MÉTODO DA BISSECÇÃO

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MÉTODO DA BISSECÇÃO 
 
 Caríssimos alunos, o cálculo numérico é uma ferramenta fantástica para a solução de 
alguns tipos de problemas que nos são bem complicados. Dessa forma, com o auxílio de 
computadores, seremos capazes de produzir resultados que nos ajudarão a tomar a melhor das 
decisões. Para entendermos bem o que podemos fazer com esta ferramenta, vamos analisar a 
seguinte situação que envonve o preço de venda versus o lucro de um produto, 
Preço 
(reais) 
Lucro 
(reais) 
0 0 
1 0,899 
2 3,184 
3 6,219 
4 9,344 
5 11,875 
6 13,104 
7 12,299 
8 8,704 
9 1,539 
 
Você me pergunta, como assim o lucro cai com o preço? E eu te respondo que a 
depender da demanda do produto, o lucro depende muito do preço em reais, pois, neste caso, 
se o preço for alto, a demanda será menor, aumentando o custo de produção. Portanto, neste 
caso, iremos considerar estes efeitos da forma mais simples possível. 
É importante frisar para vocês que, se efetuarmos uma regressão linear no Excel, 
obtemos a seguinte função, 
𝐿(𝑝) = −0,001𝑝4 − 0,1𝑝3 + 𝑝2 + 𝑝 + 5 
Sendo L(p) o lucro em função do preço p. Assim, precisamos encontrar um valor ótimo 
que irá maximizar este lucro, e bem sabemos que este valor ótimo se encontra no pico do gráfico 
formado por esta proposta, vamos ver, 
 
5
6,899
10,184
14,219
18,344
21,875
24,10424,299
21,704
15,539
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lu
cr
o
Preço
Preço versus Lucro
Graficamente, poderíamos estimar que este valor ótimo se encontra em p = R$ 6,00, 
mas será que é isto mesmo? Para verificar isto, vamos buscar o ponto crítico desta função, e 
bem sabemos que um ponto crítico nos auxilia a buscar o ponto de máximo de uma função. Para 
isso, primeiramente irei encontrar a derivada de L(p), 
𝑑𝐿(𝑝)
𝑑𝑝
=
𝑑
𝑑𝑝
[−0,001𝑝4 − 0,1𝑝3 + 𝑝2 + 𝑝 + 5] 
𝑑𝐿(𝑝)
𝑑𝑝
= −0,004𝑝3 − 0,3𝑝2 + 2𝑝 + 1 
 É importante relembrar que os pontos críticos se encontram onde a derivada da função 
é igual a zero, ou seja, a partir da minha função L(p), ao derivá-la, eu encontrei L’(p), e o valor 
ótimo de meu lucro se encontra exatamente em alguma das raízes reais desta última função 
L’(p). Portanto, 
−0,004𝑝3 − 0,3𝑝2 + 2𝑝 + 1 = 0 
 Porém, como esta é uma equação polinomial de terceiro grau, sabemos que a mesma 
irá nos apresentar três raízes reais, e estas raízes reais não são muito triviais de serem 
encontradas (eu só quero uma desculpa para utilizar um método numérico). Então, vamos 
considerar algumas coisas importantes. Primeiro eu irei desenhar a função acima no Geogebra, 
 
 Note que dentro do intervalo de estudo, que é de p = 0 até 9 reais, temos a função 
cruzando o eixo horizontal apenas uma vez, e é neste ponto que devemos concentrar nosso 
trabalho. Para encontrar este ponto de cruzamento utilizarei um método chamado de 
BISSECÇÃO. Este método consiste em encontrar a raiz real de uma função. Vamos fazer um 
passo a passo para fazer esta verificação. 
PRIMEIRO: Escolha dois pontos a e b na função, de forma que f(a)*f(b) < 0, ou seja, escolha dois 
pontos na função de forma que o produto entre os valores destas funções seja negativo. Isso 
implica que um dois dois será negativo, pois se um produto entre dois números nos retorna um 
valor negativo, então um dois dois números é obrigatoriamente negativo. Lembram que o 
produto entre dois números negativos é positivo e o produto entre dois números positivos é 
positivo também? 
Vejam o gráfico a seguir, 
 
