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INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Neste momento, prosseguindo com o estudo de tópicos de Álgebra Linear e Vetorial, o nosso
foco será direcionado aos espaços vetoriais. Assim, você estudará a de�nição de espaço vetorial e de
subespaço vetorial, reconhecendo as propriedades correspondentes e alguns exemplos importantes.
O conceito de espaço vetorial permite uma generalização do conceito de vetor, visto que a partir dele
podemos estudar conjuntos de polinômios, matrizes e funções de modo análogo ao que pode ser realizado
com conjuntos de vetores bidimensionais e tridimensionais reais, cujas representações grá�cas são dadas no
plano e espaço cartesianos, respectivamente.
O conhecimento dos espaços vetoriais permite um estudo mais aprofundado dos fundamentos da
Matemática, favorecendo a compreensão e aplicação desses conceitos na resolução de problemas reais que
englobam, principalmente, grandezas vetoriais.
Aula 1
ESPAÇOS VETORIAIS
O conhecimento dos espaços vetoriais permite um estudo mais aprofundado dos fundamentos da
Matemática, favorecendo a compreensão e aplicação desses conceitos na resolução de problemas reais
que englobam, principalmente, grandezas vetoriais.
22 minutos
ESPAÇOS VETORIAIS
 Aula 1 - Espaços vetoriais
 Aula 2 - Base e Dimensão
 Aula 3 - Mudança de base
 Aula 4 - Tipos de espaços vetoriais
 Aula 5 - Revisão da unidade
 Referências
125 minutos
Procure aprofundar seus conhecimentos explorando outros exemplos de espaços vetoriais a partir das
referências sugeridas nesta aula.
Bons estudos! 
INTRODUÇÃO AOS ESPAÇOS VETORIAIS
Quando estudamos os vetores bidimensionais e tridimensionais, por exemplo, percebemos a presença de
estruturas semelhantes, principalmente no que se refere às propriedades veri�cadas mediante as operações
usuais de adição e multiplicação por escalar de�nidas em cada conjunto.
Ao veri�car esse tipo de comportamento, o qual também se percebe em outros conjuntos, como os de
polinômios, por exemplo, foi de�nida uma estrutura geral capaz de generalizar muitas dessas características,
denominada espaço vetorial.
Um espaço vetorial corresponde a um conjunto V de vetores, munido das operações de adição de vetores e
multiplicação de vetores por um escalar, que gozam das seguintes propriedades:
1. Se    e    pertencem a V, então    também pertencerá a V.
2. Se c for um escalar e se v pertencer a V, então cv também pertencerá a V.
3. Existe um vetor nulo 0 em V tal que   para todo v em V.
4. Para todo v pertencente a V, existe um vetor    em V, chamado de inverso aditivo ou simétrico, tal que 
 .
5. Existe um escalar 1 tal que   para todo v em V.
6. Quaisquer que sejam os vetores   ,    e    em V, e os escalares    e   :
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
v. 
Como exemplos de espaços vetoriais podemos destacar    e    com as operações usuais de adição de
vetores e multiplicação de vetores por números reais. Mas podemos também estender a um espaço n-
dimensional,   , munido das operações de adição de vetores e multiplicação de vetor por número real
correspondentes. Nesse espaço, os elementos são vetores com n componentes reais, em que   ,  
 . Pode ser utilizada a notação de vetor coluna para a representação dos elementos desse espaço, como:
A de�nição de espaço vetorial traz a noção de escalar. Geralmente adotamos esse escalar como um número
real, no entanto, ele pode ser um elemento de qualquer conjunto que, munido de operações convenientes,
constitua um corpo.
v1 v2 v1 + v2
0 + v = v
−v
v + (−v) = 0
1 ⋅ v = v
v1 v2 v3 c1 c2
v1 + v2 = v2 + v1
(v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3)
(c1c2)v1 = c1 (c2v1)
c1 (v1 + v2) = c1v1 + c1v2
(c1 + c2)v1 = c1v1 + c2v1
R
2
R
3
R
n
n ∈ N n > 1
v = ∈ R
n
⎡⎢⎣x1
x2
⋮
xn
⎤⎥⎦
Um corpo é uma estrutura composta por um conjunto não vazio K, sobre o qual são de�nidas operações
binárias    e   , e que atendem às seguintes propriedades:
1. As estruturas    e   , em que 0 representa o elemento neutro relativo à operação   ,
gozam das propriedades a seguir: para todos   .
i. Fechamento:   e   .
ii. Associatividade:   e   .
iii. Comutatividade:   e   .
iv. Existência de elemento neutro: existem   tal que    e   , para todo 
 .
v. Existência de elemento simétrico: a cada   existe   de modo que   , e
a cada   , existe    de modo que    .
2. A operação    é distributiva em relação à operação   , isto é, dados    teremos 
 .
Sendo veri�cadas essas propriedades, dizemos que    é caracterizada como corpo. Como exemplos
temos as estruturas do conjunto dos números reais e do conjunto dos números complexos, munidas das
operações usuais de adição e multiplicação em cada conjunto.
Outro exemplo de espaço vetorial é o espaço    formado por todos os polinômios com coe�cientes
reais de grau menor ou igual a   ,   .
Além dos espaços, também temos os subespaços vetoriais.
Um subconjunto S de um espaço vetorial V é denominado subespaço vetorial se, munido das mesmas
operações de V, satis�zer:
1. S contém o vetor nulo 0.
2. Se u e v pertencerem a S, então    também pertencerá a S.
3. Se c for um escalar e se v pertencer a S, então cv também pertencerá a S.
+ ×
(K, +) (K − {0}, +) +
a, b, c ∈ K
a + b ∈ K a × b ∈ K
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
a + b = b + a a × b = b × a
0,1 ∈ K a + 0 = a a × 1 = a
a ∈ K
a ∈ K −a ∈ K a + (−a) = 0
a ∈ K − {0} a−1 ∈ K a × a−1 = 1
× + a, b, c ∈ K
a × (b + c) = a × b + a × c
(K, +, ×)
Pn (R)
n ∈ N n > 1
u + v
PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS
De posse da de�nição de espaço vetorial, vejamos algumas estruturas que podem ser estudadas nesse
contexto.
Além do    e   , podemos de�nir espaços vetoriais a partir de conjuntos de matrizes, de polinômios, de
funções, entre outros.
Analisemos o caso do espaço vetorial de polinômios, iniciando pelo conjunto   , o qual contempla todos
os polinômios com coe�cientes reais e que possuem grau menor ou igual a 2. Um elemento qualquer desse
conjunto pode ser representado na forma   , com   . Sobre esse
conjunto, de�namos as seguintes operações:
Adição: dados   e    em   , a soma desses
polinômios é de�nida por   .
Multiplicação por número real: dados   e   , o produto por
número real é tal que   .
O conjunto   , munido dessas duas operações, é um espaço vetorial. Com efeito, dados 
 ,    e   , bem como 
 , é possível perceber que:
1. Como a soma de números reais é um número real, então os coe�cientes do polinômio 
  são números reais, logo   .
2. Como o produto entre números reais é um número real,   .
3. O polinômio nulo é   , sendo tal que   .
4. A cada polinômio   , temos  
de modo que   .
5. O número    é tal que   .
6. Além disso, veri�camos que:
i. .
ii. .
iii. .
iv. .
v. .
As propriedades de (i) – (v) decorrem das propriedades do conjunto de números reais, munido das operações
usuais de adição e multiplicação, aplicadas aos coe�cientes dos polinômios em questão. Vejamos
detalhadamente o caso da propriedade (iii):
R
2
R
3
P2 (R)
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 a0, a1, a2 ∈ R
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 q(x) = b0 + b1x + b2x
2 P2 (R)
(p + q)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 ∈ P2 (R) c ∈ R
cp(x) = c (a0 + a1x + a2x
2) = ca0 + ca1x + ca2x
2
P2 (R)
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 q(x) = b0 + b1x + b2x
2 r(x) = c0 + c1x + c2x
2 ∈ P2 (R)
k1, k2 ∈ R
(p + q)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2 p + q ∈ P2 (R)
k1p(x) = k1a0 + k1a1x + k1a2x
2 ∈ P2 (R)
z(x) = 0 p(x) + z(x) = p(x)
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 ∈ P2 (R) −p(x) = −a0 − a1x − a2x
2 ∈ P2 (R)
p(x) + (p(x)) = 0 = z(x)
1 ∈ R 1 ⋅ p(x) = 1 ⋅ a0 + 1 ⋅ a1x + 1 ⋅ a2x
2 = p(x)
p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
(p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x))
(k1k2)p(x) = k1 (k2p(x))
k1 (p(x) + q(x)) = k1p(x) + k1q(x)
(k1 + k2)p(x) = k1p(x) + k2p(x)
Assim, comprovamos que    tem a estrutura de um espaço vetorial. Podemos estender essa noção a um
conjunto    de polinômios com coe�cientes reais,  cujo grau seja menor ou igual a   ,   .
Nesse caso, teremos também um espaçoda adição no conjunto de números reais, porque estamos trabalhando apenas com os
coe�cientes; e após o último símbolo de igualdade, retornamos à de�nição de adição de polinômios.
Portanto, na demonstração de propriedades devemos sempre buscar uma representação genérica,
recorrendo apenas às propriedades já validadas ou às propriedades dos corpos que são considerados
em cada contexto, principalmente o de números reais. 
M2 (R)
M2 (R)
S = {[ ] ∈ M2 (R)}
a b
0 −a
P2 (R)
a0 + a1x + a2x
2 b0 + b1x + b2x
2
(a0 + a1x + a2x
2) + (b0 + b1x + b2x
2) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x2
= (b0 + a0) + (b1 + a1)x + (b2 + a2)x2 = (b0 + b1x + b2x
2) + (a0 + a1x + a2x
2)
RESOLUÇÃO DO ESTUDO DE CASO
Caro estudante, para a resolução da situação-problema proposta, precisamos elencar os principais assuntos a
serem abordados no curso de capacitação, com aprofundamento dos temas mais importantes.
Para iniciar o curso de formação, é importante retomar a de�nição de espaço vetorial, destacando quais as
condições necessárias para sua validação. Para isso, será utilizado como referência o conjunto:
 ,
composto pelas matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais.
