Lista_de_Exercicios_solucoes_-Unidade_2

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Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2 
 
2.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo 
de elasticidade E = 210 x 10
9
 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola 
simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. 
(a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. 
(b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? 
(c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre 
elas (não há atrito). 
(d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. 
 
Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 10
9
 Pa 
(a) Viga bi-apoiada sob flexão 
3
48
L
EI
k  
com 412
33
m 1045
12
003,002,0
12



bt
I 
N/m 108,16
3,0
1045102104848 3
3
129
3




L
EI
k 
(b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções: 
1. Diminuir o comprimento para 
 m 238,0
108,162
10451021048
2
48
3
3
129
3 




k
EI
L 
2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal) 
 411
9
333
m 109
1021048
3,0108,162
48
2 



E
kl
I 
(c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, 
de forma que N/m 106,33108,162
33 k 
(d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = 6 mm 
412
33
m 10360
12
006,002,0
12



bt
I 
N/m 10134
3,0
10360102104848 3
3
129
3




L
EI
k 
2.2 Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que 
possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 10
9
 N/m
2
. Para 
reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o 
valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir 
que a massa da viga é desprezível. 
m
k
 
Figura 2.1 
 Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 10
9
 N/m
2
. 
Como o momento de inércia (em relação à linha elástica) de uma viga é 
44
33
m 1000,1
12
1,02,1
12



tb
I
 
A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro é 
N/m 10126
2
1000,1102104848 6
3
49
3




L
EI
kv 
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A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha 
seja reduzida para um terço de seu valor inicial tem-se 
33
v
eq
viga
final
k
P
k
P


 
De onde 
N/m 10252106,123223 66  vvveq kkkkkk 
2.3 O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 
20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 10
9
 Pa. 
(a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do 
eixo para deslocamento na direção vertical. 
(b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. 
(c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). 
 
Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 10
9
 Pa. 
(a) N/m 10440
1504
02,010210
4
3
292





L
Ed
L
EA
k 
 
Com dois cabos em paralelo 
N/m 108802 3 kkeq 
 
(b) N/m 1076,14 6 kkeq 
 
(c) N/m 10990
1504
03,010210
4
3
292





L
Ed
L
EA
k 
 
N/m 1098,12 6 kkeq 
Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variação de 2,25 vezes na rigidez para uma 
ampliação de 50% no diâmetro do cabo. 
 
2.4 Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 18 
mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. 
(a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. 
(b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. 
 
Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa 
(a) 
49
44
m 103,10
32
018,0
32



d
J 
N.m/rad 584
5,1
103,101085 99




L
GJ
k t 
(b) Com G = 41 GPa 
N.m/rad 282
5,1
103,101041 99




L
GJ
k t 
 
2.5 Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m 
e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de 
elasticidade é E = 210 x 10
9
 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas 
permanecem sempre horizontais. 
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Figura 2.2 
Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa 
Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformação igual a 
EI
PLviga
192
3
 
Cada uma das 3 lâminas é uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformação 
vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em função da simetria, ser considerada como a metade de uma 
viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que será necessário 
o dobro da carga para produzir uma igual deformação em uma viga bi-engastada com o dobro do 
comprimento de cada lâmina. 
 
 
EI
L
F
k
F
192
2
3
2
3
3













 
de onde 
N/m 102,97
3,0
12
005,01,0
1021012
123 3
3
3
9
3











L
EI
F
k

 
Como são três lâminas que sofrem a mesma deformação, estão associadas em paralelo de forma que a 
rigidez equivalente é 
N/m 102923 3 kkeq 
 
2.6 Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, 
em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de 
elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra 
está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos. 
 
Figura3 
Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa, 
Cada barra se comporta como as lâminas do exercício anterior, submetidas a flexão, de forma que sua rigidez é 
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3
12
l
EIP
k
barra


 
A rigidez torsional proporcionada por cada barra é determinada por 
N.m/rad 324
25,0
1,0
64
008,0
1021012
12
3
2
4
9
3
2
2 







 l
REI
Rk
R
RPM
k barra
t
t 
Como são 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associação em paralelo 
(mesma deformação), a rigidez torsional equivalente é 
N.m/rad 1059,232488 3 teqt kk 
 
2.7 Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 
600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, 
determinar a constante de mola torsional. 
 
Dados: d1 = 30 mm, d2 = 40 mm, d3 = 50 mm, l1 = 400 mm, l2 = 600 mm, l3 = 500 mm, G = 105 GPa. 
N.m/rad 109,20
4,032
03,010105
32
3
49
1
4
1
1
1
1





l
dG
l
GI
k P
t
 
N.m/rad 100,44
6,032
04,010105
32
3
49
2
4
2
2
2
2





l
dG
l
GI
k P
t
 
N.m/rad 10129
5,032
05,010105
32
3
49
3
4
3
3
3
3





l
dG
l
GI
k P
t
 
N.m/rad 108,12
10129
1
100,44
1
109,20
1
1
111
1 3
333
321









ttt
eq
kkk
k 
 
2.8 Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro D 
= 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. 
(a) Encontrar a constante de mola axial. 
(b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o númerode espiras. 
(c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. 
(d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série. 
 
Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa. 
(a) N/m 1075,6
1,0158
01,01081
8
3
3
49
3
4




nD
Gd
k 
(b) N/m 1038,3
1,0308
01,01081
8
3
3
49
3
4




nD
Gd
k 
(c) N/m 105,132
3 kk
eq
 
(d) N/m 1038,3
2
4
k
k
eq
 
 
2.9 Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 1011 Pa, d = 
3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. 
 
Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6. 
D = Di + d = 3 + 30 = 33 mm 
N.m/rad 895
033,0632
003,010210
32
393




nD
Ed
k
t
 
 
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Figura 2.4 
 
2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de  

Figura 2.5 
 
2
2
1

eq
kU  
         23
23
2
12121
2
23
2
121
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
 lklkkkklklkkkkU
tttt
 
   2
23
2
12121
lklkkkkk
tteq
 
 
2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 
 
Os três segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, estão submetidos à torção estão associados em série, 
possuindo rigidez equivalente: 
313221
321
321
1 111
1
kkkkkk
kkk
kkk
k
eq




 
Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4, 
ocorre uma associação em paralelo: 
412
kkk
eqeq

 
As duas molas de rigidezes k5 e k6 estão associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente 
653
kkk
eq

 
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Figura 2.6 
As duas molas de rigidezes k7 e k8 estão associadas em série, possuindo rigidez equivalente 
87
87
87
4 11
1
kk
kk
kk
k
eq




 
Os segmentos de eixo estão submetidos à torção , enquanto que as molas estão submetas a uma deformação 
linear igual a 
Rx  
A energia potencial total é igual à soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos 
deformados (segmentos de eixos e molas) 
  22
4
2
32
2
4
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
 RkRkkxkxkkU
eqeqeqeqeqeq

 
Substituindo os termos das rigidezes 
22
87
87
65
313221
321
4
2
1




















 R
kk
kk
kk
kkkkkk
kkk
kU
 
De forma que a rigidez torcional equivalente é 
2
87
87
65
313221
321
4
R
kk
kk
kk
kkkkkk
kkk
kk
eq 











 
 
2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma 
constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7. 
D d
l
 
Figura 2.7 
 
    
1
2
1
22
1
22
1
4
44
4
24
4 l
tdtE
l
dtdE
l
dd
E
l
EA
l
EDd
k
ie









 
 
Dd
tdlt
l


4
1
 
 
 
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2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8. 
 
Figura 2.8 
A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular 
b
x  e a massa m1 
com velocidade linear x
b
a
a   . 
A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada uma das inércias (massas em 
translação e balancim em rotação), dada por 
2
2
2
2
2
2
1
2
2
22
2
1
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
xmx
b
Jx
b
a
mxmJx
b
a
mT
OO
 

















  
2
2
22
1
1
2
1
xm
b
J
b
a
mT
O





















 
De forma que a massa equivalente é 
22
2
1 m
b
Jam
m O
eq


 
 
2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J1 e J2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que são 
ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2, 
respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a 1. 
 
Figura 2.9 
 
Energia cinética 
2
22
2
11
2
1
2
1
  JJEC  
Relação de transmissão 
2211
nn    
Então 
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2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1 1
2
1
2
1
2
1
 
























 J
n
n
J
n
n
JJEC 1 1 
Momento de inércia equivalente 
2
2
2
1
1
J
n
n
JJ
eq 







 
 
2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com 
referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, Ji e ni são os momentos de inércia de massa e os números de 
dentes, respectivamente, das engrenagens i, i=1,2, ... , 2N. 
 
Figura 2.10 
 
Energia cinética 









N
i
ii
JEC
2
1
2
2
1
 
Relações de transmissão 
11  iiii nn 

 
 


 






N
i
i
ii
i
n
n
n
n
n
JJEC
0
2
1
2
12
4
3
2
1
122
22
1

 
 
Então 
  21
0
2
12
4
3
2
1
122
22
1















 



N
i
i
ii
i
n
n
n
n
n
JJEC 
Momento de inércia equivalente 
 


 






N
i
i
iieq
i
n
n
n
n
n
JJJ
0
2
12
4
3
2
1
122
2
 
 
2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência 
natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). 
 
Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m 
rad/s 2,84
2,1
8500

m
k
n
 
cpm 804 cpm 60) (13,4 Hz 4,13
2
2,84
2



f 
 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, 
igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. 
 
