Aula 04 - Parte 04

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RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CÂMARA DOS DEPUTADOS 
PROFESSOR: GUILHERME NEVES 
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Aula 4 – Parte 4 
1. Matrizes .............................................................................................................................................. 2 
2. Classificação das Matrizes ........................................................................................................... 2 
3. Igualdade de Matrizes ................................................................................................................... 5 
4. Adição de Matrizes.......................................................................................................................... 5 
5. Matriz Oposta ................................................................................................................................... 6 
6. Produto de número real por matriz ....................................................................................... 10 
7. Produto de Matrizes ..................................................................................................................... 11 
8. Matriz Transposta ......................................................................................................................... 20 
9. Determinantes................................................................................................................................ 22 
10. Propriedades dos determinantes ............................................................................................ 25 
11. Teorema de Binet ......................................................................................................................... 37 
12. Matriz Inversa ................................................................................................................................ 39 
13. Sistemas Lineares ......................................................................................................................... 42 
14. Classificação dos sistemas lineares ....................................................................................... 43 
15. Sistema Linear Homogêneo ...................................................................................................... 46 
16. Teorema de Cramer ..................................................................................................................... 46 
17. Relação das questões comentadas nesta aula .................................................................. 61 
18. Gabaritos .......................................................................................................................................... 68 
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1. Matrizes 
A ideia de matriz do tipo é a de uma tabela retangular formada por
números reais distribuídos em linhas e colunas. 
Adotamos a convenção que linha é horizontal, coluna é vertical e fila se refere
à linha ou coluna (horizontal ou vertical). 
Vejamos alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em uma matriz qualquer, cada elemento é indicado por . Este elemento é
o cruzamento da linha i com a coluna j. Por exemplo, o elemento é
elemento que fica no cruzamento da segunda linha com a terceira coluna. 
Convencionamos que as linhas são numeradas de cima para baixo e as colunas
da esquerda para a direita. Além disso, podemos utilizar colchetes, parêntesis
ou barras duplas para representar matrizes. Por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma matriz M do tipo m x n (m linhas e n colunas) pode ser indicada por 
 
2. Classificação das Matrizes 
Existem diversas classificações das matrizes. Veremos as principais e mais
conhecidas. Deixaremos de lado definições de matrizes nilpotente, ortogonais,
anti-simétricas, periódicas, etc. 
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- Matriz Retangular é aquela cujo número de linhas é diferente do
número de colunas. 
 
 
 
 
 
- Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número
de colunas. Quando uma matriz quadrada é formada por linhas e 
colunas dizemos que ela é uma matriz quadrada de ordem . 
 
 
 
 
Os elementos 5 e 2 forma a diagonal principal e os elementos 3 e 0 formam a
diagonal secundária. 
 
 
 
 
 
Os números 1, 4 e 1 formam a diagonal principal e os números 5,4 e 6 formam
a diagonal secundária. 
- Matriz Linha é a matriz que possui apenas uma linha. 
 
- Matriz Coluna é a matriz que possui apenas uma coluna. 
 
 
 
 
 
 
- Matriz diagonal é a matriz quadrada cujos elementos que não
pertencem à diagonal principal são iguais a 0. 
 
 
 
 
 
- Matriz identidade é a matriz diagonal cujos elementos da diagonal
principal são todos iguais a 1. Denotamos por a matriz identidade de
ordem n. 
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Percebam as condições para que uma matriz seja denominada de identidade:
deve ser uma matriz quadrada, todos os elementos fora da diagonal principal
devem ser iguais a 0 e todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Matriz Nula é aquela que tem todos os elementos iguais a 0. 
 
 
 
 
Exemplo 1. Construa a matriz definida por 
 
Resolução 
Tem-se uma matriz quadrada de terceira ordem. A matriz tem a seguinte
representação: 
 
 
 
 
 
Sabemos que 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
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3. Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes e são iguais quando todos os forem
iguais aos para todo i e para todo j. Ou seja, para que duas matrizes sejam
iguais, elas devem ser do mesmo tipo (ter o mesmo número linhas e o mesmo 
número de colunas) e todos os elementos correspondentes (com mesmo
índice) devem ser iguais. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Adição de Matrizes 
Para começo de conversa, só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou
seja, para que seja possível somar matrizes, elas devem ter o mesmo número
de linhas e o mesmo número de colunas. Esta é a condição de existência da
soma de duas ou mais matrizes. 
Então vamos considerar duas matrizes A e B do mesmo tipo: m x n. Sejam 
 e , chama-se soma a matriz C do tipo m x n tal
que . 
Vamos parar de falar em símbolos e vamos traduzir: 
i) Só podemos somar matrizes do mesmo tipo, ou seja, as matrizes
obrigatoriamente devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de
colunas. 
ii) O resultado (a soma) será uma matriz do mesmo tipo das matrizes
originais. 
iii) Para determinar os elementos da matriz soma, devemos somar os
elementos correspondentes das matrizes originais. 
Exemplos: 
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Observe que, assim como os números reais, a adição entre matrizes também é
associativa e comutativa. Isto quer dizer que, se A,B e C são matrizes do
mesmo tipo, então: 
 
 
5. Matriz Oposta 
Observe novamente o exemplo que foi feito acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz 
 
 
 
 é a matriz oposta da matriz 
 
 
 
 e reciprocamente, a 
matriz 
 
 
 
 é a matriz oposta da matriz 
 
 
 
 porque a soma das duas 
matrizes é uma matriz nula, ou seja, com todos os elementos iguais a 0. 
Dada uma matriz A, sua matriz oposta é indicada por – . 
Se é dada a matriz A, para determinar a sua oposta deve-se multiplicar todos
os elementos por , ou seja, trocar os sinais de todos os elementos. 
Desta forma, a matriz oposta da matriz 
 
 
 é a matriz 
 
 
 . 
1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma
matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = 
A + B. Sabendo-se que (aij) = i
2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos
elementos da primeira linha da matriz S é igual a: 
a) 17 
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b) 29 
c) 34 
d) 46 
e) 58 
Resolução 
Vamos construir as matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma dos elementos da primeira linha é igual a 6 + 14 + 26 = 46. 
Obviamente não precisaríamos construir as matrizes completamente, apenas o
fizemos para fins didáticos. 
Letra D 
2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz
M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que
esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B.
Sabendo-se que (aij) = i
2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os
elementos s31 e s13 é igual a: 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
Resolução 
Questão praticamente idêntica! As matrizes utilizadas são idênticas! 
Se você nos permite, vamos dar um Ctrl+C / Ctrl+V... 
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Vamos construir as matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Queremos calcular a razão entre os elementos s31 (terceira linha e primeira
coluna) e s13 (primeira linha e terceira coluna). 
Colocamos estes números em vermelho. 
 
