Questões de Geometria

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Considere o triângulo retângulo de ângulo de 30 e 60,  hipotenusa igual a L e catetos igual a L2L2 e L(√3)2L(3)2.  Indique a opção correta para o sen 30:
		
	
	√3333
	
	√2222
	 
	1212
	
	1313
	
	√3232
	Respondido em 07/06/2020 16:50:47
	
Explicação:
Hipotenusa = L . Cateto menor = L/2 oposto ao ângulo menor 30º . Cateto maior = L V3/2 oposto ao ângulo maior 60º . ..
Então seno 30º = cateto menor / hipotenusa   = (L/2) /L = 1 /2 . 
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dado um triângulo retângulo ABC onde temos os lados: AB=7cm, lado BC=3cm e AC= 2√40240cm. Então o sen A é igual a:
		
	
	2323.
	
	7373;
	 
	3737;
	
	2727;
	
	7272;
	Respondido em 07/06/2020 16:51:05
	Explicação:
Pelos dados AB é o maior lado , portanto é a hipotenusa =7.  O lado BC =3  é o cateto oposto ao ângulo A , pois não contém esse vértice A... Portanto o seno do ângulo A é  a razão entre o cateto oposto BC e a hipotenusa =  3/ 7 .
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. Portanto o outro lado medirá ?
		
	
	O outro lado medirá 2 cm.
	
	O outro lado medirá 3 cm.
	
	O outro lado medirá 8 cm.
	 
	O outro lado medirá 6 cm.
	
	O outro lado medirá 10 cm.
	Respondido em 07/06/2020 16:51:36
	Explicação:A diagonal e os lados do retângulo formam um triângulo retângulo  . A diagonal é a hipotenusa e os lados são os catetos.
Aplicando Pitágoras fica  :  10²  =  8² + x²    ...  100 = 64  + x²   ... x² = 36   ...  x = 6 cm . O valor negativo - 6  não atende  como medida do lado .
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere o triângulo retângulo ABC, onde temos os lados; AB=25cm, BC=7cm e AC=24cm. Então o sen B é igual a:
		
	 
	24252425;
	
	257257;
	
	725725.
	
	724724;
	
	247247;
	Respondido em 07/06/2020 16:51:28
	Explicação:AB = 25 é o maior lado , portanto é a hipotenusa.  O cateto oposto ao ângulo B é AC=24 , pois não contém esse vértice B ...
Então seno B = cateto oposto / hipotenusa = 24/25.
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Num triângulo retângulo ABC o maior lado AB mede 6m e forma um ângulo de 30 graus com o lado AC. Qual a medida em metros do lado BC ?
		
	
	2 raiz de 3
	 
	3
	
	3 raiz de 3
	
	6 raiz de 3
	
	3 raiz de 2
	Respondido em 07/06/2020 16:52:04
	Explicação:O maior lado AB com 6 m é a hipotenusa, portanto  o lado AC é um cateto e está adjacente (junto) ao ângulo 30 graus .O lado BC é portanto o outro cateto,  então oposto ao ângulo 30 graus.  Assim podemos usar a relação BC / AB = seno 30º , donde  BC / 6  = 1/2   e  BC = 6/2 = 3m .
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Num triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual a 1 /2 . Qual o valor da tangente do outro ângulo agudo ?
		
	
	(raiz de 2) /2
	
	(raiz de 3) /3
	 
	raiz de 3
	
	raiz de 2
	
	(raiz de 3) /2
	
	xplicação:Num triângulo retângulo o seno de um ângulo agudo é igual a 1 /2 . Qual o valor da tangente do outro ângulo agudo ?
Se o seno do ângulo  é 1/2 , então pela tabela esse ângulo é 30º .  Como no triângulo retângulo temos um ângulo de 90º  e a soma dos ângulos de um triângulo é 180º , o outro ângulo agudo  é o complemento do primeiro : 90º - 30º = 60º .
A tangente de 60º pela tabela é raiz3  ( igual á divisão  sen60º/cos60º ) .
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Num triângulo retângulo isósceles os catetos são iguais . Se a hipotenusa mede 4 metros, qual a medida dos catetos em metros ?
		
	
	4 raiz de 3
	
	4 raiz de 2
	
	2
	
	2 raiz de 3
	 
	2 raiz de 2
	
Explicação:Usando Pitágoras , se a hipotenusa é a , e os catetos são  b e c  temos a2 = b2 + c2  ..
Como a=4 e   b = c  , resulta  42 = 16 = 2b2   .. daí b2 = 8 .
Então  b= c=  V8 = 2V2.  
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Num triângulo retângulo ABC a hipotenusa é AB  forma o ângulo A com o lado AC. Marque a opção correspondente ao valor da razão  BC / AC .
		
	
	 cotg A
	 
	tg A      
	
	sen A        
	
	cos A     
	
	sec A          
	Respondido em 07/06/2020 16:52:39
	xplicação:O cateto BC é oposto ao ângulo A .  A relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo A = BC/AC = tg A.
	
	
	Uma rampa forma um ângulo de 30 graus com o solo. Qual a distância em metros que se percorre sobre a rampa, a partir do seu início no solo, para se alcançar uma altura de 6 metros em relação ao solo?
		
	
	3V3
	
	3
	
	2V3
	 
	12
	
	6V3     
	Respondido em 07/06/2020 16:54:14
	Explicação:A distância d sobre a rampa é a hipotenusa  a altura alcançada 6 é o cateto oposto a 30º .
Portanto   6/d = seno 30º = 1/2 ..   Daí d = 6 x 2 = 12 .
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Uma escada de 3 metros está apoiada em uma parede formando com ela um ângulo de 30 graus. Os pés da escada estão sobre o piso que é perpendicular à parede. Qual a distância em metros, no piso, entre os pés da escada e a parede?
		
	
	1,5 raiz de 3
	
	1,5 raiz de 2
	 
	1,5
	
	3 raiz de 3
	
	raiz de 3
	
	Explicação:Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 3m. A distância d no piso é o cateto oposto ao ângulo 30º da escada com a parede . A parede  é o outro cateto.  
Então, usando  seno 30º = cateto oposto / hipotenusa , resulta  ... 1/2 = d / 3  , donde  d = 3/2 = 1,5 m
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Um poste tem uma altura aproximada de 3raiz3 metros , perpendicular ao solo, e é fixado por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra presa no solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com o solo ?
		
