Propriedades Mecânicas e Comportamento dos Materiais

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DESCRIÇÃO
O conhecimento das propriedades mecânicas dos materiais e o comportamento dos materiais em
situações diversas na Engenharia.
PROPÓSITO
Proporcionar a união da Mecânica (determinação das forças) com as propriedades dos materiais por
meio de uma lei que rege o comportamento dos materiais no regime elástico — a Lei de Hooke.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica
ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer o comportamento dos materiais sob tensão
MÓDULO 2
Definir a Lei de Hooke e o coeficiente de Poisson
MÓDULO 3
Calcular a tensão térmica
INTRODUÇÃO
MÓDULO 1
 Reconhecer o comportamento dos materiais sob tensão
INTRODUÇÃO
A partir das ideias qualitativas das deformações elásticas (temporárias) e as deformações plásticas
(permanentes), é possível estabelecer uma classificação para os materiais: dúcteis e frágeis.
Materiais dúcteis
Apresentam uma quantidade elevada de deformação plástica antes do rompimento (aço doce,
alumínio, cobre etc.).

Materiais frágeis
Apresentam pouquíssima deformação plástica antes do rompimento (vidro, cerâmica, ferro fundido
cinzento etc.).
 ATENÇÃO
A análise anterior foi feita de maneira simplificada. Por exemplo, a temperatura de trabalho pode
tornar um material dúctil em frágil. É o que acontece com alguns aços que a baixas temperaturas
comportam-se fragilmente. É a chamada transição dúctil – frágil.
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
O engenheiro projetista precisa conhecer várias propriedades dos materiais a fim de otimizar seu
projeto. Em nossa disciplina, propriedades como tensão de escoamento, tensão de ruptura,
ductilidade, resiliência, tenacidade, dureza, entre outras, são importantes para o dimensionamento
de um projeto.
Essas características estão tabeladas e foram determinadas a partir de ensaios próprios, baseados
em normas técnicas. Essas normas indicam a forma do Corpo de Prova (CP) a ser utilizado, a
temperatura do ensaio, as taxas de carregamentos e várias outras condições para execução dos
ensaios.
Via de regra, os projetos são dimensionados para que ocorra certo valor de deformação elástica
(temporária). Caso essa estrutura tenha alguma deformação permanente (plástica), o projeto
precisará ser revisto.
A TRANSIÇÃO ENTRE AS DUAS DEFORMAÇÕES CORRESPONDE
AO FENÔMENO DO ESCOAMENTO. A PROPRIEDADE MECÂNICA
ASSOCIADA É A TENSÃO DE ESCOAMENTO, FUNDAMENTAL
PARA PROJETISTAS. OUTRA PROPRIEDADE É A DUCTILIDADE,
QUE AVALIA O GRAU DE DEFORMAÇÃO PLÁSTICA. ELA PODE
SER QUANTIFICADA A PARTIR DA VARIAÇÃO PERCENTUAL DO
COMPRIMENTO OU DA ÁREA DA SEÇÃO RETA.
A equação 1 mostra as expressões utilizadas nesse cálculo.
 . 100% . 100% 
 
OU 
ΔL
L0
=  
(Lf−L0)
L0
 
 . 100% . 100%
(Equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
Lf - comprimento final
L0 - comprimento inicial
A0 - área inicial
Af - área final
Outras propriedades, como resiliência (módulo de resiliência) e tenacidade (módulo de tenacidade)
estão associadas à quantidade de energia absorvida pelo material por unidade de volume. Na
resiliência, essa quantidade de energia está no campo elástico e, na tenacidade, envolve também a
região plástica, até a ruptura.
 SAIBA MAIS
No gráfico tensão x deformação (a ser visto), os módulos de resiliência e de tenacidade
correspondem às áreas sob a curva do gráfico tensão x deformação.
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO
O primeiro aspecto que deve ser mencionado no estudo do gráfico tensão x deformação é a
existência de dois gráficos. Um denominado de engenharia e outro verdadeiro. O gráfico a ser
apresentado é o de engenharia, em que o valor da tensão desconsidera a diminuição da área da
seção reta ao longo do ensaio de tração, ou seja, considera a área A0 inicial do corpo de prova.
ΔA
A0
=  
(A0−Af)
A0
ENSAIO DE TRAÇÃO
O ensaio de tração é um ensaio normatizado e realizado numa máquina denominada máquina de
ensaio de tração. Outros ensaios podem ser realizados nessa máquina, como o de compressão, o
de fadiga de baixo ciclo etc. A norma que conduz a execução do ensaio, inicialmente, determina a
forma e as dimensões do corpo de prova a ser utilizado.
A figura 1 mostra um croqui de um CP padronizado para o ensaio de tração.
 
Fonte: Autor
 Figura 1 - Corpo de prova para ensaio de tração.
Em linhas gerais, a máquina para o ensaio de tração é composta por dois travessões horizontais,
sendo um móvel, a célula de carga, duas garras e um computador para aquisição de dados. Um
extensômetro é “colado” ao CP para medir a variação em seu comprimento.
A figura 2 apresenta um esboço de uma máquina para o ensaio de tração.
 Figura 2 - Máquina para ensaio de tração.
De forma simplificada, o corpo de provas é preso nas garras e o travessão móvel começa a se
movimentar, a uma taxa predefinida, fazendo com que o CP comece a se deformar. Inicialmente,
ocorre a deformação elástica e, depois, a transição para a deformação plástica. O ensaio é levado
até a ruptura do CP. Os dados são enviados para o computador que traça o gráfico tensão x
deformação. Dependendo do tipo de material, a curva apresenta aspectos diferentes.
Na figura 3, são mostradas duas curvas características típicas de materiais dúcteis e frágeis.
 
Fonte: Autor
 Figura 3 – Curva tensão x deformação.
Observe, na figura, que os gráficos apresentam duas regiões bem distintas. A primeira, refere-se ao
campo elástico das deformações e, a segunda, ao campo das deformações plásticas. No primeiro
gráfico, a região plástica é bem extensa, o que caracteriza um material dúctil, enquanto no segundo
gráfico, a região plástica é pequena, típica dos materiais frágeis.
Detalhando mais a curva tensão x deformação, é possível citar alguns aspectos relevantes.
Inicialmente, o CP começa a ser deformado elasticamente (região elástica), mantendo um
comportamento linear. A transição para a fase plástica é denominada escoamento e, no gráfico, é
vista como uma pequena queda na tensão seguida de um “serrilhamento”.
No decorrer do teste, em virtude da deformação plástica e dos mecanismos microscópicos
associados, ocorre o encruamento (endurecimento por deformação) do CP e a tensão vai
aumentando até atingir o ponto máximo (tensão máxima ou última). A partir desse ponto, é possível
visualizar no CP o “empescoçamento” (estricção) — que é a diminuição acentuada da seção reta—,
e o gráfico passa a apresentar uma queda até a ruptura do CP.
Observe a figura 4, na qual a descrição acima é apresentada num gráfico tensão x deformação.
 
Fonte: Autor
 Figura 4 – Curva tensão x deformação e suas regiões relevantes
Várias propriedades mecânicas dos materiais podem ser determinadas a partir da curva tensão x
deformação. A resiliência e a tenacidade são as áreas sob a curva. A resiliência apenas na região
elástica e a tenacidade sob toda a curva. Observe, esquematicamente, a figura 5 e as regiões
citadas.
 
Fonte: Autor
 Figura 5 – Resiliência e tenacidade
OBSERVAÇÃO: É POSSÍVEL QUE O ENSAIO DE TRAÇÃO SEJA
INTERROMPIDO ANTES DA RUPTURA DO CP. DOIS CASOS
PODEM SER ANALISADOS: A INTERRUPÇÃO ACONTECEU AINDA
javascript:void(0)
NA REGIÃO ELÁSTICA OU A INTERRUPÇÃO OCORREU QUANDO
O MATERIAL JÁ HAVIA SIDO DEFORMADO PLASTICAMENTE .
A INTERRUPÇÃO ACONTECEU AINDA NA
REGIÃO ELÁSTICA
Como a deformação elástica é temporária, a interrupção fará com que toda a deformação
ocorrida seja totalmente recuperada e o CP volte às suas dimensões originais.
A INTERRUPÇÃO OCORREU QUANDO O
MATERIAL JÁ HAVIA SIDO DEFORMADO
PLASTICAMENTE
Haverá a recuperação elástica, mas não a da deformação plástica, que é permanente.
Observe na figura 6 o segundo caso citado.
 