 
 
 
 
 
Letra E 
3. (AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de
uma matriz M pode ser representado por , onde “i” representa a linha e “j” 
a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz , de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes e . 
Sabendo que 
 e que 
 , então o produto dos elementos 
é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
Resolução 
Não vamos mais construir a matriz completamente. Estamos interessados nos
elementos . 
 
 
 
 
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O produto dos elementos é igual a . 
Letra D 
4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M
pode ser representado por , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz , de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes e . Sabendo que 
 
 e que 
 , então a soma dos elementos é igual a: 
a) 20 
b) 24 
c) 32 
d) 64 
e) 108 
Resolução 
A resolução é praticamente idêntica à da questão anterior. 
 
 
 
 
A soma dos elementos é igual a . 
Letra C 
5. (AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz , de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes e . Sabendo-se que 
 
 e que , então a soma dos elementos é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 24 
e) 32 
Resolução 
Outra questão idêntica!! 
 
 
 
 
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A soma dos elementos é igual a . 
Letra E 
6. Produto de número real por matriz 
Para multiplicar uma matriz por um número real basta multiplicar todos os
elementos de A por . 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Produto de Matrizes 
Para começo de conversa, nem sempre é possível multiplicar duas matrizes.
Para que exista o produto de uma matriz A por uma matriz B é necessário e
suficiente que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.
Desta maneira, se a primeira matriz do produto é do tipo m x n, então a
segunda matriz deve ser do tipo n x p. 
Pois bem, considere então uma matriz e uma matriz . Ao efetuar o
produto da matriz A pela matriz B, o resultado será uma matriz do tipo m x p. 
Ou seja, o produto é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número
de colunas de B. 
Resumindo, para verificar se é possível multiplicar duas matrizes, coloque o
tipo da primeira matriz à esquerda e o tipo da segunda matriz à direita. O
produto existirá se os “números do meio” coincidirem e o resultado será uma 
matriz do tipo m x p, onde m e p são os números das extremidades. 
Por exemplo, será que é possível multiplicar uma matriz do tipo 2 x 4 por uma
matriz 4 x 1? 
 
 
Os números do meio coincidiram? 
Sim! 
Então o produto existe! E o resultado é uma matriz de que tipo? Basta olhar os
números das extremidades: será uma matriz do tipo 2 x 1. 
Vejamos outro exemplo: será que é possível multiplicar uma matriz 4 x 1 por
uma matriz 2 x 4? 
 
 
Os números do meio coincidiram? 
Não!! 
Portanto, o produto entre essas duas matrizes não existe. 
Observe que existe o produto de uma matriz do tipo 2 x 4 por uma matriz 4 x
1, mas não existe o produto de uma matriz do tipo 4 x 1 por uma matriz do
tipo 2 x 4. 
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Bom, já sabemos verificar se podemos ou não multiplicar duas matrizes e já
sabemos identificar o tipo da matriz produto. 
Faltaainda o principal: aprender a multiplicar. 
Existe um processo muito fácil para multiplicar matrizes. É o seguinte: 
Desenhe uma cruz bem grande... Assim: 
É óbvio que você só vai desenhar esta cruz depois de verificar se é possível
multiplicar as matrizes, pois se não for possível, nem perca o seu tempo. 
Bom, e o que fazer com esta cruz? No “terceiro quadrante” (lembra dos 
quadrantes do plano cartesiano?) você escreverá a primeira matriz e o no
primeiro quadrante você escreverá a segunda matriz. 
1ª matriz 
2ª matriz 
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- Beleza até agora? 
- Beleza não, professor! Chega de delongas e coloca umas matrizes aí para
ficar claro. 
- Ok! 
Exemplo 2. Dadas as matrizes 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
determine, se existir, as matrizes e . 
Resolução 
A matriz A possui 2 linhas e 4 colunas, portanto é do tipo 2 x 4.
A matriz B possui 4 linhas e 3 colunas, portanto é do tipo 4 x 3.
Será que existe o produto ? 
 
 
Os números do meio coincidem! É possível multiplicar. O resultado será uma
matriz do tipo . 
Será que existe o produto 
 
 
Os números do meio não coincidem, portanto não existe a matriz .
Bom, vamos agora calcular a matriz que já sabemos ser do tipo 2 x 3. 
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Vamos desenhar a cruz e colocar a matriz A no terceiro quadrante e a matriz B
no primeiro quadrante. 
O resultado do produto das matrizes ficará localizado no quarto quadrante.
Sabemos que o resultado é uma matriz do tipo 2 x 3, ou seja, terá 2 linhas e 
três colunas. 
1ª matriz 
2ª matriz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESULTADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bom, e agora, como descobrimos cada uma destes números? 
Vejamos por exemplo o elemento que está na primeira linha e segunda coluna
(a bolinha vermelha abaixo). 
Observe que esta bolinha vermelha é fruto do “cruzamento” entre a primeira 
linha da matriz da esquerda com a segunda coluna da matriz de cima. 
Então faremos o seguinte. Multiplicaremos os elementos correspondentes
destas duas filas e somaremos os resultados. Assim: 
i) O primeiro elemento fila da esquerda é 1 e o primeiro elemento da fila
de cima é 2. Multiplicamos . 
ii) O segundo elemento da fila da esquerda é 3 e o segundo elemento da
fila de cima é 5. Multiplicamos . 
iii) O terceiro elemento da fila da esquerda é e o terceiro elemento da
fila de cima é . Multiplicamos 
iv) O quarto elemento da fila da esquerda é 5 e o quarto elemento da fila
de cima é 1. Multiplicamos . 
v) Devemos somar estes resultados obtidos: . 
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é 28!!
Será sempre assim... Multiplicando linha por coluna... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos descobrir agora o elemento que está na primeira linha e na primeira
coluna. 
Devemos multiplicar os elementos correspondentes e somar os resultados.
Vamos fazer um pouquinho mais rápido. Será assim: 1º x 1º + 2º x 2º + 3º x
3º + 4º x 4º. 
 
Pronto! O número a ser colocado no lugar da bolinha vermelha é igual a 15. 
Vamos calcular o elemento da primeira linha e terceira coluna. Vamos então
multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. Lembre-se: multiplicamos os
elementos correspondentes (primeiro com primeiro, segundo com segundo, ...)
e somamos os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vamos agora determinar o elemento que está na segunda linha e na primeira
coluna. 
Efetue o mesmo processo. Multiplicamos os elementos correspondentes das
duas filas e somamos os resultados. 
 
Vamos calcular o número que está na segunda linha e na segunda coluna
(bolinha vermelha). Multiplicando a fila da esquerda pela fila de cima,
elemento a elemento. 
 