	
	30 graus
	
	75 graus
	
	15 graus
	
	45 graus
	 
	60 graus
	
Explicação:Trata-se de um triângulo retângulo em que o cabo  é a hipotenusa.  A altura H do poste 3raiz3m é o cateto oposto ao ângulo A do cabo com o solo. O outro cateto  é a distância 3m  no solo  entre a fixação e o poste.  
Com esses dados dos catetos pode-se usar :  tg A  = cateto oposto / cateto adjacente .  
Daí, substiuindo os dados :  tg A = 3raiz3 / 3 = raiz3 , donde, pela tabela da aula :  ângulo A = 60º
 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	João deseja apoiar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que ela forme um ângulo de 60° com o solo. A que distância da parede João deve apoiar a escada no solo?
		
	 
	4 metros
	
	8 metros
	
	12 metros
	
	6 metros
	
	10 metros
	
	Explicação:Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa com 8m. A distância d no piso, até a parede,  é o cateto adjacente ao ângulo 60º da escada com o piso . A altura na parede  é o outro cateto.  
Então, com esses dados pode-se usar :  cosseno 60º = cateto adjacente / hipotenusa .
Daí, substiuindo os dados :  1/2 = d / 8  , donde, igualando os produtos cruzados,  resulta :  2d = 8   e   d = 4m .
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Um observador vê o topo de uma torre , perpendicular ao solo, sob um ângulo de 30°. Caminhando mais 40m na direção da torre ele vê o topo da torre sob um ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcule a medida aproximada da altura da torre.
		
	
	34√3343 m
	
	150√21502 m
	
	20 m
	 
	20√3203 m
	
	18 m
	
	Explicação:Na distância final  x  vê altura h sob 60graus , então   h/tg 60º = h / V3   ... (1)
Inicialmente 40 m mais distante = 40 + x , via a altura h sob angulo 30º. 
 Portanto 40 + x = h / tg 30º = 3.h / V3... (2) .
Substituindo x de (1) em (2) resulta  :  40 + h / V3 = 3 h./ V3
40 V3  + h = 3 h  ...    então 2h = 40 V3  ...   h = = 20 V3  m .
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma escada de 6,5 metros de comprimento esta apoiada em um muro de 6 metros de altura. Determine a que distância do muro essa escada se encontra apoiada.
		
	
	3 metros do muro.
	
	1 metro do muro
	
	5 metros do muro.
	 
	2,5 metros do muro.
	
	2 metros do muro
	Respondido em 07/06/2020 16:54:39
	Explicação:Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa a com 6,5m. A altura do muro 6m  é um cateto b.  A distância c no piso, da escada até o muro , é o outro cateto ..
Então, sabendo a hipotenusae um cateto , para calcular o outro cateto c pode-se usar Pitágoras:  Hipotenusa a² = cateto b² + cateto c².
Daí, substiuindo os dados :  6,5²  = 6²  + c²  , donde  c² = 42,25 - 36 = 6,25 
Então  c = raiz quadrada de 6,25 =  ( e  só interessa a raiz positiva) = 2,5 m. .
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Um poste tem uma altura aproximada de 3√33 , perpendicular ao solo, e é fixado por cabos de aço esticados, com uma ponta presa no seu topo e a outra presa no solo a 3 metros da base do poste. Qual o ângulo que cada cabo faz com o solo ?
		
	
	15 graus
	 
	60 graus
	
	30 graus
	
	45 graus
	
	75 graus
	Explicação:Deve fazer um desenho sobre o enunciado que forma um triângulo retângulo . O cateto oposto ao ângulo A pedido é a altura = 3raiz3 . O cateto adjacente é a distância = 3 . Então podemos usar , por definição, tg do ângulo A = 3 raiz3 /3  =  raiz3.   Como pela tabela tg 60º = raiz3  , então o ângulo A = 60º .
 
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Uma escada deve ser apoiada na parede, formando um ângulo de 60º com o solo, de modo a alcançar 17 m de altura na parede .Qual deve ser a distância no solo , entre os pés da escada e a parede ? Considerar V3 =1,7.
		
	
	20V3
	
	20    
	 
	10
	
	10V3
	
	30
	
	Explicação:Trata-se de um triângulo retângulo em que a escada é a hipotenusa , a altura 17 é o cateto  oposto a 60º e a distância x no solo é o outro cateto que queremos calcular.
Para calcular um cateto, conhecendo o outro , podemos usar a tangente do ângulo oposto.
Então tg 60 =  17 / x ou V3 = 17 /x    ou 1,7 = 17 /x donde x = 17 /1,7 = 10 ... x = 10 metros.
	
	
	Um navegador que está rumando para o sul resolve alterar sua rota emπ3π3rad  para o oeste, então ele alterou sua rota em _______ graus:
		
	
	90 graus.
	
	45 graus.
	
	30 graus.
	 
	60 graus.
	
	120 graus.
	
Explicação:A alteração de rumo foi de pi/3 rad e  devemos passar para graus.  Sabemos que  2pi rad são 360º e que portanto pi rad = 180º. Substiuindo fica :
pi rad /3 = 180º /3 = 60º graus .
 
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual a medida de um arco de 210 graus , em radianos?
		
	
	π2π2
	
	7π37π3
	
	3π23π2rad
	
	π2π2rad
	 
	7π67π6rad
	Explicação:Sabemos que pi rad = 180 graus , então proporcionalmente x rad  = 210 graus   .
Aplicando uma Regra de Três , concluimos  que 210 pi  = 180 x   , donde  x = 210 pi /180  =  ( dividindo por 30)  = 7 pi /6 radianos .
Observe então que na conversão de graus para radianos basta multiplicar o valor em graus por pi/180. 
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Num circuito de motovelocidade em forma de circunferência, seu diâmetro mede 400 metros, um piloto perde o controle de sua moto e sai da pista numa trajetória reta, formando uma tangente a esta circunferência. Sabendo que ele parou a 200 metros do ponto de onde saiu da pista, determine o ângulo formado pelo ponto onde ele parou e o centro do circuito:
		
	
	60 graus.
	 
	45 graus.
	
	40 graus.
	
	90 graus.
	
	30 graus.
	
	Explicação:Se o diâmetro é 400 , o raio é  400 /2 = 200 .  O percurso tangente de 200 é perpendicular ao raio (90º)  . A distância do ponto em que parou na tangente até o centro do círculo e´a hipotenusa do triângulo retângulo formado por essas linhas .
Como os 2 catetos são iguais a 200 , trata-se de um triângulo isósceles que tem 2 lados e 2 ângulos iguais. Como um dos ângulos é 90º  e asomo dos ãngulos num triângulo é 180º , resulta que a soma dos ângulos agudos é 90º  , e como são iguais , cada ângulo mede 45º  .
Assim o ângulo entre o raio e a  linha  qiue liga o centro ao ponto de parada é 45º .
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Um arco de circunferência mede 30 cm e o raio da circunferência mede 10 cm. Calcule a medida do arco em radianos.
		
