Pesquisa Operacional aulas 1 e2

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Modulo 3 - Aula 1 - Determinação dos fluxos de transportes
O Algoritmo do Transporte
Entre os temas mais recorrentes estudados pela pesquisa operacional na área de gestão, está o problema do transporte. Como sabemos, em qualquer que seja a área de atuação de uma organização, encontraremos a necessidade de transportar ou alocar recursos (produtos, pessoas, etc.) de determinada origem para seus respectivos destinos.
A estrutura das fontes de produção — sendo essas as origens do produto —, os conjuntos de caminhos possíveis para o transporte dos itens e as destinações para as quais os produtos devem ser direcionados são elementos que precisam ser levantados para a elaboração da modelagem que permitirá desenvolver o estudo do problema de determinação do carregamento da rede de transporte para minimizar o seu custo total.
Nesse cenário, considerando o planejamento da rede logística de distribuição, é responsabilidade da função transporte agregar o valor “lugar” ao produto ofertado ao mercado. Esse fato implica disponibilizar o produto certo no local onde o mercado o espera; portanto, para o processo geral de produção e comercialização de um produto, cabe ao sistema de transporte exercer um papel fundamental e indispensável.
Sendo assim, o transporte deve ser cuidadosamente sistematizado para que os objetivos finais sejam alcançados sem expressivos acréscimos no custo final do produto.
A estrutura geral de um modelo de transporte pode ser dada, por exemplo, considerando três fontes de determinado produto e três destinos para os quais ele deve ser transportado, conforme apresentado na imagem a seguir. Assim, determinaremos o volume de transporte em cada uma das rotas indicadas para que essa programação minimize o custo total da entrega. Situações como essas são comuns para organizações que possuem fábricas localizadas em algumas cidades e depósitos em outras ou para processos em que os produtos não vão diretamente da fonte produtora até o consumidor final.
Avaliando o contexto apresentado, percebemos que o problema de transporte corresponde a um tipo específico de problema de programação linear, o que, portanto aponta o simplex como uma metodologia passível de utilização. No entanto, a aplicação dessa técnica de resolução torna-se trabalhosa frente aos dados que compõem o cenário das definições de rotas de transportes, fato que justifica a criação e utilização de um algoritmo especial para solucionar esse tipo de problema: o algoritmo do transporte.
O algoritmo de transporte é uma técnica que busca a simplificação da obtenção da solução ótima para a definição de quanto levar das origens aos destinos. Assim, ao conhecer os dados de custo, serão estipuladas as quantidades a serem distribuídas de cada origem para cada destino, considerando o total produzido na origem e a capacidade do destino
Para o problema de transporte, devemos representar esquematicamente todas as origens, destinos, ofertas e demandas para que possamos chegar à solução do modelo. As referidas informações compõem o quadro ou a matriz de transportes
Mas de que forma podemos organizar essas informações na matriz de transportes?
	
	Destino 1
j=1
	Destino 2
j=2
	Destino 3
j=3
	Origem 1
i=1
	
	
	
	
	
	
	
	Origem 2
i=2
	
	
	
Para representar as nossas variáveis de decisão, aquelas que serão encontradas após solução do modelo, teremos xij para representar os totais a serem distribuídos da fonte ao destino.
	
	Destino 1
j=1
	Destino 2
j=2
	Destino 3
j=3
	Origem 1
i=1
	
	
	
	
	X11
	X12
	X13
	Origem 2
i=2
	
	
	
	
	X21
	X22
	X23
Considerando cada origem e destino, representaremos os custos de cada rota Cij pelos quadrados destacados em amarelo. Esses valores, juntamente com as variáveis de decisão, formarão a função objetivo.
	
	Destino 1
j=1
	Destino 2
j=2
	Destino 3
j=3
	Origem 1
i=1
	
	
	
	
	X11
	X12
	X13
	Origem 2
i=2
	
	
	
	
	X21
	X22
	X23
Cada origem apresenta um total de itens produzidos, e, portanto, a oferta da fonte é simbolizada pelo Fi. Os destinos preveem uma demanda específica, um total procurado para atender à sua capacidade ou necessidade, representado por Dj.
	
	Destino 1
j=1
	Destino 2
j=2
	Destino 3
j=3
	OFERTA
	Origem 1
i=1
	
	
	
	F1
	
	X11
	X12
	X13
	
	Origem 2
i=2
	
	
	