Fonte: Autor
 Figura 6 - Descarregamento durante o ensaio de tração
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Observe que, na fase de descarregamento, a linha tracejada é paralela ao trecho linear da região
elástica.
Muitos materiais não apresentam,no gráfico tensão x deformação, uma transição da região elástica
para a região plástica explícita (“serrilhamento”), como mostra a figura 4. Por vezes, essa transição
é muito tênue, conforme a figura 7, o que dificulta determinar o início do escoamento e,
consequentemente, a tensão de escoamento.
Para esses materiais, utiliza-se um limite convencional para a deformação (0,002). A partir desse
ponto, traça-se uma paralela à reta do regime elástico e a interseção com a curva tensão x
deformação indicará a tensão de escoamento. Observe a figura:
 
Fonte: Autor
 Figura 7 – Deformação convencional.
MÃO NA MASSA
1. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ PETROBRAS ‒ TÉCNICO DE INSPEÇÃO DE
EQUIPAMENTOS E INSTALAÇÕES JÚNIOR – ADAPTADA)
 
FONTE: AUTOR
A FIGURA ACIMA MOSTRA O DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO OBTIDO
DE UM CORPO DE PROVA DE AÇO. NESSE DIAGRAMA, PODEM SER
OBSERVADOS OS PONTOS A = 470 MPA, B = 600 MPA E C = 580 MPA. AS
TENSÕES DE RUPTURA, DE ESCOAMENTO E DE RESISTÊNCIA MÁXIMA
VALEM, RESPECTIVAMENTE:
A) 470 MPa, 600 MPa e 580 MPa
B) 580 MPa, 470 MPa e 600 MPa
C) 580 MPa, 600 MPa e 470 MPa
D) 470 MPa, 580 MPa e 600 MPa
E) 470 MPa, 600 MPa e 580 MPa
2. (CESGRANRIO ‒ 2012 ‒ PETROBRAS ‒ TÉCNICO DE MANUTENÇÃO
JÚNIOR ‒ CALDEIRARIA – ADAPTADA)
 
FONTE: AUTOR
O GRÁFICO ACIMA MOSTRA A REGIÃO LINEAR DO DIAGRAMA TENSÃO X
DEFORMAÇÃO REFERENTE AO ENSAIO DE UM MATERIAL DÚCTIL. P É O
PONTO LIMITE DA REGIÃO LINEAR DESSE DIAGRAMA E VALE 400 MPA E A
DEFORMAÇÃO ASSOCIADA ΕP = 0,4 %. NESSE ENSAIO, QUANDO A TENSÃO
FOI DE 250 MPA, A DEFORMAÇÃO ASSOCIADA FOI EQUIVALENTE A:
A) 0,25 mm/mm
B) 0,25 %
C) 0,0065 mm/mm
D) 0,10 %
E) 0,025 %
3. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ PETROQUÍMICA SUAPE ‒ ENGENHEIRO DE
MANUTENÇÃO PLENO ‒ MECÂNICA)
 
FONTE: AUTOR
A FIGURA ACIMA MOSTRA O DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO, TÍPICO
DE UM AÇO, EM QUE SÃO INDICADOS OS PONTOS O, P, Q E R. SENDO
SOLICITADA POR TRAÇÃO ATÉ O PONTO Q, UMA BARRA DESSE MATERIAL
APRESENTARÁ UMA:
A) Ruptura.
B) Deformação nula se for totalmente descarregada após o carregamento.
C) Deformação residual se for totalmente descarregada após o carregamento.
D) Deformação igual a εQ após totalmente descarregada.
E) Tensão σQ = E.εQ, em que E é o módulo de elasticidade do aço.
4. (FUNRIO ‒ 2017 ‒ SESAU-RO ‒ TÉCNICO EM APARELHO E
EQUIPAMENTOS HOSPITALARES) OBSERVE O DIAGRAMA TENSÃO (Σ) X
DEFORMAÇÃO (Ε) OBTIDO EM UM ENSAIO DE TRAÇÃO DE UMA PEÇA DE
AÇO CARBONO.
 
FONTE: AUTOR
COM BASE NESSE DIAGRAMA, PODE-SE AFIRMAR QUE A TENSÃO DE
ESCOAMENTO DESSE AÇO VALE:
A) 200 MPa
B) 220 MPa
C) 420 MPa
D) 450 MPa
E) 500 MPa
5. CONSIDERE UMA LIGA METÁLICA X SUBMETIDA A UM ENSAIO DE
TRAÇÃO. O GRÁFICO DO ENSAIO É APRESENTADO NA FIGURA ABAIXO. SE
UM CORPO CILÍNDRICO DE DIÂMETRO 25 MM ENGASTADO EM UMA
PAREDE É SUBMETIDO A UM ESFORÇO POR UMA CARGA AXIAL NA
EXTREMIDADE LIVRE, DETERMINE O VALOR MÁXIMO DESSA FORÇA PARA
QUE NÃO OCORRA DEFORMAÇÃO PLÁSTICA.
 
FONTE: AUTOR
A) 122,6 kN
B) 490,1 kN
C) 171,7 kN
D) 686,8 kN
E) 253,4 kN
6. UM CORPO DE PROVA (CP) PADRÃO PARA O ENSAIO DE TRAÇÃO TEM
DIMENSÕES PADRONIZADAS POR NORMAS PARA O ENSAIO. O
COMPRIMENTO ÚTIL É DE 50 MM E A SEÇÃO RETA TEM 13 MM DE
DIÂMETRO. DETERMINADA LIGA METÁLICA SERÁ ENSAIADA NUMA
MÁQUINA DE ENSAIO DE TRAÇÃO. AO SE REALIZAR O ENSAIO DE
TRAÇÃO, SEU COMPRIMENTO ALCANÇA 70 MM AO FINAL DO TESTE, OU
SEJA, NA RUPTURA. UTILIZANDO A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO PARA
AVALIAR APROXIMADAMENTE A DUCTILIDADE DESSA LIGA, QUAL O
VALOR ENCONTRADO?
A) 15%
B) 25%
C) 30%
D) 40%
E) 45%
GABARITO
1. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações
Júnior – adaptada)
 
Fonte: Autor
A figura acima mostra o diagrama Tensão x Deformação obtido de um corpo de prova de aço.
Nesse diagrama, podem ser observados os pontos A = 470 MPa, B = 600 MPa e C = 580 MPa.
As tensões de ruptura, de escoamento e de resistência máxima valem, respectivamente:
A alternativa "B " está correta.
A partir da figura 4, é possível perceber os pontos referentes ao escoamento, à tensão máxima e à
ruptura. O escoamento é a transição entre as regiões elástica e plástica, isto é, a região linear e a
não linear. Dessa forma, o valor associado é de 470 MPa. A tensão máxima é a região que se inicia
a estricção, no gráfico, o ponto B. Logo, o valor de 600 MPa. A ruptura é a última tensão,
representada no gráfico pela letra C, ou ainda, por 580 MPa.
2. (CESGRANRIO ‒ 2012 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Manutenção Júnior ‒ Caldeiraria –
adaptada)
 
Fonte: Autor
O gráfico acima mostra a região linear do diagrama Tensão x Deformação referente ao ensaio
de um material dúctil. P é o ponto limite da região linear desse diagrama e vale 400 MPa e a
deformação associada εp = 0,4 %. Nesse ensaio, quando a tensão foi de 250 MPa, a
deformação associada foi equivalente a:
A alternativa "B " está correta.
No ensaio realizado, o gráfico tensão x deformação apresentado revela o comportamento linear
entre as grandezas tensão e deformação, ou seja, grandezas diretamente proporcionais. Assim,
para se determinar a deformação quando a tensão foi de 250 MPa no ensaio, basta utilizar uma
regra de três simples e direta:
400 MPa 0,4 %
250 MPa ε
Assim, 400. ε = 250 . 0,4 → ε = 100/400 = 0,25%
3. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ PETROQUÍMICA SUAPE ‒ Engenheiro de Manutenção Pleno ‒
Mecânica)
 
Fonte: Autor
A figura acima mostra o diagrama Tensão x Deformação, típico de um aço, em que são
indicados os pontos O, P, Q e R. Sendo solicitada por tração até o ponto Q, uma barra desse
material apresentará uma:
A alternativa "C " está correta.
Uma vez que o ensaio de tração já atingiu a fase plástica, havendo a interrupção/ descarregamento,
a deformação permanente (plástica) permanecerá, apenas a deformação elástica será recuperada.
4. (FUNRIO ‒ 2017 ‒ SESAU-RO ‒ Técnico em Aparelho e Equipamentos Hospitalares)
Observe o diagrama tensão (σ) x deformação (ε) obtido em um ensaio de tração de uma peça
de aço carbono.
 