	
	4 rad
	
	1 rad
	 
	3 rad
	
	2 rad
	
	5 rad
	Explicação:Comprimento do arco = arco em radianos x raio  
30 = arco em radianos x 10   ...   arco = 30/10 = 3 rad 
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Para um determinado ângulo x temos que sen  (x+k.360)=sen x. Logo sen 400⁰ é igual a:
		
	
	- cos 400
	 
	sen 400
	
	tg 400
	
	cos 400
	
	- sen 400
	:
	Explicação:Substituindo sen (x + k.360)  por sen 400  , na expressão dada,  resulta :  x + k.360 = 400 ,  donde só é possível   k=1 e portanto  x +360 = 400  , donde  x=40º.
Então considerando a expressão  dada  sen 400º  = sen  (x+k.360) =  sen x = sen 40º 
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que o comprimento de uma circunferência é 2πrad2πrad, a medida 3π4rad3π4rad em graus, equivale a:
		
	
	250 graus
	
	90 graus
	
	130 graus
	
	125 graus
	 
	135 graus
	
Explicação: Como pi rad = 180º  , basta substituir pi por 180 na expressão em radianos.  
Então 3 pi/4 rad =  3 .180/4  graus = 135 graus .
 
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a expressão geral dos arcos côngruos a 10200 .
		
	
	α=300+3600k,k∈Zα=300+3600k,k∈ℤ
	
	α=1020+3600k,k∈Zα=1020+3600k,k∈ℤ
	 
	α=3000+3600k,k∈Zα=3000+3600k,k∈ℤ
	
	α=1220+3600k,k∈Zα=1220+3600k,k∈ℤ
	
	α=1400+3600k,k∈Zα=1400+3600k,k∈ℤ
	
	Explicação:1020 = 2 x 360 + 300  ...portanto a primeira determinação dos arcos côngruos é 300º .  Os arcos são todos = 300º  +  k .360º.
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco determinado por um ângulo central de 150°?
		
	
	30π30π cm
	
	100π100π cm
	
	20π20π cm
	
	15π15π cm
	 
	25π25π cm
	
	Explicação:Numa circunferência de raio 30cm, qual é o comprimento de um arco determinado por um ângulo central de 150°?  25 pi
Comprimento do arco  = C = radianos x raio . 
Arco 150º = 150 x  pi/180 rad =  simplificando , dividindo por 30  = 5 pi /6  rad.
C = (5 pi /6) x 30 cm   = 25 pi cm .
 
	
	Se ff e  gg  são funções definidas por f(x)=cosxf(x)=cosx e g(x)=sen3xg(x)=sen3x , para  todo xx real, então a soma dos números reais x∈[0,π]x∈[0,π], tais que [g(x)]2+2[f(3x)]2=1[g(x)]2+2[f(3x)]2=1 é igual a:
		
	 
	3π23π2
	
	2π2π
	
	ππ
	
	3π3π
	
	9π29π2
	
	Explicação:Substituindo g(x) = sen3x  e  f(3x) = cos3x  fica : ...   sen²3x + 2 cos²3x  = 1   ..
 (sen²3x + cos²3x ) +  cos²3x  = 1   ....  1 + cos²3x = 1   ...  então  cos²3x  = 0   e   cos3x = 0 ...
Então 3x , no intervalo [0 , 3pi] , resulta cos 3x = 0 para  3x = pi/2 , 3pi/2 e  5pi/2  ..
Portanto x = pi/6 ,  3pi/6 e   5pi/6 ,   que somados como pedido resulta  9pi/6   =  3pi/2 .
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se tg x  = -1,7 , então x é pode ser um arco de qual quadrante ?
 
		
	
	1º ou 3º                      
	 
	2º ou 4º               
	
	1º ou 4º
	
	3º ou 4º
	
	2º ou 3º
	
	Explicação:A tangente = seno / cosseno é negativa quando seno e cosseno têm sinais contrários , no 2º e 4º quadrantes     
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere senx=35senx=35 e cosy=513cosy=513, sendo que x está no primeiro quadrante e y está no quarto quadrante. Marque a opção correta para cosxcosx e senyseny:
		
	
	3535 e −1213-1213
	
	4545 e 12131213
	
	−45-45 e −1213-1213
	
	2525 e −1213-1213
	 
	4545 e −1213-1213
	
	Explicação:Usando sen² a + cos²a = 1  , cos² x = 1- sen² x   = 25/25 - 9/25 = 16/25  e  conclui-se cos x  = V(16/25) = 4/5 positivo pois é do 1º quadrante .  Da mesma forma temos sen²y = 1 - cos²y  = 169/169- 25/169 = 144/169 e  calcula-se  sen y = V( 144/169) = -12/13 , valor negativo porque o arco é do 4º quadrante. 
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x é um arco do 4º quadrante e que cos x = 0,9. Calcule um valor aproximado para 3 sen x.
		
	
	- 0,5
	
	- 0,44
	 
	- 1,3
	
	1,3
	
	0,44
	
	Explicação:Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
cos²x = 0,81   então, sen² x = 1 - 0,81 = 0,19   ... daí sen x=  V 0,19  =  - 0,435  pois x é um arco do 4° quadrante.
Então 3 senx  = 3. ( - 0,435 ) = - 1,3 aproximadamente 
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x é um arco do segundoquadrante e que cos x = -0,6, calcule 2. sen x.
		
	
	1,2
	
	-1,2
	 
	1,6
	
	-1,6
	
	- 1,4
	Respondido em 07/06/2020 17:09:44
	Explicação:Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
cos²x = 0,36   então, sen² x = 1 - 0,36 = 0,64   ... daí sen x=  raiz de 0,64 =  + 0,8  pois x é um arco do 2° quadrante.
Então 2.senx =  2. 0,8 = 1,6.
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere uma circunferência no plano cartesiano xy , com centro na origem e com raio de valor 1, como apresentado nas aulas. Considere também um raio que tem o ponto M na circunferência e faz um ângulo A com o eixo x no primeiro quadrante. Podemos afirmar então que o valor de cos (A) é:
		
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo x.
	
	a relação entre a ordenada e a abcissa do ponto M.
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y
	
	a ordenada do ponto M medida no eixo y.
	 
	a abcissa do ponto M medida no eixo x. 
	
