Método da Bissecção (1)

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REFINAMENTO DE INTERVALOS PARA ENCONTRAR UMA APROXIMAÇÃO DOS ZEROS DE UMA FUNÇÃO REAL
Nesta fase, usaremos algum método iterativo para refinar o intervalo onde se encontra o zero de f. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo para obter uma aproximação do valor exato.
CRITÉRIOS DE PARADA
Todos os métodos iterativos para obter zeros de funções efetuam um teste do tipo: a aproximação está suficientemente próxima do zero da função?
Existem duas interpretações para o valor aproximada:
1. |
2. 
O teste é feito em cada iteração, cada vez que reduzimos o intervalo que contém a raiz. Ao conseguirmos um intervalo [a, b] tal que [a, b] e b – a < , então qualquer x no intervalo [a, b] satisfaz |x - | < . Portanto qualquer x neste intervalo pode ser tomado como aproximação de .
Mas nem sempre é possível obter as duas exigências 1 e 2 satisfeitas simultaneamente. Os métodos numéricos são desenvolvidos de forma a satisfazer pelo menos um dos critérios.
MÉTODOS ITERATIVOS
1. MÉTODO DA BISSECÇÃO
Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a).f(b) < 0.
Vamos supor que o intervalo (a, b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0. 
Neste método reduzimos o intervalo sempre ao meio, de forma que um dos limites será substituído a cada iteração. 
OBS: Estimativa do número de iterações: k > 
Exemplo: f(x) = xlogx – 1
Verificar que existe um zero de f no intervalo (2, 3).
Fazer o refinamento do intervalo pelo método da bissecção.
Resolução:
Para verificarmos que existe um zero de f no intervalo (2, 3), calculamos as imagens de 2 e de 3 pela função f: 
f(2) = -0,3979 < 0 e f(3) = 0,4314 > 0. Logo, existe pelo menos um zero de f em (2, 3).
Para fazer o refinamento:
Começamos com o intervalo (2,3) e achamos x0, o ponto médio dele:
Como f(2,5) tem o mesmo sinal de f(2), então eliminamos a0 = 2 e diminuímos o intervalo para (2,5;3), chamando a1 = 2,5 e b1 = 3.
Daí, calculamos x1, o ponto médio do intervalo (2,5;3)
Como f(2,75) tem o mesmo sinal de f(3), então eliminamos b1 = 3 e diminuímos o intervalo para (2,5;2,75).
Continuamos a fazer isso até chegar no erro máximo admitido: |xi-1 – xi| < 
Exercício: A pressão máxima P, em Kg/mm², que um cabo metálico suporta é dada por:
P(d) = 25d² + ln d
em que d é o diâmetro em mm. Ache um valor aproximado para o diâmetro dado com erro máximo < 0,5 x 10-2 para suportar uma pressão de 1,5x10-4 Kg/mm².
Resolução:
Vimos, na lista de exercícios 2, que o intervalo (0,2; 0,3) possui pelo menos um zero da função 
f(d) = 25d² + lnd -1,5x10-4
Estimativa do número de iterações: = 4,32
Portanto, deveremos fazer, no mínimo, 5 iterações.
Observe a tabela:
	a (-)
	b (+)
	f(a)
	f(b)
	x = (a + b)/2
	f(x)
	0,2
	0,3
	-0,6095879124
	1,045877196
	0,25
	0,1756054588
	0,2
	0,25
	-0,6095879124
	0,1756054588
	0,225
	-0,2266967658
	0,225
	0,25
	-0,2266967658
	0,1756054588
	0,2375
	-0,028063184
	0,2375
	0,25
	-0,028063184
	0,1756054588
	0,24375
	0,073589393
	0.2375
	0,24375
	-0,028063184
	0,073589393
	0,240625
	0,022844191
	0,2375
	0,240625
	
	
	
	
Após 5 iterações, vemos que o intervalo (0,2375 ; 0,240625) tem tamanho 0,003125, que é menor que = 0,5x10-2.
Portanto, qualquer valor dentro do intervalo pode ser usado como uma aproximação para o zero de f, se utilizarmos o critério de parada, |xi+1 – xi| < .
Levando em consideração o critério de parada |f(x)| < , podemos ver que é necessário continuar fazendo mais iterações.
Exercício: Use o Método da Bissecção para encontrar uma aproximação para o zero da função 
f(x) = 5 – 20(e-0,2x – e-0,75x),
com erro máximo de 0,5x10-2.
Estimativa do número de iterações: = 5,6438, ou seja, devermos ter 6 iterações.
 
	a (+)
	b (-)
	f(a)
	f(b)
	x = (a + b)/2
	f(x)
	0,5
	0,75
	0,649
	-0,8185
	0,625
	-0,1343
	0,5
	0,625
	0,649
	-0,1343
	0,5625
	0,2444
	0,5625
	0,625
	0,2444
	-0,1343
	0,59375
	0,05188
	0,59375
	0,625
	0,05188
	-0,1343
	0,609375
	-0,04197
	0,59375
	0,609375
	0,05188
	-0,04197
	0,6015625
	0,004761
	0,6015625
	0,609375
	0,004761
	-0,04197
	0,60546875
	-0,01865
	0,6015625
	0,60546875
	
	
	
	
Como |0,60546875 – 0,6015625| = 0,00390625 < , podemos parar. Podemos verificar, também que, f(0,6015625) < , o que significa que atingimos o segundo critério de parada.
Solução: x = 0,6015625
x
e
<
)
(
x
f
)
2
log(
)
log(
)
log(
0
0
e
-
-
a
b