	F2
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	D2
	D2
	D2
	
Vamos ao exemplo?
A família Silva & Soares cultiva abóboras em boa parte da área de plantio de suas terras no estado do Pernambuco. A sua produção é estocada em dois armazéns, que abrigam 20 e 12 t, respectivamente, e que são responsáveis por atender a três grandes redes de supermercados da região. O supermercado 1 demanda 14 t, o supermercado 2 precisa de 7 t, e o supermercado 3 necessita de 11 t. Os custos com o transporte das t estocadas no armazém 1 são de R$ 20,00, R$ 22,00 e R$ 17,00 para os respectivos supermercados 1, 2 e 3. Tendo como origem o estoque do armazém 2, os custos de transporte para os supermercados são de R$ 12,00, R$ 9,00 e R$ 8,00, respectivamente. Qual a matriz de transportes que representa o cenário das entregas de abóboras cultivadas pela família Silva & Soares?
Diante dos dados acima, temos:
· Oferta do armazém 1: 20 t.
· Oferta do armazém 2: 12 t.
· Demanda do supermercado 1: 14 t.
· Demanda do supermercado 2: 7 t.
· Demanda do supermercado 3: 11 t.
· Total de oferta: 32 t.
· Total de demanda: 32 t.
· Função objetivo: MIN C = 20x11 + 22x12 + 17x13 + 12x21 + 9x22 + 8x23.
Levando as informações destacadas para a matriz de transportes, teremos:
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	7
	11
	32
A operacionalização do algoritmo do transporte somente poderá acontecer se as demandas de oferta e procura estiverem equilibradas, portanto, iguais, como vimos no exemplo. Nos casos em que a oferta for superior à procura, para equilibrar o sistema, devemos inserir um destino (coluna) fictício para representar a folga. Para situações em que a procura for superior à oferta, devemos inserir uma origem (linha) fictícia para representar o excesso de procura. De uma forma ou de outra, teremos custo zero para os novos espaços criados para equilibrar a matriz.
Uma vez estabelecido o quadro, para definição da melhor decisão para o transporte das origens para os destinos específicos, três metodologias são previstas: do custo mínimo, do canto noroeste e de Vogel ou das penalidades. Assim, para cada situação empresarial verificada, devemos aplicar os três métodos e perceber o comportamento da função objetivo, que será responsável por indicar qual metodologia nos trará a programação de entrega de menor custo.
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Aula 2 - Métodos do canto noroeste e do custo mínimo
Para solucionar o problema de transporte, devemos representar origens, destinos, ofertas e demandas no quadro ou matriz de transportes, sendo este desenvolvido considerando aspectos teóricos próximos aos aplicados na elaboração de um modelo matemático.
Sendo assim, após a certificação do equilíbrio entre oferta e demanda — ou da inserção de informações para que esse pressuposto seja atendido —, podemos estabelecer a decisão quanto aos totais a serem transportados das origens para os destinos por meio de três metodologias alternativas: do canto noroeste, do custo mínimo e de Vogel ou das penalidades.
Pela simplicidade de aplicação, temos nos métodos do canto noroeste e do custo mínimo, algumas similaridades. Desse modo, abordaremos ambos em nossa Aula 2.
Método do Canto Noroeste
O nome da técnica canto noroeste se justifica pelas etapas que compõem a aplicação desse método. Portanto, segundo essa metodologia de resolução do algoritmo do transporte, estabeleceremos a alocação dos recursos sempre pela parte mais noroeste possível do quadro. Assim, a regra de decisão aplicada será enviar o menor valor apresentado entre demanda e produção para as localizações mais próximas possíveis docanto superior esquerdo da matriz de transportes. Esse processo se repete até que todas as ofertas e demandas estejam zeradas e possamos verificar na função objetivo qual o custo envolvido com essa determinada programação de transporte.
Para resolver passo a passo uma situação problema por meio do método do canto noroeste, partiremos da seguinte situação problema:
A família Silva & Soares cultiva abóboras em boa parte da área de plantio de suas terras no estado do Pernambuco. A sua produção é estocada em dois armazéns, que abrigam 20 e 12 t, respectivamente, e que são responsáveis por atender a três grandes redes de supermercados da região. O supermercado 1 demanda por 14 t, o supermercado 2 precisa de 7 t, e o supermercado 3 necessita de 11 t. Os custos com transporte das t estocadas no armazém 1 são de R$ 20,00, R$ 22,00 e R$ 17,00 para os respectivos supermercados 1, 2 e 3. Tendo como origem o estoque do armazém 2, os custos de transporte para os supermercados são de R$ 12,00, R$ 9,00 e R$ 8,00.
Diante da aplicação do método do canto noroeste (algoritmo do transporte), qual programação de produção minimizará o custo de transporte para os negócios da família Silva & Soares?
As informações apresentadas pela situação-problema nos permitem concluir que a função objetivo será dada por MIN C = 20x11 + 22x12 + 17x13 + 12x21 + 9x22 + 8x23, e a matriz de transporte será da seguinte maneira:
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	7
	11
	32
Como dispomos de uma matriz equilibrada, podemos iniciar a resolução. Para dar início à aplicação do método, devemos identificar a célula que está na posição mais a noroeste da tabela, portanto a célula x11, aquela que representa o quanto transportar do armazém 1 para o cliente 1. Nessa posição, temos o armazém 1 com oferta de 20 t, e o cliente 1 precisando de 14 t. Devemos optar pelo menor valor entre eles, portanto 14 t. Assim, a quantidade procurada pelo supermercado 1 já será plenamente atendida, e o armazém 1 terá apenas 6 t em estoque para atender aos demais clientes.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	
	
	6
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	7
	11
	32
Dando continuidade pela célula seguinte, temos o armazém 1 com oferta de 6 t, sendo que o supermercado 2 demanda por 7 t. Assim, por ser o menor valor entre eles, deveremos enviar 6 t para essa localidade, finalizando a oferta do armazém 1 e deixando a demanda de 1 t para ser atendida pelo outro armazém.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	6
	0
	0
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	1
	11
	32
A atual célula mais próxima ao canto noroeste é aquela que representa quanto levar do armazém 2 para o cliente 2; desse modo, será essa a próxima localização a ser atendida. O armazém 2 dispõe de 12 t para entrega, e o cliente 2 precisa de apenas 1 t, já que as 6 t restantes foram atendidas pelo primeiro armazém. Assim, por ser o valor mínimo, destinaremos 1 t para esse destino.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	6
	0
	0
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	1
	