	Explicação:No círculo trigonométrico o cosseno de um arco é medido como a projeção no eixo x , do raio de medida 1 que delimita o arco . Ou seja,  é o valor da abcissa no eixo x , ou seja , é a abcissa do ponto M que marca o arco na circunferência .
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere os ângulos a = 60° e b = 120° , que são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico. Podemos afirmar que  :
		
	
	sen (a) = cos (b) e cos (a) = sen (b)
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = - cos (b)
	
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = cos (b)
	
	sen (a) = - sen (b) e cos (a) = cos (b)
	 
	sen (a) = sen (b) e cos (a) = - cos (b)
 
	Explicação:Se os ângulos são simétricos em relação ao eixo y no círculo trigonométrico , o seno é medido no mesmo ponto do eixo y , portanto tem o mesmo valor Entretanto os cossenos  têm o mesmo módulo , mas um é medido no eixo x positivo e o outro no eixo x negativo , ou seja têm sinais contrários.
Por isso :  seno 60º = seno 120º   e cos 60º = - cos 120º
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que x -e um arco do terceiro quadrante e que sen x = - 0,6, calcule a tg x.
		
	
	-0,8
	
	- 3/4
	 
	3/4
	
	0,8
	
	0,7
	Explicação: Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos²  = 1  , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno,  conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 0,36  então, cos² x = 1 - 0,36 = 0,64   ... daí cos x=  raiz de 0,64 =  - 0,8  pois x é um arco do 3° quadrante.
Então tg x =  sen x / cos x  =  - 0,6 / - 0,8  =  6/ 8 =  3/ 4. 
	Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine 2 cos x.
		
	 
	V3
	
	-V3
	
	V3/2
	
	-V3/2
	
	-1/2
	
	Explicação:Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então 2 cosx = 2. V3/ 2 = V3.
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que senx = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine sec x x.
		
	
	-V3
	
	1/2
	
	-1/2
	 
	2V3/3
	
	-2V3/3
	Explicação:Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então sec x = 1/ cos x  = 2/V3 =  2V3/ 3   (multiplicando por V3 / V3 para eliminar o V do denominador )
 
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dado um ângulo x qualquer, podemos afirmar que cos (1800 - x) é igual a:
		
	 
	-cos x;
	
	tg x.
	
	sen x;
	
	-sen x;
	
	-tg x;
	Explicação:Obsreve no círculo trigonométrico  que o cos do arco A  medido no eixo x , no primeiro quadrante ,   tem o mesmo tamanho que o cos do arco (180 - A ) no eixo x do segundo quadrante , sendo este lado do eixo x é negativo. P. ex : cos 30º = - cos (150º) .
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sabendo-se que um ângulo do segundo quadrante tem o valor do seno igual a 1/2, o valor do cosseno deste ângulo será:
		
	
	√3232
	
	0
	
	1/2
	 
	−√32-32
	
	1
	Explicação:Se o seno é 1/2  = sen 30º ,  então  o angulo no segundo quadrante é 180º - 30º = 150º  e o cosseno é = - cos 30º . = -V3/2. 
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	No que diz respeito às relações entre as funções trigonométricas de arcos complementares, é correto afirmar que cos(π2−x)cos(π2-x) é equivalente a:
		
	 
	 senxsenx
	
	 sen(π2+x)sen(π2+x)
	
	 sen(π2−x)sen(π2-x)
	
	 cosxcosx
	
	 −senx-senx
	Explicação:Observa-se no círculo trigonométrico que o seno de um ângulo A é igual ao cosseno do seu complemento (90º - A ) e vice - versa .
Observe na tabela que sen 30º = cos 60º = 1/2   e  que cos 30º = sen 60º = V3/2 , sendo 30º + 60º = 90º  ( ângulos complementares)
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O seno de 210º  é igual a :
		
	
	sen 30º                      
	
	 - sen 60º
	
	cos 30º
	 
	- sen30º                   
	
	cos60º
	Explicação:sen 210 = sen(180 + 30 ) =  - sen30 no 3º quadrante.
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que sen x = -1/2 com x pertencente ao 4º quadrante, determine cotg x.
		
	
	V3
	
	V3/3
	 
	- V3
	
	1
	
	-V3/3
	Explicação:Nessas questões sempre deve ser usada a relaçõa fundamental sen² + cos² = 1 , e ao extrair a raiz quadrada optar pelo sinal + ou - do seno ou cossseno, conforme o quadrante do arco no enunciado.
sen²x = 1/4   então, cos² x = 1 - 1/4 = 3/4   ...  daí cos x=  +V(3/4)  =  + V3/ 2 pois x é um arco do 4° quadrante.
Então cotg x = cos x /sen x  = V3/ 2 / (- 1/2)  =  V3/ 2 . ( - 2) =  - V3
 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Para um determinado ângulo x temos que cos (x+k.360)= cos x. Logo, cos 8500 é igual a:
		
	 
	cos 1300
	
	tg 1300
	
	- cos 1300
	
	sen 1300
	
	- sen 1300
	Explicação:cos 850 =  cos (x+k.360)   então  850 = x + k360   ...para k=2  resulta  850 = x + 2. 360   ... 850 = x + 720   .. x =130 
	
	Utilize a expressão trigonométrica da soma ou da diferença de dois ângulos notáveis e calcule cos 135°.
		
	
	raiz de 2
	
	- 1/2
	
	(raiz de 2)/ 2
	
	-raiz de 2
	 
	- (raiz de 2)/2
	Explicação:cos (a + b) = cos a * cos b ¿ sen a * sen b 
cos 135°.= (cos 90º + 45º) = 0 - 1 .V2/2 =  - V2/2 
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da expressão sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus.
		
	 
	cos x
	
	cossec x
	
	tg x
	
	sec x
	
	senx
	Explicação:sen (x + a) + cos (x + b), quando a = 30 graus e b = 60 graus.
sen (a + b) = sen a * cos b + cos a * sen b
sen (x + 30) = sen x * cos 30 + cos x * sen 30 =  V3/2 senx  + 1/2 cosx 
cos (a + b) = cos a * cos b ¿ sen a * sen b
cos (x + 60) =  cos x * cos60 ¿ sen x * sen 60  =  1/2 cos x -  V3/2 sen x  
Então : sen (x + 30) + cos (x + 60)  =  V3/2 senx  + 1/2 cosx  + 1/2 cos x -  V3/2 sen x   = simplificando = cosx 
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Para facilitar o trânsito em um cruzamento muito movimentado, será construída uma ponte sobre o qual passará uma das vias. A altura da via elevada, em relação à outra, deverá ser de 5,0m. O ângulo da inclinação da via elevada, em relação ao solo, deverá ser de 22,5o. A distância d, em metros, onde deve ser iniciada a rampa que dará acesso à ponte, medida a partir da margem de outra via, conforme mostra a figura abaixo, deverá ser de:
		
	
	53(√3−1)53(3-1)
	
	53(√2+1)53(2+1)
	