 E a sua tabela, 
Preço Dlucro 
0 1 
1 2,696 
2 3,768 
3 4,192 
4 3,944 
5 3 
6 1,336 
7 -1,072 
8 -4,248 
9 -8,216 
 
Nesta tabela Dlucro significa derivada do lucro e é ela quem irá nos auxiliar na aplicação 
do método da bissecção. Então, os dois pontos que irei escolher são a = 6 e b = 7, de forma que 
teremos f(a) = 1,336 e f(b) = -1,072. 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Utilizar esta informação, garantindo que os valores da 
função possuem sinais diferentes nos possibilita garantir que a raiz real de fato passa entre estes 
dois pontos. 
SEGUNDO: Escolha um ponto médio c entre os dois pontos a e b, ou seja, 𝑐 =
𝑎+𝑏
2
. No nosso 
caso, este ponto c é igual a 6,5. 
TERCEIRO: Verifique o valor da função neste ponto c. Para a nossa função, encontramos 0,2265. 
Observe que a intenção é fazer com que o valor da função no ponto c mude a cada iteração, e 
que, neste caso, ela seja o mais próximo de zero possível. 
QUARTO: Observe duas condições possíveis, 
• Se 𝑓(𝑎) × 𝑓(𝑐) > 0, substitua o valor de a por c, pois isso significa que existe uma raiz 
real no intervalo entre c e b. 
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
D
lu
cr
o
Preço
Preço versus Dlucro
• Se 𝑓(𝑏) × 𝑓(𝑐) > 0, substitua o valor de b por c, pois isso significa que existe uma raiz 
real no intervalo entre c e a. 
Para o nosso caso, temos que f(a) = 1,336, f(b) = -1,072 e f(c) = 0,2265. De cara vemos que 
o produto f(a)xf(c) > 0, pois ambas estas funções são positivas, portanto, teremos um novo 
valor de a, que será a = c = 6,5. 
QUINTO: Repita a operação até um critério de parada estabelecido por você mesmo. 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Este método não se repete indefinidamente. Se você permitir, 
ele se estende ad infinitum, porém é importante notar que o intervalo de busca [a , b] reduz 
à metade a cada iteração. No caso da nossa função, temos o seguinte conjunto de intervalos, 
observe: [1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0675; ... ] e continua até que você indique o seu critério de 
parada. 
 Com a maravilhosa invenção do computador, podemos analisar dez iterações feitas por 
mim no Excel, vejam: 
Iteração a b c dL(a) dL(b) dL(c) L(c) 
1 6 7 6,5 1,336 -1,072 0,2265 24,50244 
2 6,5 7 6,75 0,2265 -1,072 -0,39894 24,48187 
3 6,5 6,75 6,625 0,2265 -0,39894 -0,08029 24,5117 
4 6,5 6,625 6,5625 0,2265 -0,08029 0,074585 24,51186 
5 6,5625 6,625 6,59375 0,074585 -0,08029 -0,00248 24,51299 
6 6,5625 6,59375 6,578125 0,074585 -0,00248 0,036144 24,51273 
7 6,578125 6,59375 6,585938 0,036144 -0,00248 0,016854 24,51293 
8 6,585938 6,59375 6,589844 0,016854 -0,00248 0,007192 24,51298 
9 6,589844 6,59375 6,591797 0,007192 -0,00248 0,002357 24,51299 
10 6,591797 6,59375 6,592773 0,002357 -0,00248 -6,2E-05 24,51299 
 