Dados: m = 10 kg, Tn = 35 ms. 
  N/m 10322
035,0
1044
2 3
2
2
2
2
22 




n
nn
T
m
fmmk 
 
2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. 
Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja 
desprezível. 
 
Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m 
rad/s 1,22
02,0
81,9

st
n
g
m
k

 
 
2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está 
comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. 
st
st
g
m
k
kmg

  
rad/s 3,44
005,0
81,9

st
n
g
m
k

 
Hz 05,7
2
3,44
2



n
n
f 
 
2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é 
(a) aumentada em 50 % ? 
(b) reduzida em 50 % ? 
 
Dados: Tn = 0,21 seg 
s 21,02
2

k
m
T
n
n



 
(a) Rigidez aumentada em 50 % ? 
s 171,021,0
5,1
1
5,1
2 
k
m
T
n
 
(b) Rigidez reduzida em 50 % ? 
s 297,021,0
5,0
1
5,0
2 
k
m
T
n
 
 
2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 
N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do 
sistema original. 
 
Dados: fn = 10 Hz, k = 800 N/m. 
rad/s 201022  
nn
f
m
k
 
 22 20 mmk
n
 
 


 2055,0
80020800
55,0
2





m
m
m
k
n
 
Resolvendo 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
  
kg 291,0
2055,01
800
22




m 
    N/m 1015,1202905,020 322  mk 
 
2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à 
freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural 
em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. 
 
Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m 
rad/s 200
1
40000

m
k
n
 
rad/s1402007,07,0
1

nn
 
Mantendo a massa 
kN/m 6,191401 22
11

n
mk  
Mantendo a rigidez 
kg 04,2
140
40000
22
1
1

n
k
m

 
ou uma infinita combinação de parâmetros garantido que 
rad/s 140
1

n
 
 
2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para 
produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 
10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo 
de vibração quando a massa vibra. 
 
Dados: F = 100 N,  = 10 mm e m = 10 kg. 
kN/m 0,10
010,0
100


F
k 
Quando dividida em duas a constante de mola se torna 
10000
1111
11

kkk
 
kN/m 0,20
10000
12
1
1
 k
k
 
Na nova configuração, as duas metades estão associadas em paralelo 
kN/m 0,402000022
1
 kk
eq
 
O tempo para cumprir um ciclo é 
ms 3,99
40000
10
22  
k
m
T
n
 
 
2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportado 
por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m
2
. Determinar a freqüência 
natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro. 
 
Figura 2.11 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m
2
. 
kN/m 31,1
01,0108
001,010105
8 3
49
3
4




nD
Gd
k 
rad/s 1,66
3,0
1031,1 3



m
k
n
 
Hz 5,10
2
1,66
2



n
n
f 
 
2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola 
helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m
2
, determinar a freqüência natural de 
vibração do pistão se não há fluido na válvula. 
 
Figura 2.12 
Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m
2
. 
kN/m 30,1
03,068
002,010105
8 3
49
3
4




nD
Gd
k 
rad/s 5,80
2,0
1030,1 3



m
k
n
 
Hz 8,12
2
5,80
2



n
n
f 
 
2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 
kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa 
permissível da constante de cada mola. 
 
Dados: m = 300 kg, fn = entre 32 e 40 Hz. 
rad/s 80 a 642  
nn
f 
Rigidez 
24
n
mk  
 
MN/m 03,3
4
64300
2
min




k 
 
MN/m 74,4
4
80300
2
max




k 
 
2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas 
fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja 
maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os 
diâmetros das barras. E = 210 GN/m
2
. 
 
Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, fn > 30 Hz (vertical), 10 Hz ≤ fn ≤ 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m
2
. 
rad/s 302
rad/s 202
maxmax
minmin




nn
nn
f
f
 
Limites para a rigidez horizontal (flexão) 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
 
  MN/m 78,130200
kN/m 79020200
22
maxmax
22
minmin




n
n
mk
mk
 
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 
49
3
4
9
3
10990
5,0
64
1021034
3
4 d
d
l
EI
k 









 
mm 6,36
10990
1078,1
10990
mm 9,29
10990
10790
10990
4
9
6
4
9
max
max
4
9
3
4
9
min
min












k
d
k
d
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 
412
3
4
9
3
1096,3
5,0
64
10210124
12
4 d
d
l
EI
k 









 
mm 9,25
1096,3
1078,1
1096,3
mm 1,21
1096,3
10790
1096,3
4
12
6
4
12
max
max
4
12
3
4
12
min
min












k
d
k
d
 
Rigidez vertical – tração-compressão 
rad/s 602
minmin
 
nn
f
 
  MN/m 11,760200 22
minmin
 
n
mk 
212
2
9
1032,1
5,0
4
102104
4 d
d
l
EA
k 









 
mm 32,2
1032,1
1011,7
1032,1 12
6
12
min
min






k
d 
 
2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e 
comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal 
esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m
2
. 
 
Dados: 4 colunas de seção retangular, t = 5 cm, l = 0,5 m, m = 500 kg, 32 Hz ≤ fn ≤ 40 Hz (horizontal) e E = 
210 GN/m2. 
rad/s 802
rad/s 642
maxmax
minmin




nn
nn
f
f
 
Limites para a rigidez horizontal (flexão) 
 
  MN/m 6,3180500
MN/m 2,2064500
22
maxmax
22
minmin




n
n
mk
mk
 
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) 
b
b
l
bt
E
k 6
3
39
3
3
10210
5,0
05,01021012
3
4 















 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
mm 150
10210
104,31
10210
mm 3,96
10210
102,20
10210
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min












k
b
k
b
 
Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) 
b
b
l
bt
E
k 6
3
39
3
3
10840
5,0
05,010210412
12
4 















 
mm 6,37
10840
104,31
10840
mm 1,24
10840
102,20
10840
6
6
6
max
max
6
6
6
min
min












k
b
k
b
 
 
2.29 Um purificador de ar está fixado no solo por 6 pilares sólidos de ferro de forma retangular, com 100 mm de 
largura por 50 mm de espessura, com comprimento 2 m, fixados tanto no solo como na unidade. A massa da 
unidade é 800 kg. Determinar as freqüências naturais horizontais nas duas direções. E = 210 GN/m
2
. 
 
Dados: 6 pilares, b = 100 mm, t = 50 mm, l =2 m, m = 800 kg e E = 210 GN/m2. 
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo viga em balanço) 
kN/m 492
212
05,01,0102103612
3
6
3
39
3
3

















l
bt
E
k
 
rad/s 8,24
800
10492 3



m
k
n

 
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo viga em balanço) 
MN/m 97,1
212
1,005,0102103612
3
6
3
39
3
3

















l
tb
E
k
 
rad/s 
6,49
800
1097,1 6



m
k
n

 
Rigidez horizontal – primeira direção – flexão (assumindo duplo engaste) 
MN/m 97,1
2
05,01,010210612
12
6
3
39
3
3
















l
bt
E
k
 
rad/s 6,49
800
1097,1 6



m
k
n

 
Rigidez horizontal – segunda direção – flexão (assumindo duplo engaste) 
MN/m 88,7
2
1,005,010210612
12
6
3
39
3
3
















l
tb
E
k
 
rad/s 2,99
800
1088,7 6



m
k
n

 
 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
2.30 Um pequeno compressor está apoiado em quatro molas de borracha que possuem constantes de rigidez 3,0 
kN/m cada uma, na direção vertical, e 4,0 kN/m na direção horizontal. A massa da unidade é 30 kg. 
Determinar as freqüências naturais para vibrações horizontal e vertical. 
 
Dados: quatro molas de borracha, kv = 3,0 kN/m, kh = 4,0 kN/m e m = 30 kg. 
Direção horizontal 
rad/s 1,23
30
400044



m
k
h
nh

 
Hz 68,3
2
09,23
2



nh
nh
f
 
Direção vertical 
rad/s 0,20
30
300044



m
k
hv
nv

 
Hz 18,3
2
0,20
2



nh
nh
f
 
 
2.31 O núcleo móvel de um relé eletromagnético mostrado na Fig. 2.13 possui massa m = 12 gr, e está suportado por 
uma mola com k = 3,0 kN/m. Quando energizado, fecham-se os contatos, que estão montados em lâminas 
flexíveis de espessura 0,8 mm e 6 mm de largura. A lâmina móvel possui comprimento de 20 mm e as 
estacionárias possuem comprimentos de 15 mm cada. Determinar a freqüência natural com o relé aberto e 
fechado. E = 210 GN/m
2
. 
 
Figura 2.13 
Dados: m = 12 gr, k = 3,0 kN/m, t = 0,8 mm, b = 6 mm, l1 = 20 mm, l2 = 15 mme E = 210 GN/m2. 
 Com o relé aberto: 
 
rad/s 500
012,0
3000

m
k
n

ou 
 
Hz 6,79
2
500
2



n
n
f
 
 Com o relé fechado 
a) lâmina móvel – dupla viga engastada 
kN/m 161
2
02,0
12
0008,0006,0
102103
2
3
3
3
9
3
1
1
















l
EI
k 
b) lâmina fixa – viga engastada 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
kN/m 8,47
015,0
12
0008,0006,0
102103
3
3
3
9
3
2
2




l
EI
k 
 De cada lado ocorre associação em série de k1 e k2 
 kN/m 9,36
108,4710161
108,4710161
33
33
21
21
1






kk
kk
k
eq
 
 Estes dois conjuntos estão associados em paralelo 
 kN/m 7,73109,3622
3
1

eqeq
kk 
 A freqüência natural com relé fechado será 
 rad/s 1053,2
012,0
300073728 3


m
k
eq
n
 ou 
Hz 402
2
1053,2
2
3





n
n
f 
 
2.32 Achar a freqüência natural de vibração do sistema massa-mola montado em um plano inclinado, como 
mostrado na Fig. 2.14. 
 