Fonte: Autor
Com base nesse diagrama, pode-se afirmar que a tensão de escoamento desse aço vale:
A alternativa "B " está correta.
O ensaio de tração tem como resposta a curva tensão x deformação, que informa uma série de
propriedades do material ensaiado. No gráfico acima, duas regiões ficam bem caracterizadas: A
região elástica e a região plástica. A transição entre essas regiões é o escoamento, que é marcado
por um patamar “serrilhado”. No gráfico, o valor associado é igual a 220 MPa. Note que a tensão
máxima ocorre para 450 MPa e a de ruptura para 420 MPa.
5. Considere uma liga metálica X submetida a um ensaio de tração. O gráfico do ensaio é
apresentado na figura abaixo. Se um corpo cilíndrico de diâmetro 25 mm engastado em uma
parede é submetido a um esforço por uma carga axial na extremidade livre, determine o valor
máximo dessa força para que não ocorra deformação plástica.
 
Fonte: Autor
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
6. Um Corpo de Prova (CP) padrão para o ensaio de tração tem dimensões padronizadas por
normas para o ensaio. O comprimento útil é de 50 mm e a seção reta tem 13 mm de diâmetro.
Determinada liga metálica será ensaiada numa máquina de ensaio de tração. Ao se realizar o
ensaio de tração, seu comprimento alcança 70 mm ao final do teste, ou seja, na ruptura.
Utilizando a variação do comprimento para avaliar aproximadamente a ductilidade dessa liga,
qual o valor encontrado?
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
TÍTULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Uma liga metálica nova foi desenvolvida num centro de pesquisas por engenheiros de materiais
para utilização específica como peça de um projeto. Nas especificações, a peça deve trabalhar com
carregamentos que variam, mas que nunca ultrapassam a região elástica. Por se tratar de um
material novo, as principais propriedades mecânicas não se encontram tabeladas. O engenheiro
chefe do projeto pede que um de seus estagiários determine a tensão deescoamento dessa liga,
pois esta será utilizada como limite no dimensionamento da peça.
O aluno estagiário recorda-se de seus ensinamentos a respeito das propriedades dos materiais e
tentará solucionar o problema utilizando o ensaio de tração. Inicialmente, ele procura o laboratório
de ensaios mecânicos e constata que existe uma máquina apropriada para o ensaio. Ele solicita que
dez Corpos de Provas (CPs) sejam preparados, a partir das instruções da norma do ensaio. A sua
ideia é realizar dez testes e fazer um estudo estatístico para a tensão de escoamento, determinando
o valor médio e uma medida de dispersão, por exemplo, o desvio padrão. Com os CPs preparados,
iniciou os testes e coletou os dados provenientes da máquina para utilizar um software que plotasse
a curva tensão x deformação. Em um dos testes, ele encontrou a seguinte curva:
 
Fonte: Autor
O aluno percebeu que o diagrama apresentava o aspecto típico, com um escoamento bem definido.
Portanto, ele concluiu, para esse ensaio, que a tensão de escoamento dessa nova liga é igual a 320
MPa. Repetiu o teste mais 9 vezes e encontrou valores próximos a 320 MPa. A partir de seus
conhecimentos de Estatística, determinou a média (322 MPa) e o desvio-padrão (5 MPa). Em seu
relatório, apresentou para o engenheiro a tensão de escoamento da liga da seguinte forma:
RESOLUÇÃO
σescoamento =(322  ± 5) MPa
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CONSULPLAN ‒ 2012 ‒ TSE ‒ ANALISTA JUDICIÁRIO ‒ ENGENHARIA
MECÂNICA ‒ ADAPTADA) OS MATERIAIS METÁLICOS EM ENGENHARIA
PODEM SER CLASSIFICADOS EM DÚCTEIS E FRÁGEIS. COM RELAÇÃO A
ESSE TIPO DE CLASSIFICAÇÃO, ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA
A) Material dúctil não apresenta grandes deformações antes de romper.
B) O ferro fundido é um típico exemplo de material dúctil.
C) Material frágil se deforma relativamente pouco antes de romper.
D) O alumínio é um típico exemplo de material frágil.
E) Os materiais dúcteis não apresentam deformações elásticas.
2. (UECE-CEV ‒ 2018 ‒ PREFEITURA DE SOBRAL ‒ CE ‒ ANALISTA DE
INFRAESTRUTURA ‒ ENGENHARIA MECÂNICA) OBSERVE O DIAGRAMA
TENSÃO X DEFORMAÇÃO PARA UM AÇO, REPRESENTADO NA FIGURA
ABAIXO. 
 
FONTE: AUTOR
ATENTE AO QUE SE DIZ SOBRE O DIAGRAMA ACIMA: 
 
I. A ZONA "I" DO GRÁFICO CORRESPONDE À REGIÃO ONDE O MATERIAL
APRESENTA UM COMPORTAMENTO ELÁSTICO, EM QUE ATÉ A TENSÃO Σ1
A RELAÇÃO Σ X Ε É LINEAR. 
 
II. AO ATINGIR A TENSÃO Σ2, O MATERIAL COMEÇARÁ A ESCOAR,
DEFORMANDO-SE PLASTICAMENTE SEM APRESENTAR QUALQUER
AUMENTO NA CARGA, SENDO ENTÃO CLASSIFICADO COMO
PERFEITAMENTE PLÁSTICO DURANTE TODA A ZONA "II" DO GRÁFICO. 
 
III. NA ZONA "III" DO GRÁFICO, O MATERIAL PASSA POR UM PROCESSO DE
ENDURECIMENTO POR DEFORMAÇÃO, CHAMADO DE ENCRUAMENTO. 
 
IV. NA ZONA "IV" DO GRÁFICO, O MATERIAL PASSA POR UM PROCESSO DE
REDUÇÃO LOCALIZADA DA ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL,
DENOMINADO ESTRICÇÃO, ATÉ ATINGIR A SUA TENSÃO DE RUPTURA Σ3. 
A) I, II e IV apenas
B) I, II e III apenas
C) III e IV apenas
D) I e III apenas
E) I, II, III e IV
GABARITO
1. (CONSULPLAN ‒ 2012 ‒ TSE ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Mecânica ‒ adaptada) Os
materiais metálicos em Engenharia podem ser classificados em dúcteis e frágeis. Com
relação a esse tipo de classificação, assinale a alternativa correta
A alternativa "C " está correta.
 
A característica do material frágil é a baixa deformação plástica, ou seja, baixa ductilidade.
2. (UECE-CEV ‒ 2018 ‒ Prefeitura de Sobral ‒ CE ‒ Analista de Infraestrutura ‒ Engenharia
Mecânica) Observe o diagrama Tensão x Deformação para um aço, representado na figura
abaixo. 
 
Fonte: Autor
Atente ao que se diz sobre o diagrama acima: 
 
I. A zona "I" do gráfico corresponde à região onde o material apresenta um comportamento
elástico, em que até a tensão σ1 a relação σ x ε é linear. 
 
II. Ao atingir a tensão σ2, o material começará a escoar, deformando-se plasticamente sem
apresentar qualquer aumento na carga, sendo então classificado como perfeitamente
plástico durante toda a zona "II" do gráfico. 
 
III. Na zona "III" do gráfico, o material passa por um processo de endurecimento por
deformação, chamado de encruamento. 
 
IV. Na zona "IV" do gráfico, o material passa por um processo de redução localizada da área
da seção transversal, denominado estricção, até atingir a sua tensão de ruptura σ3. 
A alternativa "E " está correta.
 
O gráfico é obtido a partir do ensaio de tração e mostra a variação da deformação com a variação
da tensão. A partir do gráfico, é possível inferir que até a tensão σ1, a relação σ x ε é linear, as
grandezas são diretamente proporcionais. O patamar do gráfico mostra comportamento típico de
material perfeitamente plástico. Na região III do gráfico, a deformação plástica promove o
endurecimento por deformação, ou seja, o encruamento. Ao atingir a tensão máxima, inicia-se a
estricção, ou ainda, o “empescoçamento” do corpo de prova.
MÓDULO 2
 Definir a Lei de Hooke e o coeficiente de Poisson
INTRODUÇÃO
Muitos materiais, quando sob carregamento, apresentam uma fase inicial em que as grandezas
tensão e deformação normais são diretamente proporcionais. O gráfico Tensão x Deformação
estudado no módulo anterior (ver figura 4) apresenta, na região elástica, um comportamento linear.
É a partir desse comportamento linear que é possível determinar a propriedade do material
denominada módulo de elasticidade (E) ou módulo de Young. Em linhas gerais, são propriedades
que quantificam a rigidez de um material.
 EXEMPLO
Algumas classes de ligas de alumínio apresentam o módulo de elasticidade de 70 GPa, enquanto
algumas classes de aço apresentam valores em torno de 200 GPa, ou seja, cerca de três vezes
mais rígidos.
Mas como determinar tais valores? A partir do gráfico Tensão x Deformação, estudado no módulo 1,
será possível.
LEI DE HOOKE
A deformação imposta a uma estrutura é proporcional à tensão a que esta se encontra submetida. A
partir do gráfico Tensão x Deformação simplificado (ver figura 8), é possível identificar um
comportamento linear (reta).
O coeficiente angular dessa reta, ou seja, a tangente do ângulo que a reta faz com a horizontal, é
dado pela expressão do coeficiente angular = .= = σ
Δ ε
σ−0
ε−0
σ
ε
 
