9 Energia e Trabalho

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Física Geral e Experimental I 
Engenharia Civil
Prof. Dr Jorge Domínguez
Energia e Trabalho
UNASP-EC 2018
As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa
análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do
movimento simplesmente inacessíveis. Exemplo: qual é a
velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de
montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, mas
resolva o problema usando as leis de Newton.
𝒗 = 𝟎
𝒗 =?
Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnica
muitas vezes mais poderosa para analisar o movimento.
Essa maneira acabou sendo estendida a outras situações , tais
como:
 reações químicas,
 processos geológicos e
 funções biológicas.
Essa técnica alternativa envolve o conceito de energia, que
aparece em várias formas e tipos.
Energia
Definição: grandeza escalar associada a um estado de um ou
mais corpos.
Energia é a capacidade de executar um trabalho.
Energia mecânica é aquela que acontece devido ao movimento
dos corpos ou armazenada nos sistemas físicos.
Dentre as diversas energias conhecidas, as que veremos no
estudo de dinâmica são:
 Energia Cinética;
 Energia Potencial Gravitacional;
 Energia Potencial Elástica;
Energia Cinética
É a energia ligada ao movimento dos corpos. Resulta
da transferência de energia do sistema que põe o corpo
em movimento. A energia que um corpo adquire
quando está em movimento chama-se energia cinética,
depende de dois fatores: da massa e da velocidade do
corpo em movimento.
Qualquer corpo que possuir velocidade terá energia
cinética. A equação matemática que a expressa é:
𝑬𝑪 =
𝒎 ∙ 𝒗𝟐
𝟐
Trabalho mecânico
O trabalho mecânico é o resultado do produto entre a força e o
deslocamento de um corpo.
Empurrar um carro é uma forma de realizar trabalho, pois
aplicamos uma força sobre ele, causando seu deslocamento
De acordo com a Física, só existe trabalho se houver um
deslocamento de um determinado corpo pela aplicação de uma
força. Como podemos encontrar a relação do trabalho com outras
grandezas, utilizamos o termo trabalho mecânico para estudar a
relação entre a força e o deslocamento de um corpo.
Matematicamente, essa relação é dada pela expressão:
Onde  é o ângulo entre a força e o deslocamento.
Atenção: quanto maior a força e o deslocamento de um corpo,
maior será o trabalho mecânico.
𝑾 = 𝑭 ∙ 𝒅 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜽
O trabalho realizado pela resultante de todas as forças aplicadas
a uma partícula durante certo intervalo de tempo é igual à
variação de sua energia cinética, nesse intervalo de tempo.
Supondo uma força 𝐹 constante, aplicada sobre um corpo de
massa 𝑚 com velocidade 𝑣𝐴, no início do deslocamento 𝑑 e
velocidade 𝑣𝐵 no final desse mesmo deslocamento.
Da equação de Torricelli temos,
𝑣𝐵
2 = 𝑣𝐴
2 + 2𝑎𝑑 ⟹ 𝑎 =
𝑣𝐵
2 − 𝑣𝐴
2
2𝑑
𝐹 = 𝑚𝑎 ⟹ 𝐹 = 𝑚 ∙
𝑣𝐵
2 − 𝑣𝐴
2
2𝑑
Substituindo a aceleração na segunda lei de Newton,
Ou,
𝐹 ∙ 𝑑 =
𝑚 ∙ 𝑣𝐵
2
2
−
𝑚 ∙ 𝑣𝐴
2
2
⟹ 𝑾 = 𝑬𝑪𝑩 − 𝑬𝑪𝑨
O trabalho das forças resultantes é dado por:
Unidades SI:
Atenção: para ter trabalho é necessário ocorrer um deslocamento!
𝑊𝑟𝑒𝑠 = Σ𝐹 ∙ ∆𝑥
𝟏 𝒋𝒐𝒖𝒍𝒆 = 𝟏 𝑱 = 𝟏𝑵 ∙ 𝒎 = 𝟏 𝒌𝒈 ∙ 𝒎𝟐 ∙ 𝒔−𝟐
kgm 2000
my 5,1
JW
gW
ygmW
4100,3
5,12000



Trabalho realizado pelo guindaste
ao erguer a escultura:
Para manter a escultura erguida o
guindaste não realiza trabalho
Trabalho devido a uma força F em
1 dimensão:
Trabalho devido a uma força F
em mais de uma dimensão:
r
F

Problema 2 D e 3D
Uma força constante
𝑾 = 𝑭 ∙ ∆𝒙 = 𝑭∆𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑾 = 𝑭 ∙ ∆𝒙
Exemplo 01
Qual o trabalho realizado por uma força aplicada a um corpo cuja
massa é 3 𝑘𝑔 e que se desloca por uma distância de 50 metros à uma
aceleração de 2,5 m/s^2?
