x
5
5 ]0
1
=3[1
5
5
−
05
5 ]=3 [15 ]=35 ou 0,6
Portanto, para calcular a variância teremos:
σ²X = Var(X) = E (X²) – [E(X)]² = 
3
5
−[ 34 ]
2
=
3
80
Este é o caso típico em que nossa variável “número de covas falhadas” é discreta, portanto a família de
distribuição ideal é a Binomial.
Sabemos que o poder de germinação é de 70% (0,70), portanto 0,30 a probabilidade da semente não
germinar:
G – Germinar (0,70)
g – Não germinar (0,30)
Como cada cova possui 4 sementes, a probabilidade das 4 não germinarem é calculada como:
g x g x g x g = 0,3 * 0,3 * 0,3 * 0,3 = 0,0081
Para o cálculo de n utilizaremos os valores do espaçamento entre linhas e entre covas: 0,4m entre linhas
e 0,2m entre covas. Cada linha possui 5m de comprimento, sendo 6 linhas no total. Portanto:
número de entre covas/linha: (5/0,2) = 25 → 25 +1 = 26 → o número 1 representa a borda faltante.
número de covas total = 6*26 = 156 → seis vezes o número de covas por linha
Assim,
X ~ B(n=156, π=0,0081)
o número médio de covas falhadas pela família binomial será:
E{X~B} = n π = 156*0,0081 = 1,26 covas falhadas
Aqui também temos uma variável discreta que é o número de bezerros nascidos do sexo feminino.
Assim, a família de distribuição ideal é a Binomial. Nosso n será o número de partos e o π, que é a
nossa probabilidade, é 0,60.
n = 30 partos
π = 0,60
Sabemos que a esperança da binomial é calculada a partir de:
E{X~B} = n π → 30*0,6 = 18 bezerros são do sexo feminino
Para cálculo do desvio padrão, devemos obter primeiramente a variância:
var{X~B} = n π (1- π) = 30*0,6 (1-0,6) = 18*0,4 = 7,2
Então, nosso desvio padrão será: √7,2=2,68 
Neste exemplo a família Poisson é ideal já que avalia as ocorrências de um dado evento ou variável
numa certa região do espaço, aqui tratado como volume em cm³. Portanto nossa variável aleatória será:
X: bactérias por cm³ ou por área; X P ( λ )∼
Sendo,
E(X) = λ = 5 bactérias por cm³ 
a) Qual desvio padrão do número de bactérias por cm³?
Sabemos que a variância da distribuição Poisson é o próprio λ, portanto
σ = √σ2=√λ=√5 ou 2,34 bactérias por cm³
b) Encontre a probabilidade de que pelo menos duas bactérias ocorram num volume de líquido de 1
cm³.
Sabemos que em média encontramos 5 bactérias por cm³, e este é o nosso λ. Por ser uma distribuição
para variáveis discretas, o cálculo deverá ser aplicado da seguinte maneira:
P(x)=P(X=x)=
e−λ λx
x!
, sendo x=1,2,3,. .. , 
Queremos obter a probabilidade de pelo menos duas bactérias estejam no líquido de 1 cm³, ou seja,
duas ou mais bactérias. Portanto, devemos calcular o nosso complemento e simplificar a operação:
P(X≥2)=1−P( X=0)−P( X=1)=1−
e−550
0 !
−
e−5 51
1!
=1−0,00674−0,03369=0,9596 ~ 0,96
Aqui temos um exemplo da aproximação da Binomial pela Poisson. A distribuição Poisson é uma
distribuição limite da binomial. Quando n → ∞ e π → 0 a distribuição binomial resulta na distribuição
de Poisson com λ = nπ. Em outras palavras, isto ocorre quando nosso n que representa o número de
vespas atraídas pela isca é muito grande e nossa proporção (ou probabilidade) de vespas capturadas (π)
é muito pequena.
O enunciado fala “Qual é a probabilidade que dentre três vespas atraídas pela isca da armadilha”, ou
seja, nosso n agora é 3. 
