ATIVIDADE 7 - CICLO 2 - AULA 3A

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Programa de Formação de Professores – OBMEP na Escola – 2020 
Ciclo 2: Geogebra e Geometria 
7ª atividade para os professores 
 
Assista aos vídeos: 
 Geogebra 21 – Deslocando o gráfico de uma parábola pelo vértice 
 GeoGebra 22 - Estudo do gráfico da função quadrática em termos dos coeficientes 
Em seguida, resolva o seguinte problema. 
 
 
Exercício proposto. Considere uma função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0. 
 
(1) Mostre que essa função pode ser escrita na forma 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 , em que 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 𝑒 𝑦𝑣 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
 
são as coordenadas do vértice 𝑉 da parábola que é o gráfico de 𝑓. 
 
(2) Mostre que o gráfico de 𝑓 é simétrico em relação à reta 𝑥 = 𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
. Isto é, mostre que, 
para qualquer 𝑘 > 0, 𝑓(𝑥𝑣 + 𝑘) = 𝑓(𝑥𝑣 − 𝑘). 
 
 
(3) Reciprocamente, mostre que, se 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2), 𝑥1 ≠ 𝑥2, então o ponto médio de 𝑥1 e 𝑥2 
é a primeira coordenada do vértice 𝑉. Em particular, daqui segue que, se a função 𝑓 tem 
duas raízes reais 𝑥1 e 𝑥2, então a coordenada 𝑥 do vértice é o ponto médio das raízes. 
 
 
(4) Fixe dois números reais quaisquer 𝑎 e 𝑏 (𝑎 ≠ 0). Variando 𝑐 no conjunto dos números 
reais, o vértice 𝑉 percorre uma reta. Determine a equação dessa reta. 
 
(5) Agora fixe números reais 𝑏 e 𝑐. Estude o lugar geométrico descrito pelo vértice 𝑉 quando o 
número 𝑎 varia no conjunto dos números reais diferentes de zero. Quando 𝑏 ≠ 0, o ponto 
𝑉 percorre uma reta menos um ponto. Determine a equação dessa reta. Qual é o ponto 
dessa reta que não pode ser um vértice 𝑉? O que acontece quando 𝑏 = 0? 
 
(6) Finalmente, fixe números reais 𝑎 e 𝑐 (𝑎 ≠ 0). Quando 𝑏 varia no conjunto dos 
números reais, o vértice 𝑉 percorre uma parábola. Qual é a equação dessa 
parábola? 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=wZeBF-pSFGQ&list=PLKz7BfGKDBF090AX0W7I3rVVraAZR7J76&index=21
https://www.youtube.com/watch?v=ydC62IfsJGE&list=PLKz7BfGKDBF090AX0W7I3rVVraAZR7J76&index=22
Observação. Os itens (4), (5) e (6) dessa questão generalizam a questão 5 da 
Prova de Habilitação do Programa OBMEP na Escola, aplicada em 2016. O enunciado 
dessa questão está reproduzido logo abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.obmep.org.br/na-escola.htm