Figura 2.14 
 
xmmgxkxk  sin
21
 
sendo x1 medido a partir da posição de equilíbrio estático 
   
11211
sin xmmgxkxk
stst
  
    0sin
121121
 xkkxmmgkk
st
 
pela condição de equilíbrio estático. 
A freqüência natural é 
m
kk
n
21

 
 
2.33 Determinar a expressão para a freqüência natural do sistema mostrado na Fig. 2.15, considerando desprezíveis 
as massas das plataformas. 
 
Figura 2.15 
 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
Viga engastada 
3
1
11
1
3
l
IE
k  
Viga bi-apoiada 
3
2
22
2
48
l
IE
k  
Constante de mola equivalente, associação em paralelo 
21 kkkeq  
Freqüência natural 
 











3
2
22
3
1
1121
483
l
IE
l
IE
W
g
W
kkg
m
k
eq
n
 
 
2.34 Uma mola helicoidal de rigidez k é cortada em duas metades e uma massa m é conectada às duas metades como 
mostra a Fig. 2.16(a). O período natural deste sistema é 0,5 seg. Se uma mola idêntica é cortada de forma que 
uma das partes tenha ¼ de seu comprimento enquanto que a outra parte tenha ¾, com a massa sendo conectada 
às duas partes como mostra a Fig. 2.16(b), qual será o período natural do sistema? 
 
Figura 2.16 
Uma mola pode ser considerada como duas metades associadas em série, de forma que 
kk 2
1
 cada metade 
As duas metades associadas em paralelo, como mostra a Fig. 2.16a, possuem rigidez 
kkk
eq
42
1
 
Freqüência natural 
5,0
22
2
4 
 
n
n
Tm
k
m
k
 
2
m
k
 
Para a divisão mostrada na Fig. 2.16b, dividindo a mola em 4 
kk 4
2
 
Associando 3 em série 
3
4
111
1
222
3
k
kkk
k 

 
Associando k2 e k3 
3
16
3
4
4
32
kk
kkkk
eq
 
Freqüência natural 
  rad/s 5,142
3
4
3
4
3
16
1  
m
k
m
k
n
 
Período 
s 433,0
5,14
22
1 



n
nT 
 
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2.35 Três molas e uma massa estão presas a uma barra rígida PQ, sem peso, como mostra a Fig. 2.17. Achar a 
freqüência natural de vibração do sistema. 
 
Figura 2.17 
 
Do diagrama de corpo livre da barra PQ, considerada como de massa desprezível, a 2ª Lei de Newton para 
movimentos angulares (Lei de Euler), pode ser escrita para momentos em relação ao ponto P como 
  0
333
2
22
2
11
 xllklklk  
De onde se tem que 
x
lklklk
lk










2
33
2
22
2
11
33 
Do diagrama de corpo livre da massa m, a 2ª Lei de Newton pode ser escrita para as forças atuantes na 
massa 
  xmxlk 
33
 
Substituindo a segunda expressão na terceira chega-se à equação do movimento em x 
 
 
0
2
33
2
22
2
11
2
22
2
113 


 x
lklklkm
lklkk
x 
De onde se extrai a freqüência natural como sendo 
 
 2
33
2
22
2
11
2
22
2
113
lklklkm
lklkk
n


 
 
2.36 O sistema mostrado na Fig. 2.18 modela o mecanismo de contato de um relé eletro-mecânico. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) De determinar o valor da rigidez k que resultará em duas vezes a sua freqüência natural. 
 
Figura 2.18 
 
Equação do movimento 
 




















 2
22
22
a
l
g
W
I
l
k
O
 
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0
22
2
2
2






















l
ka
l
g
W  
a) Freqüência natural 
 22
2
22
2
4
4
4
4
alW
gkl
al
g
W
l
k
n







 
 
b) Como a rigidez é proporcional ao quadrado da freqüência natural, é necessário quadruplicá-la para dobrar 
a freqüência natural. 
 
2.37 O sistema mostrado na Fig. 2.19 modela o braço de um mecanismo de elevação de peso. Determinar sua 
freqüência natural de oscilação em torno do ponto A. 
 
Figura 2.19 
 
Equações do movimento 
 
  xmLxk
xLLklk




2
2
2
1
0
 
Da primeira 

Lk
Lklk
x
2
2
2
2
1

 e 
Lk
Lklk
x
2
2
2
2
1

 
substituindo na segunda 
0
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1 
















 
 L
Lk
Lklk
k
Lk
Lklk
m  
resultando em 
    02
12
2
2
2
1
  lkkLklkm  
ou então 
 
0
2
2
2
1
2
21 

 
Lklkm
lkk 
Freqüência natural 
 2
2
2
1
2
21
Lklkm
lkk
n

 
 
2.38 Para o pêndulo invertido mostrado na Fig. 2.20 que modela um tipo de sismógrafo: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Se a mola k1 é removida para que o valor da constante de mola k2 a freqüência natural será zero? 
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Figura 2.20 
 
a) Freqüência natural 
 22
11
2
22
mLhkhkmgL  
  02
22
2
11
2   mgLhkhkmL 
 
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhk
n

 
b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 
2
2
2
2
22
h
mgL
kmgLhk  
 
2.39 Para o pêndulo controlado mostrado na Fig. 2.22 modelando um relógio: 
(a) Determinar a freqüência natural. 
(b) Para que valor da massa m2 a freqüência natural será zero? 
 
Figura 2.21 
 
(a) Equação do movimento 
  2
22
2
111122
LmLmgLmgLm  
    0
2211
2
22
2
11
  gLmgLmLmLm  
Freqüência natural 
 
2
22
2
11
2211
LmLm
gLmLm
n


 
(b) 
 
  00
22112
22
2
11
2211 


 LmLm
LmLm
gLmLm
n
 
2
1
12
L
L
mm  
 
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2.40 Uma barra uniforme rígida de massa m e comprimento l está articulada no ponto A e ligada a cinco molas como 
mostra a Fig. 2.22. Achar a freqüência natural do sistema se k = 2 kN/m, kt = 1 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
 
 
Figura 2.22 
 
Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
Momento de inércia da barra 
12
2ml
I
G
 
em relação a A 
m
llml
mdII
GA
22
2
23
2
12






 
936
3
612
22222 mlmlml
m
lml
I
A








 
Equação do movimento 
 
At
Ik
l
k
l
k 












22
3
2
2
3
2 
0
9
10
9
22






 
kl
k
ml
t
 
Freqüência natural 
rad/s 1,45
510
520001010009109
2
2
2
2






ml
klk
t
n
 
 
2.41 Um cilindro de massa m e momento de inércia J0 rola livremente, sem deslizar, mas tem seu movimento restrito 
por duas molas de rigidez k1 e k2 como mostra a Fig. 2.23. Achar a freqüência natural de vibração e o valor de a 
que maximiza a freqüência natural. 
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Figura 2.23 
 
Rotação pura em torno do ponto de contato 
      22
2
2
1
mRJaRkaRk
O
 
     02
21
2   aRkkmRJ
O
 
Freqüência natural 
  
 
 
 2
21
2
2
21
mRJ
kk
aR
mRJ
aRkk
OO
n





 
Para maximizar 
a = R 
 
2.42 Achar a equação do movimento da barra rígida uniforme AO, de comprimento l e massa m mostrada na Fig. 
2.24. Achar também sua freqüência natural. 
 
 
Figura 2.24 
 
 
3212
222 mll
m
ml
J
O





 
  
3
2
2
2
2
1
ml
klkak
t
 
   0
3
2
2
2
1
2
 
t
klkak
ml  
 
 
2
2
2
2
1
3
ml
klkak
t
n

 
 
2.43 Um disco circular uniforme, de massa m, é pivotado no ponto O como mostra a Fig. 2.25. Achar a freqüência 
natural do sistema. 
Momento de inércia em relação ao centro do disco 
2
2ma
J
C
 
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Figura 2.25 
 
Equação do movimento 
 





 2
2
2
mb
ma
mgb 
0
2
2
2






  gbb
a  
Freqüência natural 
22 2
2
ba
gb
n

 
 
2.44 O sistema mostrado na Fig. 2.26 modela o braço de um sismógrafo vertical. 
(a) Determinar sua freqüência natural de oscilação em torno do pivô. 
(b) Determinar o valor da rigidez k que resultará no dobro da sua freqüência natural 
 
Figura 2.26 
 
Equação do movimento 
022
22




kamL
mLka


 
a) Freqüência natural 
2
2
mL
ka
n
 
b) Rigidez para dobrar a freqüência natural 
kk 4
1
 
 
2.45 Uma massa m é montada na extremidade de uma barra de massa desprezível e pode assumir três diferentes 
configurações como mostra a Fig. 2.27. Determinar a configuração que proporciona a maior freqüência natural. 
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Figura 2.27 
a) 
l
g
n
 
b)  22 mlakmgl  
   022   akmglml  
 
2
2
2
2
ml
ka
l
g
ml
mglka
n


 
c)  22 mlakmgl  
   022   mglakml  
 
l
g
ml
ka
ml
mglka
n



2
2
2
2
 
A configuração que proporciona a maior freqüência natural é a b). 
 
