Equações de Variáveis Separáveis

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ESTÁCIO

0

Priscila Abade

05/07/2020

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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
E.D.O. de Variáveis Separáveis
Fellipe Antonio dos S.C. Leite
Instituto Federal da Bahia — IFBA
Maio de 2020
Fellipe Antonio dos S.C. Leite Aula 4.4
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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
1 Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Fellipe Antonio dos S.C. Leite Aula 4.4
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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
A ideia
1 Uma E.D.O. (na forma normal) é do Tipo variáveis separáveis
se é posśıvel colocar no 1o membro da equação uma função
que depende somente da variável y (variável dependente) e no
2o membro uma função que depende somente da variável x
(variável independente).
2 Para isso acontecer a derivada pode ser expressa como um
produto de uma função de x por outra função de y .
3 Simbolicamente a E.D.O. de variáveis separáveis pode ser
escrita na forma: y ′ = f (x) · g(y)
4 Na forma diferencial, podemos tem
f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 ou simplesmente
f (x)dx + g(y)dy = 0
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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
A ideia
1 Uma E.D.O. (na forma normal) é do Tipo variáveis separáveis
se é posśıvel colocar no 1o membro da equação uma função
que depende somente da variável y (variável dependente) e no
2o membro uma função que depende somente da variável x
(variável independente).
2 Para isso acontecer a derivada pode ser expressa como um
produto de uma função de x por outra função de y .
3 Simbolicamente a E.D.O. de variáveis separáveis pode ser
escrita na forma: y ′ = f (x) · g(y)
4 Na forma diferencial, podemos tem
f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 ou simplesmente
f (x)dx + g(y)dy = 0
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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
A ideia
1 Uma E.D.O. (na forma normal) é do Tipo variáveis separáveis
se é posśıvel colocar no 1o membro da equação uma função
que depende somente da variável y (variável dependente) e no
2o membro uma função que depende somente da variável x
(variável independente).
2 Para isso acontecer a derivada pode ser expressa como um
produto de uma função de x por outra função de y .
3 Simbolicamente a E.D.O. de variáveis separáveis pode ser
escrita na forma: y ′ = f (x) · g(y)
4 Na forma diferencial, podemos tem
f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 ou simplesmente
f (x)dx + g(y)dy = 0
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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
A ideia
1 Uma E.D.O. (na forma normal) é do Tipo variáveis separáveis
se é posśıvel colocar no 1o membro da equação uma função
que depende somente da variável y (variável dependente) e no
2o membro uma função que depende somente da variável x
(variável independente).
2 Para isso acontecer a derivada pode ser expressa como um
produto de uma função de x por outra função de y .
3 Simbolicamente a E.D.O. de variáveis separáveis pode ser
escrita na forma: y ′ = f (x) · g(y)
4 Na forma diferencial, podemos tem
f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 ou simplesmente
f (x)dx + g(y)dy = 0
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Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Como resolver?
I. Reconhecer o tipo de E.D.O.
II. “Isolar o que tem x no 2o membro e o que tem y no 1o
membro”
III. Separar os diferenciais
IV. Integrar cada membro com respeito a variável que aparece
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O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Exemplos
I. y ′ = 2xy
Note y ′ = f (x) · g(y) com f (x) = 2x e g(y) = y
Separando as variáveis:
1
y
dy
dx
= 2x
Separando os diferenciais:
dy
y
= 2x dx
Integrando:
∫
dy
y
=
∫
2x dx
ln y = x2 + k ⇒ y = ex2+k = ex2 · ek = A · ex2
Verificando a solução ϕ(x) = A · ex2 , derivando:
ϕ′(x) = A · (2x)ex2 = (2x)(Aex2) = 2xϕ(x)
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Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Exemplos
II. y ′ =
x2 − 1
y2 + 1
Note y ′ = f (x) · g(y) com f (x) = x2 − 1 e g(y) = 1
y2 + 1
Separando as variáveis: (y2 + 1)
dy
dx
= x2 − 1
Separando os diferenciais: (y2 + 1)dy = (x2 − 1)dx
Integrando:
∫
(y2 + 1)dy =
∫
(x2 − 1)dx
y3
3
+ y =
x3
3
− x + k ⇒ y3 + 3y = x3 − 3x + 3k
Solução Geral: y3 + 3y = x3 − 3x + C
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Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Exemplos
III. Resolver o P.V.I.
{
y ′ =
y cos x
y2 + 1
y(0) = 1
Separando as variáveis:
(y2 + 1)
y
dy
dx
= cos x
Separando os diferenciais: (y +
1
y
)dy = (cos(x))dx
Integrando:
∫
(y +
1
y
)dy =
∫
(cos(x))dx
Solução Geral da E.D.O.:
y2
2
+ ln(y) = sen x + k
Usando as condições iniciais:
12/2 + ln(1) = sen 0 + k ⇒ k = 12
Solução do P.V.I.:
y2
2
+ ln(y) = sen x + 12
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Sumário
Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Aplicação
Problema:Uma substância é posta numa corrente de ar. Se a temperatua
ambiente é 30◦C e a temperatura da substância. em 15 minutos, resfria de 100◦
para 70◦C, determine em que momento a temperatura da substância será de
40◦C.
Resolução: Segundo a Lei de Newton:
dT
dt
= k(T − T0)
Separando as variáveis:
dT
T − 30
= kdt
Integrando:
∫
dT
T − 30
= kdt
Solução Geral da E.D.O. na forma impĺıcita: ln(T − 30) = kt + lnC
Solução Geral na forma expĺıcita (Isolar o T (t)):
ln
T − 30
C
= kt ⇒
T (t)− 30
C
= ekt
Assim: T (t) = 30 + C · ekt
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Equações de Variáveis Separáveis
O que é?
Como Resolve?
Exemplos
Aplicação
Aplicação
Problema:Uma substância é posta numa corrente de ar. Se a temperatua
ambiente é 30◦C e a temperatura da substância. em 15 minutos, resfria de 100◦
para 70◦C, determine em que momento a temperatura da substância será de
40◦C.
T (t) = 30 + C · ekt
Usando as condições iniciais: T (0) = 100 e T (15) = 70. Assim
T (0) = 30 + C · 1 = 100 ∴ C = 70
T (15) = 30 + 70e15k = 70 ∴ e15k =
4
7
⇒ 15k = ln
4
7
k =
1
15
ln
4
7
.
P.V.I. (na verdade aqui é um problema de contorno):{ dT
dt
= k(T − T0)
T (0) = 100T (15) = 70
Solução do P.V.I.: T (t) = 30 + 70e
t
15
ln 4
7
Resposta do problema: 40 = 30 + 70e
t
15
ln 4
7 ⇒ e
t
15
ln 4
7 =
1
7
t
15
=
ln 7−1
ln 4
7
⇒ t =
−15 ln 7
ln 4− ln 7
=
15 ln 7
ln 7− ln 4
∼= 52, 16min
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