Assim, nosso λ é: λ = nπ = 3*0,178 = 0,534
a) Nenhuma seja capturada:
P(X=0)=
e−0,5340,5340
0 !
=0,58626
b) Pelo menos uma seja capturada:
P(X≥1)=1−P( X=0)=1−
e−0,534 0,5340
0 !
=1−0,58626=0,4137
a) λ = nπ = 20*0,1 = 2
P(X<3)=P (X=0)+P (X=1)+P( X=2)=
e−2 20
0 !
+
e−221
1!
+
e−2 22
2 !
=0,1353+0,2707+0,2707=0,6767
b) λ = nπ = 20*0,1 = 2
P(X≥3)=1−P( X=0)−P (X=1)−P (X=2)=1−
e−2 20
0 !
+
e−221
1 !
+
e−222
2!
=1−0,6767=0,3233
λ = nπ = 5000*0,001 = 5
a) P(X=5) = e
−5 55
5 !
=0,17547→0,76
b) P(X≥2)=1−P( X=0)−P (X=1)=1−
e−5 50
0 !
−
e−5 51
1 !
=1−0,00674−0,03369=0,9596→0,96
Pequenos → 20% → P20%
Médios → 55% → P75%
Grandes → 15% → P90%
Extra → 10%→ P1-0,9
Conforme indica o enunciado, a variável “pesos de coelhos criados na granja” pode ser representada por uma
distribuição normal: X ~N(μ,σ²) 
Para cálculo dos pesos baseados nos percentis, vamos utilizar a normal padronizada: Z ~ N(0,1)
Z=
(X−μ)
σ
E(Z)=μZ=E ( X−μσ )=0 eVar (Z )=Var (
X−μ
σ )=σZ2
Para o primeiro passo, encontrar na tabela da distribuição Normal Padrão acumulada o valor de Z20%. Como a
tabela não possui o percentil 20%, podemos procurar pela outra cauda a 80%:
 
Assim, o valor de Z0,2, ou seja, para os mais leves, será -0,8416 e porderá ser aplicado na fórmula:
P(Z<( X−μ)σ )=P(−0,8416<( X−5)0,8 )=P (X<4,33)
X20%= -0,6732+5 = 4,33 kg → (−∞ ,4,33) para pequenos
O valor de Z0,75, ou seja, para os médios, será 0,6745 e poderá ser aplicado na fórmula:
P(-0,8416<Z < 0,6745)
Como já sabemos o valor de X20%, vamos aplicar para X75%:
P(Z<( X−μ)σ )=P(0,6745< (X−5)0,8 )=P(X<5,54 )
X75%= 0,5396+5 = 5,54 kg → [ 4,33 ;5,54 ) para médios
Vamos aplicar para X90%:
P(Z<( X−μ)σ )=P(1,2815<( X−5)0,8 )=P (X<6,02)
X90%= 1,0252+5 = 6,02 kg → [ 5,54 ;6,02 ) para grandes
Portanto, para Extra teremos → [ 6,02;+∞ )
a) P(X<742,5) = P(Z<( X−μ)σ )=P(Z< (742,5−750)7,5 )=P (Z<−1) = 0,1587
Buscar na tabela o valor de -1 e sua respectiva porcentagem. Como a tabela não possui, devemos observar o
valor positivo (1) e calcular o complemento: 1-0,8413 = 0,1587 → 15,9%
b) Observe a figura abaixo:
Na tabela:
Z-2 = 0,0227
Z+2 = 0,9772
Z+2 - Z-2 = 0,9772 – 0,0227 = 0,954
P(Z0,99)=2,3263
P(Z<( X−μ)σ )=P(2,3263<(22−μ)0,3 )→μ=21,03
Aqui podemos utilizar a família Binomial, em que: π = 1-0,9 = 0,1; n = 100 e x =12
P(X=12)=(10012 )0,1
12
(1−0,1)100−12=
100!
12!100−12!
0,112(1−0,1)100−12=0,098
P(X≥950)=1−P (X≤950)
P(X≤950)=∑
x=0
950
P (X=x )=P( X=0)+P( X=1)+ ...+P (X=950)
P(X≥950)=1−0,9883=0,0117