2.46 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.28, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
Figura 2.28 
 
Momento de inércia do retângulo em relação ao seu centro 
 22
12
ba
m
J  
Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 
6
2
1
1
am
J  
Massa do quadrado sem o furo – espessura unitária 
2
1
am  
Momento de inércia do círculo em relação ao centro 
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822
1 2
2
2
22
DmD
mJ 





 
Massa do círculo (a ser retirada) 
4
2
2
D
m

 
Massa total 







4
2
2
21
D
ammm

 
Momento de inércia total em relação ao centro 
 
442
1
6
1 2222
21
DD
aaJJJ
O 







 







326
44 Da
J
O

 
Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 
443262
22
2
442 DD
a
DaD
mJJ
OP 





















 







32
3
46
4224 DDaa
J
P

 
Equação do movimento 
 
P
J
D
mg 
2
 
0
2432
3
46
2
2
4224


















 




DD
ag
DDaa  
Freqüência natural 
 
4224
22
92416
412
DDaa
DagD
n





 
 
2.47 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.29, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
 
Figura 2.29 
 
Momento de inércia do círculo externo em relação ao seu centro 
8
2
11
D
mJ  
Momento de inércia do círculo interno em relação ao seu centro 
8
2
22
d
mJ  
Massa do círculo externo – espessura unitária 
4
2
1
D
m

 
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Massa do círculo interno (a ser retirada) 
4
2
2
d
m

 
Massa do círculo (a ser retirada) 
4
2
2
D
m

 
Massa total 
 22
21
4
dDmmm 

 
Momento de inércia total em relação ao centro 
 44
21
32
1
dDJJJ
O
  
Momento de inércia em relação ao pivô – Teorema dos eixos paralelos (Steiner) 
   
4432
1
2
222
44
2
ddD
dD
d
mJJ
OP







  







2
3
216
4
22
4 d
dD
D
J
P

 
Equação do movimento 
 
P
J
d
mg 
2
 
  0
2
3
22
1 22
4
22
4






  dDgd
d
dD
D  
Freqüência natural 
 
 4224
22
32
4
ddDD
dDgd
n


 
 
 
2.48 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.30, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
 
Figura 2.30 
 
Momento de inércia do círculo externo em relação ao pivô 
2
2
11
R
mJ  
Momento de inércia do círculo interno em relação ao pivô 
2
2
2
2
2
22
8
3
48
Rm
R
m
R
mJ  
Massa do círculo externo – espessura unitária 
2
1
Rm  
Massa do círculo interno (a ser retirada) 
4
2
2
R
m

 
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Massa total 
4
3 2
21
R
mmm

 
Novo centróide 








2
0
2
1
2211 R
r
r
mrrmrm
c
 
6
4
3
24
22
R
r
r
RRR
c
c

 
 
Momento de inércia total em relação ao pivô 
 
32
13
48
3
2
4
2
22
2
21
R
R
RR
RJJJ
P


 





 
Equação do movimento 
 
Pc
Jmgr  
0
64
3
32
13 24
 


R
g
RR  
0
4
13
  gR  
Freqüência natural 
R
g
n
13
4
 
 
2.49 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.31, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
Figura 2.31 
Momento de inércia do disco superior em relação ao seu centro 
2
1
11
22
1







d
mJ 
com massa 
4
2
1
1
d
m

 
Momento de inércia da barra em relação ao pivô 
 
2
1
2
222
2
2212







dl
mbl
m
J 
com massa 
blm 
2
 
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Momento de inércia do disco inferior em relação ao pivô 
2
12
3
2
2
33
2222
1













d
l
d
m
d
mJ 
com massa 
4
2
2
3
d
m  
Massa total 
  











 bldd
d
bl
d
mmmm 2
2
2
1
2
2
2
1
321
444



 
Novo centróide 













22
22
0
21
3
1
2
1
332211
d
l
d
r
ld
r
r
mrrmrmrm
c
 
c
r
d
bl
dd
l
ddld
bl 


















4422422
2
2
2
121
2
21

 
   
 2
2
2
1
21
2
21
42
24
dbld
dlddldbl
r
c




 
Momento de inércia total em relação ao pivô 
     















2
12
2
2
2
1224
2
4
1321
2
16221232
dld
ddl
blbl
bl
ddJJJJ
P

 
Equação do movimento 
     
   
 
  0
442
24
2
16221232
0
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
12
2
2
2
1224
2
4
1






































bldd
dbld
dlddldbl
dld
ddl
blbl
bl
dd
mgrJ
cP


 
Freqüência natural 
   
 
 
     






























2
12
2
2
2
1224
2
4
1
2
2
2
12
2
2
1
21
2
21
2
16221232
442
24
dld
ddl
blbl
bl
dd
bldd
dbld
dlddldbl
n




 
 
2.50 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.32, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e a massa específica do material de que é constituído é . 
 
Figura 2.32 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
 
Momento de inércia do quadrado em relação ao seu centro 
6
2
1
am
J
G
 
Massa do quadrado – espessura unitária 
2
1
am  
Momento de inércia em relação ao pivô 
3
2
262
444
2
1
aaaa
mJJ
GP







 
Equação do movimento 
02
23
2
2
2
2
22
4
2
1

















ka
a
ga
a
J
a
k
a
gm
P


 
Freqüência natural 
222
)22(3
a
kag
n




 
 
2.51 Para o pêndulo composto mostrado na Fig.2.33, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e as massas das barras vertical e horizontal são iguais a m. 
 
Figura 2.33 
 
Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação 
 
2
22
1
212







L
mbL
m
J 
Momento de inércia da barra vertical em relação à articulação 
  222
2
12
mLbL
m
J  
Momento de inércia da total em relação à articulação 
  222
21
4
5
6
mLbL
m
JJJ
P
 
Novo centróide 








Lr
L
r
mrrmrm
c
2
1
2211 2 
Lr
mrmL
L
m
c
c
4
3
2
2


 
Equação do movimento 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
  0
4
3
2
4
5
6
02
222 









LmgmLbL
m
mgrJ
cP


 
Freqüência natural 
22 172
18
Lb
gL
n

 
 
2.52 Para o pêndulo composto mostrado na Fig. 2.35, determinar a freqüência natural de vibração em torno do pivô. 
O elemento possui espessura unitária e largura desprezível. 
 
Figura 2.34 
 
Momento de inércia da barra em relação à articulação 
2
2
2
6
5
2
3
12
mLLm
mL
J 








 
Equação do movimento 
0
2
3
6
5
0
2
3
2 








LmgmL
LmgrJ


 
Freqüência natural 
L
g
n
5
33
 
 
2.53 A velocidade máxima atingida pela massa de um oscilador harmônico simples é 10 cm/s, e o período de 
oscilação é 2 s. Se a massa vibra livremente com deslocamento inicial de 2 cm, achar: 
(a) a velocidade inicial; 
(b) a amplitude do deslocamento; 
(c) a aceleração máxima e 
(d) o ângulo de fase. 
 
Dados: vmax = 10 cm/s, Tn = 2 s, x0 = 2 cm. 
(a) rad/s 
2
22


 
n
n
T
 
 t
v
txx
n
n
n


 sincos 0
0
 
tvtxx
nnn
 cossin
00
 
   2
0
2
max0
2
0
2
0max
xvvvxv
nn
  
  mm/s 8,7702,01,0 22
0
 v 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
(b) rad/s 
2
22


 
n
n
T
 
 mm 8,31
0778,0
02,0
2
2
2
02
0
















n
v
xA 
(c) 
2
2
222
max
mm/s 314
0778,0
02,08,31 







 Aa
n
 
(d) rad 891,0
02,0
0778,0
tantan 1
0
01 














 


n
x
v
 
 
2.54 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina em sua base é 
modelada como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. 
 
Dados: m = 250 kg, k = 130 kN/m e x0 = 1 mm. 
(a) Freqüência natural 
 rad/s 8,22
250
130000

m
k
n
 
(b) Equação do movimento 
 mm 1
0
 xA 
 m 8,22cos001,0 tx  
 
2.55 Uma máquina possui massa m = 250 kg e possui freqüência natural para vibração vertical n = 5140 rad/s. Se 
a máquina em sua fundação é modelada como sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) a rigidez k do suporte elástico e 
(b) a equação do movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical provocada por 
um impacto. 
 
Dados: m = 250 kg, n = 5140 rad/s e v0 = 1 mm/s. 
(a) Rigidez 
 GN/m 60,65140250
22 
n
mk  
(b) mm 1095,1
5140
001,0 40 
n
v
A

 
 mm 5140sin1095,1
4 tx 
 
2.56 Uma máquina possui uma rigidez dos suportes k = 5,5 x 104 N/m e tem freqüência natural de vibração vertical 
n = 550 rad/s. Se a máquina em sua fundação é modelada como um sistema de um grau de liberdade em 
vibração vertical, determinar: 
(a) a massa da máquina e 
(b) a equação do movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 
mm/s na direção vertical. 
 