Considerando a o ponto inicial que definimos, b o ponto final definido para o intervalo, c o ponto 
médio entre a e b, dL(a) é o valor da derivada no ponto a, dL(b) é o valor da derivada no ponto 
b, dL(c) é o valor da derivada no ponto c e finalmente L(c) é o valor do lucro no ponto c. Com 
isso, vamos a uma pequena discussão. 
Note inicialmente a derivada no ponto c. Como queremos estar o mais próximo de zero possível, 
o valor encontrado na iteração 10 é de aproximadamente -0,000062, o que já é bem aceitável. 
Isto me garante que o ponto c encontrado nesta iteração, que é 6,592773 é o mais próximo do 
valor máximo possível. Porém, se observarmos a função L(c), que é o lucro, sabemos que, em 
grosso modo, a partir da terceira casa decimal já não fará tanta diferença, então poderíamos 
estabelecer o critério de parada considerando isto também, mas fica ao critério do intérprete. 
Por fim, para este caso, já estabelecemos que o lucro maximizado se encontra para o produto 
com um valor aproximado de R$ 24,51299 para o preço unitário do produto igual a R$ 6,592773. 
Por fim, vale salientar que isso não significa que este é o lucro unitário, ou seja, do produto 
sozinho, apenas, mas significa para uma quantidade x não estabelecida deste produto. 
 
 
 
Agora, considere a seguinte função, 
𝑎(𝑥) = 2,02𝑥5 − 1,28𝑥4 + 3,06𝑥3 − 2,92𝑥2 − 5,66𝑥 + 6,08 
A função acima é utilizada em um estudo do comportamento mecânico dos materiais, 
representando a(x) como o comprimento de uma fissura e x é uma fração do número dos ciclos 
de propagação. Considerando que os valores de x precisam estar no intervalo [0 ; 1], portanto, 
 
Então percebam que neste intervalo há um ponto de mínimo, e com isso desejamosna verdade 
verificar qual a fração de ciclos de propagação máxima para que tenhamos o mínimo de 
comprimento de fissura. Assim, como no problema anterior, iremos encontrar a derivada da 
função e encontrar seu zero, portanto, 
𝑎′(𝑥) = 10,1𝑥4 − 5,12𝑥3 + 9,18𝑥2 − 5,84𝑥 − 5,66 
Considerando a’(k) = 0, sabemos que há um ponto k onde esta derivada é igual a zero, ou seja, 
um x = k para que a(x) seja o mínimo. Portanto, vamos observar o gráfico desta derivada, 
 
Assim, conseguimos observar que a raiz real desta função se encontra num x um pouco maior 
que 0,9, assim, irei escolher o intervalo de busca como [0,8 ; 1]. Dessa forma, em vez de fazer 
tudo na mão, irei desde já aplicar a inteligência que as eras forneceram para o ser humano e 
aplicar uma tabela do Excel para verificar esse resultado, 
Iteração i1 i2 c da(i1) da(i2) da(c) a(c) 
1 0,8 1 0,9 -2,94128 2,66 -0,58607 1,204522 
2 0,9 1 0,95 -0,58607 2,66 0,913703 1,211737 
3 0,9 0,95 0,925 -0,58607 0,913703 0,134548 1,198759 
4 0,9 0,925 0,9125 -0,58607 0,134548 -0,23289 1,199389 
5 0,9125 0,925 0,91875 -0,23289 0,134548 -0,05098 1,1985 
6 0,91875 0,925 0,921875 -0,05098 0,134548 0,041332 1,198484 
7 0,91875 0,921875 0,920313 -0,05098 0,041332 -0,00494 1,198456 
8 0,920313 0,921875 0,921094 -0,00494 0,041332 0,01817 1,198461 
9 0,920313 0,921094 0,920703 -0,00494 0,01817 0,00661 1,198456 
10 0,920313 0,920703 0,920508 -0,00494 0,00661 0,000836 1,198456 
 