Fonte: Autor
 Figura 8 - Módulo de elasticidade.
O coeficiente angular encontrado no gráfico da figura 8 é denominado módulo de elasticidade do
material (E). Para gráficos com essa região linear mais vertical, maior é o valor do módulo de
elasticidade, ou seja, mais rígido o material.
A partir da expressão anterior, utilizada para determinar o coeficiente angular, é possível escrever a
lei conhecida como Lei de Hooke.
Observe a sequência de passos matemáticos:
COEFICIENTE ANGULAR = 
 
 
 
 
(Equação 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação 2 é a Lei de Hooke, utilizada para deformações normais (de tração ou compressão)
elásticas.
É IMPORTANTE RESSALTAR QUE, UMA VEZ QUE A
DEFORMAÇÃO Ε É ADIMENSIONAL (SEM UNIDADE), A TENSÃO
= = σ
Δ ε
σ−0
ε−0
σ
ε
E =   σ
ε
σ = E. ε
(Σ) E O MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) APRESENTAM AS
MESMAS UNIDADES, POR EXEMPLO MPA OU GPA, SENDO A
ÚLTIMA MAIS COMUM.
EXEMPLO
Suponha que uma peça de aço tenha seção reta quadrada e comprimento 2 m. Uma das
extremidades encontra-se presa a uma estrutura e a outra (extremidade livre) é tracionada de tal
forma que seu comprimento aumenta em 2,1 mm. Considerando que essa peça apresenta módulo
de elasticidade E igual a 200 GPa, determine a tensão a que está sujeita a peça. Suponha que a
deformação seja apenas elástica.
 
Fonte: Autor
Inicialmente, deve-se determinar a deformação normal média (elástica), ou seja, 
. Utilizando a Lei de Hooke, temos:
 
 
OBSERVAÇÃO: DA MESMA FORMA QUE FOI ESTUDADO O
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO (NORMAL), EXISTE O
GRÁFICO TENSÃO CISALHANTE X DEFORMAÇÃO CISALHANTE.
OS MESMOS ARGUMENTOS APRESENTADOS NO ITEM LEI DE
HOOKE, RESULTAM NESTA LEI APLICADA AO CISALHAMENTO.
εm = = = 0,001050
ΔL
L0
2,1
2000
σ = E.ε
 σ  = (200). (0,001050)
 σ  = 0,21 GPa = 210MPa
A equação 3 descreve a expressão matemática dessa lei.
(Equação 3)
 ATENÇÃO
Os módulos de elasticidade E e G apresentam as mesmas unidades.
COEFICIENTE DE POISSON
Para entender o parâmetro denominado coeficiente de Poisson ( ), inicialmente, será feita uma
avaliação qualitativa simplificada.
Suponha um cilindro homogêneo de área da base A0 e comprimento L0. submetido a um par de
forças axiais trativas. Considerando que todo o fenômeno ocorre no regime elástico, o cilindro
passará a ter um comprimento Lf (Lf > L0). Considerando a conservação do volume do cilindro, nas
condições inicial e final, é verdade que A0.L0 = Af.Lf. Como Lf > L0, é verdade que Af < A0. Assim, o
aumento em dada direção (longitudinal) provocará a redução nas direções laterais.
Antes de ser apresentada a definição do coeficiente de Poisson, é preciso conhecer um pouco mais
sobre materiais isotrópicos, ou seja, materiais que apresentam propriedades que independem da
direção adotada. A madeira, por exemplo, pela existência das fibras em certa direção, apresenta
comportamento mecânico distinto em direções distintas. É um material anisotrópico.
ν
A definição do coeficiente de Poisson ( ) é dada pela equação 4
(Equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe a figura 9, em que um corpo cilíndrico é tracionado e ocorre um alongamento na direção
longitudinal e uma contração na direção lateral, na região elástica
 
Fonte: Autor
 Figura 9 - Corpo deformado elasticamente.
Note que as deformações longitudinal (axial) e lateral (radial) apresentam sempre sinais opostos,
indicando que em uma delas houve um aumento no comprimento (deformação positiva) e, na outra,
uma redução (deformação negativa). Assim, na expressão do coeficiente de Poisson (equação 4), o
valor desse parâmetro é sempre positivo. Ademais, o coeficiente de Poisson é adimensional (sem
unidade).
AS CONSTANTES E, G E ; PARA DADO MATERIAL,
RELACIONAM-SE MATEMATICAMENTE PELA EXPRESSÃO A
SEGUIR:
 
MÃO NA MASSA
ν
ν = −
ε lateral
ε longitudinal
ν
G = E
2.(1+ν)
1. (IMA ‒ 2019 ‒ PREFEITURA DE FORTALEZA DOS NOGUEIRAS ‒ MA ‒
ENGENHEIRO CIVIL- ADAPTADA) CHAMA-SE __________ À RELAÇÃO
ENTRE A DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL RELATIVA E A DEFORMAÇÃO
LONGITUDINAL RELATIVA. É UMA GRANDEZA SEM DIMENSÕES. ________ =
(ΔE/E0) / (ΔL/L0). A ALTERNATIVA ABAIXO QUE COMPLETA CORRETAMENTE
A LACUNA É:
A) Coeficiente de Poisson
B) Constante de Newton
C) Constante de Hooke
D) Coeficiente de Kirchhoff
E) Módulo de Young
2. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ TÉCNICO EM SAÚDE PÚBLICA ‒ CONSTRUÇÃO
CIVIL) O COEFICIENTE DE POISSON DE UM MATERIAL PARA O QUAL ENTRE
O MÓDULO DE ELASTICIDADE LONGITUDINAL E E O TRANSVERSAL G
EXISTE A RELAÇÃO E = 2,5.G, VALE:
A) 0,25
B) 0,30
C) 0,35
D) 0,45
E) 0,50
3. (FCC ‒ 2014 ‒ TCE-RS ‒ AUDITOR PÚBLICO EXTERNO ‒ ENGENHARIA
CIVIL ‒ CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS) CONSIDERE A BARRA
PRISMÁTICA DA FIGURA ABAIXO.
 
FONTE: AUTOR
A BARRA POSSUI 5 CM² DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL E ESTÁ
SUBMETIDA A UMA CARGA AXIAL DE COMPRESSÃO P = 50 KN. SE O
MÓDULO DE ELASTICIDADE DO MATERIAL DA BARRA FOR DE 200 GPA, A
SUA DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA LONGITUDINAL É:
A) 0,0005
B) 0,000005
C) 0,00005
D) 0,005
E) 0,05
4. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ ANALISTA DE GESTÃO ADMINISTRATIVA ‒
ENGENHARIA CIVIL) UMA BARRA DE AÇO, DE SEÇÃO QUADRADA (10 CM X
10 CM) E COMPRIMENTO ORIGINAL DE L=1 M, VAI SER CARREGADA POR
UM RECIPIENTE QUE CONTÊM CIMENTO E QUE APLICARÁ UMA FORÇA DE
TRAÇÃO NA BARRA DE 100 KN, COMO MOSTRA A FIGURA ABAIXO.
 