Dados: k = 5,5 x 10
4
 N/m, n = 550 rad/s, x0 = 1 mm e v0 = 130 mm/s. 
(a) Massa da máquina 
 kg 182,0
550
55000
22

n
k
m

 
(b) Equação do movimento 
 mm 03,1
550
130
1
2
2
2
02
00















n
v
xX

 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
rad 232,0
1550
130
tantan 1
0
01 














 
x
v
n

 
   tXx
n
cos
0
 
 mm 232,0550cos03,1  tx 
 
2.57 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com uma rigidez k 
= 5400 N/m cada. Se o instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical, determinar: 
(a) a freqüência natural e 
(b) se uma ferramenta pesando 0,5 kgf cai sobre o instrumento medindo-se máxima amplitude de vibração do 
movimento resultante, igual a 1,7 mm, determinar a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto 
da ferramenta. 
 
Dados: 4 coxins, k = 5400 N/m cada, m = 3,4 kg, w1 = 0,5 kgf, X0 = 1,7 mm. 
(a) Freqüência natural 
 rad/s 7,79
4,3
540044



m
k
n
 
(b) Velocidade 
 m 0017,0
2
1
02
00









n
v
xX

 
 m 10227,0
54004
81,95,0 31
0




k
gm
x 
rad/s 4,74
5,04,3
540044
1
1






mm
k
n
 
 mm/s 1254,74227,070,1 22
1
2
0
2
00

n
xXv  
 
2.58 Um instrumento eletrônico tem massa m = 3,4 kg e é suportado por 4 coxins de elastômero com rigidez 
desconhecida. O instrumento no seu suporte é modelado como um sistema de um grau de liberdade para 
vibração vertical. Durante um teste, uma massa m1 = 0,5 kg cai sobre ele com velocidade desconhecida. O 
impacto foi plástico e a amplitude de vibração medida foi 2,2 mm com freqüência do movimento vertical 
resultante igual a 325 rad/s. Determinar: 
(a) a rigidez de cada um dos quatro coxins elásticos e 
(b) a velocidade da massa em queda, imediatamente antes do impacto. 
 
Dados: 4 coxins, m = 3,4 kg, m1 = 0,5 kg, X0 = 2,2 mm e n1 = 325 rad/s. 
(a) Rigidez 
 
   
kN/m 103
4
3255,04,3
4
22
11 



 n
mm
k

 
(b) Velocidade da massa em queda antes do impacto 
 mm 0119,0
411900
81,95,0
1
0



k
gm
x 
   mm/s 715325100119,00022,0 2322
0
2
00
 
n
xXv 
 
mm/s 5577715
5,0
5,04,3
0
1
1
0




 v
m
mm
v 
 
2.59 A massa m cai, de uma altura h, sobre um anteparo de massa desprezível, como mostra a Fig. 2.35, e a colisão é 
plástica. Determinar a resposta do sistema. 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
 
 Figura 2.35 
 
k
mg
x 
0
 
ghv 20  
m
k
n
 
k
mgh
k
mg
m
k
gh
k
mgv
xX
n
22
2
2
22
02
00



































 






















 
mg
hk
m
k
k
mg
gh 2
tan
2
tan 11 
Resposta do sistema 






















 
mg
hk
t
m
k
k
mgh
k
mg
x
2
tancos
2 1
2
 
2.60 A massa m cai, de uma altura h, sobre uma massa m1, como mostra a Fig. 2.36, e a colisão é plástica. 
Determinar a resposta do sistema. 
 
 
Figura 2.36 
 
Conservação da quantidade de movimento 
   
010
vmmvm 
ghv 2
0
 
gh
mm
m
v 2
1
0 








 
Condições iniciais 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db











1
0
0
2
mm
m
ghv
k
mg
x
 
Freqüência natural 
1mm
k
n

 
Amplitude do movimento 
 
1
22
2
1
1
22
02
00
22
mmk
ghm
k
mg
k
mm
mm
ghm
k
mgv
xX
n























 

























 
 
Ângulo de fase 
  
















































 
1
1
1
11
0
01
2
tan
2
tantan
mmg
hk
k
mg
mm
k
mm
m
gh
x
v
n


 
 
A resposta do sistema será 
     tXtx
n
cos
0
 
    
























 
1
1
11
22 2
tancos
2
mmg
hk
t
mm
k
mmk
ghm
k
mg
x 
 
2.61 Resolver o problema 2.24 usando o Método de Rayleigh.Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m
2
. 
kN/m 31,1
01,0108
001,010105
8 3
49
3
4




nD
Gd
k 
 
 



tXx
tXx
nn
n
sin
cos
0
0

 
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1
kxxm
UT



 
2
0
2
0
2
2
1
2
1
kXXm
n
 
rad/s 1,66
3,0
1031,1 3



m
k
n
 
Hz 5,10
2
1,66
2



n
n
f 
 
2.62 Resolver o problema 2.25 usando o Método de Rayleigh. 
 
Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m
2
. 
kN/m 30,1
03,068
002,010105
8 3
49
3
4




nD
Gd
k 
 
 



tXx
tXx
nn
n
sin
cos
0
0

 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
2
max
2
max
maxmax
2
1
2
1
kxxm
UT



 
2
0
2
0
2
2
1
2
1
kXXm
n
 
rad/s 5,80
2,0
1030,1 3



m
k
n
 
Hz 8,12
2
5,80
2



n
n
f 
 
 
2.63 Resolver o problema 2.38 usando o Método da Energia. 
 
a) Freqüência natural utilizando o Princípio da Conservação da Energia 
     
 2
2
22
2
11
2
1
cos
2
1
2
1


LmT
LLmghkhkU


 
  0sin 22
22
2
11
   mLmglhkhkUT
dt
d
 
 sin 
  02
22
2
11
2   mgLhkhkmL 
 
2
2
22
2
11
mL
mgLhkhk
n

 
b) Com k1 = 0 para fazer com que a freqüência natural se anule é necessário que 
2
2
2
2
22
h
mgL
kmgLhk  
 
2.64 Resolver o problema 2.39 usando o Método da Energia. 
 
(a) Freqüência natural 
   
   2
22
2
11
2211
2
1
2
1
cos1cos1


 LmLmT
gLmgLmU


 
  0sinsin
2211
2
22
2
11
   gLmgLmLmLmUT
dt
d
 
 sin 
    0
2211
2
22
2
11
  LmLmLmLm  
 
2
22
2
11
2211
lmlm
glmlm
n


 
(b) 
 
  00
22112
22
2
11
2211 


 lmlm
lmlm
glmlm
n
 
2
1
12
l
l
mm  
 
2.65 Resolver o problema 2.40 usando o Método da Energia. 
 
Dados: k = 2,0 kN/m, kt = 1,0 kN.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m. 
Momento de inércia da barra 
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12
2ml
I
G
 
em relação a A 
m
llml
mdII
GA
22
2
23
2
12






 
936
3
612
22222 mlmlml
m
lml
I
A








 
Equação do movimento 
 
 
  0
9
10
9
22






  
t
k
klml
UT
dt
d
 
  0910 22  
t
kklml  
Freqüência natural 
rad/s 1,45
510
520001010009109
2
2
2
2






ml
klk
t
n
 
 
2.66 Resolver o problema 2.41 usando o Método da Energia. 
 
Energia cinética 
  22
2
1
mRJT
O
 
Energia potencial 
    2
11
2
1
aRkkU  
       02
11
2    aRkkmRJUT
dt
d
O
 
     02
21
2   aRkkmRJ
O
 
Freqüência natural 
  
 
 
 2
21
2
2
21
mRJ
kk
aR
mRJ
aRkk
OO
n





 
Para maximizar 
a = R 
 
2.67 Um cilindro circular de massa m e raio r é ligado a uma mola de módulo k, como mostra a Fig. 2.37. Utilizando 
o Método da Energia, achar a freqüência do movimento, quando o cilindro rola sem deslizar em uma superfície 
áspera. 
Energia cinética 
222
2
1
2
1






 mrmrT
 
2
22
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
1
32
1
2



A
t
IT
k
l
k
l
kU























  0
2
12
9
10
22
2

























  
tA
k
l
k
l
k
l
IUT
dt
d
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Figura 2.37 
 
Energia cinética 
222
2
1
2
1






 mrmrT 
Energia potencial 
 2
2
1
rkU  
  0
2
3 22    krmrUT
dt
d
 
0
2
3
  km  
Freqüência natural 
m
k
n
3
2
 
 
2.68 No sistema massa-mola mostrado na Fig. 2.38, a corda pode ser considerada como inextensível. Achar a 
freqüência natural de vibração, utilizando o Método da Energia. 
 
Figura 2.38 
 
Energia cinética 
22
2
2
1
2
1
2
1
2
1
 JxMxmT  
com 
2
,,2
2121


r
xrxxx  e 2
2
1
MrJ  
  2
22
2
22
22
2
2
2
4
34
2
1
242
1
22
1
22
1
2
1


 







 






















MrmrMrMr
mr
Mrr
MrmT 
Energia potencial 
2
22
2
2
42
1
22
1
2
1















krr
kkxU 
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Conservação da energia 
  0
44
34 222











 
  
krMrmr
UT
dt
d
 
Equação do movimento 
  034   kMm  
Freqüência natural 
Mm
k
n
34 
 
 
2.69 O cilindro de massa m e raio r rola sem deslizar em uma superfície de raio R, como mostra a Fig. 2.39. 
Determinar a freqüência de oscilação quando o cilindro é ligeiramente deslocado da sua posição de equilíbrio. 
Use o Método da Energia. 
 