	11
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	0
	11
	32
Para finalizar, temos o cliente 3, que precisa de 11 t, sendo esse total a oferta do armazém 2. Portanto, finalizamos a aplicação do método canto noroeste com esse envio.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	6
	0
	0
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	1
	11
	0
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	0
	0
	32
Assim, com origem no armazém 1, teremos o envio de:
· x11: 14 t de abóboras para o cliente 1.
· x12: 6 t de abóboras para o cliente 2.
· x13: 0 t de abóboras para o cliente 3.
Considerando a origem no armazém 2, teremos o envio de:
· X21: 0 t de abóboras para o cliente 1.
· X22: 1 t de abóboras para o cliente 2.
· X23: 11 t de abóbora para o cliente 3.
Portanto, lembrando que nossa função objetivo é MIN C = 20x11 + 22x12 + 17x13 + 12x21 + 9x22 + 8x23, chegaremos ao custo minimizado de R$ 507,00 para essa rota de programação de entregas.
Custo mínimo
O nome da técnica custo mínimo se justifica pelo fato de que os cálculos sempre começarão pelos menores valores de custo. Sendo assim, quatro etapas sucessivas compõem essa metodologia:
1st  Identificação do custo mínimo da matriz de transporte para determinar por onde iniciar a resolução do método.
2nd  Nessa posição, direcionamento do menor quantitativo entre oferta e demanda.
3rd  Reorganização da matriz com base no envio realizado na fase anterior.
4th  Reinício do processo pela fase 1.
Para exemplificar a aplicação dessas etapas, manteremos o exemplo que resolvemos com o método do canto noroeste para comparar os resultados finais. Sendo assim, partiremos da seguinte matriz de transporte:
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	7
	11
	32
O menor custo apresentado pela situação problema é de R$ 8,00, sendo o mesmo correspondente a quanto enviar do armazém 1 para o cliente 3. O armazém 2 dispõe de 12 t, e o cliente 3 espera por 11 t. Sendo o menor valor entre os citados o total de 11 t, este será o total enviado para a localização x23, atendendo plenamente ao cliente 3 e mantendo 1 t em estoque no armazém 1.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	1
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	7
	0
	32
Para dar continuidade, devemos identificar o menor custo entre as localizações restantes. Portanto, R$ 9,00, custo envolvido no transporte do armazém 2 para cliente 2, será a nossa escolha. O armazém 2 dispõe de 1 t, enquanto o cliente 2 demanda por 7 t. Assim, enviaremos 1 t para essa localização, zerando a oferta nessa origem e reduzindo a procura para 6 t.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	0
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	1
	11
	0
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	6
	0
	32
Reiniciando o processo, o menor custo disponível é R$ 20,00, correspondendo ao custo de transporte de produtos com origem no armazém 1 para atender ao cliente 1. Assim, a oferta é de 20 t de abóboras, enquanto a procura é de 14 t. Sendo a decisão dada pelo menor valor entre os mesmos, faremos o envio de 14 t para esse destino.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	
	0
	6
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	1
	11
	0
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	6
	0
	32
Finalizando o processo, temos o cliente 2 para ser atendido. Assim, destinaremos as 6 t finais do armazém 1 para essa localidade.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	6
	0
	0
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	1
	11
	0
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	0
	0
	32
Assim, com origem no armazém 1, teremos o envio de:
· x11: 14 t de abóboras para o cliente 1.
· x12: 6 t de abóboras para o cliente 2.
· x13: 0 t de abóboras para o cliente 3.
Considerando a origem no armazém 2, teremos o envio de:
· X21: 0 t de abóboras para o cliente 1.
· X22: 1 t de abóboras para o cliente 2.
· X23: 11 t de abóbora para o cliente 3.
Portanto, lembrando que nossa função objetivo é MIN C = 20x11 + 22x12 + 17x13 + 12x21 + 9x22 + 8x23, chegaremos ao custo minimizado de R$ 509,00 para essa rota de programação de entregas. Esse valor, coincidentemente, foi o mesmo encontrado com a aplicação do primeiro método.
______________________________________________________________________________________________
Aula 3O método de Vogel ou das penalidades
A busca pela resolução de problemas de transporte implica a representação de origens,destinos, ofertas e demandas no quadro ou matriz de transportes que represente determinada situação empresarial.
O método de Vogel consiste em realizar o transporte priorizando a localização com menor custo unitário da linha ou coluna que apresentar o maior valor de penalidade, justificando-se, então, a outra forma de denominação para esse método. Para a pesquisa operacional, o termo “penalidade” está relacionado à diferença positiva entre os dois menores valores de custo unitário levantados em uma mesma linha ou coluna. Dessa maneira, cinco etapas devem ser realizadas para a aplicação do método.
1st Cálculo da penalidade para cada linha ou coluna.
2nd Escolha da linha ou coluna com maior penalidade (em caso de empate, a escolha deve ser arbitrária).
3rd Na linha ou coluna selecionada, identificação da localidade com menor custo de transporte.
4th Reinício do processo com as células faltantes.
Para exemplificar a aplicação dessas etapas, manteremos o exemplo que resolvemos com os métodos do canto noroeste e do custo mínimo para comparar os resultados finais. Sendo assim, partiremos da seguinte matriz de transporte:
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	7
	11
	32
Como vimos, a primeira etapa do método consiste em calcular as penalidades de cada linha e de cada coluna. Para isso, devemos identificar os valores mínimos em cada uma das possibilidades.
Penalidades referentes às linhas:
1ª linha: 20 – 17 = 3.
2ª linha: 9 – 8 = 1.
Penalidades referentes às colunas:
1ª coluna: 20 – 12 = 8.
2ª coluna: 22 – 9 = 13.
3ª coluna: 17 – 8 = 9.
Entre os valores obtidos, a maior penalidade é encontrada para a 2º coluna. Na mesma, o menor custo apresentado é dado por R$ 9,00, o que nos demandará pela decisão entre as 12 t ofertadas pelo armazém 2 e as 7 t demandadas pelo cliente 2. Como o menor valor é de 7 t, teremos esse quantitativo sendo enviado para atender a essa primeira fase do método. Como consequência, teremos a conclusão das necessidades do cliente 2 e a redução do quantitativo em estoque no armazém 2.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	12
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	7
	11
	32
Como vimos, a primeira etapa do método consiste em calcular as penalidades de cada linha e de cada coluna. Para isso, devemos identificar os valores mínimos em cada uma das possibilidades.
Penalidades referentes às linhas:
1ª linha: 20 – 17 = 3.
2ª linha: 9 – 8 = 1.
Penalidades referentes às colunas:
1ª coluna: 20 – 12 = 8.
2ª coluna: 22 – 9 = 13.
3ª coluna: 17 – 8 = 9.
Entre os valores obtidos, a maior penalidade é encontrada para a 2º coluna. Na mesma, o menor custo apresentado é dado por R$ 9,00, o que nos demandará pela decisão entre as 12 t ofertadas pelo armazém 2 e as 7 t demandadas pelo cliente 2. Como o menor valor é de 7 t, teremos esse quantitativo sendo enviado para atender a essa primeira fase do método. Como consequência, teremos a conclusão das necessidades do cliente 2 e a redução do quantitativo em estoque no armazém 2.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	
	
	
	5
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	0
	11
	32
Considerando as informações restantes, devem ser calculadas novas penalidades para a decisão do próximo destino a ser atendido.
Penalidades referentes às linhas:
1ª linha: 20 – 17 = 3.
2ª linha: 12 – 8 = 4.
Penalidades referentes às colunas:
1ª coluna: 20 – 12 = 8.
2ª coluna: 17 – 8 = 9.
A maior penalidade encontrada se refere à 3ª coluna, que tem R$ 8,00 como custo mínimo. Assim, devemos escolher entre o menor valor entre a oferta de 5 t e 11 t de abóbora. Portanto, serão entregues 5 t do armazém 2 para o cliente 3, finalizando a oferta
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	
	0
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	7
	5
	5
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	14
	0
	6
	32
Reiniciando o processo, teremos novas penalidades para verificação.
Penalidades referentes às linhas:
1ª linha: 20 – 17 = 3
Penalidades referentes às colunas:
1ª coluna: 20 = 20.
3ª coluna: 17 = 17.
Assim, a maior penalidade está na primeira coluna, que apresenta apenas uma célula para ser atendida. Na mesma conta, há uma oferta de 20 t e uma demanda de 14 t, o que nos permite concluir que será realizado um envio de 14 t para atendimento ao cliente 1.
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	0
	
	20
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	7
	5
	0
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	0
	6
	32
Para finalizar, dispomos apenas de uma localização para ser atendida. Desse modo, enviaremos 6 t para o cliente 3 e chegaremos a seguinte programação:
	
