03_EVA_Resistência dos Materiais_Diagrama Tensão Deformação

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Resistência dos Materiais –
Aula 3 - EAD – Diagrama 
Tensão x Deformação
Curso: Engenharias Civil, Mecânica, Elétrica, Aeronáutica, 
Mecatrônica, Produção, Ambiental, Alimentos
Professor MSc. Lucas Giovanetti, Eng.
E-mail: lucasgiov@ig.com.br
Prof. MSc Lucas Giovanetti
Deformação específica normal sob 
carregamento axial
• Vamos considerar a barra BC, de comprimento L, e seção 
transversal de área A, que é suspensa do ponto B. Se 
aplicarmos uma carga P na extremidade C, a barra se alonga.
• Onde:
P... Carga aplicada;
d... Deformação na barra BC 
causada pela carga P;
A... Área da seção transversal;
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• Nós definimos a deformação específica normal 
pela seguinte expressão:
• Uma vez que a deformação linear total e o 
comprimento são expressos nas mesmas 
unidades, a deformação específica normal é uma 
grandeza adimensional.
LInicialoCompriment
TotalLinearDeformação d
 ==
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Diagrama Tensão x Deformação
• É o diagrama que representa as relações entre 
tensões e deformações específicas de um 
material;
• Para obtenção do diagrama tensão-deformação de 
certo material, normalmente se faz um ensaio de 
tração de uma amostra do material;
• Neste ensaio, utiliza-se um corpo-de-prova típico 
do material;
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• Corpo-de-prova é uma amostra de um dado 
material, retirado de um lote, com o objetivo de se 
obter as propriedades mecânicas do material.
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• O corpo-de-prova é levado à máquina de teste, que é 
usada para aplicar a carga centrada P. A medida que 
aumenta o valor de P, a distância L entre as duas marcas 
também aumenta; 
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• Entre os diagramas tensão-deformação de vários 
grupos de materiais é possível, no entanto, 
distinguir algumas características comuns. Elas nos 
levam a dividir os materiais em duas importantes 
categorias: 
– Materiais dúcteis;
– Materiais frágeis.
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• Os materiais dúcteis, que compreendem o aço estrutural e 
outros metais, se caracterizam por apresentarem 
escoamento a temperaturas normais. O corpo-de-prova é 
submetido a carregamento crescente, e seu comprimento 
aumenta, de início, lentamente, sempre proporcional ao 
carregamento. Desse modo, a parte inicial do diagrama 
tensão-deformação é uma linha reta com grande 
coeficiente angular. Entretanto, quando é atingido um 
valor crítico de tensão se, o corpo-de-prova sofre uma 
longa deformação, com pouco aumento da carga aplicada. 
Materiais Dúcteis
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• Podemos perceber que a ruptura se dá segundo uma 
superfície em forma de cone, que forma um ângulo 
aproximado de 45o com a superfície inicial do corpo-de-
prova. Isto mostra que a ruptura dos materiais dúcteis 
ocorre sob tensão de cisalhamento; 
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Onde:
se... Tensão de escoamento (corresponde ao início do escoamento);
sU... Tensão última (corresponde a máxima carga aplicada ao 
material);
sR... Tensão de ruptura (corresponde ao ponto de ruptura).
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• Os diagramas tensão-deformação do slide anterior mostram que o 
aço estrutural e o alumínio, ambos materiais dúcteis, apresentam 
diferenças de comportamento no escoamento. Para o aço estrutural, 
as tensões permanecem constantes para uma grande variação das 
deformações, após o início do escoamento.
• A tensão de escoamento do material se dá por observação, durante 
o teste de carga, dos valores da carga;
Diagrama tensão deformação do Aço Estrutural
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• No caso do alumínio, e de muitos outros materiais dúcteis, o início 
do escoamento não é caracterizado pelo trecho horizontal do 
diagrama (trecho esse conhecido como patamar de escoamento). 
• Para esses materiais se define um valor convencional para a tensão 
se. A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no 
eixo das abscissas a deformação específica  = 0,2% (ou  = 0,002), e 
por esse ponto traçando-se uma reta paralela ao trecho linear inicial 
do diagrama. A tensão se corresponde ao ponto de interseção dessa 
reta com o diagrama, é conhecida como tensão convencional a 0,2%.
Diagrama tensão deformação do Alumínio
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• Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e pedra, são 
caracterizados por uma ruptura que ocorre sem nenhuma 
mudança sensível no modo de deformação do material. 
Então, para os materiais frágeis, não diferença entre 
tensão última e tensão de ruptura. Além disto, a 
deformação até a ruptura é muito menor nos materiais 
frágeis do que nos materiais dúcteis.
• Não ocorre estricção nos materiais frágeis e a ruptura se 
dá em uma superfície perpendicular ao carregamento. 
Pode-se concluir daí que a ruptura dos materiais frágeis se 
deve principalmente a tensões normais.
Materiais Frágeis
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Lei de Hooke; Módulo de Elasticidade
• Análise do Trecho Linear do Diagrama Tensão x 
Deformação.
• Então: 
s

a
𝑡𝑔𝛼 =
𝜎
𝜀
= 𝐸 ⇒ 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Longitudinal do Material
Exemplos:
Eaço = 210 GPa 
Ealum = 70 GPa
𝜎 = 𝐸. 𝜀 ⇒ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒
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• Na parte inicial do diagrama, a tensão s é 
diretamente proporcional à deformação específica  e
podemos escrever:
• Esta relação é conhecida como Lei de Hooke, e se 
deve ao matemático inglês Robert Hooke (1635-
1703).