Figura 2.39 
 
Energia cinética – rotação pura em relação ao ponto de contato 
22
2
22
1






 mr
mr
T 
Energia potencial 
  cos1 rRmgmghU 
condição de rolamento puro 
        rrRrrRrrR  
Conservação da energia 
    0sin
2
3 2
   rRmg
mr
UT
dt
d
 
Linearizando e substituindo os ângulos 
  0
2
3 2

















rR
r
rR
r
rRmg
mr 


 
0
2
3







 
rR
g 
Freqüência natural 
 rR
g
n


3
2
 
 
2.70 Uma locomotiva de massa 60000 kg trafegando a uma velocidade de 20 m/s é parada no final dos trilhos por 
uma sistema massa-mola-amortecedor. Se a rigidez da mola é 40 kN/mm e a constante de amortecimento é 20 
kN.s/m determinar: 
(a) o deslocamento máximo da locomotiva após atingir o sistema e 
(b) o tempo gasto para atingir o seu deslocamento máximo. 
 
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Dados: m = 60 × 10
3
 kg, v = 20 m/s, k = 40 kN/mm e c = 20 kN.s/m. 
 
(a) deslocamento máximo 
rad/s 8,25
1060
1040
3
6




m
k
n
 
00645,0
8,2510602
1020
2 3
3




n
m
c

 
rad/s 8,258,2500645,011 22 
nd
 
Com x0 = 0 e v0 = 20 m/s 
m 775,0
8,25
20
02
0
2
00 






 

dd
n
v
x
xv
X


 
  rad 
2
tantan 1
0
001 


 





 
 
d
n
x
xv
 
    m 
2
8,25cos775,0cos 167,0 





 
  tetXetx t
d
tn 
          teteXtx
d
t
dd
t
n
nn sincos 
  0
0
 txx
máx
 
    0sincos
00
  tt
dddn
 
 
 
 
22
0
0
0
11
tan
cos
sin















n
n
d
n
d
d
d t
t
t
 
s 0606,0
200645,01
00645,0
tan
8,25
1
1
tan
1
2
1
2
1
0






































 





d
t 
  m 767,0
2
0606,08,25cos775,0 0606,0167,0
0






 

etx 
(b) tempo 
s 0606,0
0
t 
 
2.71 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg, constante de amortecimento c = 12 N.s/m e constante de 
mola k = 0,5 kN/m. Determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) O fator de amortecimento e o decremento logarítmico. 
 
Dados: m = 1,2 kg, c = 12 N.s/m e k = 0,5 kN/m.. 
(a) Freqüência natural amortecida 
rad/s 4,20
2,1
500

m
k
n
 
245,0
4,202,12
12
2



n
m
c

 
rad/s 8,194,20245,011 22 
nd
 
(b) Fator de amortecimento e decremento logaritmico 
245,0 
59,1
245,01
245,02
1
2
22









 
 
2.72 A razão entre duas amplitudes sucessivas de um sistema de um grau de liberdade amortecido é 18:1. 
Determinar a mesma relação de amplitudes se a quantidade de amortecimento é 
(a) dobrada, ou 
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(b) reduzida para a metade. 
 
Dados: razão entre amplitudes sucessivas = 18:1. 
89,218lnln
2
1 
x
x
 
Fator de amortecimento 
   
418,0
89,22
89,2
2 2
222






 
Constante de amortecimento 
n
mc 2 
(a) Dobrando c  dobra  
 
 
57,9
418,021
418,022
1
2
22









 
357,9
2
1 103,14  ee
x
x  
(b) Reduzindo  pela metade 
34,1
2
418,0
1
2
418,0
2
1
2
22





















 
83,334,1
2
1  ee
x
x  
 
2.73 Um corpo vibrando com amortecimento viscoso completa 5 oscilações por segundo e em 50 ciclos sua 
amplitude diminui para 10 % de seu valor inicial. Determinar o decremento logarítmico e o fator de 
amortecimento. Qual será o percentual de diminuição do período de oscilação se o amortecimento for 
removido? 
 
Dados: f = 5 Hz, 50 ciclos  amplitude cai para 10% da inicial. 
0461,0
1,0
ln
50
1
ln
1
1
1
1
1 

















x
x
x
x
m
m
 
   
00733,0
0461,02
0461,0
2 2
222







 
s 2,0
5
1

d
T 
Sem amortecimento 
s 199995,0
5
00733,0111
22





dn
n
ff
T

 
O percentual de redução é de 0,00269 %. 
 
2.74 Um sistema viscosamente amortecido tem uma rigidez de 5000 N/m, constante de amortecimento crítico de 20 
N.s/m, e um decremento logarítmico de 2,0. Se o sistema recebe uma velocidade inicial de 1 m/s, determinar o 
deslocamento máximo do mesmo. 
 
Dados: k = 5000 N/m, cc = 20 N.s/m,  = 2,0 e v0 = 1 m/s. 
Fator de amortecimento 
   
303,0
0,22
0,2
2 2
222







 
A constante de amortecimento crítico permite determinar a massa do sistema 
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kg 02,0
50004
20
42
2
22



k
c
m
m
c
m
k
mc cc
nc
 
Então 
rad/s 500
02,02
20



n
 e rad/s 476500303,011 22 
nd
 
A expressão para o movimento é 
      tXetx
d
tn cos 
com m 00210,0
4,476
10 
d
v
X

 e rad 
20
1
tantan 1
0
01


 













 
n
x
v
 
O deslocamento máximo ocorre quando a velocidade se anula 
      0sincos
111
11 
   tXetXetx
d
t
cd
t
n
nn 
    s 00265,0
1
tan
2
1
sincos0
2
1
111



















 




d
dcdn
ttt 
O deslocamento máximo será o deslocamento no tempo t1 
  m 00134,0
2
00265,0476cos00210,0 00265,0500303,0 





 

ex
máx
 
2.75 Um oscilador harmônico possui massa m = 30 kg e constante de rigidez k = 100 kN/m. Determinar: 
(a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento  = 0,1. 
(b) O decremento logarítmico e a freqüência natural amortecida. 
 
Dados: m = 30 kg, k = 100 kN/m e  = 0,1. 
(a) Constante de amortecimento 
N.s/m 346100000301,02222  mk
m
k
mmc
n
 
(b) Decremento logarítmico e freqüência natural amortecida 
631,0
1,01
1,02
1
2
22









 
rad/s 4,575001,011
rad/s 7,57
30
100000
22 

nd
n
m
k


 
 
2.76 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 45 gr, constante de amortecimento c = 3,8 N.s/m, e 
constante de rigidez k = 1500 N/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida. 
(b) A resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
 
Dados: m = 45 gr, c = 3,8 N.s/m, k = 1500 N/m e x0 = 1 mm. 
(a) fator de amortecimento, o decremento logarítmico, e a freqüência natural amortecida: 
rad/s 183
045,0
1500

m
k
n
 
231,0
183045,02
8,3
2



n
m
c

 
49,1
231,01
231,02
1
2
22









 
rad/s 178183231,011 22 
nd
 
(b) resposta a um deslocamento inicial de 1 mm. 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
2
0
2
00 x
xv
X
d
n 






 



 
com v0 = 0 e x0 = 1 mm. 
m 1003,1001,0
178
001,0183231,0 32
2





 
X 
rad 233,0
231,01
231,0
tan
1
tan
2
1
2
1 



















 


 
 mm 233,0178cos03,1 2,42   tex t 
 
2.77 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 3 kg e constante de rigidez k = 500 N/m. O decremento 
logarítmico medido foi 2,5. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento. 
(b) A freqüência natural amortecida. 
 
Dados: m = 3 kg, k = 500 N/m e  = 2,5. 
(a) O fator de amortecimento. 
   
370,0
5,22
5,2
2 2
222







 
(b) A freqüência natural amortecida. 
rad/s 9,12
3
500

m
k
n
 
rad/s 0,129,12370,011 22 
nd
 
 
2.78 Um oscilador harmônico amortecido possui massa m = 8 kg e constante de rigidez k = 1,2 MN/m. Determinar: 
(a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida para um decremento logarítmico 0,05. 
(b) A constante de amortecimento. 
 
Dados: m = 8 kg, k = 1,2 MN/m e  = 0,05. 
(a) O fator de amortecimento e a freqüência natural amortecida 
   
3
2222
1096,7
05,02
05,0
2







 
rad/s 387
8
102,1 6



m
k
n
 
rad/s 38738700796,011 22 
nd
 
(b) A constante de amortecimento 
N.s/m 3,49387800796,022 
n
mc  
 
 
2.79 Uma máquina possui massa m = 250 kg e seu suporte tem constante de amortecimento c = 1,45 kN.s/m e 
rigidez k = 130 kN/m. Se a máquina e sua base é modelada para vibração vertical como um sistema de um grau 
de liberdade, determinar: 
(a) A freqüência natural amortecida. 
(b) A expressão para o movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm na direção vertical. 
 