	54(√3+1)54(3+1)
	 
	5(√2+1)5(2+1)
	
	52(√2−1)52(2-1)
	Explicação:5/d = tg 22,5º   .. Cálculo de tg22,5º ... usando tg 2a  : ...  tg45º = 2tg22,5º/ (1 - tg²22,5º) = 1   ...
Fazendo tg22,5º = x  ..   2x = 1 - x²    ...  x² +2x-1 =0 ...  x = V2 -1  ou  - (V2+1)  , mas tg 22,5 é positiva  =  V2-1  ...
Então 5/d  = V2-1   ... d = 5/(V2-1)   =  5(V2 +1 ) / (V2-1) (V2 +1)  =   5 (V2 +1 ) / (2-1)    =   5 (V2 +1 )
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Indique a resposta correta para o cálculo do cos 15:
		
	
	√6+√346+34;
	
	√6464;
	
	√6−√246-24;
	
	√6+√326+32;
	 
	√6+√246+24;
	Explicação:cos 15º = cos (45º ¿ 30º) = cos 45º * cos 30º + sen 45º * sen 30º =
cos 15º = V2/2 . V3/2 + V2/2. 1/2  =  V6/2 + V2/4 = (V6 + V2) / 4.
 
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Se sen x + cos x = 1 / √22 , então o valor de sen (2x) é:
		
	
	1/2
	
	-2/3
	 
	-1/2
	
	-1/5
	
	2/5
	Explicação:(senx + cosx )²   =  sen²x + cos² + 2 senx .cosx    =  1 + sen2x  ... Também pelo enunciado (senx + cosx )²  = (1 / √2)²  =  1/2 ...
 Então igualando fica 1 + sen2x = 1/2   ..donde  sen2x = 1/2 - 1 = - 1/2
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Na simplificação da expressão y = cos 2x - cos² x é representada por:
		
	 
	- sen² x
	
	sen x cos x
	
	- sen x
	
	sen x
	
	sen² x
	Explicação:y = cos 2x - cos² x 
Como cos 2a = cos²a ¿ sen²a , substituindo  cos 2x  fica : cos²x ¿ sen²x  - cos² x  =  ¿ sen²x  .
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que sen x - cos x = 0,4; determine sen 2x.
		
	 
	21/25
	
	20/21
	
	- 21/25
	
	21/20
	
	25/21
	Explicação:sen x - cos x = 0,4; determine sen 2x.
(sen x - cos x ) ² = 0,16  =  sen²x + cos² x - 2senxcosx  ...  Substituindo  sen²x + cos² x  = 1   e  2senxcosx = sen2x  fica,
 1 - sen2x  = 0,16  donde  sen2x= 1 - 0,16 = 0,84   = 84/100 =  (dividindo ambos por 4)  = 21/25. 
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Se sen A  = 3/ 5 , sendo A um arco do 2º quadrante , calcule sen 2A .
		
	 
	 -24/25
	
	 -2/5   
	
	12/25      
	
	 24/25
	
	2/5       
	Explicação:cos² A = 1 - sen² A  = 1 - 9/25 = 16/25  ¿ cosA = - 4 /5  pois A é  do 2º quadrante .
Então sen 2A = 2senA .cosA   = 2 .3/ 5 .(- 4/ 5) = -24/25 .
	
	
	Numa experiência os resultados yy dependem da variável x segundo a função y=100sen2xy=100sen2x. Qual o valor de xx de 0 a ππ que resulta no valor mínimo de yy ?
		
	
	ππ
	
	π4π4
	 
	3π43π4
	
	0
	
	π2π2
	Explicação:O valor y mínimo corresponde neste caso ao valor mínimo de sen2x .
Portanto  sen2x = -1 donde, para x de 0 a pi rad ,  2x = 3pi/2  e x = 3pi/4 .
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que a função cosseno varia entre:
		
	
	[1, -1]
	
	[4, -4]
	 
	[-1, 1]
	
	[-5, 5]
	
	[-4, 4]
	Explicação:As funções seno e cosseno são periódicas, repetindo seus valores a cada 2pi rad , e esses valores  variam de  -1 a +1 .
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Observando o gráfico da função trigonométrica abaixo, é correto afirmar que ele é o grafico representativo da função:
		
	
	cotangente
	
	tangente
	
	seno
	
	secante
	 
	cosseno
	Explicação:Observa-se uma curva periódica , com características do  cosseno x , pois atende ao seguinte : 
f(x) =1,   para x=0 
f(x) = 0 , para x = pi/2  ( pi = 3,14)
f(x) = -1 , para x = pi 
f(x) = 0 , para x = 3pi/2
f(x) = 1, para x=2pi 
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores do parâmetro real  m que torna possível a condição  sen(α)=2m−1sen(α)=2m-1, supondo que αα  é um ângulo agudo.
		
	 
	1/2 < m <1 
	
	-1 < m < 0
	
	0 < m < 1
	
	-1/2 < m < 1
	
	-1/2 < m < 0
	Explicação:Como é um ângulo agudo , está no primeiro quadrante entre 0º e 90º  e o seno  tem valores entre 0 a +1.
Então     0 < 2m-1 <  1  ...  1  < 2m  < 1 + 1    ...     1 < 2m  < 2  ...   1/2  < m  <  1  
 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Os corredores balançam seus braços ritmicamente, enquanto correm para frente e para trás, descrevendo uma oscilação completa em 3434 do segundo, conforme figura abaixo.
 
O ângulo θθ varia em função do tempo t, em segundos, aproximadamente, de acordo com a equação: 
θ=π9sen[8π3(t−34)]θ=π9sen[8π3(t-34)]
Tomando por base os dados acima, podemos afirmar que o maior valor assumido pelo ângulo θθ é:
		
	
	45o
	
	25o
	
	15o
	 
	20o
	
	30o
	Explicação:O maior valor ocorre para o maior valor do seno , que é +1 .  Portanto o maiior valor é  pi/9 .(+1) =  180º /9  =20º .
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores do parâmetro real  m que torna possível a condição  sen(α)=2m−1sen(α)=2m-1, supondo que αα  é um ângulo agudo.
		
	
	 0≤m<10≤m<1<1`<="" body="">
	
	 −1-1<1`<="" font=""><1`<="" body="">
	
	 −12≤m<1-12≤m<1
	 
	12≤m<112≤m<1
	
	 −12-12<="" font="">
	Explicação:Como o ângulo é agudo ele  está no 1º quadrante, de 0 a 90º , portanto seno de 0 a +1.  
Então no 1º quadrante para  sen(α) = 2m −1 , é necessário que    0 ≤ 2m -1 ≤  1 .. 
Daí :   1  ≤ 2m  ≤  1+ 1   donde    0  ≤ 2m  ≤  2   e     1/2  ≤ m  ≤  1 .
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Numa experiência  os resultados y dependem da variável x segundo a função  y = 3 cos 2x. Qual o valor mínimo de y para x  de 0 a  pi rad ?
 