FONTE: AUTOR
CONSIDERANDO QUE O MÓDULO DE ELASTICIDADE DA BARRA É DE
100.000 MPA, O ALONGAMENTO DA BARRA (ΔL) DEVIDO AO
CARREGAMENTO É:
A) 0,0001 mm
B) 0,001 mm
C) 0,1 mm
D) 1 mm
E) 10 mm
5. UM CORPO METÁLICO COM SEÇÃO QUADRADA FOI SUBMETIDO A UM
ESFORÇO NA REGIÃO ELÁSTICA E SUA DEFORMAÇÃO NORMAL
LONGITUDINAL FOI DE 8. 10-3 MM/MM. SE A DEFORMAÇÃO (CONTRAÇÃO)
LATERAL FOI DE – 2.8.10-3 MM/MM, QUAL O COEFICIENTE DE POISSON
DESSE MATERIAL?
A) 2,86
B) - 2,86
C) 0,35
D) - 0,35
E) 0,25
6. (FCC ‒ 2018 ‒ EMAE-SP ‒ ENGENHEIRO ‒ MECÂNICA) UMA BARRA
PRISMÁTICA DE AÇO, COM SEÇÃO TRANSVERSAL QUADRADA, TEM 5,0 M
DE COMPRIMENTO E ESTÁ SOLICITADA POR UMA FORÇA AXIAL DE
TRAÇÃO F = 1000 N. SABENDO-SE QUE O ALONGAMENTO DA BARRA É DE
0,25 MM E QUE SEU MÓDULO DE ELASTICIDADE É Ε = 200 GPA, ENTÃO A
ARESTA DA SEÇÃO TRANSVERSAL DA BARRA É:
A) 25 mm
B) 10 mm
C) 2,0 cm
D) 12 mm
E) 50 cm
GABARITO
1. (IMA ‒ 2019 ‒ Prefeitura de Fortaleza dos Nogueiras ‒ MA ‒ Engenheiro Civil- adaptada)
Chama-se __________ à relação entre a deformação transversal relativa e a deformação
longitudinal relativa. É uma grandeza sem dimensões. ________ = (Δe/e0) / (Δl/l0). A
alternativa abaixo que completa corretamente a lacuna é:
A alternativa "A " está correta.
A definição do coeficiente de Poisson ( ) é dada pela equação , sendo um
parâmetro adimensional (sem unidade).
2. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Técnico em Saúde Pública ‒ Construção Civil) O coeficiente de
Poisson de um material para o qual entre o módulo de elasticidade longitudinal E e o
transversal G existe a relação E = 2,5.G, vale:
A alternativa "A " está correta.
As constantes E (módulo de elasticidade ou de Young), G (módulo de elasticidade ao cisalhamento)
e (coeficiente de Poisson) para um dado material são dadas pela expressão .
Assim:
ν ν = −
ε lateral
ε longitudinal
ν G  =   E
2.(1+ν)
3. (FCC ‒ 2014 ‒ TCE-RS ‒ Auditor Público Externo ‒ Engenharia Civil ‒ Conhecimentos
Específicos) Considere a barra prismática da figura abaixo.
 
Fonte: Autor
A barra possui 5 cm² de área da seção transversal e está submetida a uma carga axial de
compressão P = 50 kN. Se o módulo de elasticidade do material da barra for de 200 GPa, a
sua deformação específica longitudinal é:
A alternativa "A " está correta.
Inicialmente, será determinada a tensão média normal, ou seja, a razão entre a força normal e a
área. Assim, .
Lembrando que 200 GPa = 200.000 MPa.
A partir da Lei de Hooke, é possível determinar a deformação normal média, ou seja,
.
4. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ Analista de Gestão Administrativa ‒ Engenharia Civil) Uma
barra de aço, de seção quadrada (10 cm x 10 cm) e comprimento original de L=1 m, vai ser
carregada por um recipiente que contêm cimento e que aplicará uma força de tração na barra
de 100 kN, como mostra a figura abaixo.
G = → G =E
2.(1+ν)
2,5.G
2.(1+ν)
G = → 1 =   → 2.(1 + ν)= 2,5 →  (1 + ν)= 1,25  → ν  = 0,25
2,5.G
2.(1+ν)
2,5
2.(1+ν)
σ =   = = 100 MPaF
A
50.000 N
500 mm²
σ  = E. ε  → 100 = 200.000. ε → ε = 0,0005
 
Fonte: Autor
Considerando que o módulo de elasticidade da barra é de 100.000 MPa, o alongamento da
barra (ΔL) devido ao carregamento é:
A alternativa "C " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
5. Um corpo metálico com seção quadrada foi submetido a um esforço na região elástica e
sua deformação normal longitudinal foi de 8. 10-3 mm/mm. Se a deformação (contração)
lateral foi de – 2.8.10-3 mm/mm, qual o coeficiente de Poisson desse material?
A alternativa "C " está correta.
A definição do coeficiente de Poisson ( ) é dada pela equação . Substituindo os
valores apresentados, temos: . Observe que o valor do coeficiente de
Poisson é positivo, sendo uma grandeza adimensional (sem unidade).
ν ν = −
εlateral
εlongitudinal
ν = − = 0,35
(−2,8.10−3 )
8.10−3
6. (FCC ‒ 2018 ‒ EMAE-SP ‒ Engenheiro ‒ Mecânica) Uma barra prismática de aço, com
seção transversal quadrada, tem 5,0 m de comprimento e está solicitada por uma força axial
de tração F = 1000 N. Sabendo-se que o alongamento da barra é de 0,25 mm e que seu
módulo de elasticidade é Ε = 200 GPa, então a aresta da seção transversal da barra é:
A alternativa "B " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O estagiário de uma empresa recebeu a incumbência de determinar a elongação de uma peça a ser
utilizada numa estruturade um projeto. Como toda a estrutura trabalha no regime elástico, a
deformação da peça não pode ser plástica, apenas elástica. Pensando no conhecimento já
aprendido em seu curso de Engenharia, percebeu que precisaria ter algumas informações para
responder corretamente ao engenheiro. Lendo o projeto, descobriu que a peça é de aço com tensão
de escoamento 300 MPa e módulo de Elasticidade ou de Young de 200 GPa. Além dessas
informações, conseguiu descobrir que a peça é um cilindro com 60 cm de comprimento e ficará
sujeita a um esforço axial de tração. Como informação adicional, descobriu que o fator de segurança
utilizado é de 1,5.
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CEPS-UFPA - 2018 - UFPA - TÉCNICO EM EDIFICAÇÕES) O PARÂMETRO
MECÂNICO QUE PROPORCIONA UMA MEDIDA DA RIGIDEZ DE UM
MATERIAL SÓLIDO E QUE É OBTIDO NA FASE DE COMPORTAMENTO
ELÁSTICO LINEAR DOS MATERIAIS É DENOMINADO:
A) Módulo de Euler ou constante de flambagem
B) Módulo de deformação ou módulo transversal
C) Coeficiente de Poisson
D) Módulo de Young ou módulo de elasticidade
E) Constante elástica
2. (UFPA ‒ 2017 ‒ UFPA ‒ TÉCNICO DE LABORATÓRIO ‒ MECÂNICA) A LEI
DE HOOKE ESTABELECE UMA RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO.
CONSIDERE UMA BARRA DE COMPRIMENTO “L” E SEÇÃO TRANSVERSAL
“A” SUBMETIDA A UMA CARGA UNIAXIAL “F”. ESSA BARRA POSSUI UM
MÓDULO DE YOUNG “E”. COM BASE NA LEI DE HOOKE, É CORRETO
AFIRMAR QUE O ALONGAMENTO (∆L) SOFRIDO POR ESSA BARRA É IGUAL
A:
A) 
B) 
F .L
A.E
F .A
L.E
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. (CEPS-UFPA - 2018 - UFPA - Técnico em Edificações) O parâmetro mecânico que
proporciona uma medida da rigidez de um material sólido e que é obtido na fase de
comportamento elástico linear dos materiais é denominado:
A alternativa "D " está correta.
 
A partir do gráfico Tensão x Deformação, é possível identificar um comportamento linear (reta). O
coeficiente angular é denominado módulo de elasticidade do material. Para gráfico com essa região
linear mais vertical, maior o valor do módulo de elasticidade, ou seja, mais rígido o material.
2. (UFPA ‒ 2017 ‒ UFPA ‒ Técnico de Laboratório ‒ Mecânica) A Lei de Hooke estabelece uma
relação entre tensão e deformação. Considere uma barra de comprimento “L” e seção
transversal “A” submetida a uma carga uniaxial “F”. Essa barra possui um módulo de Young
“E”. Com base na Lei de Hooke, é correto afirmar que o alongamento (∆L) sofrido por essa
barra é igual a:
A alternativa "A " está correta.
 
Inicialmente, serão escritas as expressões da Lei de Hooke e da deformação média normal, ou seja:
 e , Substituindo a deformação média normal na Lei de Hooke, temos que 
. A partir da definição de tensão normal média , pode-se reescrever a Lei
de Hooke. 
MÓDULO 3
 Calcular tensão térmica
F .E
A.L
F
A.E
F
L.E
σ  = E.  ε εm =
ΔL
L0
σ  = E. ΔL
L0
( σm = )FA
  = E. → ΔL =F
A
ΔL
L0
F .L
A.E
INTRODUÇÃO
No estudo das tensões de origem térmica, é necessário compreender que a variação de
temperatura modifica as dimensões do corpo, seja aumentando ou diminuindo
Na Engenharia, dependendo das restrições de uma estrutura, o aumento ou a diminuição das
dimensões podem gerar tensões “extras” cuja origem se deve à mudança na temperatura. No
desenvolvimento de um projeto, dependendo da ordem de grandeza dessas tensões, não devem
ser ignoradas.
DILATAÇÃO TÉRMICA
No estudo microscópico dos materiais, é conhecido que os átomos que formam o material oscilam.
A medida desse grau de agitação é a temperatura. Quando esse grau é elevado, significa que a
energia cinética dos átomos é alta e colisões são mais prováveis, liberando energia na modalidade
de calor, o que eleva a temperatura do corpo macroscopicamente. De maneira inversa, ocorre a
diminuição da temperatura.
A fim de se encontrar uma expressão matemática que determine a variação na dimensão de um
corpo, será feita uma análise de que variáveis influenciam nessa mudança dimensional.
Inicialmente, serão tomadas como premissas que o material é homogêneo e que uma de suas
dimensões é muito maior que as outras duas (corpo unidimensional).
Observe na figura 10 uma barra metálica de comprimento L0 e que está em um ambiente em que a
temperatura é T0.
 