Dados: m = 250 kg, c = 1,45 kN.s/m, k = 130 kN/m e x0 = 1mm. 
(a) A freqüência natural amortecida. 
rad/s 8,22
250
130000

m
k
n
 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
127,0
8,222502
1450
2



n
m
c

 
rad/s 6,228,22127,011 22 
nd
 
(b) A expressão para o movimento resultante 
2
0
2
00 x
xv
X
d
n 






 



 
com v0 = 0 e x0 = 1 mm. 
m 1001,1001,0
6,22
001,08,22127,0 32
2





 
X 
rad 128,0
127,01
127,0
tan
1
tan
2
1
2
1 



















 


 
 mm 128,06,22cos01,1 90,2   tex t 
 
2.80 Uma máquina possui massa m = 250 kg e freqüência natural amortecida para vibração vertical d = 5140 rad/s. 
Através da medição do decremento logarítmico achou-se um fator de amortecimento  = 0,12. Se a máquina e 
sua base é modelada como um sistema de um grau de liberdade para vibração vertical, determinar: 
(a) A rigidez k do suporte elástico. 
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. 
 
Dados: m = 250 kg, d = 5140 rad/s,  = 0,12 e v0 = 1mm/s. 
(a) A rigidez k do suporte elástico. 
GN/m 70,6
12,01
5140250
1 2
2
2
2








d
m
k 
(b) O movimento resultante de uma velocidade inicial de 1 mm/s na direção vertical, imposta por um impacto. 
rad/s 5177
250
10701,6 9



m
k
n
 
v0 = 1mm/s 
m 10195
5140
001,0 902
0
2
00 






 

dd
n
v
x
xv
X


 
2

  
m 
2
5140cos10195 6219 





 

tex t 
 
2.81 Uma máquina possui uma base com rigidez k = 55 kN/m e uma freqüência natural de vibração vertical 
amortecida d = 255 rad/s. Medindo-se o decremento logarítmico, determinou-se um fator de amortecimento  
= 0,18. Se a máquina e sua base são modeladas como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) A massa da máquina. 
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na 
direção vertical. 
 
Dados: k = 55 kN/m, d = 255 rad/s,  = 0,18, x0 = 1mm e v0 = 130mm/s. 
(a) A massa da máquina. 
   
kg 818,0
255
18,01550001
2
2
2
2





d
k
m


 
(b) O movimento resultante de um deslocamento inicial de 1 mm e uma velocidade inicial de 130 mm/s na 
direção vertical. 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
rad/s 2,259
8184,0
55000

m
k
n
 
mm 22,1001,0
255
001,025918,013,0
2
2
0
2
00 




 






 
 x
xv
X
d
n


 
rad 606,0
255001,0
001,025918,013,0
tantan 1
0
001 














 
 
d
n
x
xv


 
 mm 606,0255cos22,1 7,46   tex t 
 
2.82 Um instrumento eletrônico possui massa m = 3,4 kg e está apoiada em quatro coxins de elastômero com rigidez 
k = 5400 N/m cada um. O fator de amortecimento, medido a partir do decremento logarítmico, é  = 0,20. Se o 
instrumento e seus apoios é modelado como um sistema de um grau de liberdade em vibração vertical, 
determinar: 
(a) A freqüência natural. 
(b) Uma ferramenta pesando 0,5 kg cai sobre o instrumento resultando em uma amplitude de vibração de 1,7 
mm. Determinar a velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta. 
 
Dados: m = 3,4 kg, k = 5400 N/m cada um dos 4 coxins,  = 0,20, m1 = 0,5 kg e X = 1,7 mm. 
(a) Freqüência natural 
rad/s 7,79
4,3
54004



m
k
n
 
(b) Velocidade inicial devido ao impacto da ferramenta 
X
v x
x
n
n










 
0 0
2
2
0
2
1

 
 
Explicitando para v0 
 
0
2
0
2
0
xxXv
nd
  
Com mm 227,0
54004
81,95,01
0




k
gm
x e a nova freqüência natural igual a 
rad/s 4,74
5,04,3
54004




n
 e 
rad/s 9,724,742,01 2 
d
 
a velocidade inicial resulta 
    mm/s 126000227,04,742,0000227,00017,09,72 22
0
v 
 
2.83 Um voltímetro mostrado na Fig. 2.40 possui um ponteiro de alumínio ( = 2700 kg/m3) de comprimento l = 50 
mm, largura 3 mm, e espessura 1 mm. A mola restauradora tem uma constante de mola rotacional k = 100 
N.mm/rad. Um amortecedor para amortecimento crítico é posicionado a um raio r = 8 mm. Durante uma 
medida o instrumento mostra 80 volts. Quando a voltagem é desligada, determinar o tempo requerido para o 
ponteiro retornar à indicação de 1 volt. 
 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
Figura 2.40 
 
Dados:  = 2700 kg/m3, l = 50 mm, b = 3 mm, t = 1 mm, k = 100 N.mm/rad, r = 8 mm, X1 = 80 volts e X2 = 1 
volt. 
Massa 
kg 10405,005,0001,0003,02700 3 btLm  
Equação do movimento 
0
33
0
3
22
2
2
2






mL
k
Lm
rc
kcr
mL
Jrcrk
t
t
t



 
Freqüência natural 
rad/s 3,544
05,01005,4
1,033
242




mL
k
t
n
 
Equação do movimento com amortecimento crítico 
     t
n
nett
 
000

 
Com rad 80
0
K e 0
0
 
    t
n
netKt
  180
 
Para   rad 1
1
Kt  
    1
11
1801
t
n
netKKt
 
 
De onde 
s 01172,0
1
t 
 
2.84 Um medidor de nível de água mostrado na Fig. 2.41 possui uma bóia cilíndrica de 100 mm de diâmetro (massa 
desprezível), uma barra com massa 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. Determinar a constante de amortecimento 
requerida para produzir amortecimento crítico. 
 
 
Figura 2.41 
 
Dados: d = 100 mm, m = 0,5 kg, l = 70 mm e L = 420 mm. 
Equação do movimento 
 
0
4
33
34
2
2
2
22








m
dg
Lm
lc
Lm
Lg
d
Lllc


 
Freqüência natural 
rad/s 5,21
5,04
1,081,910003
4
3 22






m
dg
n
 
Amortecimento crítico 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
2
2
2
2
3
2
2
3
l
Lm
c
Lm
lc
n
cn

  
N.s/m 258
07,03
5,2142,05,02
2
2




c
c 
 
2.85 Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfície seca sob a ação de uma mola de rigidez 10 N/mm. 
Após quatro ciclos completos a amplitude é 100 mm. Qual é o coeficiente de atrito médio entre as duas 
superfícies se a amplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executou os quatro ciclos? 
 
Dados: m = 10 kg, k = 10 N/mm, 4 ciclos completos, X4 = 100 mm, X0 = 150 mm. 
Queda de amplitude: 
k
N2
 a cada meio ciclo 
4 ciclos    





 
k
N2
2410100150 3 
Como kg 1,9881,910  mgN 
Então 0,319
98,116
100001050 3





 
O movimento cessará após r meio ciclos 
ciclos meio 24 5,23
10000
1,983186,02
10000
1,983186,0
15,0
2
0































k
N
k
N
x
r


 
O tempo para que se execute 4 ciclos é 
s 795,0
10000
10
2424
2
4
4

















 


k
m
t
n
ciclos
 
Tempo de parada 
s 38,2
2
199,0
24
2













T
rt
f
 
 
2.86 Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola de rigidez 10000 N/m. O movimento vertical da massa está 
sujeito a uma força de atrito de Coulomb de magnitude 50 N. Se a mola é inicialmente deslocada de 5,5 cm 
para baixo de sua posição de equilíbrio estático determinar: 
(a) o número de meio ciclos transcorridos até que atinja o repouso; 
(b) o tempo transcorrido antes da massa atingir o repouso e 
(c) o alongamento final da mola. 
 
Dados: m = 20 kg, k = 10000 N/m, Fa = 50 N e x0 = 5 cm. 
(a) Número de meio-ciclos até o repouso 
ciclos meio 5
10000
502
10000
50
055,0
2
0






























k
N
k
N
x
r


 
(b) Tempo transcorrido até atingir o repouso 
s 281,0
10000
20
22
2
 


k
m
T
n
 
s 702,0
2
281,0
5
2













T
rt
f
 
(c) Posição em que ocorrerá a parada 
  m 005,0
10000
502
5055,0
2
0





 







k
N
rxtx
f

 
http://cbs.wondershare.com/go.php?pid=5261&m=db
 
2.87 A massa m = 2 kg de um oscilador harmônico linear com k = 500 N/m desliza em uma superfície horizontal 
com coeficiente de atrito estático s = 0,2 e cinético  = 0,08. 
(a) Determinar o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à 
força de atrito. 
(b) Determinar o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar 
completamente. 
 
Dados: m = 2 kg, k = 500 N/m, s = 0,2 e c = 0,08. 
(a) Deslocamento inicial máximo 
  mm 85,7
500
81,922,0
max0



k
N
x s

 
(b) Número de ciclos até a parada 
ciclos 2 ciclos meio 448,3
500
81,9208,02
500
81,9208,0
025,0
2
0































k
N
k
N
x
r


 
 
2.88 Um painel construído por uma fibra composta especial reforçada se comporta como um sistema de um grau de 
liberdade com massa de 1 kg e rigidez de 2 N/m. A relação entre amplitudes sucessivas é 1,1. Determinar o 
valor da constante de amortecimento histerético , da constante de amortecimento viscoso equivalente ceq e a 
energia perdida por ciclo para uma amplitude de 10 mm. 
 