		
	
	-3/2
	 
	-3       
	
	 -1       
	
	0             
	
	 -1/2         
	Explicação:x  de 0 a  pi resulta : 2x de 0 a 2pi . Nesse intervalo, 0 a 2pi,   cos 2x tem máximo = +1  e mín = -1 .
Portanto y = cos 2x é mínimo em :   3 . (-1) = - 3.
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Uma empresa produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças para computadores. Sabe-se que o custo de produção C(x)C(x) e a receita  R(x)R(x)  de venda são dados, aproximadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções
C(x)=2−cos(xπ6)C(x)=2-cos(xπ6) e R(x)=3√2sen(xπ12)R(x)=32sen(xπ12), 0≤x≤60≤x≤6 .
O lucro, em reais, obtidos na produção de 3 dezenas de peças é:
		
	
	750
	 
	1000
	
	3000
	
	500
	
	2000
	Explicação:Para x = 3 ....
C(3)= 2−cos(3π/6)   ...  3π/6 = π/2 = 90º ..  cos 3π/6 = cos90 º= 0  ... C(3) = 2 - 0 = 2 
R(3)= 3√2sen(3π/12) ...  3π/12 = π/4  = 180º/4 = 45º  ...  sen 3π/12 = sen45º = √2/2 ...  R(3) = 3√2.√2/2 = 3
Lucro = R - C =  3 - 2 = 1 , em milhares de reais  =  1000 reais .
	
	
	Analisando a função y = cossecante x observamos que :
		
	
	y tem período pi e é maior ou igual a +1 para pi < x < 2pi.
	
	y tem período 2pi e seus valores estão limitados ao intervalo fechado [-1, +1].
	
	y tem período pi e é menor ou igual a -1 para pi < x < 2pi.
	
	y tem período 2pi e é maior ou igual a +1 para pi < x < 2pi.
	 
	y tem período 2pi e é menor ou igual a -1 para pi < x < 2pi.
	Explicação:A função cossecante é o inverso do seno e é uma função periódica cujos valores se repetem a  cada período 2 pi .  Como cossec = 1/seno, ela tem valores negativos, como o seno , para arcos entre pi  e  2pi, no  3º e 4º  quadrantes. O valor máximo -1 ocorre em 3pi/2 , onde o seno = -1  e vai tendendo negativamente a menos infinito quando o arco tende a pi ou 2pi , onde o seno é zero .
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considerando sen x = 0,6 e o intervalo compreendido no segundo quadrante, determine a cotg x.
		
	
	4/3
	
	3/4
	
	-3/4
	
	1
	 
	- 4/3
	Explicação:cotg x =  1/tg x =  cosx  / sen x   ...   sen²x + cos²x  =  1 ...   cos² x  =  1 - 0,36  = 0,64  ...  cos x= -  0,8  ( arco do segundo quadrante ) .
Então  cotg x  =  -0,8 / 0,6 =  - 8/6   =  -4/3 
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Analisando a função cotangente observamos que :
		
	 
	seu período é pi e é negativa nos 2º e 4º quadrantes.
	
	seu período é pi e é negativa nos 2º e 3º quadrantes.
	
	seu período é 2pi e é negativa nos 2º e 4º quadrantes.
	
	seu período é pi e é negativa nos 3º e 4º quadrantes.
	
	seu período é 2pi e é negativa nos 3º e 4º quadrantes.
	Explicação:A função cotangente que é o inverso da tangente é uma função periódica cujos valores se repetem a  cada período π .  Como cotg = cos/seno  , ela só é negativa quando seno e cosseno tem sinais diferentes , positivo e negativo , ou seja, para arcos do 2º e 4º quadrantes. 
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Analisando a função y = tangente x, observamos que :
		
	
	y tem período pi será negativa se o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º ou do 4º quadrante.
	
	y tem período 2pi será negativase o arco x for do 3º quadrante e positiva se o arco x for do 2º quadrante.
	
	y tem período 2pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
	 
	y tem período pi e será positiva se o arco x for do 3º quadrante e negativa se o arco x for do 2º quadrante.
	Respondido em 07/06/2020 17:18:56
	Explicação:A função tangente é uam função periódica cujos valores se repetem a cada período pi  . Como tg = sen /cos , ela só é positiva quando seno e cos tem mesmo sinal , para arcos do 1º e 3º quadrantes , e só é negativa quando seno e cosseno tem sinais contrários,para arcos do 2º e 4º quadrantes.
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual o valor de cotg x para x = pi/6 rad?  
		
	 
	V3     
	
	V3/2     
	
	V3/3       
	
	2               
	
	2V3/3
	Explicação: pi/6 rad = 180º /6 =  30º.   Então cotg 30º = 1/ tg 30º  = cos 30º / sen 30º = (V3/2) / (1/ 2)   = V3 
ou  direto :  1/tg30º = 1/(V3/3)   =  3/V3 = V3 .
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	considerando o segundo quadrante e sabendo que tg x = -V3 (raiz quadrada de três), calcule a sec x.
		
	
	2
	
	4
	 
	-2
	
	- V3
	
	V3
	Explicação:sec x  = 1/cos x   .. . tgx = senx /cos x  = - V3  ...  senx = -V3cos x  ...   sen²x + cos² x = 1   . .. 
substituindo , fica :   3 cos²x  + cos²x  = 1   ...  4 cos²x  = 1   ... cos² x = 1/4   .. cos x  = - 1/2   pois o arco é do 2º qudrante 
Portanto sec x  = 1/cos x  = - 2.
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Qual o valor de sec x para x = pi/3 rad ?
		
	
	V2
	 
	2
	
	V3/2
	
	2V3/3 
	
	1/ 2
	Explicação:pi/3 rad = 180º /3 =  60º .
sec 60º =  1/ cos 60º  =  1 / (1/ 2)   =  2
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Qual o valor de cosec x para x = pi/6 rad ?
		