Fonte: Autor
 Figura 10 - Barra de comprimento L0
A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO (ΔL) DA BARRA DEPENDE DE
TRÊS VARIÁVEIS: O SEU COMPRIMENTO INICIAL (L0), A
VARIAÇÃO DA TEMPERATURA (ΔT) E DO TIPO DE MATERIAL,
SENDO ESTA ÚLTIMA VARIÁVEL UMA CARACTERÍSTICA DO
MATERIAL DENOMINADA COEFICIENTE DE EXPANSÃO TÉRMICA
( ).
Matematicamente, ΔL é diretamente proporcional às grandezas ΔT, L0 e , ou seja, pode ser
determinado pela equação 5 a seguir:
(Equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe, na figura 11, uma situação em que uma barra tem seu comprimento aumentado em ΔL,
devido a um aumento da temperatura (ΔT)
α
α
ΔL =  α.L0. ΔT
 
Fonte: Autor
 Figura 11 - Variação no comprimento de uma barra.
 ATENÇÃO
A unidade utilizada para o coeficiente de expansão térmica é 0C-1
EXEMPLO
Suponha uma barra de aço de comprimento 5 m engastada em uma parede. Às 2h da madrugada, a
temperatura ambiente é de 10 0C. Considerando o coeficiente de expansão térmica do aço igual a
15.10-6 0C-1, determine a maior temperatura a que a barra pode ficar submetida para não exercer
força sobre a outra parede, uma vez que sua extremidade livre está afastada 1,5 mm dessa parede.
Observe a figura a seguir.
 
Fonte: Autor
SOLUÇÃO
Para que a barra não exerça força sobre a parede, a máxima dilatação térmica que pode sofrer
equivale a 1,5 mm. A partir da equação 5 e dos valores apresentados no exemplo, temos:
 
Como , temos:
.
TENSÕES TÉRMICAS
No estudo das tensões térmicas, será utilizada uma simbologia diferente para a equação 5. A
variação no comprimento (ΔL) devido à variação da temperatura, será apresentada por δT. Dessa
forma, a equação 5 poderá ser reescrita como a equação 6.
ΔL =  α.L0. ΔT
1,5 =  15.10−6. 5000. ΔT
1 ,5=  75 .10−3.   Δ T
ΔT =   = 20 0C.
1,5
75.10−3
ΔT =  Tf − T0
20  =  Tf  –  10  →  Tf   =  30°C
δT =  α.L0. ΔT
(Equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A relação apresentada na equação 6 é adequada para situações em que o material é homogêneo
(coeficiente de expansão térmica constante ao longo do comprimento da peça) e a variação da
temperatura é igual em toda a peça. Contudo, essas premissas nem sempre podem ser adotadas
na modelagem física do problema, principalmente em relação à variação da temperatura que pode
mudar ao longo do comprimento (ΔT (x)). Assim, a relação a ser utilizada é a apresentada na
equação 7.
(Equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Perceba que se as premissas descritas no parágrafo anterior forem adotadas, a equação 7 se
apresentará como a equação 6. Note que se e ΔT (x) são constantes, a integral torna-se.
Em relação à tensão por ação de uma força externa sobre uma área, a visualização do conceito é
facilitada, pois os entes envolvidos são concretos (força e área). Contudo, quanto às tensões
térmicas, o “surgimento” destas é mais abstrato. A fim de que o entendimento seja facilitado, será
utilizado um exemplo.
A PARTIR DAS EXPRESSÕES DA LEI DE HOOKE ( ) E DA
DEFORMAÇÃO MÉDIA NORMAL , É POSSÍVEL
AFIRMAR QUE:
Para que seja entendida a origem da variação no comprimento, serão utilizados δT e δF. A primeira
tem origem na variação da temperatura e, a segunda, por ação de uma força.
δT =   ∫
L
0
α. ΔT (x). dx
α
δT =  α. ΔT . ∫
L
0
dx →  δT =  α.  L0. ΔT
σ = E. ε
(εm = )ΔLL0
 σ = E. →   = E. → ΔL =   → δF =
ΔL
L0
F
A
ΔL
L0
F .L0
A.E
F .L0
A.E
Suponha uma barra metálica homogênea de comprimento L0, feita de material com coeficiente de
expansão térmica , seção reta constante de valor A engastada em duas paredes verticais,
conforme a figura 12.
 
Fonte: Autor
 Figura 12: Barra duplamente engastada.
Inicialmente, a temperaturaambiente é T0 e sofre um acréscimo ΔT. Caso a extremidade B
estivesse sem restrição à translação da barra, o aumento no comprimento desta seria calculada por 
.
Observe na figura 13 essa abstração.
 
Fonte: Autor
 Figura 13: Barra com acréscimo no comprimento devido à variação da temperatura.
α
δT =  α.L0. ΔT
De fato, esse aumento δT é só uma abstração, o ponto B não ocupará a posição B’, pois existe a
parede impedindo esse movimento. Dessa forma, o que ocorre é que a parede exerce uma força
impedindo o movimento de B. Na figura 14 é representada essa força e o deslocamento de B’ para
B, também de forma abstrata. Assim, de fato, a extremidade B da barra não se desloca.
 
Fonte: Autor
 Figura 14: Barra com decréscimo no comprimento devido à força exercida pela parede.
 ATENÇÃO
As variações mostradas nas figuras 13 e 14 são abstrações. De fato, elas não ocorrem. Os seus
módulos devem ser iguais para garantir que não ocorra movimento do ponto B.
Observe que nessas figuras existem dois sentidos. Será suposto que para a direita é positivo e, para
a esquerda, negativo. Desse modo, como a variação da posição de B é nula, é possível escrever a
equação da compatibilidade geométrica, ou seja:
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
δT   − δF   =  0
δT   = δF  (*)
Mas as variações no comprimento da barra devido à temperatura (ΔT) e a uma força externa são
determinadas, respectivamente, por e . Substituindo em (*) temos a
equação 8.
(Equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando o L0 na equação 8, temos .
Porém, a partir da definição de tensão normal média ( ), a expressão anterior pode ser
escrita como .
Perceba, a partir da expressão, que caso não ocorra variação na temperatura, ou seja, se ΔT = 0, a
tensão será nula. Assim, fica evidenciado que a origem dessa tensão é pela variação da
temperatura (tensões térmicas).
Para que a sequência algébrica apresentada anteriormente seja mais facilmente entendida, será
realizado um exemplo numérico.
EXEMPLO
Suponha que uma barra cilíndrica de aço tenha coeficiente de expansão térmica igual a 15.10-6 0C-
1, comprimento 1,5 m, área circular de diâmetro 12 mm e módulo de elasticidade E igual a 200 GPa.
A barra apresenta-se engastada em duas paredes verticais e sem nenhuma tensão atuando. A
temperatura ambiente é de 200 C. Quando a temperatura ambiente for de 300 C, determine a força
que a parede exerce sobre a barra e a tensão térmica.
δT =  α.L0. ΔT  δF =
F .L0
A.E
α.  L0. ΔT =  
F .L0
A.E
α . ΔT =   F
A.E
σm =  
F
A
σm = α.   Δ T .E
 
Fonte: Autor
Inicialmente, deve-se notar que há restrições em A e B que não permitem a livre variação na
dimensão da barra. Assim, a equação de compatibilidade é dada por:
Substituindo e na equação da compatibilidade, temos:
A partir dos dados do exemplo,
 e .
Substituindo em (**), temos:
Como a tensão normal média é dada pela expressão , substituindo-se os valores de F e A,
temos:
 (compressiva)
MÃO NA MASSA
δT   − δF   = 0 → δT   =  δF
δT =  α.L0. ΔT  δF =
F .L0
A.E
α.  L0. ΔT =   (**)F .L0A.E
ΔT = 30 − 20 = 10∘C A = π.R2 → π. 0 ,0062= 1 ,13. 10−4 m2
15 .10−6  .  (1 ,5. 10) =   F .(1,5)
1,13.10−4 . (200.109)
15.10−6 .  10 =   F
1,13.10−4 . (200.109)
15 .10−6  .  (10). (1 ,13. 10−4). 200. 109 =  F
F = 3.391,2 N
σm =  
F
A
σm =   → = 30 MPa
F
A
3.391,2 N
1,13.10−4 m2
1. CONSIDERE UMA BARRA DE AÇO DO TIPO ABC EM QUE SEU
COEFICIENTE DE EXPANSÃO TÉRMICA É DE 12.10-6 0C-1. SE A BARRA
POSSUI COMPRIMENTO INICIAL DE 2 M A 10 0C, DETERMINE SUA
VARIAÇÃO NO COMPRIMENTO, QUANDO SUBMETIDA A UMA DE
TEMPERATURA DE 30 0C.
A) 0,72 mm
B) 0,60 mm
C) 0,48 mm
D) 0,40 mm
E) 0,20 mm
2. UM CORPO, QUANDO SUBMETIDO A UM AUMENTO DE TEMPERATURA,
TEM SUAS DIMENSÕES AUMENTADAS. ESSA CARACTERÍSTICA É
INTRÍNSECA AO MATERIAL. POR EXEMPLO, O ALUMÍNIO APRESENTA MAIS
FACILIDADE DE SOFRER AUMENTO EM SUAS DIMENSÕES DO QUE UM
AÇO, NAS MESMAS CONDIÇÕES INICIAIS. A RESPEITO DAS TENSÕES
TÉRMICAS, SÃO FEITAS TRÊS AFIRMATIVAS. 
 