Para a exploração do conceito de espaço vetorial e a comprovação de que    é um espaço vetorial, é
preciso trabalhar com a validação de cada um dos axiomas da de�nição de espaço vetorial.
Nesse sentido, sejam as matrizes   ,    e    pertencentes a  
 ,   então:
É válido o fechamento para a adição de matrizes e a multiplicação de matriz por escalar, visto que a
adição e a multiplicação de números reais geram também números reais:
 ,
 .
A matriz nula   é o elemento neutro para a adição.
A cada matriz   de   , existe uma matriz    tal que 
 .
O número real 1 é tal que   para qualquer matriz A de   .
A comutatividade da adição é válida:
A associatividade da adição é válida:
M2 (R) = {[ ]; a, b, c, d ∈ R}
a b
c d
M2 (R)
A = [ ]
a11 a12
a21 a22
B = [ ]
b11 b12
b21 b22
C = [ ]
c11 c12
c21 c22
M2 (R) k1, k2 ∈ R
A + B = [ ] + [ ] = [ ] ∈ M2 (R)
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
k1A = k1[ ] = [ ] ∈ M2 (R)
a11 a12
a21 a22
k1a11 k1a12
k1a21 k1a22
02 = [ ]
0 0
0 0
A = [ ]
a11 a12
a21 a22
M2 (R) −A = [ ]
−a11 −a12
−a21 −a22
A + (−A) = 0
1 ⋅ A = A M2 (R)
A + B = [ ] + [ ] = [ ] = [ ]
          = [ ] + [ ] = B + A
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
b11 + a11 b12 + a12
b21 + a21 b22 + a22
b11 b12
b21 b22
a11 a12
a21 a22
(A + B) + C = ([ ] + [ ]) + [ ] = [ ] + [ ]
                  = [ ] = [ ]
                  = [ ] + [ ] = [ ] + ([ ] + [ ]) = A + (B + C)
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
c11 c12
c21 c22
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
c11 c12
c21 c22
(a11 + b11) + c11 (a12 + b12) + c12
(a21 + b21) + c21 (a22 + b22) + c22
a11 + (b11 + c11) a12 + (b12 + c12)
a21 + (b21 + c21) a22 + (b22 + c22)
a11 a12
a21 a22
b11 + c11 b12 + c12
b21 + c21 b22 + c22
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
c11 c12
c21 c22
A associatividade na multiplicação por escalar é válida:
A distributividade é válida:
Portanto,   , com a adição de matrizes e a multiplicação de matriz por escalar, é um espaço vetorial.
Para   , a base canônica é dada por:
 .
Assim, podemos representar qualquer matriz como:
 .
Por isso, podemos dizer que o espaço    tem dimensão igual a 4, porque tem base composta por
quatro elementos.
Vejamos, por exemplo, a representação da matriz    como combinação linear de B:
 .
O vetor de coordenadas de D em relação à base B é dado por:
 .
Assim, ainda que os elementos do espaço sejam matrizes, podemos representar uma matriz em função da
base do espaço por meio de um vetor de coordenadas.
Consideremos agora o seguinte subconjunto de   :
 .
(k1k2)A = (k1k2)[ ] = [ ] = [ ]
            = k1[ ] = k1 (k2A)
a11 a12
a21 a22
k1k2a11 k1k2a12
k1k2a21 k1k2a22
k1 (k2a11) k1 (k2a12)
k1 (k2a21) k1 (k2a22)
k2a11 k2a12
k2a21 k2a22
k1 (A + B) = k1([ ] + [ ]) = k1[ ] = [ ]
                = [ ] = [ ] + [ ] = k1A + k1B
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
k1 (a11 + b11) k1 (a12 + b12)
k1 (a21 + b21) k1 (a22 + b22)
k1a11 + k1b11 k1a12 + k1b12
k1a21 + k1b21 k1a22 + k1b22
k1a11 k1a12
k1a21 k1a22
k1b11 k1b12
k1b21 k1b22
(k1 + k2)A = (k1 + k2)[ ] = [ ] = [ ] + [ ]
                 = k1[ ] + k2[ ] = k1A + k2A
a11 a12
a21 a22
(k1 + k2)a11 (k1 + k2)a12
(k1 + k2)a21 (k1 + k2)a22
k1a11 k1a12
k1a21 k1a22
k2a11 k2a12
k2a21 k2a22
a11 a12
a21 a22
a11 a12
a21 a22
M2 (R)
M2 (R)
B = {[ ], [ ], [ ], [ ]}
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
[ ] = a[ ] + b[ ] + c[ ] + d[ ]
a b
c d
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
M2 (R)
D = [ ]
−1 1
3 2
[ ] = (−1)[ ] + 1[ ] + 3[ ] + 2[ ]
−1 1
3 2
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
[D]B =
⎡⎢⎣−1
1
3
2
⎤⎥⎦M2 (R)
S = {[ ] ∈ M2 (R)}
a b
0 −a
Podemos comprovar que a partir de S podemos construir um subespaço vetorial de   . Para isso,
veri�quemos as seguintes condições:
A matriz nula    pertence a S, basta tomar    e   .
Sejam as matrizes    e     de S, então:
 .
Dados    em S e k uma constante real, então:
 .
Assim, podemos concluir que S é um subespaço vetorial de   , quando consideramos as operações de 
  restritas a S.
Como uma matriz qualquer de S pode ser escrita como:
 ,
e que as matrizes    e    são independentes uma da outra, podemos concluir que uma base de
S é dada por:
 ,
com sua dimensão é igual a 2.
Dessa forma, é possível abordar os principais conceitos envolvendo espaços vetoriais, tendo como referência
o espaço   , suas propriedades e subespaços.
RESUMO VISUAL
M2 (R)
02 = [ ]
0 0
0 0
a = 0 b = 0
P = [ ]
a b
0 −a
Q = [ ]
c d
0 −c
P + Q = [ ] + [ ] = [ ] = [ ] ∈ S
a b
0 −a
c d
0 −c
a + c b + d
0 (−a) + (−c)
a + c b + d
0 − (a + c)
P = [ ]
a b
0 −a
kP = k[ ] = [ ] = [ ] ∈ S
a b
0 −a
ka kb
0 k (−a)
ka kb
0 −ka
M2 (R)
M2 (R)
[ ] = a[ ] + b[ ]
a b
0 −a
1 0
0 −1
0 1
0 0
[ ]
1 0
0 −1
[ ]
0 1
0 0
{[ ], [ ]}
1 0
0 −1
0 1
0 0
M2 (R)
Aula 1
ANTON, H.; RORRES, C.. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
DOMINGUES, H. H. Álgebra moderna. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2018.
LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
NICHOLSON, W. K.. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, D. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STRANG, G. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013. 
Aula 2
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear. 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2017.
FRANCO, N. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
REFERÊNCIAS
3 minutos
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, D. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STRANG, G. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013. 
Aula 3
ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
FERNANDES, Luana Fonseca Duarte. Álgebra linear. 2 ed. Curitiba: InterSaberes, 2017.
FRANCO, Neide. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
NICHOLSON, W. Keith. Álgebra linear. 2 ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, David. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STRANG, Gilbert. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013. 
Aula 4
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear. 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2017.
FRANCO, N. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
NICHOLSON,W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, D. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STRANG, G.. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013. 
Aula 5
ANTON, H.; RORRES, C.. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear. 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2017.
FRANCO, N. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, D. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
STRANG, G. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013.
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/vetorial.
Além da de�nição de espaço vetorial, também temos algumas propriedades importantes, que são
apresentadas no teorema a seguir.
Teorema: Se V é um espaço vetorial e   , então:
i. .
ii.  implica   , isto é, o simétrico em relação à adição é único.
iii. .
Demonstração: partindo da de�nição de espaço vetorial, segue que:
Assim:
O que implica:
Para (ii), suponha    v, então:
Logo:
Para (iii), note que:
Assim,   , e de (ii) obtemos   , o que conclui a demonstração.
Outro conjunto que pode ser estudado do ponto de vista dos espaços vetoriais é o de matrizes. Podemos
analisar um conjunto formado por matrizes    com entradas reais, mas vamos restringir nosso estudo
ao conjunto de matrizes    com entradas reais, denotado por   . Nesse caso, cada vetor desse
conjunto é uma matriz na forma:
 ,
com entradas reais. Esse conjunto compõe um espaço vetorial quando de�nimos sobre ele as seguintes
operações:
(k1k2)p(x) = (k1k2) (a0 + a1x + a2x
2) = k1 (k2a0 + k2a1x + k2a2x
2) = k1 (k2p(x))
P2 (R)
Pn (R) n ∈ N n > 1
v ∈ V
0v = 0
v + u = 0 u = −v
(−1)v = −v
v = 1v = (1 + 0)v = 1v + 0v = v + 0v
−v + v = −v + (v + 0v) = (−v + v) + 0v
0 = 0 + 0v = 0v
v + u = 0
−v = −v + 0 = −v + (v + u))
−v = (−v + v) + u = 0 + u = u
0 = 0v = (1 + (−1))v = 1v + (−1)v
v + (−1)v = 0 (−1)v = −v
m × n
2 × 2 M2 (R)
A = [ ]
a11 a12
a21 a22
Adição de matrizes: se   ,   então 
 ;
Multiplicação por número real: sendo   e    então 
 .
Para essa estrutura, a matriz nula    se comporta como o elemento neutro para a adição, e a
cada    a matriz simétrica em relação à adição será 
 .
A partir desse espaço, podemos de�nir subespaços vetoriais. Vejamos o caso do subconjunto 
 .
Esse subconjunto contém as matrizes na forma   .
Note que a matriz nula pertence a S, além disso, dados   ,   , e   ,
segue que:
O que comprova a classi�cação de S como subespaço vetorial de   .
EXEMPLOS IMPORTANTES
Suponha que você foi contratado para ministrar um curso de formação continuada para professores de
Matemática do Ensino Médio. Nesse curso, você deverá discutir a respeito do conceito de espaço vetorial e de
relações que podem ser estabelecidas entre diferentes espaços.
A primeira abordagem a ser realizada nesse curso de formação será um estudo direcionado aos espaços  
e   , visto que suas representações grá�cas são empregadas na etapa de ensino em questão.