	
	V2                 
	 
	2         
	
	2V3/3
	
	V3/2         
	
	1/2                     
	Explicação:pi/6 rad = 180º /6 =  30º.
1 Então  cosec 30º = 1/ sen 30º  = 1 / 1/2  =  2 .
	Desenvolvendo a expressão (sen 2x) / (1+ cos 2x) encontramos:
		
	
	cos x
	 
	tg x
	
	sec x
	
	cossec x
	
	sen x
	Explicação:sen2x  = 2senx .cosx ...  
1 + cos 2x  = 1 + cos²x - sen²x   =  (1 - sen²x) + cos²x  =   cos²x + cos²x  = 2cos²x  ..
Então ;  (sen 2x) / (1+ cos 2x)  =  2senx .cosx  / 2cos²x  =  (simplificando cos ) =  senx / cosx  =  tg x .
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere as afirmações abaixo.
(I)  cosx.tgx.cscx=1cosx.tgx.cscx=1
(II) tg2x.csc2x=1+tg2xtg2x.csc2x=1+tg2x
(III) tg2x.csc2x=1tg2x.csc2x=1
Assinale a opção correta.
(Nota: csc= cossecante)
		
	 
	As afirmações I e II sao verdadeiras e a afirmação III é falsa.
	
	A afirmação I é verdadeira e as afirmações II e III são falsas.
	
	Todas as afirmações são falsas.
	
	A afirmação II é verdadeira e as afirmações I e III são falsas.
	
	Todas as afirmações são verdadeiras.
	Explicação:
(I)  cosx.tgx.cscx =  cos  . (sen/cos) .  (1/ sen)  =  cortando cos e sen =  1 ...  VERDADE
(II) tg2x.csc2x =   (sen²/cos² )  . (1/sen²)  =   cortando sen² = 1/cos² =  
          =  (sen² + cos²) / cos² =   sen²/cos² + cos² /cos² =    tg2x  +1 ... VERDADE .
(III) tg2x.csc2x  , como em (II) não é  = 1   ... FALSO .
 
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor da expressão sen x . cosec x
		
	
	2
	 
	1
	
	-1/2
	
	1/2
	
	-1
	Explicação:sen x . cosec x =   senx  .  1 /senx  = 1. 
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que cotg² x + 1 é igual a:
		
	
	tg² x
	
	sec² x
	
	sen² x
	
	cos² x
	 
	cosec² x
	Explicação:cotg² x + 1   =  (cos²x  / sen²x)  + 1   =   [(1 - sen²x) / sen²x ]  +1    =  [  (1/sen²x ) - (sen²x /sen²x) ] +1  =  cosec²x  -1 + 1    =  cosec²x ..
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão cos x . tg x . cossec x encontramos:
		
	
	2
	
	sen x
	
	1 - sen x
	 
	1
	
	1/2
	Explicação:cos x . tg x . cossec x    =   cos x  . senx / cosx  . 1/ senx ,  cortando cos x  e sen x  , resulta   =  1 .
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Associe as expressões equivalentes das duas colunas e assinale a alternativa correspondente à associação correta:
	(A)1(cosx)21(cosx)2
	
	(1)(cosx)2+(senx)2cosx(cosx)2+(senx)2cosx
	(B)secxsecx
	
	(2)(tgx)2+1(tgx)2+1
	(C)(secx)2−1(secx)2-1
	
	(3)1
	(D)(cossecx)2−(cotgx)2(cossecx)2-(cotgx)2
	
	(4)(tgx)2(tgx)2
		
	
	A3, B1, C4, D2
	 
	A2, B1, C4, D3
	
	A2, B4, C1, D3
	
	A2, B1, C3, D4
	
	A2, B3, C4, D1
	Explicação:Basta aplicar as fórmulas básicas como : sec = 1/cos , cotg = 1/tg , tg = sen /cos   e sen² + cos² = 1 .
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Para um arco x pertencente ao primeiro quadrante, a expressão  cotg² x + 1 corresponde a :
		
	
	sec² x      
	
	 sen² x  
	
	tg ² x   
	 
	cossec² x      
	
	cos² x
	Explicação: cotg² x + 1  = (cos²x / sen²x )  + 1 = cos² x / sen² x + sen² x / sen² x   = (cos² x + sen² x) / sen² x =  1/ sen² x   = cossec² x .
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Desenvolvendo a expressão (tg x + 1) ( 1 - tg x) encontramos:
		
	
	2 + cosec² x
	 
	2 - sec² x
	
	2 - Cosec² x
	
	1 - cosec² x
	
	2 + sec² x
	Explicação:(tg x + 1) ( 1 - tg x)   =  ( 1 + tg x) ( 1 - tg x)   =  ( produto notável ) =  1 - tg² x 
tgx = senx / cosx    , então  1 - tg² x  =  1 - (sen²x / cos²x )   e também  sen²x = 1 - cos²x   , então substituindo fica  :
 1 - [ (1 - cos² x ) /cos² x) ]   =   1 -  [ 1/cos²x  - cos²x/cos²x ]   =  1 - sec²x   + 1  =  2 - sec²x 
	 1 Resolver a equação tg 2x - V3 = 0 e determinar o conjunto verdade.
		
			
	
	V = (x ϵ R| x = π/3 + kπ/2, k ϵ Z}
	
	V = (x ϵ R| x = π + 2kπ, k ϵ Z}
	
	V = (x ϵ R| x = 3π/2 + kπ/2, k ϵ Z}
	 
	V = (x ϵ R| x = π/6 + kπ/2, k ϵ Z}
	
	V = (x ϵ R| x = π/2 + kπ/2, k ϵ Z}
	
	
Explicação:
tg 2x - V3 = 0   .. . tg2x = V3  ... como tg 60º  = tg pi/3 =  V3  , então  2x= 60º = pi/3  atende  no primeiro quadrante  . 
Como a periodicidade da tg é 180º ou pi   , 2x=  60º + 180º = 240º  ou  pi/3 + pi  = 4pi/3 também atende  no 4º quadrante ...
Com essa periodicidade pi  o  conjunto de  arcos 2x que atende é :  pi/3 + k pi .
Os arcos x  são a metade de 2x  =  pi/6 + k pi/2 , como na opção de resposta certa. 
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação cos x= - 1212, obtemos:
		
	
	S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}S={xERx=5π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}
	 
	S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ}S={xERx=2π3+2kπoux=4π3+2kπ,kEZ}
	
	S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}S={xERx=4π6+2kπoux=11π6+2kπ,kEZ}
	
	S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ}S={xERx=4π3+2kπoux=π3+2kπ,kEZ}
	
	S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ}S={xERx=4π3+2kπoux=5π3+2kπ,kEZ}
	
	Explicação:cos 60º = + 1/2  no 1º quadrante  , mas como cos x = -1/2 negativo ,  temos  x  no 2º ou 3º quadrantes  ...
x = 180º - 60º  =  pi - pi/3  = 2pi/3   ou   180 º + 60º =  pi + pi/3  = 4pi/3
Então a solução para x são os arcos côngruos de 120º = 2pi/3   ou de 240º = 4pi/3 .
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Resolvendo a equação cosx=− √32cosx=- 32, obtemos:
		