	Cliente 1
j=1
	Cliente 2
j=2
	Cliente 3
j=3
	OFERTA
	Armazém 1
i=1
	14
	0
	6
	0
	
	X11
	X12
	X13
	
	Armazém 2
i=2
	0
	7
	5
	0
	
	X21
	X22
	X23
	
	PROCURA
	0
	0
	0
	32
X11 = 14 t.
X12 = 0 t.
X13 = 6 t.
X21 = 0 t.
X22 = 7 t.
X23 = 5 t.
Portanto, considerando que nossa função objetivo é MIN C = 20x11 + 22x12 + 17x13 + 12x21 + 9x22 + 8x23, chegaremos ao custo minimizado de R1 485,00 para essa rota de programação de entregas. Assim, entre as três diferentes formas de programação, temos na solução apresentada pelo método de Vogel a melhor forma de atender aos clientes, minimizando seus custos de operação.
Vídeo da Unidade
Para saber mais sobre o método de Vogel para resolução do algoritmo de transporte, assista ao vídeo: Algoritmo do transporte: o método de Vogel.
Se preferir, faça o download do áudio (mp3 compactado) deste vídeo clicando aqui.
Encerramento
1 - O que é o algoritmo do transporte?
O algoritmo de transporte é uma técnica que busca a simplificação da obtenção da solução ótima para a definição de quanto levar das origens aos destinos. Assim, ao conhecer os dados de custo, serão estipuladas as quantidades a serem distribuídas de cada origem para cada destino, considerando o total produzido na origem e a capacidade do destino.
2 - Em que consistem os métodos do canto noroeste e do custo mínimo?
Para solucionar o problema de transporte, devemos representar origens, destinos, ofertas e demandas na matriz de transportes. Sendo assim, após a certificação do equilíbrio entre oferta e demanda — ou da inserção de informações para que esse pressuposto seja atendido — a decisão quanto aos totais a serem transportados das origens para os destinos pode ser realizada por meio de três metodologias alternativas: do canto noroeste, do custo mínimo e de Vogel ou das penalidades. Assim, os métodos do custo mínimo e do canto noroeste consistem nas metodologias de maior simplicidade de aplicação; o primeiro por considerar os custos em ordem crescente como critério para escolha dos atendimentos, e o segundo por considerar a localização das informações na matriz de transporte.
3 - Qual o diferencial do método de Vogel ou das penalidades?
O método de Vogel consiste em realizar o transporte priorizando a localização com menor custo unitário da linha ou coluna que apresentar o maior valor de penalidade, justificando-se, então, a outra forma de denominação para esse método. A seleção por penalidades é, então, o grande diferencial dessa metodologia. Para a pesquisa operacional, o termo “penalidade” está relacionado à diferença positiva entre os dois menores valores de custo unitário levantados em uma mesma linha ou coluna.
Resumo da Unidade
Nesta unidade, foram apresentados os elementos necessários à composição da matriz ou quadro de transportes, bem como as metodologias propostas para a sua operacionalização. Dessa maneira, foram discutidos os métodos do canto noroeste, do custo mínimo e de Vogel, para que a programação de entregas que defina o menor custo seja determinada.
Atividades
Além do estudo dos roteiros, do livro da disciplina, das leituras complementares e dos vídeos das unidades, você deverá realizar as atividades pontuadas que seencontram no menu lateral do Epic. Acompanhe os prazos de envio das avaliações no documento “Calendário e Critérios de Avaliação”, na introdução da disciplina.
Lembre-se: procure o professor-tutor no fórum "Fale com o tutor".
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Modulo 4 - aula 1
Outras técnicas: introdução à teoria dos grafos, à teoria das filas e à teoria dos jogos
Introdução à teoria dos grafos
O controle de custos é uma variável de grande importância para todas as organizações. No entanto, outro questionamento de grande valia para o sucesso empresarial é: há cumprimento quanto aos prazos estabelecidos? Essa indagação se justifica pelo fato de que não adianta planejar sem colocar em prática os prazos e atividades previstos.
A não sistematização do cronograma pode atuar como fator negativo no desenvolvimento de projetos, de qualquer que seja o porte, trazendo, inclusive, graves consequências a eles. Nesse cenário, podemos destacar a ampliação dos custos operacionais, as contratações dispensáveis e as reclamações dos clientes (internos e externos) como resultados negativos que impactarão o desempenho empresarial.
Considerando que o planejamento é vital para o negócio, agregar confiabilidade aos prazos estabelecidos nos projetos organizacionais, controlando suas formas de execução, é o alicerce da teoria dos grafos. Acerca da temática:
A teoria dos grafos se baseia em redes e diagramas de flechas para várias finalidades. Oferece técnicas de planejamento e programação por redes (CPM, PERT, etc.) utilizadas nas atividades de construção civil e montagem industrial. Tanto o PERT (Programm Evaluation Review Technique) como o CPM (Critical Path Method) são diagramas de flechas que identificam o caminho crítico estabelecendo uma relação direta entre os fatores de tempo e custo, indicando o 'ótimo econômico' de um projeto. Esse 'ótimo econômico' é alcançado por meio de uma certa sequência das operações de um projeto que permita o melhor aproveitamento dos recursos disponíveis em um prazo otimizado.
CHIAVENATO, Idalberto. Introdução à teoria geral da administração. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. p. 421.
No âmbito da gestão, a teoria dos grafos propõe o método PERT/CPM para o acompanhamento e o planejamento dos processos, destacando, assim, etapas e formas com que as tarefas se relacionam. Nesse sentido, para evidenciar as tarefas que compõem o processo, são utilizados elementos que apontam as informações necessárias.
Para dar início à elaboração de um gráfico PERT/CPM, cinco pontos precisam ser definidos pelos envolvidos:
	1st O projeto a ser realizado.
2nd As operações que compõem o planejamento.
3rd Os profissionais responsáveis.
4th Os prazos para a conclusão de cada tarefa.
5th A relação de dependência ou sucessão entre elas.
Assim como toda representação gráfica, dispomos de simbologias específicas para indicar etapas e operações. Os símbolos apresentados no gráfico PERT/CPM não têm objetivo de destacar etapas ou operações como maiores ou menores, mais ou menos importantes, portanto, não há necessidade de proporcionalidade das imagens quanto à importância da etapa ou duração de uma atividade, por exemplo. Sendo assim, a sinalização de etapas ocorre por meio de círculos, e a representação de operações é estabelecida por setas, às quais devemos associar dois elementos: na parte superior da seta, devemos indicar o nome da operação, sendo muito comum o uso de letras para atender a essa demanda, e, na região inferior, deve ser apresentado o tempo máximo para a conclusão da respectiva atividade.
	Representação de etapas
	 Representação de operações ou atividades
A sequência em que as tarefas devem ocorrer devem ser evidenciadas de acordo com a relação entre as tarefas propostas, sendo possível a existência de tarefas que se sucedem, simultâneas e convergentes.
Vamos aos exemplos?
Representação de tarefas que se sucedem: setas sucessivas.