O espaço    é utilizado como referência quando trabalhamos com situações que envolvem duas dimensões
e, geralmente, recorremos à representação por meio do plano cartesiano.
Nesse caso, podemos recorrer aos vetores bidimensionais e suas representações enquanto �echas, em
conjunto com as coordenadas dos pontos no plano cartesiano.
Figura 1 | Plano cartesiano
A = [ ]
a11 a12
a21 a22
B = [ ] ∈ M2 (R)
b11 b12
b21 b22
A + B = [ ]
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
A = [ ] ∈ M2 (R)
a11 a12
a21 a22
k ∈ R
kA = [ ]
ka11 ka12
ka21 ka22
02 = [ ]
0 0
0 0
A = [ ] ∈ M2 (R)
a11 a12
a21 a22
−A = [ ] ∈ M2 (R)
−a11 −a12
−a21 −a22
S = {[ ] ∈ M2 (R), a22 = 0}
a11 a12
a21 a22
A = [ ] ∈ M2 (R)
a11 a12
a21 0
A = [ ]
a11 a12
a21 0
B = [ ] ∈ S
b11 b12
b21 0
k ∈ R
A + B = [ ] ∈ S
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 0
kA = [ ] ∈ S
ka11 ka12
ka21 0
M2 (R)
R
2
R
3
R
2
Fonte: elaborada pela autora.
Por outro lado, o espaço    é aquele cuja representação grá�ca corresponde ao espaço cartesiano, o qual
utilizamos em construções tridimensionais. Assim, o    é o suporte que podemos utilizar no estudo de
problemas reais com três dimensões.
Figura 2 | Espaço cartesiano
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos, então, estabelecer uma relação entre esses espaços diante do conceito de subespaço vetorial.
No espaço    percebemos a presença de planos coordenados, que são aqueles formados a partir de dois
eixos coordenados. Tomemos como referência o plano coordenado xy, formado a partir dos eixos x e y.
Perceba que a estrutura desse plano isoladamente coincide com a estrutura do   , no entanto, para avaliá-lo
no espaço tridimensional devemos considerar a terceira coordenada dos pontos nula. Dessa forma, de�nimos
o conjunto a seguir:
Esse conjunto A, munido das operações derivadas de   , pode ser classi�cado como um subespaço de   .
De fato, o vetor nulo faz parte do conjunto A, visto que sua terceira coordenada é nula. Além disso, dados 
 ,   , e   , é possível veri�car que:
Sendo assim, o conjunto A, com a restrição das operações de    sobre ele, compõe um subespaço vetorial
de   .
R
3
R
3
R3
R2
A = {(x, y, z) ∈ R3, z = 0}
R3 R3
v = (v1, v2,0) u = (u1,u2,0) ∈ A c ∈ R
v + u = (v1, v2,0) + (u1,u2,0) = (v1 + u1, v2 + u2,0) ∈ A
cv = c (v1, v2,0) = (cv1, cv2,0) ∈ A
R3
R3
Nesse sentido, intuitivamente, podemos avaliar que os planos coordenados em   , que são subespaços
vetoriais, possuem semelhança com a estrutura presente em   .
A segunda abordagem a ser feita no curso diz respeito a uma comparação entre os espaços    e um espaço
de polinômios.
Retomemos o conjunto    formado pelos polinômios, com coe�cientes reais, de grau menor ou igual a
2. Um polinômio desse conjunto pode ser representado por   , em que 
 .
Com as operações de adição de polinômios e multiplicação de polinômio por número real, podemos construir
um espaço vetorial a partir desse conjunto.
Vejamos que cada elemento desse espaço é um polinômio formado por três coe�cientes reais. Isto é, 
  é constituído pelos coe�cientes reais    .
Dessa forma, podemos estabelecer uma relação entre    e o espaço   , visto que ele é tridimensional
e, portanto, baseia-se em três componentes reais dos seus vetores.
Assim, poderíamos, por exemplo, estabelecer uma ligação entre o polinômio 
  com o vetor   . Perceba que, apesar de estruturas
diferentes, é possível estabelecer um paralelo entre o comportamento dos elementos em    e em   . 
VIDEO RESUMO
Neste vídeo será iniciado o estudo dos espaços vetoriais e subespaços vetoriais. Você conhecerá as
propriedades que de�nem cada uma dessas estruturas. Além disso, você verá alguns exemplos importantes
de espaços vetoriais, como os bidimensionais e tridimensionais reais – cujas representações grá�cas são,
respectivamente, o plano e o espaço cartesianos –, espaços n-dimensionais, bem como os espaços de
polinômios.
 Saiba mais
Para aprofundar seus estudos acerca dos espaços vetoriais, a primeira sugestão de material
complementar é o livro intitulado Álgebra linear com aplicações, de Steven J. Leon, disponível na
biblioteca virtual. Nas seções 3.1 e 3.2 estão destacados exemplos e resultados relacionados aos
conceitos de espaço vetorial e subespaço vetorial.
Outra sugestão de material complementar é o livro Álgebra linear: uma introdução moderna, de David
Poole. Estude a seção 6.1 para complementar seus estudos acerca dos espaços e subespaços vetoriais,
observando os principais exemplos destacados nesse contexto.
R
3
R
2
R
3
P2 (R)
p(x) = a0 + a1x + a2x
2
a0, a1, a2 ∈ R
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 a0, a1, a2 ∈ R
P2 (R) R
3
a(x) = 1 + 2x + 3x2 ∈ P2 (R) a = (1,2,3) ∈ R
3
P2 (R) R
3
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521635789/epubcfi/6/24[%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter03]!/4/18/4%4052:78
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522124015/pageid/453
INTRODUÇÃO
Nesta aula prosseguiremos com o estudo dos espaços vetoriais por meio dos conceitos de base e dimensão
de espaço vetorial.
Quando de�nimos um espaço vetorial, com suas operações correspondentes, buscamos formas de
representar os elementos do conjunto correspondente. Para isso, umas das estratégias é a identi�cação de
um conjunto de vetores que, por meio de combinações lineares, possam descrever qualquer elemento do
espaço.
Se nesse conjunto os vetores forem independentes entre si, podemos construir a chamada base do espaço
vetorial. E, diante desse estudo, podemos ainda reconhecer a dimensão do espaço vetorial.
Para qualquer espaço vetorial, independentemente da natureza de seus elementos, podemosinvestigar
exemplos de bases, já que ela não é única em cada espaço e, consequentemente, sua dimensão.
Prossiga em seus estudos, aprofundando-os por meio dos conceitos e sugestões de materiais
complementares ao longo dessa aula.
Bons estudos! 
BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇO VETORIAL
Os espaços vetoriais são estruturas construídas a partir de conjuntos, operações e propriedades. Quando
observamos a estrutura do   , podemos construir qualquer vetor a partir de    e   . Observe,
por exemplo, que:
Isto é, o vetor    pode ser escrito a partir dos vetores    e   , os quais compõem a base
do espaço   . Assim, a partir desse exemplo, aprofundaremos nossos estudos visando a compreensão do
que é base de um espaço vetorial.
R
2
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
[ ] = 3[ ] + 4[ ]
3
4
1
0
0
1
→
v = [ ]
3
4
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
R
2
Aula 2
BASE E DIMENSÃO
Para qualquer espaço vetorial, independentemente da natureza de seus elementos, podemos investigar
exemplos de bases, já que ela não é única em cada espaço e, consequentemente, sua dimensão.
22 minutos
Para isso, começaremos de�nindo combinação linear.
Dados os vetores    de um espaço vetorial V, uma combinação linear desses vetores é dada na
forma
 ,
Em que    são escalares.
A partir do conceito de combinação linear, podemos analisar as propriedades de conjuntos de vetores,
classi�cando-os como linearmente independentes ou dependentes.
Os vetores    em um espaço vetorial V são classi�cados como linearmente independentes se a
combinação linear nula
 ,
Implicar em todos os escalares    nulos, isto é,   .
Por exemplo, os vetores    e    de    são linearmente independentes, visto que:
 ,
O que implica em    e   .
Por outro lado, dizemos que um conjunto de vetores    em um espaço vetorial V é
linearmente dependente se ao menos um desses vetores puder ser escrito como combinação linear dos
demais.
Considere os vetores   ,    e    do   . Note que eles são linearmente
dependentes, pois:
 .
Em determinadas situações, utilizamos a sigla LI para indicar vetores linearmente independentes e LD para
vetores linearmente dependentes.
Quando estudamos um espaço vetorial V, podemos identi�car um conjunto a partir do qual seja possível
escrever qualquer vetor do espaço por meio de combinações lineares, ou seja, um conjunto gerador.
No caso do   , por exemplo, os vetores    e    são geradores do espaço, porém podemos
tomar conjuntos com mais elementos que também sejam geradores do mesmo espaço. Quando buscamos a
menor quantidade de vetores que geram um espaço vetorial, buscamos uma base para o espaço.
Os vetores    formam uma base para o espaço vetorial V se, e somente se,
i.  geram V.
ii.  são linearmente independentes.
v1, v2, … , vn
c1v1 + c2v2 + … + cnvn
c1, c2, … , cn
v1, v2, … , vn
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0
c1, c2, … , cn c1 = c2 = … = cn = 0
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
R
2
c1[ ] + c2[ ] = [ ] ⇒ [ ] + [ ] = [ ] ⇒ [ ] = [ ]
1
0
0
1
0
0
c1
0
0
c2
0
0
c1
c2
0
0
c1 = 0 c2 = 0
{v1, v2, … , vn}
v1 = [ ]
−→ 3
4
v2 = [ ]
−→ 5
−2
v3 = [ ]
−→ 13
0
R
2
v1 + 2v2 = [ ] + 2[ ] = [ ] = v3
−→−→ 3
4
5
−2
13
0
−→
R
2
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
v1, v2, … , vn
v1, v2, … , vn
v1, v2, … , vn
Nesse sentido, para que um conjunto gerador seja uma base é necessário que ele seja linearmente
independente, como é o caso do conjunto formado pelos vetores    e    no espaço   .
A partir do estudo da base, podemos de�nir a dimensão de um espaço vetorial.