	 
	S={ x ∈Rx ∈R  tal que x=5π6+2kπx=5π6+2kπ ou x=7π6+2kπ,k ∈Zx=7π6+2kπ,k ∈Z}
	
	S={ x∈ Rx∈ R tal que x=2π3+2kπx=2π3+2kπ ou x=4π3+2kπ,k∈ Zx=4π3+2kπ,k∈ Z}
	
	S={ x ∈Rx ∈R tal que x=4π3+2kπx=4π3+2kπ ou x=π3+2kπ,k ∈Zx=π3+2kπ,k ∈Z}
	
	S={ x ∈Rx ∈R tal que x=5π6+2kπx=5π6+2kπ ou x=11π6+2kπ,k ∈Zx=11π6+2kπ,k ∈Z}
	
	S={ x ∈Rx ∈Rtal que x=4π6+2kπx=4π6+2kπ ou x=11π6+2kπ,k ∈Zx=11π6+2kπ,k ∈Z}
	
	Explicação:No 1º quadrante cos 30º  = V3/ 2 .   Então -V3/2 é o cosseno negativo correspondente  no 2º e 3º quadrantes ..
Portanto x pode ser  180º - 30º = 150º =  5 pi/6    ou  180º +30º  = 210º =  7pi/6   e seus arcos côngruos, como nas opções. .
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a solução da equação sen x = - V2/2 no intervalo 0 ≤ x <2π.
		
	 
	 S = {5π/4, 7π/4 }
	
	 S = {π/4, 5π/4 }  
	
	S = {3π/4, 7π/4 }  
	
	 S = {π/4, 3π/4 }
	
	S = {3π/4, 5π/4 }  
	Explicação:sen 225º  = sen  (180º + 45º) = sen 5pi/4 = - V2/2  no 3º quadrante , 
e também sen 315º = sen (360º - 45º) = sen 7pi/4 =  - V2/2 no 4º quadrante.
Então x  = 5pi/4   ou  7pi/4 .
	
	
	
	 5a QuestãoResolver a equação 2 cos 2x - 1 = 0 e determinar seu conjunto verdade.
		
	
	V = {x ϵ R| x = 2π/6 + kπ ou x = 5π/6 + kπ , k ϵZ}
	
	V = {x ϵ R| x = 9π/6 + kπ ou x = π/6 + kπ , k ϵZ}
	
	V = {x ϵ R| x = 7π/6 + kπ ou x = 5π/6 + kπ , k ϵZ}
	
	V = {x ϵ R| x = 11π/6 + kπ ou x = 5π/6 + kπ , k ϵZ}
	 
	V = {x ϵ R| x = π/6 + kπ ou x = 5π/6 + kπ , k ϵZ}
	
Explicação:
2 cos 2x - 1 = 0  ..   cosa 2x =1/2   ..  então como cos 60º = 1/2  ...  2x = 60º = pi/3 ...   , sendo 2x no primeiro quadrante , com cosseno positivo .
Com cosseno prositivo  2x pode estar também  no  4º quadarnte :  2x = 360º  - 60º = 300º = 5pi/3   ...
Os arcos côngruos de 2x   são:   2k pi  + pi/3   ou   2k pi + 5pi/3   ... 
Então os arcos côngruos de  x são  a metade  :  kpi + pi/6    ou   kpi + 5pi/6. 
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Resolva a equação trigonométrica tg x + 1 = 0 e determine o conjunto verdade.
		
	
	V = (x ϵ R| x = π/5 + 2kπ, k ϵ Z}
	
	V = (x ϵ R| x =3π/2 + 2kπ, k ϵ Z}
	 
	V = (x ϵ R| x = 3π/4 + kπ, k ϵ Z}
	
	V = (x ϵ R| x = π + 2kπ, k ϵ Z}
	
	V = (x ϵ R| x = π/2 + 2kπ, k ϵ Z}
	Explicação:tg x + 1 = 0 ...  tgx = -1 ...  como tg (-45º)  = -1 , então  x = 360º - 45º = 315º  =  7pi/4 , com tg negativo, no quarto quadrante.
Com tg negativo , x pode estar no 2º quadrante  :  x = 315º - 180º =  135º =  3pi/4 .
Os arcos desse conjunto são  : 3pi/4 + 2kpi  e  7pi/4 + 2kpi  ou como  7pi/4 = 3pi/4 + pi = , podemos resumir ambos  :  k pi + 3pi/4  
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Analise e determine a solução para a equação elementar sen x = ½
		
	
	S = {x| x pertence R; x =pi - (pi/6) ou x = kpi + (pi/6), k pertence Z}
	
	S = {x| x pertence R; x =(2k + 5) pi - (pi/6) ou x = kpi + (pi/6), k pertence Z}
	
	S = {x| x pertence R; x = k pi - (pi/5) ou x = 2kpi + (pi/4), k pertence Z}
	
	S = {x| x pertence R; x =k pi - pi ou x = 5kpi + pi, k pertence Z}
	 
	S = {x| x pertence R; x =(2k + 1) pi - (pi/6) ou x = 2kpi + (pi/6), k pertence Z}
	Explicação:sen x = 1/2   , então como sen30º = 1/2  ,  x = 30º = pi/6 no 1º quadrante , com seno positivo .
Se o  seno é positivo  x pode estar  também no 2º quadrante  , com esse mesmo seno , sendo x=  pi -pi/6 = 5pi/6 ( = 180º - 30º = 150º)  ..
Os arcos da solução são todos os arcos côngruos aos acima como na opção do gabarito. 
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Analise e determine a solução da equação cos x = (sqrt(2) / 2)
		
	
	S = {x pertence R tal que x = - (3pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z}
	
	S = {x pertence R tal que x = (3pi) + 2 k pi, k pertence a Z}
	
	S = {x pertence R tal que x = 9pi + 2 k pi, k pertence a Z}
	 
	S = {x pertence R tal que x = + - (pi /4) + 2 k pi, k pertence a Z}
	
	S = {x pertence R tal que x = (7pi ) + 2 k pi, k pertence a Z}
	
Explicação:
cos x = (V2 / 2)  , então como cos 45º = V2/2  ,  x = 45º = pi/4  no 1º quadrante , com cosseno positivo .
Com cosseno positivo  x pode estar  também no 4º quadrante  , com esse mesmo cosseno , sendo x=  2pi -pi/4 = 7pi/4 ( = 360º - 45º)  ..
Este arco pode ser expresso também pelo seu valor negativo  x = - pi/4. 
Os arcos da solução são todos os arcos côngruos aos acima como na opção do gabarito.