A empresa Todo Pé S.A. produz diversos modelos de calçados, entretanto cabe ao sapato social masculino o título de produto com maior aceitação no mercado. Seu processo produtivo tem início com o corte do couro, realizado de acordo com as especificações de largura e comprimento do modelo (tarefa A), em um tempo estimado de cinco minutos. Após o corte, em até oito minutos, o couro é costurado na sola do sapato (tarefa B). Por fim, em dois minutos são realizados os furos para colocação do cadarço (tarefa C). Sendo assim, considerando que cada etapa é iniciada com a conclusão da anterior, podemos representar o processo de fabricação dos sapatos sociais masculinos da empresa Todo Pé S.A. da seguinte maneira:
Representação de tarefas convergentes: setas com origem em pontos diferentes, mas na mesma direção.
O gestor da produção da fábrica Celulare-se, especializada em celulares, decidiu desenvolver um estudo acerca do processo produtivo do Modelo 3546. Para suas conclusões, optou pela elaboração do gráfico PERT. Entre as etapas do processo produtivo, as operações finais chamaram atenção do gestor devido à diferença de tempo gasto em duas operações que aconteciam ao mesmo tempo. Na sexta etapa de fabricação — que corresponde à inserção dos elementos complementares —, enquanto são inseridos na caixa os fones (tarefa E), o carregador também é embalado e inserido (tarefa G). Entretanto, as durações respectivas das atividades são de três e 20 segundos, o que nos permite resumir da seguinte forma:
	Representação de tarefas simultâneas: setas com origem no mesmo ponto, mas em direções opostas.
Ao iniciar um projeto para melhoria do fluxo fabril de impressos para computadores, os gestores da empresa Mandala definiram prazos para testes referentes às atividades de inserção de cabos e manual técnico na caixa (tarefa A) e à colocação de cartuchos preto e branco (tarefa B). Os testes quanto à tarefa A tinham quatro dias para serem realizados, enquanto os testes quanto à tarefa B, realizados simultaneamente, poderiam utilizar até seis dias. Somente após a conclusão dos testes A e B (tarefas) e, consequentemente, a finalização da etapa, as impressoras poderiam passar para os testes referentes ao lacre das caixas (tarefa C), que ocorrerão em dois dias.
Nos exemplos acima, é utilizada apenas parte dos processos para indicar as maneiras de representação quanto às relações entre as operações de um projeto. No entanto, na prática, o PERT/CPM é aplicado no conjunto das operações e tem nível de complexidade variando de acordo com as especificidades do projeto.
Uma vez estabelecida a representação gráfica composta por etapas, operações e prazos, o momento seguinte é a definição quanto ao caminho crítico concernente à situação planejada.
No gráfico PERT/CPM, todos os encadeamentos de atividades do projeto que ligam início e fim são chamados de caminhos. No entanto, entre os possíveis caminhos estabelecidos, existe um que merece maior atenção: o caminho crítico. Este é o nome atribuído ao conjunto de atividades que, em sequência, determinam o maior tempo para a conclusão do projeto. Assim, caso alguma operação atrase nesse caminho, o prazo final para a conclusão do projeto será comprometido. Em síntese, o caminho crítico é o percurso com maior extensão e, consequentemente, menor quantitativo de folgas.
Veja só:
	A fábrica Enroscados Ltda. produz conjuntos de parafusos e porcas, comercializados aos clientes em caixas contendo 4,5 kg de ambos os produtos. De olho no mercado internacional, a fábrica investiu em propagandas no Mercosul e acabou assinando contrato significativo com uma empresa chilena para atendimento a uma demanda emergencial. Como em estoque a fábrica possui caixas suficientes para atender aos clientes brasileiros por 60 dias, o gestor da fábrica definiu que durante dois meses suas linhas de produção estarão voltadas exclusivamente para atender a essa encomenda, mas, após esse período, deverão retomar as atividades normais. Sendo assim, foielaborado um projeto de acompanhamento da evolução do processo a ser cumprido em 45 dias, conforme apresentado no quadro abaixo:
	Tarefa
	Descrição da atividade
	Tempo estimado
	Precedência
	A
	Produção de parafusos.
	12
	/
	B
	Produção de porcas.
	11
	/
	C
	Realização de testes para certificação da qualidade dos parafusos.
	9
	A
	D
	Realização de testes para certificação da qualidade das porcas.
	10
	B
	E
	Atividade de montagem das porcas nos parafusos.
	10
	C-D
	F
	Embalagem e pesagem das caixas dos produtos.
	5
	E
	G
	Fechamento das caixas.
	7
	F
	H
	Organização das caixas para envio ao cliente.
	3
	G
De acordo com o quadro acima, a fábrica Enroscados Ltda. destacou a realização de oito etapas para atender ao projeto de fabricação de parafusos e porcas para o cliente chileno. Quanto à representação gráfica:
A situação apresentada indicou a existência de apenas dois caminhos para a execução do processo: ACEFGH ou BDEFGH. Considerando o cálculo do caminho crítico, os tempos apresentados pelas operações de cada caminho devem ser somados para que seja possível a identificação do maior entre eles. Para o exemplo da fábrica Enroscados Ltda.
	A+C+E+F+G+H = 12+9+10+5+7+3 = 46
B+D+E+F+G+H = 11+10+10+5+7+3 = 46
Nesse caso, os mesmos resultados foram apontados por ambos os caminhos. Portanto, tanto ACEFGH quanto BDEFGH são críticos, sendo a existência de qualquer atraso em uma das atividades do projeto a motivação para a não conclusão do processo em tempo hábil para continuidade das demandas da empresa.
Se considerássemos um tempo de produção de 15 dias para os parafusos, obteríamos dois novos caminhos:
	A+C+E+F+G+H = 15+9+10+5+7+3 = 49
B+D+E+F+G+H = 11+10+10+5+7+3 = 46
Sendo assim, nosso caminho crítico seria ACEFGH, pois esse é o maior prazo encontrado. Portanto, o caminho BDEFGH tem uma folga de três dias para desenvolvimento.
Ainda considerando a técnica PERT/CPM, pode-se contar com a experiência dos profissionais envolvidos com determinadas demandas para a elaboração de estimativas mais assertivas para o gerenciamento dos projetos. Esses profissionais serão responsáveis por estabelecer três possíveis estimativas para as atividades a serem desenvolvidas, sendo a primeira otimista (O), a segunda, pessimista (P) e a terceira, a mais provável (MP).
Ao combinar as estimativas, serão ponderadas as incertezas e os riscos envolvidos em cada atividade planejada no projeto, sendo que: a estimativa otimista aponta o cenário perfeito, aquele em que tudo ocorre perfeitamente; a pessimista aponta o cenário negativo, o pior existente; e a mais provável aponta o cenário em que os processos ficarão na normalidade.
A fórmula PERT para o tempo mais provável de determinada atividade é:
	PERT = (P + 4 x MP + O)
          6
Por exemplo:
Especialistas determinaram as seguintes estimativas para uma hipotética atividade A:
· Estimativa otimista = 15 dias.
· Estimativa pessimista = 40 dias.
· Estimativa mais provável = 22 dias.
	PERT = (40 + 4 x 22 + 15) = 23,83 dias
6     
Sendo assim, estima-se que a atividade A dure 23,83 dias, ou seja, aproximadamente, 24 dias.
Vídeo da Unidade
Para saber mais sobre a Teoria dos Grafos, assista ao vídeo da Unidade.