Seja V um espaço vetorial cuja base é composta por n vetores, então podemos dizer que V tem dimensão n.
Nesse caso, podemos ter as seguintes situações:
a. O subespaço   tem dimensão 0.
b. V tem dimensão �nita se for gerado por uma quantidade �nita de vetores; caso contrário, terá
dimensão in�nita.
Empregamos a notação    para representar a dimensão do espaço vetorial V.
Assim, como uma base de    é formada por dois vetores –    e      –, podemos concluir que
esse espaço tem dimensão 2.
Podemos relacionar as dimensões entre espaços e subespaços vetoriais, conforme apresenta o seguinte
teorema.
Teorema: Seja W um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão �nita (POOLE, 2016):
a. W é de dimensão �nita e   .
b.  se, e somente se,   .
Dessa forma, podemos obter informações acerca da dimensão do subespaço vetorial, desde que seja
conhecida a dimensão do espaço vetorial que o contém.
PROPRIEDADES PARA BASE E DIMENSÃO DE ESPAÇO VETORIAL
Vamos aprofundar nossos estudos a respeito de base e dimensão de um espaço vetorial por meio do
conhecimento de resultados e propriedades correspondentes.
Quando buscamos a construção de uma base de um espaço vetorial, o objetivo é identi�car um conjunto
gerador do espaço que seja linearmente independente. Dessa forma, teremos um conjunto gerador com a
menor quantidade possível de vetores e de modo que nenhum deles seja dependente dos demais elementos
do conjunto.
Vejamos o caso do espaço vetorial   . Usualmente, adotamos a base desse espaço como o conjunto
formado pelos vetores    ,    e     , a qual é denominada base canônica do   . De
fato, esses vetores geram o espaço, porque qualquer vetor    de    pode ser escrito como:
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
R
2
{0}
dimV
R
2
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
dimW ≤ dimV
dimW = dimV W = V
R
3
→
i =
⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ →
j =
⎡⎢⎣0
1
0
⎤⎥⎦ →
k =
⎡⎢⎣0
0
1
⎤⎥⎦ R
3
→
u =
⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ R
3
 ,
sendo a, b e c números reais, que são linearmente independentes, visto que:
 ,
Com isso, podemos ainda dizer que   . No entanto, essa não é a única base que esse espaço
admite. Vejamos o seguinte teorema.
Teorema da base: Se um espaço vetorial V possui uma base com n vetores, então qualquer base de V terá
exatamente n elementos (POOLE, 2016)
Note que o teorema anterior, quando aplicado ao espaço   , indica que qualquer base desse espaço deve
conter exatamente três vetores, por ser um espaço de dimensão 3. Assim, vamos analisar um outro conjunto
de vetores desse espaço contendo três elementos a partir do conceito de base.
Sejam os vetores   ,    e    em   . Vejamos se esses vetores formam um
conjunto de vetores linearmente independentes. Para isso, considere a combinação linear nula:
 ,
Que segue   . Portanto, esses vetores são linearmente independentes no espaço vetorial  
 .
Agora, veri�quemos se esse conjunto de vetores gera o espaço   . Para isso, considere um vetor  
qualquer desse espaço. Vamos determinar quais devem ser os escalares   ,    e    para que seja possível
escrever esse vetor como combinação linear de   ,    e   .
 .
Resolvendo o sistema linear apresentado, concluímos que   ,   e   . Logo, qualquer
vetor    do espaço vetorial    pode ser escrito como:
 .
→
u = = a + b + c = a
→
i + b
→
j + c
→
k
⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
1
⎤⎥⎦c1 + c2 + c3 = ⇒ = ⇒
⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣c1 + 0 + 0
0 + c2 + 0
0 + 0 + c3
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
0
⎤⎥⎦ ⎧⎪⎨⎪⎩c1 = 0
c2 = 0
c3 = 0
dimR
3 = 3
R
3
v1 =
−→ ⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ v2 =
−→ ⎡⎢⎣1
1
0
⎤⎥⎦ v3 =
−→ ⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ R
3
c1 + c2 + c3 =   ⇒  
⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
0
⎤⎥⎦ ⎧⎪⎨⎪⎩c1 + c2 + c3 = 0
c1 + c2 = 0
c1 = 0
c1 = c2 = c3 = 0 R
3
R
3 →
u =
⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦c1 c2 c3
v1
−→
v2
−→
v3
−→
→
u = = c1 + c2 + c3   ⇒   =   ⇒  
⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣c1 + c2 + c3
c1 + c2 + 0
c1 + 0 + 0
⎤⎥⎦ ⎧⎪⎨⎪⎩c1 + c2 + c3 = a
c1 + c2 = b
c1 = c
c1 = c c2 = b − c c3 = a − b
→
u =
⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ R
3
→
u = = c + (b − c) + a − b
⎡⎢⎣abc⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
1
0
⎤⎥⎦ ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦
Portanto, os vetores   ,    e    também formam uma base do espaço   .
Quando escrevemos um vetor a partir da base do espaço vetorial, temos que essa representação é feita de
forma única, conforme o seguinte teorema.
Teorema: Se    for a base de um espaço vetorial V, então cada vetor em V pode ser
expresso na forma    de exatamente uma única maneira, isto é, com os escalares
selecionados de forma única (ANTON;RORRES, 2012).
Dessa forma, para cada base de�nida em um espaço vetorial, a forma como a combinação linear é escrita na
representação de um vetor será sempre única, alterando-se apenas quando há a mudança de base.
Em suma, quando desejamos estudar um espaço vetorial, após a de�nição do conjunto, operações e a
veri�cação das propriedades correspondentes, podemos reconhecer a base e a dimensão correspondentes,
visando a representação dos múltiplos vetores de acordo com essa base. 
ESTUDANDO A BASE DE UM ESPAÇO DE POLINÔMIOS
O estudo de espaços vetoriais pode ser aplicado não apenas quando lidamos com as operações e
propriedades envolvendo vetores de    e   , mas também no estudo de matrizes, funções, polinômios,
entre outros.
Diante disso, suponha que você foi contratado para organizar um curso de formação continuada para
professores, discutindo a respeito de espaços vetoriais que envolvam polinômios, de modo a contemplar os
conceitos de base e dimensão de espaço vetorial, bem como comparar diferentes espaços diante desses
conceitos.
Para esse curso, você optou por abordar o conjunto   , formado pelos polinômios com coe�cientes reais
de grau menor ou igual a 2, cuja forma geral é
 ,
Em que   , com as operações usuais de adição de polinômios e de multiplicação de polinômio
por número real.
Qualquer polinômio desse conjunto pode ser escrito na forma:
 ,
Logo, o conjunto    representa a base canônica para esse espaço vetorial. Porém, você optou por
discutir com os cursistas que essa não é a única base possível para esse espaço.
Nesse sentido, seja o conjunto    em   . Vejamos inicialmente que esse
conjunto é linearmente independente. Para isso, consideremos a combinação linear nula, com coe�cientes  
 ,    e   :
 ,
v1 =
−→ ⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ v2 =
−→ ⎡⎢⎣1
1
0
⎤⎥⎦ v3 =
−→ ⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ R
3
S = {v1, v2, … , vn}
v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn
R
2
R
3
P2 (R)
p(x) = a0 + a1x + a2x
2
a0, a1, a2 ∈ R
p(x) = a0 ⋅ 1 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x2
{1,x,x2}
{1 + x,x + x2,1 + x2} P 2 (R)
c1
c2 c3
c1 (1 + x) + c2 (x + x2) + c3 (1 + x2) = 0
isto é,
 ,
ou ainda,
 ,
o que implica
Resolvendo esse sistema linear obtemos   , portanto, esse conjunto de polinômios é
linearmente independente em   .
Vejamos agora que esse conjunto gera   . Considere um polinômio    no
conjunto, com   . Queremos determinar coe�cientes   ,    e    reais tais que:
Ao igualar os coe�cientes de termos de mesmo grau podemos construir o sistema linear a seguir:
Podemos resolver esse sistema linear empregando operações elementares sobre suas equações ou sobre a
matriz ampliada correspondente. Vejamos a segunda opção, sabendo que a matriz ampliada do sistema é:
A aplicação das operações elementares pode ser feita da seguinte forma:
Portanto, a solução para o sistema é:
c1 (1 + x) + c2 (x + x2) + c3 (1 + x2) = 0 + 0x + 0x2
(c1 + c3) + (c1 + c2)x + (c2 + c3)x2 = 0 + 0x + 0x2
⎧⎪⎨⎪⎩c1 + c3 = 0
c1 + c2 = 0
c2 + c3 = 0
c1 = c2 = c3 = 0
P2 (R)
P2 (R) p(x) = a0 + a1x + a2x
2
a0, a1, a2 ∈ R c1 c2 c3
c1 (1 + x) + c2 (x + x2) + c3 (1 + x2) = a0 + a1x + a2x
2
(c1 + c3) + (c1 + c2)x + (c2 + c3)x2 = a0 + a1x + a2x
2
⎧⎪⎨⎪⎩c1 + c3 = a0
c1 + c2 = a1
c2 + c3 = a2
⎡⎢⎣1 0 1 a0
1 1 0 a1
0 1 1 a2
⎤⎥⎦⎡⎢⎣1 0 1 a0
1 1 0 a1
0 1 1 a2
⎤⎥⎦L2 → L2 − L1
⎡⎢⎣1 0 1 a0
0 1 −1 a1 − a0
0 1 1 a2
⎤⎥⎦L3 → L3 − L2
⎡⎢⎣1 0 1 a0
0 1 −1 a1 − a0
0 0 2 a2 − a1 + a0
⎤⎥⎦L3 → (1/2)L3
⎡⎢⎣1 0 1 a0
0 1 −1 a1 − a0
0 0 1 (1/2)a2 − (1/2)a1 + (1/2)a0
⎤⎥⎦L1 → L1 − L3
L2 → L2 + L3
⎡⎢⎣1 0 0 − (1/2)a2 + (1/2)a1 + (1/2)a0
0 1 0 (1/2)a2 + (1/2)a1 − (1/2)a0
0 0 1 (1/2)a2 − (1/2)a1 + (1/2)a0
⎤⎥⎦
Assim, dado um polinômio    qualquer de   , podemos escrevê-lo como
combinação linear de    da seguinte forma:
Como exemplo, seja   . Nesse caso, podemos construir a combinação linear
Portanto, sabendo que    é um conjunto gerador linearmente independente para o
espaço   , podemos concluir que esse conjunto é uma base para o espaço vetorial em estudo.
