atividade_de_algebra (2)

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Atividade de algebra
Leonardo Pessoa, Kauã Henrique, Jessé Viana, Bernardo Santoro, João Batista
October 2024
Questão 7
a) Determinar a transformação linear T : R2 → R3 tal que:
T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) = (1, 1, 0)
Sabemos que uma transformação linear T pode ser representada pela matriz A de forma:
T (x, y) = A
(
x
y
)
onde A é a matriz 3× 2 de coeficientes desconhecidos:
A =
a b
c d
e f

Usando as condições fornecidas:
T (−1, 1) =
3
2
1
 e T (0, 1) =
1
1
0

Podemos montar o sistema de equações:
−a+ b = 3
−c+ d = 2
−e+ f = 1
e
b = 1
d = 1
f = 0
Resolvendo o sistema, obtemos:
a = −2, c = −1, e = −1
Assim, a matriz A é:
A =
−2 1
−1 1
−1 0

1
Portanto, a transformação T é:
T (x, y) =
−2 1
−1 1
−1 0
(
x
y
)
b) Encontrar v ∈ R2 tal que T (v) = (−2, 1,−3)
Sabemos que: −2 1
−1 1
−1 0
(
x
y
)
=
−2
1
−3

Montamos o sistema de equações:
−2x+ y = −2
−x+ y = 1
−x = −3
Da terceira equação, temos x = 3. Substituindo na segunda equação:
−3 + y = 1 =⇒ y = 4
Portanto, v = (3, 4).
Questão 28
Seja a transformação linear T : R2 → R3, T (x, y) = (2x− y, x+ 3y,−2y) e as bases:
A = {(−1, 1), (2, 1)} de R2
B = {(0, 0, 1), (0, 1,−1), (1, 1, 0)} de R3
Determinar a matriz [T ]AB, onde C é a base canônica do R3.
Solução
1. Aplicação da transformação T
Primeiro, aplicamos a transformação T aos vetores da base A:
- Para o vetor (−1, 1):
T (−1, 1) = (2(−1)− 1,−1 + 3(1),−2(1)) = (−3, 2,−2)
- Para o vetor (2, 1):
T (2, 1) = (2(2)− 1, 2 + 3(1),−2(1)) = (3, 5,−2)
2
2. Expressão na base B
Agora, expressamos os vetores T (−1, 1) e T (2, 1) como combinações lineares dos vetores da
base B = {(0, 0, 1), (0, 1,−1), (1, 1, 0)}.
Para T (−1, 1) = (−3, 2,−2):
Resolvemos o sistema de equações:
0c1 + 0c2 + 1c3 = −3
0c1 + 1c2 + 1c3 = 2
1c1 − 1c2 + 0c3 = −2
Resultado:
c1 = 3, c2 = 5, c3 = −3
Para T (2, 1) = (3, 5,−2):
Resolvemos o sistema de equações:
0d1 + 0d2 + 1d3 = 3
0d1 + 1d2 + 1d3 = 5
1d1 − 1d2 + 0d3 = −2
Resultado:
d1 = 0, d2 = 2, d3 = 3
3. Matriz [T ]AB
Finalmente, montamos a matriz [T ]AB usando os coeficientes encontrados:
[T ]AB =
 3 0
5 2
−3 3

Questão 44
As transformações S : R2 → R3 e T : R3 → R2 são dadas por:
S(x, y) = (y, x− y, 2x+ 2y)
T (x, y, z) = (x, y)
a) Encontrar a matriz [S ◦ T ]B
A base B = {(1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} é fornecida.
3
Passo 1: Composição S ◦ T A composição S ◦ T aplicada a (x, y, z) é:
(S ◦ T )(x, y, z) = S(T (x, y, z)) = S(x, y) = (y, x− y, 2x+ 2y)
Passo 2: Aplicar S ◦ T nos vetores da base B Aplicamos S ◦ T aos vetores de B:
1. Para (1, 0,−1):
T (1, 0,−1) = (1, 0), S(1, 0) = (0, 1, 2)
2. Para (1, 1, 1):
T (1, 1, 1) = (1, 1), S(1, 1) = (1, 0, 4)
3. Para (1, 0, 0):
T (1, 0, 0) = (1, 0), S(1, 0) = (0, 1, 2)
Passo 3: Expressar os vetores resultantes na base B 1. (0, 1, 2) = −1(1, 0,−1) +
1(1, 1, 1)+0(1, 0, 0) 2. (1, 0, 4) = −4(1, 0,−1)+0(1, 1, 1)+5(1, 0, 0) 3. (0, 1, 2) = −1(1, 0,−1)+
1(1, 1, 1) + 0(1, 0, 0)
Passo 4: Matriz [S ◦ T ]B A matriz [S ◦ T ]B é:
[S ◦ T ]B =
−1 −4 −1
1 0 1
0 5 0

b) Encontrar as matrizes [T ◦ S]B′ e [T ◦ S]B′′
A base B′ = {(1, 1), (0, 1)} e a base B′′ (canônica) B′′ = {(1, 0), (0, 1)} são fornecidas.
Passo 1: Composição T ◦ S A composição T ◦ S aplicada a (x, y) é:
(T ◦ S)(x, y) = T (S(x, y)) = (y, x− y)
Passo 2: Matriz [T ◦ S]B′ Aplicamos T ◦ S aos vetores da base B′ = {(1, 1), (0, 1)}:
1. (T ◦ S)(1, 1) = (1, 0) 2. (T ◦ S)(0, 1) = (1,−1)
Expressamos (1, 0) e (1,−1) como combinações lineares de B′:
1. (1, 0) = 1(1, 1) + (−1)(0, 1) 2. (1,−1) = 1(1, 1) + (−2)(0, 1)
Logo, a matriz [T ◦ S]B′ é:
[T ◦ S]B′ =
(
1 1
−1 −2
)
Passo 3: Matriz [T◦S]B′′ Aplicamos T◦S aos vetores da base canônica B′′ = {(1, 0), (0, 1)}:
1. (T ◦ S)(1, 0) = (0, 1) 2. (T ◦ S)(0, 1) = (1,−1)
Como os vetores já estão expressos na base canônica, a matriz [T ◦ S]B′′ é:
[T ◦ S]B′′ =
(
0 1
1 −1
)
4