I – A TEMPERATURA DE UM CORPO METÁLICO É A MEDIDA DO GRAU DE
AGITAÇÃO TÉRMICA DE SEUS ÁTOMOS. 
 
II – A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO DE UM CORPO É DIRETAMENTE
PROPORCIONAL À TEMPERATURA DO AMBIENTE EM QUE SE ENCONTRA. 
 
III – A VARIAÇÃO DO COMPRIMENTO DE UM CORPO É INVERSAMENTE
PROPORCIONAL AO SEU COMPRIMENTO INICIAL. 
 
SOBRE AS AFIRMATIVAS ACIMA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Apenas a afirmativa I é correta
B) Apenas as afirmativas I e II são corretas.
C) Apenas as afirmativas I e III são corretas.
D) Apenas as afirmativas II e III são corretas.
E) Apenas a afirmativa III é correta.
3. (CESGRANRIO ‒ 2018 ‒ TRANSPETRO ‒ TÉCNICO DE INSPEÇÃO DE
EQUIPAMENTOS E INSTALAÇÕES JÚNIOR) DUAS BARRAS METÁLICAS,
UMA DE AÇO E OUTRA DE ALUMÍNIO, POSSUEM UMA DAS EXTREMIDADES
LIVRE. QUANDO A TEMPERATURA AMBIENTE É 0 °C, A DISTÂNCIA ENTRE
AS BARRAS É DE 5,00 CM, COMO MOSTRA A FIGURA.
 
FONTE: AUTOR
DADOS: 
COEFICIENTE DE DILATAÇÃO DO AÇO = 1,20 . 10-5 °C-1 
COEFICIENTE DE DILATAÇÃO DO ALUMÍNIO = 2,40 . 10-5 °C-1 
 
A TEMPERATURA EM °C A PARTIR DA QUAL UMA BARRA ENCOSTA NA
OUTRA É, APROXIMADAMENTE,
A) 15,9
B) 36,2
C) 41,7
D) 52,1
E) 277,0
4. SUPONHA UMA BARRA DE ALUMÍNIO DE COMPRIMENTO 2 M
ENGASTADA EM UMA PAREDE E SUA EXTREMIDADE LIVRE COM UMA
FOLGA, DE OUTRA PAREDE, DE 2 MM QUANDO A TEMPERATURA
AMBIENTE É DE 15 °C. DETERMINE A TEMPERATURA MÁXIMA A QUE A
BARRA PODE SER EXPOSTA, SEM EXERCER FORÇA SOBRE A OUTRA
PAREDE. CONSIDERE O COEFICIENTE DE EXPANSÃO TÉRMICA DO
ALUMÍNIO 23.10-6 °C-1.
 
FONTE: AUTOR
A) 43,5 °C
B) 58,5 °C
C) 63,5 °C
D) 68,5 °C
E) 73,5 °C
5. CONSIDERE UMA BARRA AB HORIZONTAL DE COMPRIMENTO 1 M,
SUSPENSA POR DOIS FIOS DE MATERIAIS DISTINTOS (ALUMÍNIO E AÇO).
OS CABOS DE AÇO E ALUMÍNIO TÊM 2 M DE COMPRIMENTO CADA.
QUANDO A TEMPERATURA VARIA EM + 40 °C, DETERMINE A INCLINAÇÃO
DA BARRA AB. CONSIDERE QUE OS CABOS PERMANEÇAM NA VERTICAL.
OBSERVE A FIGURA. 
 
DADOS: 
COEFICIENTE DE DILATAÇÃO DO AÇO = 1,20 . 10-5 °C-1 
COEFICIENTE DE DILATAÇÃO DO ALUMÍNIO = 2,40 . 10-5 °C-1 
 
FONTE: AUTOR
A) 0,00096°
B) 0,0396°
C) 0,0168°
D) 0,060°
E) 0,055°
6. CONSIDERE QUE UMA BARRA TENHA COMPRIMENTO 5 M, SEÇÃO
RETANGULAR DE 100 MM DE ALTURA E BASE 50 MM QUANDO A
TEMPERATURA AMBIENTE É DE 10 °C. UMA DAS EXTREMIDADES DA
BARRA ESTÁ ENGASTADA NO SOLO E A OUTRA LIVRE, COM UMA FOLGA
DE 1 MM DE UMA PAREDE. OBSERVE A FIGURA. QUANDO A TEMPERATURA
SE ELEVA A 40 °C, A BARRA TOCA O TETO E UMA TENSÃO DE ORIGEM
TÉRMICA “SURGE”. DETERMINE-A, SABENDO QUE O MATERIAL DA BARRA
TEM COEFICIENTE DE EXPANSÃO TÉRMICA IGUAL A 1,20 X 10-5 °C-1 E
MÓDULO DE ELASTICIDADE E = 200 GPA.
 
FONTE: AUTOR
A) 32 MPa
B) 35 MPa
C) 40 MPa
D) 42 MPa
E) 45 MPa
GABARITO
1. Considere uma barra de aço do tipo ABC em que seu coeficiente de expansão térmica é de
12.10-6 0C-1. Se a barra possui comprimento inicial de 2 m a 10 0C, determine sua variação no
comprimento, quando submetida a uma de temperatura de 30 0C.
A alternativa "C " está correta.
Para a determinação da variação da barra, deve-se utilizar a expressão δT = . L0 .ΔT. No
enunciado, é apresentado o comprimento inicial L0 de 2 m que equivale a 2.000 mm e as
temperaturas inicial e final, ou seja ΔT = 30 °C – 10 °C = 20 °C. Substituindo, temos: δT = 12 . 10-6 .
2000 . 20 = 0,48 mm
2. Um corpo, quando submetido a um aumento de temperatura, tem suas dimensões
aumentadas. Essa característica é intrínseca ao material. Por exemplo, o alumínio apresenta
mais facilidade de sofrer aumento em suas dimensões do que um aço, nas mesmas
α
condições iniciais. A respeito das tensões térmicas, são feitas três afirmativas. 
 
I – A temperatura de um corpo metálico é a medida do grau de agitação térmica de seus
átomos. 
 
II – A variação do comprimento de um corpo é diretamente proporcional à temperatura do
ambiente em que se encontra. 
 
III – A variação do comprimento de um corpo é inversamente proporcional ao seu
comprimentoinicial. 
 
Sobre as afirmativas acima, é correto afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
A agitação que os átomos que compõem um material possuem é a medida da temperatura do
corpo, pois esse aumento na energia cinética dos átomos aumenta a probabilidade de colisões e,
consequentemente, de liberação de energia na forma de calor. Para se determinar a variação do
comprimento de um corpo, decorrente da variação da temperatura, utiliza-se a expressão δT = .
L0 . ΔT. Da equação, a variação no comprimento (δT) é diretamente proporcional ao coeficiente de
expansão térmica ( ), ao comprimento inicial (L0) e à variação da temperatura (ΔT). Assim, apenas
a alternativa I está correta.
3. (CESGRANRIO ‒ 2018 ‒ Transpetro ‒ Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações
Júnior) Duas barras metálicas, uma de aço e outra de alumínio, possuem uma das
extremidades livre. Quando a temperatura ambiente é 0 °C, a distância entre as barras é de
5,00 cm, como mostra a figura.
α
α
 
Fonte: Autor
Dados: 
Coeficiente de dilatação do aço = 1,20 . 10-5 °C-1 
Coeficiente de dilatação do alumínio = 2,40 . 10-5 °C-1 
 
A temperatura em °C a partir da qual uma barra encosta na outra é, aproximadamente,
A alternativa "B " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
4. Suponha uma barra de alumínio de comprimento 2 m engastada em uma parede e sua
extremidade livre com uma folga, de outra parede, de 2 mm quando a temperatura ambiente é
de 15 °C. Determine a temperatura máxima a que a barra pode ser exposta, sem exercer força
sobre a outra parede. Considere o coeficiente de expansão térmica do alumínio 23.10-6 °C-1.
 