Sendo ela composta por três elementos, teremos que qualquer base para esse espaço também apresentará
três elementos, o que pode ser evidenciado pela base canônica desse espaço vetorial, por exemplo, que
consiste no conjunto    e é também formada por três elementos.
Ao explorar esse espaço vetorial   , por admitir uma base com três elementos, podemos a�rmar que 
 .
Por isso, qualquer subespaço vetorial de    admite dimensão menor ou igual a 3, visto que a dimensão
do subespaço é sempre limitada pela dimensão do espaço correspondente. Por exemplo, o espaço   ,
formada pelos polinômios com grau máximo 1 e coe�cientes reais, é um subespaço de    e tal que 
 .
Para complementar essa discussão, você pretende fazer um comparativo do espaço vetorial    com o
espaço    no que se refere ao conceito de dimensão.
Como já explicitado, podemos relacionar a dimensão de um espaço vetorial com a quantidade de elementos
que compõem a base desse espaço. Nesse sentido, como    contém três elementos e
é base do espaço vetorial   , podemos concluir que   .
Agora, para o espaço vetorial    podemos considerar a base canônica   , em que   , 
  e    e, consequentemente,   .
Assim, observe que apesar de serem formados de elementos com diferentes naturezas, os espaços vetoriais 
  e    apresentam a mesma dimensão, ou seja, suas bases devem ter exatamente três elementos.  
⎧⎪⎨⎪⎩c1 = − 1
2 a2 + 1
2 a1 + 1
2 a0
c2 = 1
2 a2 + 1
2 a1 − 1
2 a0
c3 = 1
2 a2 − 1
2 a1 + 1
2 a0
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 P2 (R)
{1 + x,x + x2,1 + x2}
p(x) = (− 1
2 a2 + 1
2 a1 + 1
2 a0) (1 + x) + ( 1
2 a2 + 1
2 a1 − 1
2 a0) (x + x2) + ( 1
2 a2 − 1
2 a1 + 1
2 a0) (1 + x2)
q(x) = 4 − 2x + 8x2
q(x) = −3 ⋅ (1 + x) + 1 ⋅ (x + x2) + 7 ⋅ (1 + x2)
{1 + x,x + x2,1 + x2}
P2 (R)
{1,x,x2}
P2 (R)
dimP2 (R) = 3
P2 (R)
P1 (R)
P2 (R)
dimP1 (R) = 2especialmente os de dimensão �nita, é natural procurarmos por
uma base correspondente. Nos espaços    e   , por exemplo, munidos usualmente de suas bases
canônicas, temos a vantagem de construir e representar vetores no plano e espaço cartesianos,
respectivamente.
A proposta de estudar as matrizes de mudança de base está vinculada a possibilidade em construir múltiplas
bases ligadas a um mesmo espaço vetorial.
Com isso, podemos escrever vetores segundo uma base e, quando necessário e por meio de multiplicação
matricial, identi�carmos suas representações conforme uma outra base, com maior �exibilidade na
investigação dos espaços vetoriais.
Como caso especial, podemos citar as matrizes de rotação, que permitem rotacionar vetores principalmente
no plano e espaço cartesianos.
Bons estudos! 
MATRIZ MUDANÇA DE BASE E MATRIZ DE ROTAÇÃO
Quando desejamos construir uma base de um espaço vetorial, sabemos que ela deve ser constituída por
vetores linearmente independentes e que sejam geradores desse espaço. Além disso, a base de um espaço
vetorial não é única, isto é, em um mesmo espaço podemos construir diferentes bases.
Por exemplo, no espaço vetorial    podemos construir a base canônica   , formada pelos vetores 
  e   , mas podemos também construir outras bases, como é o caso do conjunto formado por 
  e   , os quais são linearmente independentes e geradores de   .
Quando escrevemos um vetor em função de uma base podemos identi�car o vetor de coordenadas, conforme
a seguinte de�nição.
Considere V um espaço vetorial e    uma base ordenada de V. Se v é qualquer elemento
desse espaço, então ele pode ser escrito na forma:
 ,
Em que    são escalares. O vetor    pode ser chamado de vetor de coordenadas de v em
relação à base B, e os escalares denominados de coordenadas de v em relação a B.
Podemos denotar o vetor de coordenadas v em relação à base B por   .
A forma como descrevemos um vetor em função de uma base é única, no entanto, alterar as bases in�uencia
no vetor de coordenadas.
R
2
R
3
R
2 {
→
i,
→
j}
→
i = [ ]
1
0
→
j = [ ]
0
1
[ ]
1
2
[ ]
0
1
R
2
B = {v1, v2,...,vn}
v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn
c1, c2,...,cn c =
⎡⎢⎣c1
c2
⋮
cn
⎤⎥⎦ [v]B
Veja o caso do vetor   . Ao escrevê-lo na base canônica temos:
 .
E ao escrevê-lo na base formada pelos vetores    e   :
 .
Assim, perceba que ambas as bases podem ser utilizadas, mas o vetor de coordenadas correspondente a uma
diferente. Porém, podemos empregar um recurso que nos permite modi�car as bases e os vetores de
coordenadas: o uso da matriz de mudança de base.
Considere    e    bases de um espaço vetorial V. A matriz   , cujas
colunas são os vetores de coordenadas    dos vetores de B em relação à base C, e é
denotada por    e é denominada matriz de mudança de base de B para C. Ou seja,
 .
De posse da matriz de mudança de base, podemos construir os vetores de coordenadas referentes a uma
base a partir da outra, conforme nos propõe o seguinte teorema.
Teorema: Sejam   e    bases de um espaço vetorial V e    a
matriz de mudança de base de B para C (POOLE, 2016). Dessa forma:   , para todo v em
V; Existe uma única matriz    tal que   , para todo v em V;.
  é invertível e sua inversa é   .
Um outro estudo que pode ser desenvolvido com base na matriz de mudança de base é a construção da
matriz de rotação, relacionada ao espaço vetorial   . Nesse caso, considere a base canônica    e
uma base   .
Suponha que, inicialmente, um vetor v seja escrito a partir da base canônica. Se desejamos rotacionar esse
vetor sob um ângulo   , no sentido anti-horário, escrevendo-o conforme uma base   , como o sistema
ilustrado na Figura 1, podemos empregar a matriz de rotação dada por:
 ,
em conjunto com multiplicações, para a construção do vetor de coordenadas segundo a base   .
Figura 1 | Rotação no plano
[ ] ∈ R
21
−4
[ ] = 1[ ] + (−4)[ ]
1
−4
1
0
0
1
[ ]
1
2
[ ]
0
1
[ ] = 1[ ] + (−6)[ ]
1
−4
1
2
0
1
B = {u1,u2,...,un} C = {v1, v2,...,vn} n × n
[u1]C, [u2]C,...,[un]C
PB→C
PB→C = [[u1]C [u2]C ... [un]C]
B = {u1,u2,...,un} C = {v1, v2,...,vn} PB→C
PB→C[v]B = [v]C
PB→C PB→C[v]B = [v]C
PB→C (PB→C)−1 = PC→B
R
2 B = {
→
i,
→
j}
B1 = {u1 ,u2}
−→−→
θ B1
PB→B1 = [ ]
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
B1
Fonte: elaborada pela autora.
CONSTRUINDO A MATRIZ DE MUDANÇA DE BASE
A matriz de mudança de base relativa às bases B e C de um espaço vetorial V é uma matriz capaz de
transformar o vetor de coordenadas de uma base para outra por meio de uma multiplicação de matrizes.
Vejamos como construir essa matriz para um espaço vetorial.
Consideremos o espaço vetorial    com a base canônica    e com a base 
 . Vamos construir a matriz mudança de base de B para C nesse espaço. Para isso, vamos
representar cada vetor da base canônica B como combinação linear dos elementos da base C.
  e    .
Assim, podemos representar os vetores como    e   . Logo, a matriz de mudança de
base correspondente é:
 .
Vejamos agora a aplicação dessa matriz. Considerando o vetor   , escrito em função da base
canônica, e utilizando a matriz de mudança de base obtemos:
 .
Assim, o vetor    representado em função da base C é dado por   .
Quando desejamos modi�car uma base qualquer para a base canônica, o procedimento de determinação da
matriz de mudança de base é mais simples.
Se temos B a base canônica e C uma base qualquer, a matriz    tem suas colunas dadas pelos vetores de
C escritos em função da base canônica.
Por exemplo, em   , para modi�car a base    para a base canônica   , a
matriz de mudança de base é:
 ,
R
2 B = {[ ], [ ]}
1
0
0
1
C = {[ ], [ ]}
1
2
0
1
[ ] = 1[ ] + (−2)[ ]
1
0
1
2
0
1
[ ] = 0[ ] + 1[ ]
0
1
1
2
0
1
[u1]C = [ ]
1
−2
[u2]C = [ ]
0
1
PB→C = [ ]
1 0
−2 1
[ ]
B
∈ R
21
−4
PB→C[v]B = [ ][ ] = [ ] = [ ] = [ ]
1 0
−2 1
1
−4
1 ⋅ 1 + 0 ⋅ (−4)
(−2) ⋅ 1 + 1 ⋅ (−4)
1 + 0
−2 − 4
1
−6
[ ]
B
1
−4
[ ]
C
1
−6
PC→B
R
2 C = {[ ], [ ]}
1
2
0
1
B = {[ ], [ ]}
1
0
0
1
PC→B = [ ]
1 0
2 1
ou seja, corresponde aos vetores da base C em coluna.
Analisemos agora um exemplo no espaço vetorial   . Considere as bases   ,
canônica, e   . Para a matriz de mudança de base de C para B temos:
Isto é, a matriz cujas colunas são os vetores de C escritos a partir da base canônica B.
E qual estratégia podemos adotar para determinar, nesse caso, a matriz de mudança de base de B para C?
Podemos empregar o método já apresentado, mas vamos construir outra possibilidade considerando o
conceito de matriz inversa.