Vamos calcular o número que está na segunda linha e terceira coluna (bolinha
azul). Multiplicamos a fila da esquerda pela fila de cima, elemento a elemento. 
3928 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
3928 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Terminamos! 
Desta forma, o produto da matriz 
 
 
 pela 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é a 
matriz 
 
 
 . 
Ufa! Trabalhoso, não? 
Este mecanismo é bom porque faz com que as pessoas não confundam quais
as linhas e quais as colunas que devem ser multiplicadas. 
6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (aij)3x3 é a matriz definida por aij = i + j
e B=(bij)3x3 é a matriz definida por bij= 2i –j, então o elemento localizado
na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é 
(A) 28. 
(B) 34. 
(C) 31. 
(D) 22. 
(E) 44. 
Resolução 
O problema pede apenas um elemento do produto AB. Vamos determinar os
elementos das matrizes A e B. Lembrando que i é a linha e j é a coluna do
elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Estamos multiplicando uma matriz do tipo 3 x 3 por outra matriz do tipo 3 x 3.
O produto existe (porque os números do meio coincidem) e o resultado será
uma matriz do tipo 3 x 3 (números das extremidades). 
Queremos calcular o elemento localizado na terceira linha e na segunda
coluna. 
Vamos multiplicar a fila da esquerda pela fila de cima. 
 
Letra B 
Vale a pena notar que a multiplicação de matrizes não é uma operação
comutativa, ou seja, para duas matrizes quaisquer A e B é falso dizer
que necessariamente . 
Note também que, se estivermos trabalhando com números reais, é
sempre verdade que se . Isto não é verdade
quando estivermos trabalhando com matrizes. Ou seja, é possível
encontrar matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula. 
Experimente multiplicar, por exemplo, a matriz 
 
 
 pela matriz 
 
 
 
 e verifique que o resultado é a matriz 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
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8. Matriz Transposta 
Considere uma matriz qualquer . Chama-se transposta da matriz A
a matriz do tipo n x m que se obtém trocando as linhas pelas colunas. Ou
seja, as colunas da transposta são ordenadamente iguais às linhas de da
matriz original. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades 
i) 
Ou seja, a transposta da matriz transposta de A é a própria matriz A.ii) Se A e B são matrizes do mesmo tipo, ou seja, com o mesmo
número de linhas e o mesmo número de colunas, então 
 .
Isto quer dizer que tanto faz: 
Somar duas matrizes e depois calcular a transposta do resultado. 
 Calcular as transpostas das matrizes e depois somar o resultado. 
iii) Se é um número real qualquer e é uma matriz, então 
 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 Multiplicar uma matriz por um número real e depois calcular a transposta do
resultado. 
 Calcular a transposta da matriz e, em seguida, multiplicar por um número
real. 
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iv) Se A e B são matrizes que podem ser multiplicadas, então e 
 também podem ser multiplicadas e 
Isto quer dizer que tanto faz: 
 Multiplicar a matriz A pela matriz B e, em seguida, calcular a transposta.
 Calcular a transposta de B, calcular a transposta de A e multiplicar 
(nesta ordem). 
7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes 
 
 
 
 e 
 
 
 e seja 
 o elemento genérico de uma matriz X tal que 
 , isto é, a matriz X é
a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre 
 e é igual a: 
a) 2 
b) ½ 
c) 3 
d) 1/3 
e) 1 
Resolução 
Vamos multiplicar as matrizes. Devemos multiplicar uma matriz do tipo 3 x 2
(3 linhas e 2 colunas) por uma matriz do tipo 2 x 4. O produto existe, porque
os números do meio coincidem e o resultado é uma matriz do tipo 3 x 4
(números das extremidades). 
Observe que não precisamos calcular todos os elementos do produto. 
O nosso objetivo é calcular a matriz transposta deste resultado. A matriz
transposta será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Queremos calcular a razão entre e . Ou seja, a razão entre o elemento
que está situado na terceira linha e primeira coluna (elemento c) e o elemento
que está situado na primeira linha e segunda coluna (elemento e). 
Portanto, queremos calcular c/e.
Vamos voltar ao produto das matrizes. 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
Letra A 
9. Determinantes 
O nosso intuito é fazer com que o candidato se sinta seguro para fechar as
provas de Raciocínio Lógico. Portanto, definiremos determinantes visando às
provas de concursos. Na realidade, os assuntos da presente aula (matrizes,
determinantes e sistemas lineares) são tópicos da “alfabetização” para uma 
cadeira universitária denominada álgebra linear. Livros universitários de
Álgebra Linear, como o de Bernard Kolman, definem determinantes
genericamente sem fazer referências à ordem da matriz utilizando conceitos de
permutações pares e ímpares, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Não seguiremos esta linha. Definiremos determinantes de matrizes quadradas
de ordem 1, 2 e 3. Verificaremos diversas propriedades e teoremas de forma
que em eventuais casos que precisemos calcular determinantes de ordem
maior que 3, o possamos fazer sem maiores esforços. 
Pois bem, para começar, devemos frisar que apenas matrizes quadradas
admitem o cálculo de determinantes. 
O determinante da matriz A é denotado por . 
i) Se a matriz quadrada é de ordem 1, então o determinante da matriz é o
único elemento da matriz. 
Exemplo: Considere a matriz . O determinante da matriz A é o número 
2. 
 
ii) Se a matriz quadrada é de ordem 2, então o determinante é o produto
dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secundária. 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que indicamos o determinante de uma matriz A com barras verticais
ao lado dos elementos da matriz. 
Exemplo: Calcule o determinante da matriz 
 
 
 . 
Resolução 
 
 
 
 
iii) Se a matriz é de ordem 3, o determinante é calculado com o auxílio da
regra de Sarrus. 
 
 
 
 
 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
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Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as
flechas e somamos os 3 resultados. 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os
sinais dos produto e somamos os resultados. 
Em seguida somamos os dois resultados obtidos. 
Vejamos um exemplo: 
Exemplo 3. Calcule o determinante da matriz 
 
 
 
 . 
Resolução 
 
 
 
 
 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos os elementos no sentido da diagonal principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária e trocamos os
sinais dos produtos e somamos os resultados. 
 
Devemos somar os dois resultados obtidos. 
 
10. Propriedades dos determinantes 
Vejamos algumas propriedades dos determinantes: 
i) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma
matriz M de ordem n forem todos nulos, então det M = 0. 
Exemplo. 
 
 
 
 
 
O determinante da matriz M é igual a 0, pois a matriz possui uma fila
composta por zeros. 
ii) Se uma Matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente iguais, então det M
= 0. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Como a primeira coluna é igual à terceira coluna, então o determinante da
matriz é igual a 0. 
iii) Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais,
então det M = 0. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Observe a primeira e a terceira coluna. Elas são proporcionais e a constante de
proporcionalidade é igual a 3 (ou seja, a terceira coluna foi produzida
multiplicando a primeira coluna por 3). Assim, o determinante da matriz é
igual a 0. 
iv) Se uma matriz quadrada M tem uma linha (ou coluna) que é
combinação linear de outras linhas (ou colunas), então det M = 0. 
Deixe-me falar numa linguagem bem coloquial para explicar o que é
combinação linear. 
Imagine que você vai “construir” uma matriz de terceira ordem. 
 