Dados: m = 1 kg, k = 2 N/m, relação entre amplitudes sucessivas = 1,1 e X = 10 mm. 
Decremento logarítmico 
  0953,01,1ln  
Fator de amortecimento viscoso equivalente 
   
0152,0
0953,02
0953,0
2 2
222







 
Freqüência natural 
rad/s 41,1
1
2

m
k
n
 
Freqüência do movimento amortecido 
rad/s 41,141,10152,011 22 
nd
 
Constante de amortecimento viscoso equivalente 
s/mN 0429,041,110152,022 
neq
mc  
Coeficiente de amortecimento histerético 
03033,0
2
414,104290,0



k
c
deq

 
Energia dissipada por ciclo 
  )(N.m J 101,1901,041,10429,0 622   XcW
deq
 
 
2.89 Uma viga engastada com rigidez à flexão de 200 N/m suporta uma massa de 2 kg na sua extremidade livre. A 
massa é deslocada inicialmente de 30 mm e abandonada a mover-se livremente. Se a amplitude após 100 ciclos 
do movimento é 20 mm estimar a constante de amortecimento histerético  da viga. 
 
Dados: k = 200 N/m, m = 2 kg, x0 = 30 mm e x100 = 20 mm. 
Decremento logarítmico 
00405,0
02,0
03,0
ln
100
1
ln
1
1
1 














m
x
x
m
 
Fator de amortecimento viscoso equivalente 
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   
000645,0
00405,02
00405,0
2 2
222







 
Freqüência natural 
rad/s 0,10
2
200

m
k
n
 
Freqüência do movimento amortecido  rad/s 0,1010000645,011 22 
nd
 
Constante de amortecimento viscoso equivalente 
s/mN 0258,0102000645,022 
neq
mc  
Coeficiente de amortecimento histerético 
00129,0
200
100258,0



k
c
deq

 
 
2.90 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 
J = 1,2 kg.m
2 
e rigidez torsional kt = 8500 N.m/rad. Determinar a freqüência natural torsional em rad/seg, Hz, e 
CPM (ciclos por minuto). 
 
Dados: J = 1,2 kg.m
2 
e kt = 8500 N.m/rad. 
rad/s 2,84
2,1
8500

J
k
t
n
 
cpm 804Hz 4,13
2
2,84
2



n
n
f 
 
2.91 Um oscilador harmônico torsional possui momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 
= 10 kg.m
2
 e seu período natural de vibração foi medido em um osciloscópio, sendo igual a 35 ms. Determinar 
a sua rigidez torsional. 
 
Dados: J = 10 kg.m
2
 e Tn = 35 ms. 
rad/s 180
035,0
22



n
n
T
 
kN/m 32218010 22 
nt
Jk  
 
2.92 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação J 
= 1 kg.m
2
 e rigidez torsional kt = 40000 N.m/rad possui uma freqüência natural muito próxima à freqüência 
excitadora. Decidiu-se que o momento de inércia ou a rigidez deveriam mudar para diminuir a freqüência 
natural em 30%. Determinar a mudança requerida em cada opção. 
 
Dados: J = 1 kg.m
2
, kt = 40000 N.m/rad. 
Freqüência natural 
rad/s 200
0,1
40000

J
k
t
n
 
Redução de 30% 
rad/s 140
1

n
 
Alteração no momento de inércia 
2
2
1
1
kg.m 04,2
n
t
k
J

 
Alteração na rigidez 
rad
mN
 196002
11


nt
Jk  
 
2.93 O rotor P de uma bomba centrífuga (Fig. 2.42) está conectada a um motor que gira com velocidade angular 
constante , através de um acoplamento flexível com constante de rigidez torsional KT e um par de 
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engrenagens com raios r1 e r2 e momentos de inércia de massa polares J1 e J2, respectivamente. O rotor da 
bomba possui momento de inércia de massa polar JP. Determinar a freqüência natural da oscilação torsional, 
assumindo que os eixos de conexão são rígidos. 
 
Figura 2.42 
 
Energia cinética 
2
2
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1

P
JJJT  
Relação de transmissão 
1
2
1
22211

r
r
rr  
Resultando em uma energia cinética 
  2
122
2
2
1
1
2
1








P
JJ
r
r
JT 
Momento de inércia equivalente 
 
2
2
2
12
2
21
r
rJJrJ
J P
eq

 
Freqüência natural 
  2
12
2
21
2
2
rJJrJ
rk
J
k
P
T
eq
T
n

 
 
2.94 Determinar a freqüência natural de oscilação do pêndulo duplo composto mostrado na Fig. 2.43 para pequenas 
oscilações em torno da posição de equilíbrio. 
 
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Figura 2.43 
Equações do movimento 
 
 
22
2
222222
11
2
111111
sin
sin




JLmFrgLm
JLmFrgLm


 
Relação de transmissão 
221122112211
  rrrrrr  
Da segunda das equações do movimento, linearizando 
 
2
2222
2
222
r
gLmLmJ
F
 


 
Substituindo F e as relações da transmissão na primeira das equações do movimento chega-se a 
    0
122
2
2
1
111
2
222
2
2
12
111






























  gLm
r
r
gLmLmJ
r
r
LmJ  
Cuja freqüência natural é 
 2
222
2
2
12
111
22
2
2
1
11
LmJ
r
r
LmJ
gLm
r
r
gLm
n














 
 
2.95 Um oscilador harmônico torsional com momento de inércia de massa em relação ao seu centro de rotação 
J = 1 kg.m
2
 e rigidez torsional kt = 10000 N.m/rad possui uma freqüência de oscilação torsional igual a 96 
rad/seg, ao invés dos 100 rad/seg esperados. Suspeitou-se que alguma forma de amortecimento foi introduzida 
no sistema diminuindo a freqüência de oscilação. Determinar o fator de amortecimento. 
 
Dados: J = 1 kg.m
2
, kt = 10000 N.m/rad, n = 100 rad/s, d = 96 rad/s, 
Freqüências natural e do movimento amortecido 
n
21  
d
 
De onde o fator de amortecimento pode ser obtido 
280,0
100
96
11
22















n
d


 
 
2.96 O rotor de um indicador de sintonia de radio (dial) está conectado a uma mola e a um amortecedor torcionais 
formando um sistema de um grau de liberdade. A escala é graduada em divisões iguais e a posição de equilíbrio 
do rotor corresponde ao zero da escala. Quando um torque de 2x10
-3
 N.m é aplicado estaticamente, o 
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deslocamento angular do rotor é 50
o
 com o ponteiro mostrando 80 divisões da escala. Quando o rotor é liberado 
de sua posição, o ponteiro balança primeiro para -20 divisões em um segundo e depois para 5 divisões no outro 
segundo. Achar: 
(a) A constante de mola torsional; 
(b) O período natural não amortecido do rotor; 
(c) O momento de inércia de massa do rotor, 
(d) A constante de amortecimento torsional. 
 
Dados: Mt = 2×10
-3
 N.m, 0 = 50
o
  80 divisões da escala, 0,5  -20 divisões e 1  5 divisões 
(a) Constante de mola torsional 
m/radN 1029,2
180
50
102 3
3



 


t
t
M
k 
(b) Período natural não amortecido 
O período amortecido é 2 s. Para determinar o período não amortecido é necessário calcular o fator de 
amortecimento, que exige o conhecimento do decremento logarítmico. 
77,2
5
80
lnln
1
0 














K
K


 
O fator de amortecimento é 
 
404,0
2 2
2





 
A relação entre os períodos é 
  s 83,12404,011 22 
dn
TT  
(c) Momento de inércia do rotor 
É necessário conhecer a freqüência natural que é 
rad/s 43,3
83,1
22



n
n
T
 
De forma que o momento de inércia é 
26
2
mkg 10194  
n
t
O
k
J

 
(d) Constante de amortecimento torsional 
s/radmN 105392 6  
nOt
Jc  
 
2.97 Um pêndulo torsional tem uma freqüência natural de 200 cpm quando vibrando no vácuo. O momento de 
inércia de massa do disco é 0,2 kg.m
2
. Quando está imerso em óleo sua freqüência natural é 180 cpm. 
Determinar a constante de amortecimento. Se o disco, quando imerso no óleo, sofre um deslocamento inicial de 
2
o
, achar seu deslocamento no final do primeiro ciclo. 
 
Dados: fn = 200 com, J = 0,2 kg.m
2
, fd = 180 com e 0 = 2
o
. 
Fator de amortecimento 
436,0
200
180
11
22















n
d
f
f
 
Constante de amortecimento torsional 
s/radmN 3,65
60
2
2002,0436,022 


nOt
Jc 
Amplitude angular 
rad 0388,0
180
2
60
2
180
180
2
60
2
200436,00 2
2
2
0
2
00 














































 







d
n

 
Ângulo de fase 
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rad 451,0
180
200436,0
tan
60
2
180
180
2
180
2
60
2
200436,00
tantan
1
1
0
001





 















































 









d
n

 
Período da oscilação amortecida 
s 333,0
60
2
180
22













d
d
T 
Posição angular após o primeiro ciclo (transcorrido um período de oscilação) 
    rad 1066,1cos 3   
dd
T
d
TeT dn 
 
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