Se preferir, faça o download do áudio (mp3 compactado) deste vídeo clicando aqui.
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Aula 2 - Introdução à teoria das filas
Para cada tipo de produção estabelecida, recursos são destinados. No entanto, como sabemos, tais recursos são limitados e, por esse motivo, devem ser compartilhados. Por exemplo, ao chegarmos a um banco, dispomos de um conjunto de guichês para atendimento a todos os clientes, aviões de diversas companhias pousam em uma mesma pista do aeroporto, e, na produção de sucos, o envase de cada garrafa acontece uma após a outra, ou seja, precisamos sistematizar os processos para que esse compartilhamento possa ocorrer de forma otimizada. Em atenção ao referido tema, a pesquisa operacional propõe o estudo das filas. Acerca da temática:
A teoria das filas refere-se à otimização de arranjos em condições de aglomeração e de espera e utiliza técnicas matemáticas variadas. A teoria das filas é uma teoria que cuida dos pontos de estrangulamento e tempos de espera, ou seja, das demoras verificadas em algum ponto de serviço. A maior parte dos trabalhos feitos de teoria das filas situa-se em problemas de gargalos e esperas, como ligação telefônica, problemas de trafego, cadeia de suprimentos, logística e atendimento em agências bancárias. Na teoria das filas, os pontos de interesse são: o tempo de espera do cliente; o número de clientes em fila; e a razão entre o tempo de espera e o tempo de prestação de serviço.
CHIAVENATO, Idalberto. Introdução à teoria geral da administração. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. p. 420.
Segundo a teoria das filas, os primeiros elementos que devem ser identificados são os clientes e os servidores, ambos elementos-chave para o sistema. Na categoria cliente, são representados todos os usuários do sistema, e, como servidores, dispomos daqueles que prestam o serviço.
Assim, retornando aos exemplos listados acima:
	Cliente: Correntistas dos Banco
	Servidor: Guichês
	Cliente: Aviões
	Servidor: Pistas para pouso
	Cliente: Sucos de garrafa
	Servidor: Maquinário ou profissional responsável pelo envase
Além de reconhecermos os elementos que compõem uma fila, três outros aspectos devem ser observados para a compreensão inicial quanto ao seu funcionamento e para a realização do diagnóstico: o regime de chegadas, o regime de serviço e a disciplina apresentada pela fila.
O regime de chegadas dos clientes pode acontecer tanto em tempos aleatórios quanto em momentos programados. Assim, o levantamento dessa informação possibilita o embasamento para novas discussões. Uma vez conhecida a forma como os clientes chegam, o próximo passo consiste em levantar as regras vigentes, isto é, os critérios que determinam a ordem de atendimento aos clientes, a disciplina adotada. Por fim, em relação ao regime de serviço, devem ser considerados os seguintes pontos:
Disponibilidade do serviço
Esse item busca estabelecer o tempo disponível para a realização do serviço, ou seja, o período em que o servidor está disponível. A jornada diária de um colaborador, o tempo de funcionamento de uma loja e o período máximo de funcionamento ininterrupto de uma máquina são informações pertinentes à disponibilidade do serviço, por exemplo.
Capacidade do sistema
Esse item é responsável por informar o total de clientes que pode ser atendido simultaneamente pelo sistema. Por exemplo, em uma empresa que apresenta três máquinas utilizadas em um mesmo processo ou em uma agência bancária que conta com três caixas para atendimento ao público, podemos afirmar que a capacidade de ambos os sistemas é igual a três.
Tempo de serviço de cada cliente
Esse item corresponde ao período utilizado para atendimento aos clientes. Por exemplo, se em uma linha de produção o envase do produto x dura 12 segundos, teremos esse valor como sendo o tempo de serviço para cada cliente. A fila pode ser caracterizada como um processo com comportamento passível de delineamento estatístico, afinal sua condição varia de acordo com o quantitativo de clientes presentes ou o tempo de espera nos diferentes instantes. Assim, a partir dos diversos cenários encontrados para as filas, avaliamos o seu funcionamento seguindo cinco diferentes critérios. 1.Probabilidade de espera: O critério da probabilidade de espera é utilizado sempre que existe um alto custo de saída do produto e, por esse motivo, não desejamos segurar a mercadoria. Considerando o cenário de um hipotético almoxarifado, ao diminuirmos o estoque, consequentemente promoveremos a redução do custo de guarda de determinado produto. Assim, a definição da probabilidade de espera é um critério relevante para as definições da área degestão...
 2. Probabilidade de espera maior do que o tempo T
Para situações em que clientes têm restrições quanto ao tempo para aguardar seu atendimento, devemos optar pelo critério da probabilidade de espera maior do que o tempo T. Por exemplo, se consideramos a produção de determinado produto químico em uma solução, devem lhe ser acrescidas as demais matérias-primas, no máximo quatro minutos antes da conclusão da produção, uma vez que o controle da probabilidade de atraso dessa operação é vital para que não haja prejuízos ao produto final.
3. Tempo médio de espera
Quando as esperas em fases preliminares influenciam no tempo final para processamento de um produto ou serviço, devemos adotar o critério do tempo médio de espera para embasar a definição do prazo final de atendimento ao cliente. Isso porque essas esperas podem ser responsáveis por impedir a continuidade das atividades.
t4. Probabilidade de a fila ser maior do que um valor determinado
Atento à variável espaço, dispomos do critério da probabilidade de a fila ser maior do que um valor determinado para planejamento quanto às dimensões necessárias para acomodação de itens. Portanto, ao consideramos a produção de pães, devemos conhecer o valor máximo das fornalhas para avaliar se existe espaço disponível para estocagem dos itens produzidos ou, então, ao avaliarmos a sala de espera de um consultório, devemos saber qual a probabilidade de mais pacientes do que o valor convencionado para que tenhamos assentos suficientes.
5. Perda de tempo relativa
Por fim, temos o critério da perda de tempo relativa para estabelecer a relação entre o tempo de espera do cliente e tempo em que o serviço foi prestado.
 Ao Estudar as filas buscamos compreender o comportamento dos processos para que atrasos e gargalos sejam definidos. No entanto, uma estrutura mínima deve ser estabelecida para que as filas sejam reduzidas, o que impacta a definição do número de servidores (NS) para atendimento aos clientes.
Assim, considerando VC como representação do volume de clientes, TA como tempo para atendimento individual e CH como tempo em que o servidor está disponível para atendimento, podemos calcular o número de servidores da seguinte maneira:
	NS = VC x TA
        CH
Veja o seguinte exemplo:
	Na fabricação de bolsas de couro, a colocação da alça demora em média quatro minutos. Sendo a produção total diária de uma empresa igual a 300 bolsas, qual o total de servidores necessários para que a produção não fique atrasada nessa etapa, sabendo-se um colaborador está disponível para essa ação por seis horas diárias e que as bolsas chegam em tempos harmônicos para essa etapa?