 
 
 
 
Você construiu a primeira coluna e a segunda coluna. E você resolveu ser um
pouco mais criativo para construir a última coluna. E o que você fez? Você
multiplicou a primeira coluna por 2 e multiplicou a segunda coluna por 3 e
somou os dois resultados. O que você obteve? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pronto! A terceira coluna é uma combinação linear das duas primeiras colunas.
Ou seja, você deve multiplicar uma fila por um certo número A e outra fila por
qualquer outro número B. Somando os dois resultados, você obtém uma
combinação linear das duas filas. 
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Pense bem, uma coisa é criar a matriz e saber que uma fila é combinação
linear das outras duas. Imagine que o quesito fosse assim:Calcule o determinante da matriz 
 
 
 
 
 
Obviamente a pessoa que criou a questão sabe que a terceira coluna é
combinação linear das outras duas e, portanto, o determinante é zero. 
A dificuldade é “perceber” na hora da prova isso. Não será você o criador das 
questões!! 
Veja só outro exemplo. 
Calcule o determinante da matriz: 
 
 
 
 
 
Se você tiver um excelente olho e perceber que 
Primeira coluna = (Segunda coluna) x 2 + (Terceira coluna) x 5 
Você poderá concluir que o determinante é zero. Caso contrário, terás que usar
a regra de Sarrus (o que é bem provável que aconteça. Não perca seu tempo
tentando achar alguma regra. Faça as contas que em muitos casos é mais
rápido!) 
v) Se é uma matriz quadrada de ordem n e é a sua transposta,
então . 
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n
por um número real , o determinante da nova matriz será o produto
do determinante de A pelo número . 
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz 
 
 
 
 é igual a 36.
Vamos multiplicar uma fila qualquer por , digamos a segunda coluna. 
 
 
 
 
 
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Para calcular o determinante desta nova matriz, basta multiplicar o
determinante da matriz original por . 
Desta forma, . 
vii) Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma
constante k, então o seu determinante será 
 
Na verdade, esta propriedade vii é uma decorrência da propriedade vi. Isto
porque multiplicar uma matriz de ordem n por uma constante k é o mesmo
que multiplicar as n linhas por k (ou as n colunas). 
Ao multiplicar a primeira linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
Ao multiplicar a segunda linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
Ao multiplicar a terceira linha por k, multiplicamos o determinante por k. 
Se a matriz é de ordem n, então terá n linhas. 
Então, 
 
 
 
viii) Considere uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 2. Se
trocarmos a posição de duas filas paralelas (ou duas linhas ou duas
colunas), então o determinante da matriz troca de sinal. 
Exemplo: Já vimos que o determinante da matriz 
 
 
 
 é igual a 36. 
Se trocarmos a posição da primeira linha com a terceira linha, o determinante
da matriz troca de sinal. 
 
 
 
 
 
O determinante desta matriz é igual a . 
ix) O determinante de qualquer matriz identidade é igual a 1. 
8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante
igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da matriz
X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
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a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
Resolução 
Quando multiplicamos uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um
número real “a”, o determinante da matriz também será multiplicado por “a”. 
Nessa questão, quando multiplicamos todos os elementos da matriz X por 10,
o que aconteceu? 
 Multiplicamos a primeira linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10. 
 Multiplicamos a segunda linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10. 
 Multiplicamos a terceira linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10. 
 Multiplicamos a quarta linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10. 
 Multiplicamos a quinta linha por 10, assim o determinante será
multiplicado por 10. 
Assim, o determinante da matriz X, que é igual a 10, será igual a: 
 
É válido o seguinte teorema: se uma matriz quadrada A de ordem n for
multiplicada por uma constante k, então o seu determinante será 
 
Assim, como a matriz do problema é de 5ª ordem e foi multiplicada por 10, 
 
Letra D 
9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se
multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e dividirmos os
elementos da terceira linha da matriz por –3, o determinante da matriz fica 
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a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
Resolução 
Vamos relembrar uma das propriedades. 
vi) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A de ordem n
por um número real , o determinante da nova matriz será o produto
do determinante de A pelo número . 
Ora, se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2, o
determinante será multiplicado por 2. Se dividirmos os elementos da terceira
linha da matriz por –3, o determinante será dividido por -3. Assim, juntando
tudo, o determinante será multiplicado por –2/3. 
Letra E 
10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que
se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada
de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do
dobro de sua matriz transposta é igual a: 
a) –2 
b)–1/2 
c)4 
d) 8 
e) 10 
Resolução 
O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz
original. Assim, o determinante não será alterado. Porém, quando
multiplicamos uma matriz de segunda ordem por 2 (já que queremos o
determinante do dobro da matriz), o determinante será: 
 
Letra D 
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11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes 






















3 2 c
2 3 b
1 5 a
B e 
6 4 2
2 3 5
c b a
A , de determinantes não nulos, para quaisquer 
valores de “a”, “b” e “c”, temos 
A) det(A) = det(B) 
B) det(B) = 2.det(A) 
C) det(A) = 2.det(B) 
D) det(A) = –2.det(B) 
E) det(A) = – det(B) 
Quais foram as transformações sofridas por A para “chegar” na matriz B? 
Observe que a primeira linha de A é igual à primeira coluna de B. A segunda
linha de A é igual à segunda coluna de B. 
Vamos construir a matriz transposta de A. 
A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas
por colunas. 
 
 
 
 
 
Observe agora a matriz B. 











3 2 c
2 3 b
1 5 a
B 
A terceira coluna da matriz transposta de A é igual ao dobro da terceira coluna
de B. Dessa forma, o determinante da transposta de A é o dobro do
determinante da matriz B. 
 
Como o determinante de A e de sua transposta são iguais, 
 
Letra C 
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12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira
ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são
iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz
A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os
determinantes das matrizes A e B é igual a: 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
Resolução 
Considere a matriz A: 
 
 
 
 
 
A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais,
respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. 
 
 
 
 
 
Observe que as segundas colunas das matrizes são iguais. Apenas
permutamos a primeira com a terceira coluna. 
Quando permutamos (trocamosde lugar) duas filas (linhas ou colunas), o
determinante troca de sinal. 
Como o determinante de A é igual a x3, então o determinante de B será igual a
–x3. 
O produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a 
 
Letra B 
13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento genérico xij
de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que 
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(aij) = (i+j)
2 e que bij = i
2 , então o menor complementar do elemento y23 é
igual a: 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
Resolução 
Vamos construir as matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se quisermos calcular o menor complementar do elemento y23, devemos
suprimir a segunda linha e a terceira coluna de Y. 
 