𝑾 = 𝒎𝒂 ∙ ∆𝒙
𝑾 = 𝟑 𝒌𝒈 ∙ 𝟐, 𝟓 𝒎/𝒔𝟐 ∙ 𝟓𝟎𝒎
𝑾 = 𝟕, 𝟓 𝑵 ∙ 𝟓𝟎𝒎
𝑾 = 𝟑𝟕𝟓 𝑱
𝑾 = 𝑭 ∙ ∆𝒙
Exemplo 02
Uma força de intensidade de 15 N (Newtons) é aplicada a um bloco,
formando um ângulo de 60º com o vetor deslocamento, que tem
valor absoluto igual a 5 m (metros). Qual o trabalho realizado por
essa força?
𝑾 = 𝑭∆𝒙𝐜𝐨𝐬𝜶
𝑾 = 𝟏𝟓𝑵 ∙ 𝟓 𝒎 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
𝑾 = 𝟕𝟓 𝑵 ∙ 𝒎 ∙
𝟏
𝟐
𝑾 = 𝟑𝟕, 𝟓 𝑱
Exemplo 03
Qual o trabalho realizado por um corpo de massa de 5 kg que inicia
um percurso com velocidade de 20 m/s até parar?
𝑾 = ∆𝑬𝑪
𝑾 =
𝒎 ∙ 𝒗𝒇
𝟐
𝟐
−
𝒎 ∙ 𝒗𝒊
𝟐
𝟐
𝑾 = −𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑱
𝑾 =
𝟓 ∙ 𝟎𝟐
𝟐
−
𝟓 ∙ 𝟐𝟎𝟐
𝟐
Exemplo 04
Uma esfera de 3 𝑘𝑔 é largada de uma altura de 15 metros cuja
gravidade do ambiente é de 10 𝑚/𝑠2. Qual o valor do trabalho
realizado pela força nesse percurso?
𝑾 = −𝟒𝟓𝟎 𝑱
𝑾 = 𝑭 ∙ ∆𝒉 = 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ ∆𝒉
𝑾 = 𝟑 𝒌𝒈 ∙ 𝟏𝟎𝒎/𝒔𝟐 ∙ (−𝟏𝟓𝒎)
𝑾 = 𝟑𝟎 𝑵 ∙ (−𝟏𝟓𝒎)
Trabalho para uma força variável
Em 1 dimensão: 
)(xFF 
 
2x
1x
ii
x)x(FW
O trabalho é a área da curva da força!
Demonstração
𝑊 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑚 ∙ 𝑎 𝑑𝑥
= 𝑚 න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑥 = 𝑚 න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑣
= 𝑚 න
𝑥𝑖
𝑥𝑓
𝑣𝑑𝑣 =
𝑚𝑣𝑓
2
2
−
𝑚𝑣𝑖
2
2
= ∆𝐸𝑐
ainda um exemplo de trabalho de forças constantes
Trabalho realizado pelos carregadores: 
Modelo para resolver o problema:
mg
F
N
fa
Δx
Trabalho realizado pela força de atrito:
xFWc 
xmgxfW catratr  
Se o objeto se desloca com velocidade constante:
Consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo:
A força resultante é nula:
∆𝐸𝐶 = 0
𝑊𝐶 +𝑊𝑎𝑡𝑟 = 0
Σ𝐹 = 𝐹 + 𝑓𝑎𝑡𝑟 = 0
Potência
JyFW 3000
y
kgm 75
kgm 75
my 2
Trabalho realizado pelo atleta sobre o
halteres:
Trabalho realizado pelo atleta:
F
r
mr
NF
20
150


JW 3000
Até agora não nos perguntamos sobre quão rápido é realizado um
trabalho!