Fonte: Autor
A alternativa "B " está correta.
A variação no comprimento de um corpo submetido à variação de temperatura é dada por ΔL = L0 . 
 . ΔT. No problema, o comprimento inicial da barra é igual a 2 m (2.000 mm) e a variação do
comprimento igual a 2 mm. Substituindo na expressão ΔL = L0 . . ΔT temos: 2 = 2000. 23 . 10-6 .
ΔT. Logo, ΔT = 43,5 C. Assim, a temperatura final máxima que a barra pode ser submetida é igual a
15 °C + 43,5 °C = 58,5 °C
5. Considere uma barra AB horizontal de comprimento 1 m, suspensa por dois fios de
materiais distintos (alumínio e aço). Os cabos de aço e alumínio têm 2 m de comprimento
cada. Quando a temperatura varia em + 40 °C, determine a inclinação da barra AB. Considere
que os cabos permaneçam na vertical. Observe a figura. 
 
Dados: 
Coeficiente de dilatação do aço = 1,20 . 10-5 °C-1 
Coeficiente de dilatação do alumínio = 2,40 . 10-5 °C-1 
α
α
 
Fonte: Autor
A alternativa "E " está correta.
Após a variação da temperatura, os cabos de aço e alumínio sofrerão variações em seus
comprimentos diferentes, o que levará a barra AB a tornar-se inclinada. Observe a figura.
 
Fonte: Autor
Variação dos comprimentos dos cabos:
(δT)alumínio =  α.  L0. ΔT  →  (δT)alumínio =  2 ,40  . 10
−5 .  2000.  40 →  (δT)alumínio =  1 ,92  mm
(δT)aço =  α.  L0. ΔT  →  (δT)aço =  1,20 . 10
−5 .  2000.  40 →  (δT)aço =  0,96 mm
Devido às pequenas dimensões nas variações dos comprimentos dos cabos em relação ao
comprimento da barra, é possível supor a figura mostrada, isto é, o trapézio retângulo AA’BB’
extraído da figura anterior.
 
Fonte: Autor
A inclinação da barra é o ângulo B'Â'C' = θ. Observe que AA'= (δT)aço = 0,96 mm e que BB' =
(δT)alumínio = 1,92 mm. Ademais, C'B' = BB' – AA' = 1,92 – 0,96 = 0,96 mm.
Da trigonometria, 
6. Considere que uma barra tenha comprimento 5 m, seção retangular de 100 mm de altura e
base 50 mm quando a temperatura ambiente é de 10 °C. Uma das extremidades da barra está
engastada no solo e a outra livre, com uma folga de 1 mm de uma parede. Observe a figura.
Quando a temperatura se eleva a 40 °C, a barra toca o teto e uma tensão de origem térmica
“surge”. Determine-a, sabendo que o material da barra tem coeficiente de expansão térmica
igual a 1,20 x 10-5 °C-1 e módulo de elasticidade E = 200 GPa.
tgθ =   = = 0 ,00096→  θ =  0 ,055 ° B'C'
A´C '
0,96
1000
 
Fonte: Autor
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Entre duas partes de uma grande estrutura existe uma barra horizontal de 5 m de comprimento
engastada em uma dessas partes e afastada 2 mm da segunda parte nas condições de temperatura
de 20 0C. A barra é feita de aço com módulo de Young (E) de 200 GPa e coeficiente de expansão
térmica ( ) 1,20 . 10-5 0C-1. Qual a máxima variação de temperatura para que a barra não exerçaα
força sobre a parte 2 (ver figura)? Se a temperatura se elevar a 80 0C, qual a tensão de origem
térmica na barra?
 
Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TUBO PARA CONDUZIR UM GÁS TEM DIÂMETRO EXTERNO DE 12 MM,
DIÂMETRO INTERNO 10 MM E 2 METROS DE COMPRIMENTO DISPOSTO
HORIZONTALMENTE E PERFEITAMENTE AJUSTADO ENTRE DUAS PAREDES
QUANDO A TEMPERATURA É DE 20 °C. QUANDO O GÁS PASSA EM SEU
INTERIOR, A TEMPERATURA CHEGA A 120 °C. SUPONDO QUE O
COEFICIENTE DE EXPANSÃO TÉRMICA DO MATERIAL É DE 18 . 10-6 °C-1 E O
MÓDULO DE ELASTICIDADE DE 210 GPA. NESSA SITUAÇÃO, QUAL É A
FORÇA QUE A PAREDE E O TUBO TROCAM QUANDO A TEMPERATURA SE
ELEVA?
A) 10,8 kN
B) 13,1 kN
C) 15,2 kN
D) 21,4 kN
E) 25,6 kN
2. MUITAS ESTRUTURAS METÁLICAS ESTÃO EM AMBIENTES ONDE A
AMPLITUDE TÉRMICA (VARIAÇÕES DE TEMPERATURA) É ELEVADA, O QUE
PROVOCA O APARECIMENTO DE TENSÕES DE ORIGEM TÉRMICA. A
RESPEITO DESSAS TENSÕES SÃO FEITAS TRÊS AFIRMATIVAS: 
 
I – AS TENSÕES TÉRMICAS PODEM SER TRATIVAS OU COMPRESSIVAS. 
 
II – AS TENSÕES TÉRMICAS DEPENDEM DO TIPO DE MATERIAL DA
ESTRUTURA. 
 
III – A EQUAÇÃO DA COMPATIBILIDADE É DADA POR ΔT- ΔF = 0. 
 
É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
B) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
C) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
E) Apenas a afirmativa II é verdadeira.
GABARITO
1. Um tubo para conduzir um gás tem diâmetro externo de 12 mm, diâmetro interno 10 mm e 2
metros de comprimento disposto horizontalmente e perfeitamente ajustado entre duas
paredes quando a temperatura é de 20 °C. Quando o gás passa em seu interior, a temperatura
chega a 120 °C. Supondo que o coeficiente de expansão térmica do material é de 18 . 10-6 °C-1
e o módulo de elasticidade de 210 GPa. Nessa situação, qual é a força que a parede e o tubo
trocam quando a temperatura se eleva?
A alternativa "B " está correta.
 
Equação de compatibilidade geométrica: . Assim,
Determinação da área A = π . (R² - r²) = 3,14 . (0,000011) = 0,00003454 m². Substituindo, os valores
em (*):
2. Muitas estruturas metálicas estão em ambientes onde a amplitude térmica (variações de
temperatura) é elevada, o que provoca o aparecimento de tensões de origem térmica. A
respeito dessas tensões são feitas três afirmativas: 
 
I – As tensões térmicas podem ser trativas ou compressivas. 
 
II – As tensões térmicas dependem do tipo de material da estrutura. 
 
III – A equação da compatibilidade é dada por δT- δF = 0. 
 
É correto afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
 
Tomando-se a igualdade é possível perceber que se ΔT>0 ou ΔT<0, o valor de
F poderá ser positivo ou negativo, ou seja, a tensão térmica associada poderá ser trativa ou
compressiva. Da mesma expressão, o coeficiente de expansão térmica é uma propriedade do
material. A equação da compatibilidade depende do arranjo geométrico do problema.
δT −  δF = 0  →  δT =  δF
δT =  δF
α.  L0. ΔT =    (*)F .L0A.E
18 . 10−6.  2. 100 =    (*)F .2
(0,00003454).210.109
18 . 10−6. 100. (0 ,00003454). 210 .109=  F
F = 13 ,1  kN
α.  L0. ΔT =  
F .L0
A.E
α
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, estudamos o comportamento dos materiais sob a ação de cargas axiais, considerando-
os deformáveis. Mostramos os tipos de deformação: elástica (temporária) e plástica (permanente).
Apresentamos o ensaio de tração em que a curva tensão x deformação é seu output. A partirdessa
curva, uma série de propriedades dos materiais podem ser determinadas, como o módulo de
elasticidade, a ductilidade, o limite de escoamento etc. Ademais, apresentamos uma lei matemática
(a Lei de Hooke) que rege o comportamento do material sob forças na região linear do gráfico
Tensão x Deformação. No último módulo, apresentamos o conceito e a origem das tensões
térmicas.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Sobre propriedades dos materiais, o capítulo 3 de Resistência dos Materiais, de R. C.
Hibbeler.
Sobre tensões térmicas, as páginas 106 a 110 de Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues Junior
 CURRÍCULO LATTES
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