Sabemos que a matriz de mudança de base é sempre única e invertível. Além disso,    ou 
 . Dessa forma, empregando o procedimento de eliminação de Gauss, e sabendo que a
aplicação de operações elementares pode gerar a matriz inversa de uma matriz dada, podemos utilizar a
estratégia:
Isto é, aplicando operações elementares sobre uma matriz composta por    e pela identidade podemos
converter a primeira na matriz identidade e, consequentemente, transformar a identidade na matriz inversa
de   , ou seja, na matriz   .
Lembre-se que as operações elementares que podemos empregar são apenas as seguintes: trocar duas
linhas da matriz de posição.
Multiplicar os elementos de uma linha da matriz por uma constante não nula.
Adicionar a uma linha os elementos correspondentes de outra linha previamente multiplicados por uma
constante não nula.
Retomemos ao exemplo anterior com as bases    e  
do    e a matriz de mudança de base de C para B dada por:
 .
Para obter a matriz    vamos empregar a eliminação de Gauss sobre a matriz   :
 .
R
3 B = , ,
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
1
⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭C = , ,
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣−1
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
0
−1
⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭PC→B =
⎡⎢⎣1 −1 1
1 1 0
1 0 −1
⎤⎥⎦ (PB→C)−1 = PC→B
(PC→B)−1 = PB→C
[PC→B|I] → [I|PB→C]
PC→B
PC→B PB→C
B = , ,
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
1
⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭ C = , ,
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣1
1
1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣−1
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1
0
−1
⎤⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭R
3
PC→B =
⎡⎢⎣1 −1 1
1 1 0
1 0 −1
⎤⎥⎦PB→C [PC→B|I]
[PC→B|I] =
⎡⎢⎣1 −1 1
1 1 0
1 0 −11 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦
Acompanhe a aplicação da eliminação de Gauss visando a conversão da primeira parte da matriz anterior na
identidade, com a aplicação das operações elementares sobre toda a matriz.
 .
Dessa forma,
 .
ou seja,
 .
Portanto, podemos empregar essas diferentes possibilidades quando devemos construir as matrizes de
mudanças de bases em um espaço vetorial. 
MUDANÇA DE BASE EM ESPAÇOS VETORIAIS POLINOMIAIS
Caro estudante, suponha que você foi contratado para organizar um curso de aprofundamento no estudo de
Álgebra Linear e Vetorial para pro�ssionais da área da Computação. Nesse curso, o módulo pelo qual você
�cou responsável é o do estudo de matrizes de mudança de bases e de matrizes de rotação, no contexto dos
espaços vetoriais.
Ao selecionar as temáticas para esse módulo, você optou por organizar dois momentos: no primeiro será
tratado do estudo das matrizes de mudança de bases considerando o espaço vetorial de polinômios    e
no segundo, a aplicação da matriz de rotação no espaço   .
Para o primeiro momento, as discussões terão como ponto de partida o seguinte problema:
Problema 1: No espaço vetorial   , determine as matrizes de mudança de base    e    para
as bases B, canônica desse espaço, e   .
Lembrando que a base canônica do espaço    é dada por   , podemos resolver esse
problema de duas formas: construir as duas matrizes de mudança de base separadamente, ou obter uma
matriz a partir da outra por meio da eliminação de Gauss.
     
⎡⎢⎣1 −1 1
1 1 0
1 0 −1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦L2 → L2 − L1
L3 → L3 − L1
⎡⎢⎣1 −1 1
0 2 −1
0 1 −2
1 0 0
−1 1 0
−1 0 1
⎤⎥⎦L2 → L3
⎡⎢⎣1 −1 1
0 1 −2
0 2 −1
1 0 0
−1 0 1
−1 1 0
⎤⎥⎦ 
L1 → L1 + L2
L3 → L3 − 2L1
⎡⎢⎣1 0 −1
0 1 −2
0 0 3
0 0 1
−1 0 1
1 1 −2
⎤⎥⎦L3 → (1/3)L3
⎡⎢⎣1 0 −1
0 1 −2
0 0 1
0 0 1
−1 0 1
1/3 1/3 −2/3
⎤⎥⎦ 
L1 → L1 + L3
L2 → L2 + 2L3
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/3 1/3 1/3
−1/3 2/3 1/3
1/3 1/3 −2/3
⎤⎥⎦[I|PB→C] =  
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/3 1/3 1/3
−1/3 2/3 1/3
1/3 1/3 −2/3
⎤⎥⎦PB→C =
⎡⎢⎣ 1/3 1/3 1/3
−1/3 2/3 1/3
1/3 1/3 −2/3
⎤⎥⎦
P2 (R)
R2
P2 (R) PB→C PC→B
C = {1 + x,x + x2,1 + x2}
P2 (R) B = {1,x,x2}
Vamos iniciar com a construção da matriz   . Para isso, vamos escrever os polinômios da base C em
função da base canônica, empregando a representação como vetor de coordenadas:
 ,    e   .
Sendo assim, a matriz será dada por:
 .
Para construir agora a matriz    precisamos escrever os elementos da base canônica B em função da
base C. Vejamos o caso do polinômio    escrito como combinação linear de C:
 ,
o que implica no sistema:
 .
Resolvendo esse sistema por operações elementares sobre as equações, ou pelo escalonamento da matriz
ampliada do sistema, obtemos   ,    e   . Sendo assim,
 .
Representando como vetor de coordenadas:
 .
Aplicando o mesmo procedimento com os outros dois elementos da base canônica teremos:
  e   .
Portanto,
 .
A segunda possibilidade para a construção de    é a aplicação da eliminação de Gauss com o intuito de
determinar a inversa de   . Veja como essa estratégia pode ser empregada:
 .
Prossigamos com a aplicação das operações elementares sobre   :
PC→B
[1 + x]B =
⎡⎢⎣1
1
0
⎤⎥⎦ [x + x2]
B
=
⎡⎢⎣0
1
1
⎤⎥⎦ [1 + x2]
B
=
⎡⎢⎣1
0
1
⎤⎥⎦PC→B =
⎡⎢⎣1 0 1
1 1 0
0 1 1
⎤⎥⎦PB→C
p(x) = 1
1 = a (1 + x) + b (x + x2) + c (1 + x2)
⎧⎪⎨⎪⎩a + c = 1
a + b = 0
b + c = 0
a = 1
2 b = − 1
2 c = 1
2
1 = 1
2 (1 + x) + (− 1
2 ) (x + x2) + 1
2 (1 + x2)
[1]B =
C
⎡⎢⎣ 1/2
−1/2
1/2
⎤⎥⎦[x]B =
C
⎡⎢⎣ 1/2
1/2
−1/2
⎤⎥⎦ [x2]
B
=
C
⎡⎢⎣−1/2
1/2
1/2
⎤⎥⎦PB→C =
⎡⎢⎣ 1/2 1/2 −1/2
−1/2 1/2 1/2
1/2 −1/2 1/2
⎤⎥⎦PB→C
PC→B
[PC→B|I] =
⎡⎢⎣1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦[PC→B|I]
 .
Logo,
 .
Veja que em ambos os casos a matriz obtida é a mesma, porque a matriz de mudança de base é única, para
cada ordem e par de bases.
Agora, por exemplo, considere   . Note que esse polinômio está escrito na base
canônica, podendo ser representado como vetor de coordenadas da seguinte forma:
 .
Queremos representá-lo segundo a base C do espaço   . Para isso, pela matriz de mudança de base de
B para C obtemos:
 ,
isto é,
 ,
Sendo possível empregar esse procedimento para qualquer elemento de   .
Para o segundo momento, você optou por abordar o uso das matrizes de rotação no plano   , apresentando
inicialmente a estrutura geral:
 ,
que representa uma rotação sob um ângulo    no sentido anti-horário. Com isso, a proposta é apresentar o
exemplo da rotação do vetor    segundo um ângulo de   , ou   , no sentido anti-
horário. Nesse caso, a matriz de rotação será:
 ,
e assim,
⎡⎢⎣1 0 1
1 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦L2 → L2 − L1
⎡⎢⎣1 0 1
0 1 −1
0 1 1
1 0 0
−1 1 0
0 0 1
⎤⎥⎦L3 → L3 − L2
⎡⎢⎣1 0 1
0 1 −1
0 0 2
1 0 0
−1 1 0
1 −1 1
⎤⎥⎦L3 → (1/2)L3
⎡⎢⎣1 0 1
0 1 −1
0 0 1
1 0 0
−1 1 0
1/2 −1/2 1/2
⎤⎥⎦L1 → L1 − L3
L2 → L2 + L3
⎡⎢⎣1 0 0
0 1 0
0 0 1
1/2 1/2 −1/2
−1/2 1/2 1/2
1/2 −1/2 1/2
⎤⎥⎦PB→C =
⎡⎢⎣ 1/2 1/2 −1/2
−1/2 1/2 1/2
1/2 −1/2 1/2
⎤⎥⎦q(x) = 3 + 2x − x2 ∈ P2 (R)
[3 + 2x − x2]
B
=
⎡⎢⎣ 3
2
−1
⎤⎥⎦P2 (R)
PB→C ⋅ [3 + 2x − x2]
B
= = =
C
⎡⎢⎣ 1/2 1/2 −1/2
−1/2 1/2 1/2
1/2 −1/2 1/2
⎤⎥⎦⎡⎢⎣ 3
2
−1
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 1
2 ⋅ 3 + 1
2 ⋅ 2 + (− 1
2 ) ⋅ (−1)
(− 1
2 ) ⋅ 3 + 1
2 ⋅ 2 + 1
2 ⋅ (−1)
1
2 ⋅ 3 + (− 1
2 ) ⋅ 2 + 1
2 ⋅ (−1)
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 3
−1
0
⎤⎥⎦3 + 2x − x2 = 3 (1 + x) + (−1) (x + x2) + 0 (1 + x2)
P2 (R)
R
2
PB→B1 = [ ]
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
θ
v = [ ] ∈ R
22
1
π
6 rad 30°
PB→B1 = [ ] = [ ]
cos(π/6) −sen(π/6)
sen(π/6) cos(π/6)
√3/2 −1/2
1/2 √3/2
 ,
A representação do vetor original v e do vetor resultante da rotação u é dada conforme a Figura 1.