Potência, P, é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de
tempo:
Considerando o trabalho em mais de uma dimenão:
O segundo termo é a velocidade: 
Unidades SI:
J/s W
𝑾 = 𝑭 ∙ ∆𝒓
𝑷 =
𝒅𝑾
𝒅𝒕
= 𝑭 ∙
𝒅𝒓
𝒅𝒕
𝑷 =
𝒅𝑾
𝒅𝒕
𝑷 = 𝑭 ∙ 𝒗
100 m rasos versus maratona:
massa do atleta = 70 kg
Trabalho mecânico realizado pelo atleta:
Maratona : 140 J.m-1
Corrida de 100 m : 210 J.m-1
Trabalho realizado pelo corredor de 100 m rasos: 2,1x104 J
Trabalho realizado pelo maratonista: 5,9 x106J
Potência do corredor de 100 m rasos:
Potência do corredor de maratona:
𝑷𝟏𝟎𝟎 =
𝟐, 𝟏 × 𝟏𝟎𝟒𝑱
𝟏𝟎 𝒔
= 𝟐𝟏𝟎𝟎𝑾
𝑷𝑴𝒂𝒓 =
𝟓, 𝟗 × 𝟏𝟎𝟔𝑱
𝟐 × 𝟔𝟎 × 𝟔𝟎 𝒔
= 𝟖𝟏𝟔𝑾
Um pouco de história
James Watt 1736 - 1819
Esquema da 1a máquina 
a vapor de J. Watt - 1788
definição da unidade 
cavalo-vapor:
1 cv =746 W
Unidade de potência criada por Watt para fazer
o marketing de sua máquina em uma sociedade 
fortemente dependente do (e acostuamada ao) 
trabalho realizado por cavalos.
1a motivação: retirada da água das minas de carvão.
http://www.uh.edu/engines/romanticism/watt.jpg
http://www.uh.edu/engines/romanticism/watt.jpg
Energia Potencial
É A ENERGIA QUE PODE SER ARMAZENADA EM UM 
SISTEMA FÍSICO E TEM A CAPACIDADE DE SER 
TRANSFORMADA EM ENERGIA CINÉTICA.
Energia Potencial Gravitacional
É a energia que corresponde ao trabalho que a força Peso realiza.
É obtido quando consideramos o deslocamento de um corpo na
vertical, tendo como origem o nível de referência (solo, chão de
uma sala, ...).
𝑬𝑷𝑮 = 𝑷 ∙ 𝒉 = 𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉
Enquanto o corpo cai vai ficando mais rápido, ou seja, ganha
Energia Cinética, e como a altura diminui, perde Energia
Potencial Gravitacional.
Conservação de 
Energia Mecânica
A energia mecânica de um corpo é igual a soma das energias
potenciais e cinética dele. Então:
Qualquer movimento é realizado através de transformação de
energia, por exemplo, quando você corre, transforma a energia
química de seu corpo em energia cinética. O mesmo acontece
para a conservação de energia mecânica.
Podemos resolver vários problemas mecânicos conhecendo os
princípios de conservação de energia.
Por exemplo,uma pedra que é abandonada de um penhasco.
 Em um primeiro momento, antes de ser abandonada, a pedra
tem energia cinética nula (já que não está em movimento) e
energia potencial total.
 Quando a pedra chegar ao solo, sua energia cinética será
total, e a energia potencial nula (já que a altura será zero).
Dizemos que a energia potencial se transformou, ou se
converteu, em energia cinética.
Quando não são consideradas as forças dissipativas (atrito,
força de arraste, etc.) a energia mecânica é conservada, então:
𝐸𝑀,𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐸𝑀,𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑬𝑪,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍+𝑬𝑷,𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍= 𝑬𝑪,𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 +𝑬𝑷,𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
Para o caso de energia potencial gravitacional convertida em 
energia cinética, ou vice-versa:
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒇
𝟐 +𝒎𝒈𝒉𝒇 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒊
𝟐 +𝒎𝒈𝒉𝒊
Exemplo
Uma maçã presa em uma macieira a 3 m de altura se desprende.
Com que velocidade ela chegará ao solo?