Nesse exemplo, o total de bolsas representa o número de clientes do sistema. Portanto, o volume de clientes será igual a 300 bolsas. A etapa que está sendo avaliada demora quatro minutos (por peça) para ser concluída, o que nos leva a afirmar que esse é o tempo individual de atendimento. Por fim, afirma-se que o colaborador responsável por essa atividade tem uma carga horária diária de seis horas, ou seja, 360 minutos, sendo esse valor o tempo em que o servidor está disponível para a fila. Assim, teremos:
	NS = VC x TA
         CH
NS = 300 x 4
         360
NS = 1200
        360
NS = 3,33
Portanto, para que as filas (esperas) sejam mínimas e o total produzido diariamente seja atendido, devemos contar com dois colaboradores trabalhando nessa etapa. Vale lembrar que TA e CH devem estar na mesma unidade de tempo para a realização desse cálculo — segundos, minutos ou horas.
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Aula 3 - Introdução à teoria dos jogos
O mercado competitivo e dinâmico em que as empresas estão inseridas demanda que elas estejam aptas ao enfrentamento com os concorrentes. Portanto, o processo decisório organizacional deve acontecer em paralelo a análises que permitam perceber o alcance dos posicionamentos tomados. Nesse sentido, temos na teoria dos jogos a formulação matemática necessária à análise de conflitos em se estabelece uma oposição de forças, pessoas e interesses.
A teoria dos jogos proposta pelos matemáticos Johann von Neumann (1903-1957) e Oskar Morgenstern (1902-1962) propõe a formulação matemática para a estratégia e a análise dos conflitos. O conceito de conflito envolve oposição de forças ou de interesses ou de pessoas que origina uma ação dramática. A situação de conflito ocorre quando um jogador ganha e outro perde, pois os objetivos visados são indivisíveis, antagônicos e incompatíveis entre si. A teoria dos jogos é aplicada aos conflitos (chamados jogos) que envolvem disputa de interesses entre dois ou mais intervenientes, nos quais cada jogador pode assumir uma variedade de ações possíveis, delimitadas pelas regras do jogo. O número de estratégias disponíveis é finito e, portanto, enumerável. Cada estratégia descreve o que será feito em qualquer situação. Conhecidas todas as estratégias possíveis dos jogadores, pode-se estimar os resultados possíveis.
CHIAVENATO, Idalberto. Introdução à teoria geral da administração. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. p. 419.
Considerando que todos os decisores são afetados tanto pelas suas decisões quanto pelas escolhas dos outros, podemos destacar a teoria dos jogos como um estudo de relações interativas que se baseiam no comportamento estratégico dos agentes em função dos seus objetivos ou das expectativas quanto ao comportamento dos demais envolvidos. O campo de aplicação da teoria dos jogos está relacionado aos conflitos em que há disputa de interesse entre dois ou mais opositores, sendo cada um deles detentor de uma variedade de ações delimitadas pelas regras vigentes no jogo.
Sendo assim, podemos afirmar que, para a teoria dos jogos, o conceito de jogo vai além da disputa de habilidades, destreza ou astúcia quanto a uma determinada dinâmica. Para essa teoria, o jogo se apresenta como uma situação de conflito entre organizações, em que uma entidade se posiciona compreendendo que as demais empresas concorrentes também realizarão suas escolhas, ou seja, percebendo que o resultado do conflito será uma consequência do conjunto das escolhas realizadas.
Para tal, espera-se que um jogo seja composto por um conjunto de jogadores, de estratégias e de payoffs atribuídos aos agentes em oposição. Jogador é todo agente participante do jogo que possui interesse direto nos resultados obtidos com as interações. Assim, tratam-se de agentes racionais, que buscam determinar formas de maximizar suas preferências. Cada jogador conta, então, com um conjunto de estratégias, sendo essas as possibilidades de escolhas e ações que serão executadas ao longo do jogo. Assim, ao conceber as estratégias, é importante que os jogadores prevejam perdas e ganhos potenciais às alternativas. Por fim, diante da adoção de estratégias, os jogadores obtêm os respectivos resultados, também chamados de payoffs (recompensas), comumente representados numericamente.
Segundo a teoria dos jogos, um jogo é composto de:
1st Conjunto de jogadores: agentes em oposição.
2nd Conjunto de estratégias: escolhas e posicionamentos dos agentes.
3rd Payoffs: resultados obtidos com os posicionamentos.
Basicamente, existem três tipos de jogos:
Jogos de pura sorte
Jogos de cara e coroa e os sorteios realizados pela loteria são bons exemplos para ilustrar os jogos de pura sorte, aqueles em que os jogadores estão buscando respostas aleatórias e que independem dos desejos ou habilidades do jogador.
Jogos de habilidade : Quando os jogos são influenciados pela qualificação e/ou experiência do jogador, como nas partidas de vôlei e nas lutas de MMA, podemos concluir que existe um jogo de habilidade.
Jogos de estratégia: Entretanto, quando os jogos se baseiam apenas nas estratégias dos jogadores, como no estabelecimento de metas empresariais para os períodos subsequentes, temos os jogos de estratégia.
Diversas classificações podem ser propostas para caracterizar os jogos. Assim, como podemos observar no quadro abaixo, classificamosos jogos de acordo com as formas de jogar, os tipos de saída, o número de jogadores, a natureza dos pagamentos e a natureza das informações.
· Formas de jogar: à Simultâneos: os jogadores tomam decisões ao mesmo tempo, portanto não conhecem as definições do opositor.
· à Sequenciais: o jogador toma a decisão após o posicionamento do outro.
· à Cooperativos: quando se permitem acordos entre os jogadores.
· à Não cooperativos: quando acordos estão vetados.
· 
· Tipos de saídas: à Determinada: diante das possíveis estratégias, as saídas são precisamente definidas.
· à Probabilística: mensura-se a probabilidades das diferentes saídas para as estratégias tomadas.
· à Indeterminada: quando as probabilidades de saída para as estratégias tomadas são desconhecidas.
Número de jogadores: à Um jogador: esses jogos são chamados de jogos contra a natureza.
· à Dois jogadores: duas entidades estão em oposição.
· à n jogadores (n maior que 2): dois ou mais opositores se enfrentam.
· Natureza dos pagamentos: à Soma zero: quando a soma dos pagamentos é zero.
· à Soma constante: quando a soma dos pagamentos se mantém igual e diferente de zero.
· à Soma variável: quando não se estabelece relação entre os pagamentos. Natureza da informação: Informação perfeita: quando existe totalidade das informações quanto aos movimentos anteriores.
· à Informação imperfeita: quando não se tem essa informação. 
Todas as recompensas obtidas pelos jogadores a partir da combinação das estratégias adotadas por eles são representadas em um quadro chamado de matriz de payoff, conforme é possível verificar abaixo:
	JOGADOR 2
	