Note que eu escolhi o intervalo como [i1 ; i2] = [0,8 ; 1], onde o ponto médio é c, sendo também 
o valor da derivada da(i1) no valor escolhido do intervalo i1, o valor da derivada da(i2) no valor 
escolhido i2. Assim, perceba que o valor da derivada no ponto médio da(c) precisa ser o mais 
próximo possível de zero, e aqui eu defini o meu critério de parada como da(x) < 0,001. Escolher 
este valor como o mais próximo possível de zero nos garante que estaremos o mais próximo 
possível do mínimo de nossa função a(x), então, como podemos observar na última coluna, 
estes valores da função para cada iteração de c reduz gradativamente e já atinge um valor 
aceitável na iteração 9. Portanto, podemos concluir que teremos um comprimento mínimo de 
fissura a igual a 1,198456 milímetros para 0,930508 de fração de ciclo. Fantástico, não? 
Agora, resumindo, a aplicação do método da bissecção consiste em: 
1. Identifique a função f(x); 
2. Escolha o intervalo de busca [a,b]; 
3. Garanta que f(a)xf(b) < 0, ou seja, garanta que o produto da função seja negativo; 
4. Encontre o ponto médio entre a e b, ou seja, c = (a+b)/2; 
5. Se f(a)xf(c) > 0, substitua a por c (ou seja, há uma raiz real entre b e c); 
6. Se f(b)xf(c) >0, substitua b por c (ou seja, há uma raiz real entre a e c); 
7. Continue até atingir o critério de parada (sugestão, defina um erro absoluto mínimo 
ou relativo mínimo entre valores de c sucessivos entre uma iteração ou outra). 
Com isso, vocês podem fazer os exercícios propostos. 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
QUESTÃO 1: A tabela a seguir representa o índice pluviométrico médio da cidade de Natal em 
um período histórico não especificado, 
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dec 
59 93 203 228 208 240 209 106 55 18 19 26 
 
Temos então o índice pluviométrico em milímetros mês a mês. Dessa forma, faça o que se pede. 
• Inicialmente, transfira estes dados para o Excel; 
• Adicione uma linha de tendência como função polinomial de ordem 4; 
• Utilize a função dada considerando f(x) como o índice pluviométrico e x sendo o mês 
dado (numere o mês de 1 a 12); 
• Derive a função encontrada e verifique dentro do intervalo de 0 a 12 onde a função 
cruza o eixo x; 
• Para cada vez que a função cruzar o eixo x, escolha um intervalo diferente e aplique o 
método da bisseção para definir os máximos índices pluviométricos e os mínimos 
índices pluviométricos. 
QUESTÃO 2: Um determinado voo de uma pequena companhia aérea tem 10 assentos 
disponíveis. A tarifa plena de R$ 500,00 é cobrada para cada assento. O custo marginal de ocupar 
um assento é R$ 100,00, ou seja, a cada assento ocupado, a empresa gasta R$ 100,00. A empresa 
sabe que a maioria dos seus clientes são executivos, que são insensíveis a descontos na tarifa. 
Uma alternativa para vender todos os assentos é bloquear assentos para uma agência de 
turismo. A agência garante, com uma semana de antecedência, a compra de qualquer 
quantidade de assentos no voo com R$ 150,00 de desconto sobre a tarifa plena. Considere a 
tabela a seguir como base, 
DEMANDA Prob-Agência Prob-Executivos 
0 0,05 0,20 
1 0,1 0,35 
2 0,15 0,45 
3 0,25 0,55 
4 0,30 0,60 
5 0,45 0,70 
6 0,60 0,65 
7 0,30 0,55 
8 0,25 0,25 
9 0,15 0,10 
10 0,05 0,05 
 
A tabela acima representa a probabilidade da quantidade de assentos ocupados pela agência 
versus a demanda e a probabilidade de executivos ocupantes versus a demanda. 
Faça o que se pede: 
• Faça uma planilha com estes dados no Excel; 
• Adicione uma linha de tendência polinomial de grau 4 para cada uma das probabilidades 
e verifique quais funções foram geradas; 
• Utilize a função dada como f(x) sendo a probabilidade da demanda da agência de 
turismo em função da demanda x; 
• Utilize a função dada como g(x) sendo a probabilidade da demanda de executivos em 
função da demanda x; 
• Derive as duas funções e verifique no gráfico de ambas onde estão seus máximos; 
• Com a derivada, utilize o método da bissecção para encontrar o zero da função derivada 
de ambas as demandas f(x) e g(x); 
• A partir da demanda máxima, lembrando que não existem frações de passageiros 
(aproxime para números inteiros, apenas), decida qual a quantidade de passageiros da 
agência de turismo você vai reservar e qual a quantidade de executivos você vai 
reservar; 
• Defina o lucro a partir dos dados dos preços oferecidos e dos custos.