𝐸𝑀,𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐸𝑀,𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒊
𝟐 +𝒎𝒈𝒉𝒊 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒇
𝟐 +𝒎𝒈𝒉𝒇
𝟏
𝟐
𝒎𝟎𝟐 +𝒎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟑 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝒇
𝟐 +𝒎𝒈 ∙ 𝟎
𝟑𝟎 =
𝟏
𝟐
𝒗𝒇
𝟐 ⟹ 𝒗𝒇 = 𝟔𝟎 = 𝟕, 𝟕𝟓𝒎/𝒔
Exercícios Propostos
1. Uma força resultante de 3,0 N atua sobre uma partícula que
inicialmente está em repouso. Calcule:
a) O trabalho realizado pela força no primeiro, no segundo 
e no terceiro segundo;
b) A potência instantânea no terceiro segundo.
2. Uma carreta sobe uma estrada cuja inclinação em relação à
horizontal é de 300, a uma velocidade de 30 𝑘𝑚/ℎ. A força
resistiva é igual a 0,75 do peso da carreta. Que velocidade
teria a mesma carreta se descesse a estrada com a mesma
potência?
3. Uma força atua sobre uma partícula de 2,5 𝑘𝑔 de tal forma
que a posição da partícula varia em função do tempo de
acordo com a expressão: 𝑥 𝑡 = 3𝑡4 − 2𝑡3 − 𝑡2, onde x é
expresso em metros e t em segundos. Calcule:
a) O trabalho realizado pela força nos 3 segundos iniciais;
b) A potência instantânea para t = 2,0s.
4. Uma locomotiva possui uma potência máxima de 1,5 ×
106𝐽/𝑠 Esta locomotiva acelera um trem com 1 𝑚/𝑠 de
velocidade até 2,5 𝑚/𝑠, com potência máxima, num tempo
de 30 s.
a) Desprezando a força de atrito, calcule a massa do trem;
b) Ache a velocidade do trem em função do tempo durante
o intervalo.
5. Um atleta pode atingir uma velocidade de 36 km/h em sua
corrida para um salto com vara. Supondo que quando o atleta
apoia a vara para executar o salto, 4% da energia é dissipada,
determine a altura máxima atingida pelo atleta. (Despreze a
massa da vara e adote 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2). Rpta. 4,8 m
6. Um corpo de massa 2 kg é lançado do solo, verticalmente
para cima, com velocidade de 50 m/s. Sabendo que, devido
ao atrito com o ar, o corpo dissipa 900 J de energia sob a
forma de calor, determine a altura máxima atingida pelo
corpo. Adote 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2. Rpta. 80 m
7. Um corpo de massa 400 gramas despenca, sem velocidade,
do topo de um prédio de altura 20 metros, atingindo o solo
com velocidade de 10 m/s. Usando g = 10 m/s², calcule a
energia mecânica dissipada nesta queda. Rpta. 60 J
8. Lança-se uma caixa de massa 2 kg com velocidade inicial
de 4 m/s, a partir do topo de um escorregador de altura 2
metros. A caixa desliza até parar na base da rampa. Qual a
energia dissipada devido ao atrito da caixa. Rpta. 56 J
9. Um corpo de massa 5 kg cai do alto de um prédio de altura
8 metros, com velocidade inicial de 4 m/s. O corpo atinge o
solo com velocidade de 10 m/s. Determine a quantidade de
energia dissipada por causa da resistência do ar. Rpta. 190 J
10. Uma pessoa de massa 60 kg cai, a partir do repouso, do alto
de um prédio de 10 andares. Sabendo-se que cada andar
possui 3 metros de altura e que, durante a queda, age sobre a
pessoa uma força constante de intensidade 200 N (devido à
resistência do ar), determine a velocidade que a pessoa
atinge o solo. Adote 𝑔 = 10 𝑚/𝑠2. Rpta. 20 m/s
11. Um motor tem rendimento de 60%. Esse motor eleva um
corpo com massa de 6 kg a 20 m de altura, com velocidade
constante em 4 s. Determine a potência total consumida pelo
motor. Adote g = 10 m/s². Rpta. 500 W
12. Um esquiador de massa m=70kg parte do repouso no ponto
P e desce pela rampa mostrada na figura. Suponha que as
perdas de energia por atrito são desprezíveis e considere
g=10m/s2. Determine a energia cinética e a velocidade do
esquiador quando ele passa pelo ponto Q, que está 5,0m
abaixo do ponto P.