 
 
 
Lembre-se que para calcular o determinante de uma matriz de segunda ordem
devemos calcular a diferença entre o produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. 
Letra C 
14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz 
 
 
 
 
 
a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
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e) 0 
Resolução 
Resolveremos esta questão de duas maneiras: a primeira usando a força bruta
do braço e a segunda utilizando algumas propriedades dos determinantes. 
Um determinante de terceira ordem pode ser calculado com o auxílio da regra
de Sarrus. 
Devemos repetir as duas primeiras colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal de acordo com as
flechas. 
Obtemos 
Vamos multiplicar os elementos que estão na direção da diagonal secundária e
trocar o sinal do resultado. 
Obtemos 
Para calcular o determinante da matriz A, devemos somar os dois resultados
obtidos: 
 
Vamos voltar ao quesito: 
(ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz 
 
 
 
 
 
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a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
Ora, perceba que multiplicando a primeira linha por 2 e somando com a
segunda linha, obtemos a terceira linha. 
Assim, a terceira linha é combinação linear das outras duas e o determinante é
zero. 
Letra E 
15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de
segunda ordem, A e B, sendo que . Sabendo que o determinante de
A é igual a , então o determinante da matriz B é igual a: 
a) 21/2 
b) 2 
c) 2 -1/4 
d) 2 -1/2 
e) 1 
Resolução 
As matrizes são de segunda ordem. 
Se uma matriz quadrada A de ordem n for multiplicada por uma constante k,
então o seu determinante será 
 
Como a matriz A é de segunda ordem, então . 
Estamos multiplicando a matriz A por , portanto, . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra E 
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16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem
possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da
matriz X, então a matriz tem determinante igual a: 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
e) 81 
Resolução 
A matriz é de terceira ordem, logo . 
Estamos multiplicando a matriz Z por 3, logo . 
Sabemos também que e sabemos que o determinante de uma matriz é
igual ao determinante da sua transposta. 
 
 
Sabemos que 
 
Como 
 
Letra E 
17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode ser
representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que esse
elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira ordem,
constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada por: 
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Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o
determinante da matriz B é igual a: 
a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
Resolução 
A matriz A é dada por: 
 
 
 
 
 
A matriz B é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A matriz B foi construída a partir da matriz A a partir do seguinte processo: 
 Repetimos a segunda linha. 
 Trocamos a primeira linha com a terceira linha 
Vimos na propriedade viii que se trocarmos a posição de duas filas
paralelas (ou duas linhas ou duas colunas), então o determinante da
matriz troca de sinal. 
Como o determinante da matriz A é igual a 100, então o determinante da
matriz B é igual a . 
Letra D 
11. Teorema de Binet 
Se e são matrizes quadradas de ordem n, então: 
 
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Isto quer dizer que tanto faz: 
 Calcular o produto AB e calcular o determinante do produto. 
 Calcular o determinante de A, calcular o determinante de B e multiplicar 
os resultados. 
18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
onde os elementos a,b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o
determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: 
a) 0 
b) 
c) 
d) 
e) 
Resolução 
Queremos calcular . 
Pelo Teorema de Binet, sabemos que 
 
Dê uma olhada na matriz X. 
 
 
 
 
 
Percebeu que a segunda linha é igual a primeira linha multiplicada por 2? 
Se uma matriz M tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas
colunas) formadas por elementos respectivamente proporcionais,
então det M = 0. 
Podemos concluir que o determinante da matriz X é igual a 0. 
 
 
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Letra A 
12. Matriz Inversa 
Considere uma matriz quadrada de ordem n. Vamos chamar esta matriz de A. 
Dizemos que a matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que 
 . 
Lembre-se que é a matriz identidade de ordem n. 
Esta matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por . 
Exemplo: A inversa da matriz 
 
 
 é a matriz 
 
 
 porque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
Para verificar basta fazer: 
 
 
 
 
Ora, sabemos que . 
Vamos aplicar o teorema de Binet. 
 
 
Lembre-se que o determinante da matriz identidade é igual a 1, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Este fato é muito importante. Pois se for dado o determinante de uma matriz,
podemos automaticamente calcular o determinante da sua inversa e
reciprocamente. 
Se a matriz A não admite inversa, a matriz A é chamada de matriz singular. 
Uma matriz quadrada não é inversível quando o seu determinante é igual a 0. 
Por exemplo, a matriz 
 
 
 é uma matriz singular, isto é, não admite
inversa. Isto pode ser verificado calculando o seu determinante. 
 
 
 
 
Bom, podemos concluir que se o determinante da matriz quadrada é diferente
de zero, então a matriz é inversível. E como calculamos a matriz inversa? 
Neste curso, ficaremos restritos ao cálculo de matrizes inversas de ordem 2. 
Considere uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante diferente de 0. 
 
 
 
 
A inversa da matriz A é calculada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, trocamos de posição os elementos da diagonal principal e mudamos o
sinal dos elementos da diagonal secundária. Depois dividimos todos os
elementos pelo determinante da matriz original. 
Exemplo 4. Determine, se existir, a inversa da matriz 
 
 
 . 
Resolução 
O primeiro passo é calcular o determinante da matriz A. 
 
Vamos trocar a posição dos elementos da diagonal principal e trocar o sinal
dos elementos da diagonal secundária. 
 
 
 
 
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O próximo passo é dividir todos os elementos pelo determinante da matriz
original que é igual a 2. 
 
 
 
 
19. (Oficial de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Dada a matriz 
 
 
 e
sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor
de é igual a: 
a) 
b) 0 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2 
Resolução 
Sabemos que . O problema já forneceu o determinante da
inversa que é igual a 1/2. 
 
 
 
 
 
Ora, temos em mãos o determinante da matriz original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Letra A 
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13. Sistemas Lineares 
Equação linear nas incógnitas é toda equação do tipo 
 
Os números reais (os números que multiplicam as incógnitas) são
chamados de coeficientes e o número é o termo independente da equação. 
É importante notar que os expoentes das incógnitas devem ser todos iguais a
1 para que a equação seja considerada linear. 
São equações lineares: 
 
 
Não são equações lineares: 
 
 
 
É importante também notar que não é permitido o produto de duas incógnitas
em algum dos termos da equação. 
Vejamos alguns fatos das aulas de lógica. 
Vimos que uma sentença do tipo não é uma proposição lógica. Isto
porque não podemos determinar o seu valor lógico sem que sejam fornecidos
os valores das incógnitas. 
Se alguém nos disser que , então a sentença tornar-se-
á verdadeira porque ; ao passo que se , a sentença 
 será classificada como falsa porque . 
Pois bem, já que torna a sentença verdadeira, dizemos
que a sequência (2,3) é uma solução da equação linear. 
Falamos em equações lineares. E o que vem a ser um sistema linear?
Nada mais nada menos que um conjunto de equações lineares! 
Por exemplo: 
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Aqui, dizemos que uma sequência de números é uma solução do sistema
linear, se a sequência for solução de todas as equações lineares que compõem
o sistema. 
Por exemplo: A sequência é solução do sistema linear acima, porque: 
 
 
 
