Avaliando o Aprendizado - Matemática Discreta V-585

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60 
 3 + 5 3 8 3 8 
Se a + b = 48, então b = 48 – a ⇒ b = 30 
 
44. Para usar certo tipo de tinta concentrada, é necessário diluí-
la em água na proporção 3:2 (proporção tinta concentrada para 
água). Sabendo que foram comprados 9 litros dessa tinta 
concentrada, quantos litros de tinta serão obtidos após a diluição 
na proporção recomendada? 
a) 6 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 
litro de tinta concentrada = 3 ⇒ 9 = 3 ⇒ x = 9 . 2 
 água 2 x 2 3 
x = 18/3 ⇒ x = 6 litros de água. 
9 litros de tinta concentrada + 6 litros de água = 
 = 15 litros de tinta diluída (D) 
45. Três números são proporcionais a 2, 3 e 5 respectivamente. 
Sabendo que o quíntuplo do primeiro, mais o triplo do segundo, 
menos o dobro do terceiro resulta 18, quanto vale o maior deles? 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 
A = 2p ⇒ A = 2 . 2 = 4 
B = 3p ⇒ B = 3 . 2 = 6 
C = 5p ⇒ C = 5 . 2 = 10 (C) 
5A + 3B – 2C = 18 ⇒ 5 . 2p + 3 . 3p – 2 . 5p = 18 
10p + 9p – 10p = 18 ⇒ 9p = 18 ⇒ p = 18/9 ⇒ p = 2 
 
46. Três números são tais que o primeiro está para o segundo 
assim como 2 está para 5 enquanto a razão do terceiro para o 
primeiro é 7/2. Se a soma dos dois menores é 49, o valor do 
maior número é: 
a) 7 b) 14 c) 21 d) 35 e) 49 
 A = 2 , C = 7_ 
 B 5 A 2 
Nas proporções, A é proporcional a 2, B é proporcional a 5 e C é 
proporcional 7. 
A = 2p ⇒ A = 2 . 7 = 14 
B = 5p ⇒ B = 5 . 7 = 35 
C = 7p ⇒ C = 7 . 7 = 49 (E) 
A + B = 49 ⇒ 2p + 5p = 49 ⇒ 7p = 49 ⇒ p = 49/7 ⇒ p = 7 
 
47. A soma de três números é 165. O primeiro deles está para o 
segundo assim como 7 está para 3 e a razão do segundo para o 
terceiro é 4/5. O maior dos três números é: 
a) 45 b) 36 c) 21 d) 84 e) 49 
 A = 7 , B = 4_ 
 B 3 C 5 
Nas proporções, A é proporcional a 7, C é proporcional a 5, 
porém B é proporcional 3 e também a 4, então é necessário 
encontrar para B uma proporção comum a 3 e 4 que é 12, pois 
12 é divisível por 3 e por 4, para isso, é necessário multiplicar a 
primeira proporção por 4 e a segunda proporção por 3: 
 A = 7 . 4 ⇒ A = 28 e B = 4 . 3 ⇒ B = 12 
 B 3 . 4 B 12 C 5 . 3 C 15 
Agora temos que A é proporcional a 28, B é proporcional a 12 e C 
é proporcional a 15. 
 A = 28p ⇒ A = 28 . 3 = 84 (D) 
 B = 12p ⇒ B = 12 . 3 = 36 
 C = 15p ⇒ C = 15 . 3 = 45 
165 = 55p ⇒ p = 165/55 ⇒ p = 3 
 