	Estratégia 1
	Estratégia 2
	Estratégia 1
	(5, 6)
	(4, 7)
	Estratégia 2
	(6, 9)
	(7, 5)
Nesse exemplo da matriz de payoff acima, apresentam-se as recompensas correspondentes ao jogador 1 no lado esquerdo das vírgulas (5, 4, 6, 7) e, à direita, estão as recompensas concernentes ao jogador 2 (6, 7, 9, 5).
Outra possibilidade de representação está no exemplo abaixo, em que vamos analisar o jogo correspondente às interações entre duas indústrias que comercializam um mesmo produto na cidade X. Assim, enquanto a empresa Beta busca a maximização dos lucros, a Gama espera minimizar prejuízos.
	Análise da situação
	Gama = objetivo minimizar prejuízo
	
	Preço D
	Preço E
	Preço F
	Preço G
	Beta = objetivo
maximizar lucros
	Preço A
	9
	3
	10
	6
	
	Preço B
	7
	6
	8
	9
	
	Preço C
	8
	4
	1
	8
A empresa Beta dispõe de três estratégias de preço, chamadas de preço A, preço B e preço C. No entanto, enquanto a empresa Beta conta com três possibilidades de posicionamento, sua opositora, Gama, pode escolher entre quatro estratégias de preços, chamadas de D, E, F e G.
Considerando um primeiro cenário referente às estratégias da empresa Beta, a sua adoção pela estratégia de preço A possibilitará ganhos de 9, 3, 10 ou 6, sendo a variação dos resultados as possíveis consequências dos posicionamentos adotados pela empresa Gama, sua opositora nesse jogo.
	Análise da situação
	Gama = objetivo minimizar prejuízo
	
	Preço D
	Preço E
	Preço F
	Preço G
	Beta = objetivo
maximizar lucros
	Preço A
	9
	3
	10
	6
	
	Preço B
	7
	6
	8
	9
	
	Preço C
	8
	4
	1
	8
A partir dessa primeira estratégia, é possível perceber que a empresa Beta garantirá um ganho mínimo de 3, seja qual for o posicionamento definido pela empresa Gama. Da mesma maneira, caso a empresa Beta venha a aplicar a estratégia B, ela garantirá um ganho mínimo de 6 (Mín. {7, 6, 8, 9} = 6), e, em caso de escolha pela estratégia C, poderá alcançar um ganho mínimo de 1 (Mín. {8, 4, 1, 8} = 1).
	Análise da situação
	Gama = objetivo minimizar prejuízo
	
	Preço D
	Preço E
	Preço F
	Preço G
	Beta = objetivo
maximizar lucros
	Preço A
	9
	3
	10
	6
	
	Preço B
	7
	
	8
	9
	
	Preço C
	8
	4
	1
	8
	Análise da situação
	Gama = objetivo minimizar prejuízo
	
	Preço D
	Preço E
	Preço F
	Preço G
	Beta = objetivo
maximizar lucros
	Preço A
	9
	3
	10
	6
	
	Preço B
	7
	6
	8
	9
	
	Preço C
	8
	4
	
	8
Assim, considerando os diferentes cenários, ao selecionar o preço B, podemos afirmar que a empresa Beta terá a maximização do seu menor ganho, uma vez que Máx. {3, 6, 1} = 6. Diante desse dado, conclui-se que essa é a melhor estratégia para a referida empresa.
No entanto, a perspectiva da empresa Gama para adoção de estratégias se apresenta sob outro objetivo, que é a minimização das suas perdas. Portanto, conforme podemos observar na matriz de payoff abaixo, caso a empresa opte pela estratégia D, perderá no máximo 9 (Máx. {9, 7, 8} = 9); caso opte pela estratégia E, perderá no máximo 6 (Máx. {3, 6, 4} = 6); caso opte pela estratégia F, perderá no máximo 10 (Máx. {10, 8, 1} = 10); e, caso opte pela estratégia G, perderá no máximo 9 (Máx. {6, 9, 8} = 9). Entre as alternativas da empresa Gama, percebe-se que a alternativa que minimiza sua máxima perda é a estratégia E, uma vez que ela corresponde ao valor mínimo entre 9, 6, 10 e 9.
	Análise da situação
	Gama = objetivo minimizar prejuízo
	
	Preço D
	Preço E
	Preço F
	Preço G
	Beta = objetivo
maximizar lucros
	Preço A
	9
	3
	10
	6
	
	Preço B
	7
	6
	8
	9
	
	Preço C
	8
	4
	1
	8
Tanto para a empresa Beta quanto para a Gama, os melhores posicionamentos foram representados pelo valor 6. Diante dessa igualdade, podemos concluir que se tratam de estratégias ótimas, pois possibilitam a existência do ponto de sela do jogo.
	Análise da situação
	Gama = objetivo minimizar prejuízo
	
	Preço D
	Preço E
	Preço F
	Preço G
	Beta = objetivo
maximizar lucros
	Preço A
	9
	3
	10
	6
	
	Preço B
	7
	
	8
	9
	
	Preço C
	8
	4
	1
	8
Esse ponto é chamado de ótimo, pois nenhum jogador irá alterar sua estratégia, afinal, o resultado será ainda pior caso o opositor deseje manter sua estratégia. Portanto, a correta modelagem do jogo é primordial para a análise das estratégias e dos resultados.