 
14. Classificação dos sistemas lineares 
Se um sistema linear admitir pelo menos uma solução, diremos que o sistema
é possível (alguns dizem que o sistema é compatível). Se o sistema não
admitir soluções, ou seja, não existir uma sequência que satisfaça todas as
equações do sistema, diremos que o sistema é impossível ou incompatível. 
Se o sistema é possível, ainda podemos fazer uma subclassificação: se o
sistema admitir apenas uma solução, dizemos que o sistema é possível e
determinado; se o sistema admitir infinitas soluções, dizemos que o sistema é
possível e indeterminado. 
Sistema linear 
Possível
(admite solução) 
Determinado 
(a solução é única) 
Indeterminado
(existem infinitas 
soluções) Impossível 
(não admite solução) 
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Para quem nunca estudou este assunto, parece um pouco estranho que um
sistema linear não possua soluções (impossível) ou que possua infinitas
soluções (possível e indeterminado). 
Vamos ver alguns exemplos: 
Exemplo 5. Resolva o sistema linear 
 
 
 . 
Resolução 
Vamos isolar a incógnita na primeira equação. 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação 
 
 
 
 
 
Como , então: 
 
Portanto, o sistema admite apenas uma solução: . O sistema é
possível e determinado. 
Exemplo 6. Resolva o sistema linear 
 
 
 . 
Resolução 
Vamos isolar a incógnita na primeira equação. 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
 
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Ora, devemos encontrar um número que multiplicado por zero seja igual a .
Mas sabemos que qualquer número multiplicado por 0 obrigatoriamente tem
como resultado o número 0. Desta forma, não existe um número tal que 
 . 
O sistema é impossível. 
Exemplo 7. Resolva o sistema linear 
 
 
 
Resolução 
Vamos isolar a incógnita na primeira equação. 
 
Vamos agora substituir esta expressão na segunda equação. 
 
 
 
 
 
Devemos pensar em um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora,
qualquer número real serve!! Pense em um número qualquer, digamos .
Neste caso, . 
E já que , então 
 
 
Portanto é uma solução do sistema.
Vamos colocar . Já que , então 
 
 
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Portanto, é outra solução do sistema. Na verdade, você pode
escolher o valor que quiser para a incógnita , substituir o valor na equação 
 e calcular o valor correspondente de . 
O sistema admite infinitas soluções e, portanto, é possível e
indeterminado. 
15. Sistema Linear Homogêneo 
Um sistema linear é dito homogêneo se o termo independente de todas as
equações é igual a 0. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É fácil perceber que todo sistema linear é possível. Basta substituir todas as
incógnitas por 0. Esta solução em que todas as incógnitas são iguais a 0
é chamada de solução trivial. Se houver, as outras soluções são
chamadas de não-triviais. 
Desta forma, todo sistema linear homogêneo é possível. Em breve
aprenderemos a classificá-lo em determinado ou indeterminado. 
16. Teorema de Cramer 
O bem conhecido teorema de Cramer, publicado em 1750 por Gabriel Cramer
(1704-1752) provavelmente era conhecido por Maclaurin desde 1729. Isso
ocorre com muita frequência na Matemática. Uma pessoa descobre algumfato
e outra, vários anos depois, leva o crédito. Bom, deixemos a História da
Matemática de lado (quem se interessar, depois de passar no concurso,
pode comprar o livro História da Matemática de Carl B. Boyer). 
Vamos lá. Considere um sistema linear em que o número de incógnitas é igual
ao número de equações. 
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Como o nosso intuito é fechar as provas de concurso, vamos ficar restritos aos
sistemas com 2 equações e 2 incógnitas e aos sistemas com 3 equações e 3
incógnitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estamos considerando que as incógnitas são as letras . 
Vamos considerar alguns determinantes especiais que podem ser calculados
com os coeficientes e com os termos independentes. 
Chamaremos de o determinante da matriz formada pelos coeficientes das
incógnitas. 
No caso do sistema de segunda ordem: 
 
 
 
 
No caso do sistema de terceira ordem: 
 
 
 
 
 
Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,
substituindo a coluna do pelos termos independentes. No caso,
substituiremos a primeira coluna (a do ) pelos termos independentes
( ). 
Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,
substituindo a coluna do pelos termos independentes. No caso, 
substituiremos a segunda coluna (a do ) pelos termos independentes
( ). 
Chamaremos de o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes,
substituindo a coluna do pelos termos independentes. No caso,
substituiremos a terceira coluna (a do ) pelos termos independentes ( ). 
É óbvio que só existe em sistemas de terceira ordem. 
No caso de sistemas de segunda ordem, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de sistemas de terceira ordem, temos: 
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Vamos ver alguns exemplos numéricos. 
Considere o sistema 
 
 
 . 
Temos os seguintes determinantes relacionados a este sistema: 
 é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
 
 
 
 
 é o determinante da matriz obtida da matriz dos coeficientes, substituindo a
coluna do pelos termos independentes. No caso, substituiremos a primeira
coluna (a do ) pelos termos independentes. 
 
 
 
 
 
Analogamente, temos: 
 
 
 
 
 
O Teorema de Cramer afirma que se um sistema linear tem o número de
equações igual ao de incógnitas e se o sistema será possível e
determinado (apresenta solução única) e: 
 
 
 
 
 
 
 
No nosso exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Já tínhamos resolvido este sistema pelo método da substituição anteriormente.
Obviamente, o Teorema de Cramer tem mais valor teórico que valor prático. 
Principalmente ao trabalhar com sistemas de ordem maior ou igual a 3. 
O que nos interessa é que o Teorema de Cramer afirma que se ,
então o sistema é possível e determinado. Isso é
IMPORTANTÍSSIMO!!! Tem cheiro de ESAF no ar... 
E o que acontece se ?? 
Há duas possibilidades. 
Se todos os outros determinantes associados ao sistema forem iguais a 0, ou
seja, 
 
então o sistema é possível e indeterminado. 
Se pelo menos um dos outros determinantes associados ao sistema for
diferente de 0, então o sistema é impossível. 
Resumindo: 
Se você estiver trabalhando em um sistema de equações com número de
equações igual ao de incógnitas, então ele pode ser: 
 Possível e determinado, se . 
 Possível e indeterminado, se 
 Impossível, se e existir algum . 
Na verdade, o resuminho acima está incompleto. É que pode haver casos em
que todos os determinantes são nulos e o sistema ser impossível. São casos
excepcionais, raros de acontecerem. Só que, para efeito de concurso, podemos
simplesmente ignorar esta exceção, pois nunca foi cobrado. Certo? 
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E se o sistema for homogêneo? 
Ora, já vimos que um sistema linear homogêneo sempre admite solução.
Portanto temos duas possibilidades: ser possível e determinado ou ser possível
e indeterminado. 
Basta calcular o valor de . 
O sistema é possível e determinado se . 
O sistema é possível e indeterminado se . 
20. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Para que o sistema abaixo seja possível e
determinado, o valor de a deverá ser: 
ax + 3y = 7
x +2y = 1 
(A) a = 3. 
(B) a = 3/2. 
(C) a 3/2. 
(D) a 5/2. 
(E) a 2/5. 
Resolução 
Para que o sistema seja possível e determinado o determinante da
matriz dos coeficientes das variáveis deve ser diferente de zero. 
 