48. A soma de três números é 98. A razão do primeiro para o 
segundo é 2/3 e a razão do segundo para o terceiro é 5/8. O 
segundo número é: 
a) 15 b) 20 c) 30 d) 32 e) 33 
 A = 2 , B = 5_ 
 B 3 C 8 
Nas proporções, A é proporcional a 2, C é proporcional a 8, 
porém B é proporcional 3 e também a 5, então é necessário 
encontrar para B uma proporção comum a 3 e 5 que é 15, pois 
15 é divisível por 3 e por 5, para isso, é necessário multiplicar a 
primeira proporção por 5 e a segunda proporção por 3: 
 A = 2 . 5 ⇒ A = 10 e B = 5 . 3 ⇒ B = 15 
 B 3 . 5 B 15 C 8 . 3 C 24 
Agora temos que A é proporcional a 10, B é proporcional a 15 e C 
é proporcional a 24. 
 A = 10p ⇒ A = 10 . 2 = 20 
 B = 15p ⇒ B = 15 . 2 = 30 (C) 
 C = 24p ⇒ C = 24 . 2 = 48 
 98 = 49p ⇒ p = 98/49 ⇒ p = 2 
 
49. A proporção entre (x + 8) e 9 é a mesma que entre (x – 6) e 
8. O valor de x é: 
a) 138 b) 27 c) 64 d) 118 e) 164 
(x + 8) = (x – 6) ⇒ 9(x – 6) = 8(x+ 8) ⇒ 9x – 54 = 8x + 64 
 9 8 
9x – 8x = 64 + 54⇒ x = 118 (D) 
50. Três números, proporcionais a 5, 6 e 8, são tais que a 
diferença do maior para o menor supera a diferença entre os dois 
menores em 12 unidades. Quanto vale o maior deles? 
a) 44 b) 45 c) 46 d) 47 e) 48 
A = 5p ⇒ A = 5 . 6 = 30 
B = 6p ⇒ B = 6 . 6 = 36 
C = 8p ⇒ C = 8 . 6 = 48 (E) 
C – A = B – A + 12 ⇒ 8p – 5p = 6p – 5p + 12 
3p = p + 12 ⇒ 2p = 12 ⇒ p = 12/2 ⇒ p = 6 
 
51. A diferença entre dois números é 22. Sabe-se que eles estão 
na razão inversa de 5 para 7. Quanto vale o maior deles? 
a) 55 b) 77 c) 99 d) 121 e) 143 
1ª Resolução: Divisão proporcional 
1/5 e 1/7 (mmc = 35) ⇒ 7 e 5 
A = 7p ⇒ A = 7 . 11 = 77 (B) 
B = 5p ⇒ B = 5 . 11 = 55 
A – B = 22 ⇒ 7p – 5p = 22 ⇒ 2p = 22 ⇒ p = 22/2 ⇒ p = 11 
2ª Resolução: Razão e Proporção 
 a = b_ 
 7 5 
De acordo com a 2ª propriedade: Em toda proporção, a soma 
(ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) 
dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o 
seu conseqüente: 
 a – b = a ⇒ 22 = a ⇒ a = 22 . 7 ⇒ a = 77 
 7 – 5 7 2 7 2 
Se a – b = 22, então b = a – 22 ⇒ b = 55 
 
52. A soma dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 
180°. Se os ângulos internos de um triângulo são proporcionais a 
1, 2 e 3 então o maior desses ângulos mede: 
a) 45° b) 60° c) 75° d) 90° e) 102° 
 A = 1p ⇒ 1 . 30 ⇒ 30° 
 B = 2p ⇒ 2 . 30 ⇒ 60° 
 C = 3p ⇒ 3 . 30 ⇒ 90° (D) 
180 = 6p ⇒ p = 180/6 ⇒ p = 30 
 
53. Um aeroporto X está localizado entre duas cidades A e B que 
distam entre si 440 km. 
 
 A X B 
Em um mesmo instante, dois trens partem um de A e o outro de 
B e, viajando em sentidos opostos, se encontram no aeroporto X. 
Se as velocidades médias dos trens que partem de A e de B são, 
respectivamente, 84 km e 70 km, então o aeroporto X dista: 
a) 180 km de B. d) 230 km de A. 
b) 240 km de A. e) 250 km de A. 
c) 210 km de B. 
Primeiro vamos chamar de a e b para as distâncias das cidades A 
e B até o aeroporto X, respectivamente. 
 
 A X B 
 a b