Figura 2 | Rotação do vetor    em  
Fonte: elaborada pela autora.
Ao �nal, será proposta uma discussão sobre a aplicação desse tipo de recurso na edição de imagens por meio
da aplicação de rotações em softwares especí�cos. 
VIDEO RESUMO
Neste vídeo você estudará a construção da matriz de mudança de base de um espaço vetorial, observando
como ela deve ser estruturada e quais suas características, observando também quais estratégias podem ser
empregadas em sua obtenção, sendo conhecidas previamente duas bases de um mesmo espaço vetorial.
Também estudará a matriz de rotação associada a um espaço vetorial, com destaque ao espaço   e a matriz
de rotação genérica correspondente. 
 Saiba mais
Para aprofundar os estudos a respeito da matriz de mudança de base de um espaço vetorial, a sugestão
de material complementar é a seção 4.6, intitulada “Mudança de bases”, do livro Álgebra Linear com
Aplicações, de Howard Anton e Chris Rorres, disponível na Biblioteca Virtual. Nesse livro, entre as páginas
217 e 222, você poderá conferir outros exemplos resolvidos de determinação e emprego das matrizes de
mudança de base.
u = [ ][ ] = = [ ]
√3/2 −1/2
1/2 √3/2
2
1
⎡
⎣
√3
2 ⋅ 2 + (− 1
2 ) ⋅ 1
1
2 ⋅ 2 + √3
2 ⋅ 1
⎤
⎦
√3 − 1/2
1 + √3/2
v = [ ] ∈ R
22
1
π
6 rad
R
2
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788540701700/pageid/232
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788540701700/pageid/232
Outro material que aborda as matrizes de mudança de base é a seção 3.5, intitulada “Mudança de
Bases”, localizada entre as páginas 144 e 153, do livro Álgebra Linear com Aplicações, do autor Steven J.
Leon, disponível na Biblioteca Virtual. Além de outros exemplos de construção e aplicação das matrizes
de mudanças de bases, esse autor apresenta exemplos práticos, como o emprego dessas matrizes em
um problema de migração populacional.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Nesta aula nos aprofundaremos no estudo de alguns espaços vetoriais especiais,
denominados de espaço linha, espaço coluna e espaço nulo. Esses espaços vetoriais estão vinculados a
matrizes e podem ser interpretados enquanto subespaços vetoriais associados aos espaços   .
Quando estudamos uma matriz, podemos identi�car suas linhas e colunas, podemos associá-las à resolução
de sistemas lineares, bem como determinar matrizes equivalentes, na forma escalonada, obtidas por meio denulo. Chamando-a
de nulidade da matriz A, e representamos por   , a dimensão do espaço nulo de A.
Retomemos a matriz:
 .
Sabemos que   . Queremos resolver o sistema   . Para isso, podemos construir a matriz
ampliada do sistema e, por meio de operações elementares, obter a forma escalonada.
 .
Assim, o sistema correspondente à matriz aumentada na forma escalonada será:
Resolvendo o sistema em função de   , obtemos:
Podemos escrever a solução geral como:
 ,
com t e u parâmetros reais. Assim,
Como os vetores do lado direito formam uma base do espaço solução, podemos concluir que   .
Podemos concluir com o seguinte resultado.
Teorema: Se A for uma matriz com n colunas, então   . 
POSTO E NULIDADE DE UMA MATRIZ
Suponha que você foi contratado para integrar uma equipe formada por pro�ssionais de diferentes áreas
como engenheiros e cientistas da computação, para desenvolver projetos na área de tecnologia.
nul (A)
A =
⎡⎢⎣1 2 −1 0
2 5 3 1
1 3 4 1
⎤⎥⎦posto (A) = 2 Ax = 0
    ~    
⎡⎢⎣1 2 −1 0
2 5 3 1
1 3 4 1
0
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 2 −1 0
0 1 5 1
0 0 0 0
0
0
0
⎤⎥⎦{
x1 + 2x2 − x3 = 0
x2 + 5x3 + x4 = 0
x3,x4,x5
{    ⇒   {    ⇒   {
x1 + 2x2 − x3 = 0
x2 + 5x3 + x4 = 0
x1 = −2x2 + x3
x2 = −5x3 − x4
x1 = −2 (−5x3 − x4) + x3
x2 = −5x3 − x4
⇒   {    ⇒   {
x1 = 10x3 + 2x4 + x3
x2 = −5x3 − x4
x1 = 11x3 + 2x4
x2 = −5x3 − x4
⎧⎪⎨⎪⎩x1 = 11t + 2u
x2 = −5t − u
x3 = t
x4 = u
= t + u
⎡⎢⎣x1
x2
x3
x4
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣11
−5
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 2
−1
0
1
⎤⎥⎦ nul (A) = 2
posto (A) + nul (A) = n
Devido aos projetos a serem desenvolvidos, os quais envolvem programação com matrizes. O gerente da
equipe encarregou-o de organizar uma formação complementar para seus colegas envolvendo os conceitos
de posto e nulidade de matriz.
Para isso, você pretende retomar conceitos envolvendo espaço linha, espaço coluna e espaço nulo, bem como
o estudo de sistemas lineares e de escalonamento, por meio de exemplos.
Inicialmente, você pretende retomar os conceitos de espaço linha e de espaço coluna, relacionando-os às
linhas e colunas de uma matriz, a partir do exemplo:
 .
Nesse caso, o espaço linha de A consiste no subespaço de    gerado pelos vetores:
 ,
  e
 .
enquanto o espaço coluna de A é dado pelo subespaço de    gerado pelos vetores:
 ,   ,   ,    e   .
É importante ressaltar que esses vetores formam conjuntos geradores e não bases, pois para serem bases
eles precisariam ser linearmente independentes. No entanto, podemos empregar um procedimento de
escalonamento na matriz com o intuito de obter as bases para esses espaços.
Vejamos agora a aplicação de operações elementares sobre as linhas da matriz A de forma a obtermos a
matriz equivalente, mas na forma escalonada.
Sendo assim, a matriz equivalente procurada é:
 .
Note que essa matriz possui duas linhas não nulas, assim, os vetores que constituem uma base do espaço
linha de A são:
 ,
 .
Podemos destacar nessa matriz B os pivôs:
A =
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
2 0 2 0 2
⎤⎥⎦R
5
u1 = [ ]1 2 3 4 −1
u2 = [ ]0 1 1 2 −1
u3 = [ ]2 0 2 0 2
R
3
v1 =
⎡⎢⎣1
0
2
⎤⎥⎦ v2 =
⎡⎢⎣2
1
0
⎤⎥⎦ v3 =
⎡⎢⎣3
1
2
⎤⎥⎦ v4 =
⎡⎢⎣4
2
0
⎤⎥⎦ v5 =
⎡⎢⎣−1
−1
2
⎤⎥⎦⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
2 0 2 0 2
⎤⎥⎦L3 → L3 − 2L1
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
0 −4 −4 −8 4
⎤⎥⎦L3 → L3 + 4L2
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
0 0 0 0 0
⎤⎥⎦B =
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
0 0 0 0 0
⎤⎥⎦u1 = [ ]1 2 3 4 −1
u2 = [ ]0 1 1 2 −1
 .
Como esses pivôs são parte da primeira e segunda colunas de B, então são os vetores da primeira e segunda
colunas de A que constituem a base para o espaço coluna de A. Logo, a base do espaço é formada por:
   e    .
Perceba que tanto a base do espaço linha quanto a do espaço coluna possuem a mesma quantidade de
elementos, isto é, o espaço linha e o espaço coluna tem mesma dimensão, a qual chamamos de posto. Nesse
caso,   .
Para o estudo da nulidade, precisamos analisar as características do espaço nulo de A, ou seja, do espaço de
soluções do sistema linear homogêneo construído a partir da matriz A.
Assim, considere o sistema homogêneo:
 .
Para resolver o sistema, podemos construir a matriz aumentada do sistema e determinar sua forma
escalonada. Perceba que a diferença entre a matriz A e a matriz aumentada do sistema consiste em que essa
última contempla uma coluna adicional de zeros.
Desse modo, podemos utilizar os procedimentos já utilizados para o escalonamento, visto que a coluna
adicional de zeros não sofrerá alterações, independentemente das operações elementares utilizadas.
Aproveitando, então, as operações e o processo já utilizados, podemos concluir que:
 .
Sendo assim, o sistema equivalente será dado por:
 .
Como os pivôs da matriz B de coe�cientes estão localizados na primeira e segunda colunas, então vamos
representar as duas primeiras variáveis em função das demais, recorrendo à notação de sistemas no formato
de equações:
 .
B =
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
0 0 0 0 0
⎤⎥⎦v1 =
⎡⎢⎣1
0
2
⎤⎥⎦ v2 =
⎡⎢⎣2
1
0
⎤⎥⎦posto (A) = 2
=
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
2 0 2 0 2
⎤⎥⎦⎡⎢⎣x1
x2
x3
x4
x5
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
0
⎤⎥⎦
    ~    
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
2 0 2 0 2
0
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
0 0 0 0 0
0
0
0
⎤⎥⎦=
⎡⎢⎣1 2 3 4 −1
0 1 1 2 −1
0 0 0 0 0
⎤⎥⎦⎡⎢⎣x1
x2
x3
x4
x5
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣0
0
0
⎤⎥⎦{    ⇒   {
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 − x5 = 0
x2 + x3 + 2x4 − x5 = 0
x1 = −2x2 − 3x3 − 4x4 + x5
x2 = −x3 − 2x4 + x5
Substituindo a segunda equação na primeira obtemos:
 .
Podemos escrever a solução geral como:
com r, s e t parâmetros reais. Assim,
 .
Como os vetores do lado direito formam uma base do espaço solução, podemos concluir que   .
Portanto, como a matriz A possui 5 colunas, con�rmamos a validade da igualdade  
 . 
VIDEO RESUMO
Nesta aula são abordados os espaços vetoriais chamados de espaço linha, espaço coluna e espaço nulo. Esses
espaços são vinculados a matrizes e de�nidos enquanto subespaços especiais de   .