• O coeficiente E é chamado módulo de elasticidade 
longitudinal do material, ou módulo de Young 
(cientista inglês, 1773-1829). Expresso em [Pa] ou 
seus múltiplos no sistema internacional;
• O coeficiente E é uma propriedade mecânica do 
material. 
s .E=
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AE
LP
Logo
L
E
A
P
Então
L
e
A
P
mas
E
.
.
:
,.
:
,
.
=
=
==
=
d
d
d
s
s
• A equação acima só pode ser usada se a barra for 
homogênea (módulo de elasticidade E constante), 
tiver seção transversal uniforme de área constante A e 
carga for aplicada nas extremidades da barra.
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• Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou 
se a barra consiste de várias partes com diferentes 
seções transversais ou compostas de diferentes 
materiais, devemos dividi-la em segmentos que, 
individualmente satisfaçam a as condições de 
aplicação da fórmula do slide anterior. Assim, a 
deformação total da barra pode ser escrita como:
=
i ii
ii
EA
LP
.
.
d
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• Exercício) Dimensionar as barras 1 e 2 da estrutura abaixo, sabendo-se que:
• Material: ASTM A36
• Limite de ruptura: LR = 400 MPa
• Limite de Escoamento = 250 MPa 
• Coeficientes de segurança:
• Tensão admissível à Tração:
• Onde: 
• Tensão admissível à Compressão:
1
𝑁
𝑚𝑚2
= 1,0𝑀𝑃𝑎
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ത𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =
𝐿𝑅
4
𝑜𝑢 ത𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =
𝐿𝐸
1,8
𝐶𝑆𝑡𝑟𝑎çã𝑜
𝐿𝑅 = 4 𝑒 𝐶𝑆𝑡𝑟𝑎çã𝑜
𝐿𝐸 = 1,8
ത𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝐿𝑅
4,2
𝑜𝑢 ത𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝐿𝐸
1,5
𝐶𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝐿𝑅 = 4,2 𝑒 𝐶𝑆𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝐿𝐸 = 1,5
4,0 m
P = 10 tf
A
B
C
1
2
3,0 m
D
Seção da Barra 1:
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10,0𝑡𝑓 = 10000𝑘𝑔𝑓
Mas:
1,0kgf = 9,81N
10000kgf = P
Logo:
P = 10000.(9,81)
P = 98100 N
Seção da Barra 2 
(h=3.b):
h
b
• Solução:
Estrutura tipo treliça. Neste tipo de estrutura, 
os esforços internos nas barras são esforços 
normais. Desta forma, utiliza-se o Método: 
Equilíbrio dos Nós
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4,0 m
P = 98100N
A
B
C
1
2
3,0 m
F1
F2
a
P = 98100N
C
• Forças saindo do Nó: Tração
• Forças chegando no Nó: Compressão
• Da análise trigonométrica:
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4,0 m
P = 98100N
A
B
C
1
2
3,0 m
a
4,0
3,0
5,0
a
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
4
5
=
8
10
= 0,8 𝑠𝑒𝑛𝛼 =
3
5
=
6
10
= 0,6
F1
F2
a
P = 98100N
C
• Desenhando o diagrama de corpo livre do pino C:
• Das equações de equilíbrio do Nó C:
 = 0Fy  𝐹1𝑦-98100=0
𝐹1.sen𝛼 − 98100 = 0
𝐹1=98100
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
98100
0,6
= 163500𝑁 (𝑡𝑟𝑎çã𝑜)
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P = 98100N
F1y
F1
F2
a
F1x
C
 = 0Fx →
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P = 98100N
F1y
F1
F2
a
F1x
−𝐹1𝑥-𝐹2=0
−𝐹2= 𝐹1𝑥
𝐹2=−𝐹1. 𝑐𝑜𝑠𝛼=- 163500.(0,8)
𝐹2=-130800N (compressão na Barra!)
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• Barra 1 está tracionada:
• Cálculo da Tensão Admissível:
• Então:
𝑁
𝐴
≤ ത𝜎
ത𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =
400
4
= 100𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢
ത𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 =
250
1,8
= 138,89𝑀𝑃𝑎
D
Seção da Barra 1:
𝑁
𝐴
≤ ത𝜎 → 100 =
163500
𝜋.𝐷2
4
→ D=
163500.(4)
𝜋.(100)
= 45,63𝑚𝑚
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• Barra 2 está comprimida:
• Cálculo da Tensão Admissível:
• Então:
𝑁
𝐴
≤ ത𝜎
𝑁
𝐴
≤ ത𝜎 → 95,24 =
130800
3.𝑏2
→ b=
130800
3.(95,24)
= 21,40𝑚𝑚
h=3.(21,4)=64,19mm
Seção da Barra 2 
(h=3.b):
h
b
ത𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝐿𝑅
4,2
=
400
4,2
= 95,24𝑀𝑃𝑎 𝑜𝑢
ത𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 =
𝐿𝐸
1,5
=
250
1,5
= 166,67𝑀𝑃𝑎
𝐴 = 𝑏. ℎ = 𝑏. 3. 𝑏 = 3. 𝑏2