HT_05_~1

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA PARA 
INGENIERÍA 
UNIDAD I: VECTORES, RECTAS Y PLANOS EN ℝ3, 
ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES 
LINEALES 
SESIÓN 05: 
CAMBIO DE BASES, MATRIZ DE CAMBIO DE 
BASES O DE COORDENADAS DE UN VECTOR 
 
 
 
2019 - 2 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
NIVEL I: 
 
1. Exprese un vector ( 2
−5
) ∈ ℝ2, en términos de la base dada. 
 
a) {(
7
−12
) , (
3
6
)} 
b) {(
2
−3
) , (
3
−2
)} 
c) {(
5
7
) , (
3
−4
)} 
2. Exprese un vector (
−1
4
2
) ∈ ℝ3, en términos de la base dada. 
 
a) {(
−5
0
3
) , (
1
2
−2
) , (
5
2
0
)} 
b) {(
1
0
0
) , (
1
1
0
) , (
1
1
1
)} 
c) {(
3
0
4
) , (
−2
−5
−2
) , (
4
4
−5
)} 
d) {(
2
1
3
) , (
−1
4
5
) , (
3
−2
−4
)} 
 
 
 
NIVEL II: 
 
3. En 𝑀22 escriba la matriz (
2 −1
4 6
) en términos de la base {(
1 1
−1 0
) , (
2 0
3 1
) , (
0 1
−1 0
) , (
0 −2
0 4
)} 
 
 
 
4. Sea 𝐵 = {𝑣1,⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ , 𝑣3⃗⃗⃗⃗ } = {(
1
1
1
) , (
2
3
3
) , (
−3
2
3
)} y 𝐶 = {𝑤1⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑤2⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝑤3⃗⃗⃗⃗ ⃗} = {(
1
2
1
) , (
−1
−1
0
) , (
2
9
8
)} 
 
a) Verifique que 𝐵 y 𝐶 son bases de ℝ3. 
b) Escriba los tres sistemas de ecuaciones necesarios para expresar cada vector en 𝐵 como una 
combinación lineal de vectores en 𝐶. 
c) Sea 𝑥 = (
1
−2
−3
). Encuentre [𝑥]𝐵 y [𝑥]𝐶 . 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 
 
 
5. Sean 𝐵1 = {(3,1), (2, −1)} y 𝐵2 = {(2,4), (−5,3)} dos bases en ℝ
2. Si [𝑥]𝐵1 = ( 2 , 5 ), exprese 𝑥 en 
términos de los vectores de 𝐵2. 
 
6. Sean 𝐵1 = {(2,−3), (1, −2)} y 𝐵2 = {(3,−3), (−1,5)} dos bases en ℝ
2. Si [𝑥]𝐵1 = (−2 , 1 ), exprese 
𝑥 en términos de los vectores de 𝐵2. 
 
7. Sean 𝐵1 = {1 − 5𝑥, 1 + 𝑥} y 𝐵2 = {3 + 2𝑥,−1 + 𝑥} dos bases en P1. Si [𝑤]𝐵1 = 5 + 2𝑥, exprese 𝑤 en 
términos de los vectores de 𝐵2. 
 
 
8. Escriba los polinomios: P1: 2 + 3𝑥 + 𝑥2 y P2: −3 + 𝑥 − 2𝑥2 en términos de las bases dadas: 
 
a) 𝐵1 = {1, 𝑥 − 1, 𝑥
2 − 1} 
b) 𝐵2 = {1 + 𝑥 + 4𝑥
2, −3 − 2𝑥2, 3 − 2𝑥} 
c) 𝐵3 = {4𝑥 − 3𝑥
2, 𝑥 + 4𝑥, 1 − 5𝑥 − 2𝑥2} 
 
NIVEL III: 
 
 
9. Determine la matriz de transición en ℝ2 de la base {(1
0
) , (
0
1
)} a la base {(
2
3
) , (
−3
−4
)} 
 
 
10. Determine la matriz de transición en ℝ2 de la base {(3
1
) , (
−2
2
)} a la base {(
2
3
) , (
−3
−4
)} 
 
 
11. Dados los siguientes conjuntos de vectores 𝐵1 = {(1,0), (0,1)} y 𝐵2 = {(1,3), (−1,2)}, pruebe que 
son bases de ℝ2 y determine la matriz de transición de 𝐵1 a 𝐵2. 
 
12. Sean 𝐵1 = {(
5
−2
) , (
2
−4
)} y 𝐵2 = {(
 3 
 3 
) , (
−1
 2
)} dos bases en ℝ2. Si [𝑥]𝐵1 = (
−2 
1
), Determine la 
matriz de transición y además, exprese 𝑥 en términos de los vectores de 𝐵2. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
N° CÓDIGO AUTOR TITULO AÑO 
1 512.5 POOL LAY, DAVID 
Algebra Lineal: para cursos con 
enfoque por competencias 
PRIMERA EDICIÓN, 
2013 
2 
GROSMAN, 
STANLEY I. 
Algebra Lineal 
SÉPTIMA EDICIÓN, 
2012