Sistema linear 
Possível 
(admite solução) 
Determinado 
(a solução é única) 
Indeterminado 
(existem infinitas
soluções) Impossível 
(não admite solução) 
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Letra C 
21. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações
lineares é chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos 
uma solução; é chamado de “determinado” quando a solução for única, e é 
chamado de “indeterminado” quando houver infinitas soluções. 





42
03
mba
mbma
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as
incógnitas, é correto afirmar que 
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
b) se m=0, o sistema é impossível. 
c) se m=6, o sistema é indeterminado. 
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema. 
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado. 
Resolução 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos
coeficientes deve ser diferente de 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, m≠6 e m≠0 fazem com o que o sistema seja possível e determinado.
Letra E 
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Vamos terminar de discutir o sistema. 
Vamos supor que ou seja, ou . 
i) 
O sistema ficará assim: 
 
 
 
 
Neste caso: 
 
 
 
 
 
Se então portanto o sistema é impossível. 
ii) 
O sistema ficará assim: 
 
 
 
 
Da segunda equação, tem-se: 
 
 
 
Vamos substituir este valor na segunda equação: 
 
 
 
 
Portanto, o número b é tal que multiplicado por 0 é igual a 0. Ora, qualquer
número multiplicado por 0 é igual a 0. Concluímos que se , então e 
 pode ser qualquer número real. Portanto, há infinitas soluções para o sistema
e ele é possível e indeterminado. 
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22. (TFC-CGU 2008 ESAF) Considerando o sistema de equações lineares 





qpxx
xx
21
21
2
2
, 
pode-se corretamente afirmar que: 
a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível. 
b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado. 
d) sep = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado. 
e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível. 
Resolução 
Para que o sistema seja possível e determinado, o determinante da matriz dos
coeficientes das variáveis deve ser diferente de 0. 
 
 
 
 
 
 
Para que o sistema seja possível e indeterminado esse determinante deve ser
igual a 0, ou seja, p=-2 ; e, além disso, o determinante de qualquer uma das
variáveis deve ser igual a 0. 
 
 
 
 
 
 
Assim, o sistema é possível e indeterminado se e . 
Até agora não encontramos alternativas... 
Para que o sistema seja impossível, o determinante dos coeficientes deve ser
igual a 0, ou seja, ; e o determinante de qualquer uma das variáveis
deve ser diferente de 0, ou seja, q 4. 
Letra A 
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23. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema 





02
0
ax
yax
de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema 
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a. 
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a. 
c) tem solução não trivial para um único valor real de a. 
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a. 
e) é impossível para qualquer valor real de a. 
Resolução 
Da segunda equação já concluímos que . 
Vamos substituir este valor na primeira equação. 
 
 
 
 
Portanto, o sistema possui solução não-trivial para uma infinidade de valores
de . 
Letra A 
24. (TFC 2000/ESAF) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” 
ou “compatível” quando admite, pelo menos, uma solução, e é chamado de 
“determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver 
infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, e 
 , pode-se afirmar que se e , então o sistema é: 
a) impossível e determinado. 
b) impossível ou determinado. 
c) impossível e indeterminado. 
d) possível e determinado. 
e) possível e indeterminado. 
Resolução 
A primeira equação já está pronta. Na segunda equação vamos substituir por 
 e por . 
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Teremos o seguinte sistema: 
 
 
 
 
Vamos calcular os determinantes associados a este sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , então os sistema é possível e indeterminado. 
Poderíamos tirar esta conclusão tentando resolver o sistema. 
Da primeira equação, concluímos que . Vamos substituir esta
expressão na segunda equação. 
 
 
 
 
 
Devemos encontrar um número que multiplicado por 0 seja igual a 0. Ora,
qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0, portanto, o sistema admite
infinitas soluções sendo possível e indeterminado. 
Letra E 
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25. (AFRFB 2009/ESAF) Com relação ao sistema, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde e , pode-se, com certeza, afirmar que: 
a) é impossível. 
b) é indeterminado. 
c) possui determinante igual a 4. 
d) possui apenas a solução trivial. 
e) é homogêneo 
Resolução 
Esta é mais uma questão que a ESAF copia da coleção Fundamentos de
Matemática Elementar. Na prova do AFRFB 2009 foram três questões
copiadas: uma questão sobre permutações circulares (anulada), uma questão
sobre divisão de polinômios. Eles também copiaram a primeira questão da
prova da SUSEP 2010. 
Bom, quando você vai copiar alguma questão, você tem que saber copiar. Não
basta copiar o enunciado e colocar algum trecho da solução nas alternativas. 
O enunciado do livro é o seguinte: 
Resolva o sistema pela regra de Cramer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de
equações. 
 
 
 
 
 
 
Temos o seguinte sistema: 
 
 
 
 
 
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Vamos calcular o valor dos determinantes associados ao sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução do sistema é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O sistema admite uma única solução e é possível e determinado.
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. 
a) é impossível (falso, pois o sistema é possível e determinado). 
b) é indeterminado (falso, pois o sistema é possível e determinado). 
c) possui determinante igual a 4 (falso, pois nenhum dos 
determinantes associados ao sistema é igual a 4). 
d) possui apenas a solução trivial (falso, pois a solução trivial é o terno
(0,0,0) que é solução dos sistemas lineares homogêneos). 
e) é homogêneo (falso, pois sistema linear homogêneo é aquele que
tem todos os termos independentes iguais a 0). 
E agora? 
Bom, a ESAF considerou que a resposta correta é a letra C. Inclusive a questão
não foi anulada!!! E por que isso aconteceu? 
Como comentamos no início da resolução, a ESAF copiou esta questão do livro
Fundamentos de Matemática Elementar (volume 4, página 138). 
Na resolução deste sistema no referido livro aconteceu o seguinte. 
No início da resolução nós colocamos assim: 
O primeiro passo é destrinchar as igualdades do segundo conjunto de
equações. 
 
 
 
 
 
 
O problema que aconteceu foi o seguinte. Os autores do livro multiplicaram a
segunda equação por 
Então, no lugar de colocar , eles utilizaram 
 
E o sistema obtido é o seguinte: 
 
 
 
 
 
Desta forma, multiplicamos a terceira linha por . 
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Vimos na teoria dos determinantes que se multiplicamos uma fila qualquer por
um número , então o determinante da matriz será multiplicado por . 
Como multiplicamos a terceira linha por , todos os determinantes serão
multiplicados por . Os determinantes associados a este novo sistema serão: 
 
 
 
 
A solução do sistema é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como pode ser visto, a solução do sistema é a mesma que a obtida
anteriormente. Só que como multiplicamos a terceira linha por , os sinais
de todos os determinantes foram trocados. 
Neste caso, um dos determinantes é igual a 4. 
O problema é que a ESAF não soube nem copiar a questão do livro.
Dependendo da maneira como o sistema é “arrumado”, o determinante da 
matriz dos coeficientes pode ser ou . 
Não podemos afirmar com certeza que o determinante é igual a 4. 
A questão deveriaser ANULADA. 
Todos sabem que não adianta brigar com a banca na hora da prova. Deixe
para brigar nos recursos. E é óbvio que você só brigará nos recursos SE errar a
questão. 
Vamos analisar as alternativas novamente. 
a) é impossível  Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já
que . 
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b) é indeterminado.  Esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum,
já que . 
c) possui determinante igual a 4 (???????) 
d) possui apenas a solução trivial.  Esta aqui não tem como ser a resposta de
jeito algum, já que encontramos solução não - trivial. 
e) é homogêneo  esta aqui não tem como ser a resposta de jeito algum, já
que o sistema não é homogêneo. 
Montando o sistema linear, dá para ver que não é impossível, nem
indeterminado, nem homogêneo, nem tem solução trivial. 
Sobre o determinante, a questão foi totalmente lacônica. Há inúmeras matrizes
associadas, e diversas formas de montá-las. Em uma delas, realmente o
determinante é 4. Então não custa nada chutar letra "c" e torcer pra dar certo.
Depois, durante os recursos, aí sim dá para brigar com a questão. 
Gabarito oficial: Letra C 
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17. Relação das questões comentadas nesta aula 
1. (AFC 2002/ESAF) De forma generalizada, qualquer elemento de uma
matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna
em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = 
A + B. Sabendo-se que (aij) = i
2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a soma dos 
elementos da primeira linha da matriz S é igual a: 
a) 17 
b) 29 
c) 34 
d) 46 
e) 58 
2. (SERPRO 2001/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz
M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que
esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma entre as matrizes A = (aij) e B = (bij), ou seja, S = A + B.
Sabendo-se que (aij) = i
2 + j2 e que bij = (i + j)2, então a razão entre os
elementos s31 e s13 é igual a: 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 3/5 
d) 4/5 
e) 1 
3. (AFC-CGU 2003/2004 – ESAF) Genericamente, qualquer elemento de
uma matriz M pode ser representado por , onde “i” representa a linha e “j” 
a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz , de terceira
ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes e . 
Sabendo que 
 e que 
 , então o produto dos elementos 
é igual a: 
a) 16 
b) 18 
c) 26 
d) 65 
e) 169 
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4. (MPOG 2003/ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M
pode ser representado por , onde “i” representa a linha e “j” a coluna em 
que esse elemento se localiza. Uma matriz , de terceira ordem, é a
matriz resultante da soma das matrizes e . Sabendo que 
 
 e que 
 , então a soma dos elementos é igual a: 
a) 20 
b) 24 
c) 32 
d) 64 
e) 108 
5. (AFC – SFC 2000/ESAF) A matriz , de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes e . Sabendo-se que 
 
 e que , então a soma dos elementos é igual a: 
a) 12 
b) 14 
c) 16 
d) 24 
e) 32 
6. (LIQUIGAS 2007/CETRO) Se A= (aij)3x3 é a matriz definida por aij = i + j
e B=(bij)3x3 é a matriz definida por bij= 2i –j, então o elemento localizado
na terceira linha e segunda coluna da matriz A.B é 
(A) 28. 
(B) 34. 
(C) 31. 
(D) 22. 
(E) 44. 
7. (MPU 2004/ESAF) Sejam as matrizes 
 
 
 
 e 
 
 
 e seja 
 o elemento genérico de uma matriz X tal que 
 , isto é, a matriz X é
a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre 
 e é igual a: 
a) 2 
b) ½ 
c) 3 
d) 1/3 
e) 1 
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8. (MPOG 2008 ESAF) Uma matriz X de quinta ordem possui determinante
igual a 10. A matriz B é obtida multiplicando-se todos os elementos da
matriz X por 10. Desse modo, o determinante da matriz B é igual a: 
a) 10-6 
b) 105 
c) 1010 
d) 106 
e) 103 
9. (ATA – MF 2009/ESAF) Seja uma matriz quadrada 4 por 4. Se
multiplicarmos os elementos da segunda linha da matriz por 2 e
dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, o
determinante da matriz fica 
a) Multiplicado por –1. 
b) Multiplicado por –16/81. 
c) Multiplicado por 2/3. 
d) Multiplicado por 16/81. 
e) Multiplicado por –2/3. 
10. (MPOG 2002 ESAF) A transposta de uma matriz qualquer é aquela
que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz
quadrada de segunda ordem possui determinante igual a 2, então o
determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: 
a) –2 
b)–1/2 
c)4 
d) 8 
e) 10 
11. (BNB 2002 VUNESP) Dadas as matrizes 






















3 2 c
2 3 b
1 5 a
B e 
6 4 2
2 3 5
c b a
A , de determinantes não nulos, para quaisquer 
valores de “a”, “b” e “c”, temos 
A) det(A) = det(B) 
B) det(B) = 2.det(A) 
C) det(A) = 2.det(B) 
D) det(A) = –2.det(B) 
E) det(A) = – det(B) 
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12. (AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de
terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da
matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira
colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, 
então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a: 
a) –x-6 
b) –x6 
c) x3 
d) –1 
e) 1 
13. (MPOG 2005 ESAF) O menor complementar de um elemento
genérico xij de uma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo
a linha e a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, 
de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e 
B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)
2 e que bij = i
2 , então o menor
complementar do elemento y23 é igual a: 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
e) 80 
14. (ANA 2009/ESAF) O determinante da matriz 
 
 
 
 
 
a) 2bc + c - a 
b) 2b - c 
c) a + b + c 
d) 6 + a + b + c 
e) 0 
15. (Gestor Fazendário – MG 2005/ESAF) Considere duas matrizes de
segunda ordem, A e B, sendo que . Sabendo que o
determinante de A é igual a , então o determinante da matriz B é
igual a: 
a) 21/2 
b) 2 
c) 2 -1/4 
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d) 2 -1/2 
e) 1 
16. (AFC-STN 2000/ESAF) Uma matriz quadrada X de terceira ordem
possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta
da matriz X, então a matriz tem determinante igual a: 
a) 1/3 
b) 3 
c) 9 
d) 27 
e) 81 
17. (AFC-CGU 2008 ESAF) Qualquer elemento de uma matriz X pode
ser representado por xij , onde i representa a linha e j a coluna em que
esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), de terceira
ordem, constrói-se a matriz B (bij), também de terceira ordem, dada
por: 
Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então o
determinante da matriz B é igual a: 
a) 50 
b) -50 
c) 0 
d) -100 
e) 100 
18. (MPU 2004/ESAF) Considere as matrizes 
 
 
 
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