Assim, você estudará as de�nições de cada um desses espaços e como obter conjuntos geradores e bases
associadas a eles, bem como compreenderá o que é o posto e a nulidade de uma matriz por meio do estudo
desses espaços vetoriais, bem como algumas propriedades importantes relacionadas a eles.
 Saiba mais
Para contribuir com os estudos a respeito do espaço linha, do espaço coluna e do espaço nulo
correspondentes a uma matriz, a primeira sugestão é o estudo da seção 3.6, intitulada “Espaço Linha e
Espaço Coluna”, do livro Álgebra Linear com Aplicações, de autoria de Steven J. Leon. Você pode acessar
esse livro na Biblioteca Virtual.
Nesse material, entre as páginas 154 e 159, você encontrará outros exemplos relacionados a esses
espaços, bem como as demonstrações de alguns dos resultados estudados nesta aula.
Outra sugestão é o estudo da seção 4.8, intitulada “Posto, nulidade e os espaços matriciais
fundamentais”, do livro Álgebra Linear com Aplicações, dos autores Howard Anton e Chris Rorres. Esse
livro pode ser acessado na Biblioteca Virtual. Essa seção do livro discutirá com mais especi�cidade a
{    ⇒   {
x1 = −2 (−x3 − 2x4 + x5) − 3x3 − 4x4 + x5
x2 = −x3 − 2x4 + x5
x1 = −x3 − x5
x2 = −x3 − 2x4 + x5
⎧⎪⎨⎪⎩x1 = −r − t
x2 = −r − 2s + t
x3 = r
x4 = s
x5 = t
= r + s + t
⎡⎢⎣x1
x2
x3
x4
x5
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣−1
−1
1
0
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣ 0
−2
0
1
0
⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣−1
1
0
0
1
⎤⎥⎦ nul (A) = 3
posto (A) + nul (A) = 5
R
n
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788521635789/epubcfi/6/24[%3Bvnd.vst.idref%3Dchapter03]!/4/2002/27:6[%20se%2Cja
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788540701700/pageid/252
respeito dos conceitos de posto e nulidade de uma matriz, contribuindo para a compreensão desses
conceitos por meio da apresentação de outros exemplos e discussões sobre o tema.
ESPAÇO VETORIAL
O conceito de espaço vetorial engloba diversas estruturas que apresentam um mesmo padrão, apesar de
envolverem elementos de diferentes naturezas.
Um espaço vetorial V é formado por um conjunto de vetores, munido de uma operação de adição de vetores e
de uma multiplicação de vetor por escalar, as quaisgozam das seguintes propriedades: dados quaisquer 
  e   , com K um corpo, é valido que:
Fechamento da adição:   .
Fechamento da multiplicação por escalar:   .
Existência de elemento neutro da adição:   tal que   .
Existência de elemento simétrico em relação à adição: a cada v em V, existe   em V com  
 .
Existência de elemento neutro para multiplicação por escalar: existe 1 em K com   .
Comutatividade da adição:   .
Associatividade:    e   .
Distributividade:    e   .
Nessa de�nição, entenda vetor como uma denominação genérica, que pode envolver tanto vetores
multidimensionais quanto polinômios e matrizes.
Como principais exemplos temos espaços do tipo   , sendo n natural, com suas operações usuais, além dos
espaços de polinômios    e suas operações correspondentes, espaços de matrizes     e as
operações associadas, entre outros.
v1, v2, v3 ∈ V c1, c2 ∈ K
v1 + v2 ∈ V
c1v1 ∈ V
0 ∈ V 0 + v1 = v1
−v
v + (−v) = 0
1 ⋅ v1 = v1
v1 + v2 = v2 + v1
(v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3) (c1c2)v1 = c1 (c2v1)
c1 (v1 + v2) = c1v1 + c1v2 (c1 + c2)v1 = c1v1 + c2v1
R
n
Pn (R) Mm×n (R)
Aula 5
REVISÃO DA UNIDADE
31 minutos
A partir dos espaços vetoriais, podemos construir os subespaços destes. Nesse caso, consideramos um
subconjunto do conjunto que de�ne o espaço, junto às restrições das operações sobre ele, o que permite a
construção do subespaço vetorial.
Após a de�nição do espaço vetorial, podemos construir a base associada. Para isso, buscamos um conjunto
de vetores do espaço com as seguintes características:
o conjunto gera o espaço, isto é, é possível representar qualquer vetor do espaço por meio de
combinações lineares do conjunto.
o conjunto é linearmente independente, ou seja, a combinação linear nula dos elementos do conjunto
implica nos coe�cientes todos nulos ou, ainda, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como
combinação linear dos demais elementos do conjunto.
Com a de�nição da base, podemos relacionar a quantidade de vetores que constitui a base do espaço vetorial
com sua dimensão. É importante ressaltar que a base de um espaço vetorial não é única, isto é, podemos
construir diferentes tipos para um mesmo espaço, porém, todas devem ter a mesma quantidade de
elementos.
Por exemplo, uma base para o espaço vetorial    é formada pelos polinômios 1, x e x , assim, esse
espaço tem dimensão 3. Além dessa, podemos construir outras bases para esse mesmo, mas todas devem
conter exatamente três elementos.
Considere agora um espaço vetorial V e duas bases para esse espaço, B e C. Podemos representar qualquer
vetor de V em função da base B, representando-o na forma de vetor de coordenadas   .
Esse vetor pode ser escrito em função da base C, segundo um outro vetor de coordenadas   .
Para efetuar mudanças entre as duas bases e entre as representações, podemos empregar as matrizes de
mudança de base    e   , dependendo do tipo de conversão a ser realizada.
Além desses conceitos, podemos estudar tipos especiais de espaços vetoriais. Dada uma matriz A, de
tamanho   , o espaço gerado pelos vetores linha da matriz é chamado de espaço linha, o espaço gerado
pelos vetores coluna é denominado espaço coluna, enquanto o espaço gerado pelas soluções do sistema
homogêneo    é chamado de espaço nulo.
Com base nesses conceitos, podemos construir e explorar diferentes espaços vetoriais e suas propriedades. 
REVISÃO DA UNIDADE
Neste vídeo, você estudará os principais conceitos relacionados aos espaços vetoriais, com suas propriedades
e principais exemplos.
P2 (R) 2
[v]B =
⎡⎢⎣c1
⋮
cn
⎤⎥⎦[v]C =
⎡⎢⎣d1
⋮
dn
⎤⎥⎦PB→C PC→B
m × n
Ax = 0
É importante compreender que a de�nição de espaço vetorial contribui para a generalização de estruturas
presentes quando lidamos com diferentes tipos de conjuntos, sejam eles compostos por vetores
multidimensionais, matrizes, polinômios, entre outros.
Assim, além da de�nição, você estudará o que é a base e a dimensão de um espaço vetorial, tipos especiais de
matrizes e a matriz de mudança de base.
ESTUDO DE CASO
Diante dos conteúdos estudados, você pôde perceber que o conceito de espaço vetorial é bastante
abrangente, e contemplar estruturas diversas como os espaços multidimensionais, os espaços de polinômios,
entre outros.
Diante de um espaço vetorial, podemos identi�car base, dimensão, subespaços, matrizes de mudança de
bases, além da representação de elementos por meio de combinações lineares.
Um dos espaços vetoriais que podemos estudar é o de matrizes. Para isso, é importante de�nir o tamanho
das matrizes que serão estudadas para especi�car de qual espaço estamos falando.
Por exemplo,    representa o conjunto das matrizes de ordem 2 com entradas reais, e    o
conjunto das matrizes de tamanho    com entradas reais. Essa de�nição é importante porque a adição
de matrizes pode ser aplicada somente quando as matrizes envolvidas têm mesmo tamanho.
Dessa forma, para o estudo de um espaço vetorial de matrizes, devemos de�nir o conjunto que será utilizado,
bem como as operações, além de veri�car a validade dos axiomas presentes na de�nição de espaço vetorial.
Para contextualizar o assunto estudado, imagine que você esteja ministrando um curso de capacitação
direcionado aos funcionários recém contratados de uma empresa de tecnologia, cuja especialidade é o
trabalho com design de estruturas tridimensionais e aplicação em realidade aumentada, os quais precisarão
lidar com matrizes e espaços vetoriais.
Durante um dos módulos desse curso, os funcionários apresentaram uma dúvida a respeito do espaço
vetorial de matrizes, principalmente a respeito de como podem ser construídas as combinações lineares
nesse espaço e como reconhecer uma base para esse tipo de espaço vetorial, visto que seus elementos são
matrizes e não vetores de   , n natural, com os quais eles estão habituados a trabalhar.
Nesse sentido, você pretende sanar as dúvidas dos cursistas, elaborando um módulo direcionado ao estudo
do espaço vetorial composto por matrizes, dando destaque ao espaço   , composto pelas matrizes
quadradas de ordem 2 com entradas reais.
Os conceitos que você deve abordar nesse módulo são: a de�nição de espaço vetorial, os conceitos de base e
dimensão de um espaço vetorial, e a representação de elementos do espaço por meio de combinações
lineares.
M2 (R) M2×3 (R)
2 × 3
R
n
M2 (R)
Assim, como você pode organizar esse curso para abordar os conceitos apresentados, tendo como ponto de
partida o espaço vetorial   ?
Além disso, para tratar sobre a noção de subespaço, você deverá incluir o estudo do seguinte subconjunto de 
 :
analisando-o à luz do conceito do subespaço vetorial.
De que forma você pode organizar o módulo do curso de capacitação para contemplar todos esses conceitos?
 Re�ita
Os conceitos estudados no contexto dos espaços vetoriais são genéricos e podem ser adaptados em
relação a diferentes conjuntos. No entanto, são necessárias validações dos conceitos tendo em vista o
rigor característico presente na Matemática.
Com efeito, quando buscamos comprovar que determinada estrutura é um espaço vetorial, devemos
de�nir o conjunto e as operações correspondentes e, a partir disso, recorrendo a representações
genéricas, demonstrar a validade de cada axioma presentes na de�nição de espaço vetorial. Uma
situação análoga se aplica aos demais conceitos.
Dessa forma, não podemos apenas mostrar, por exemplo, que a comutatividade da adição de vetores é
verdadeira para dois elementos, devemos mostrar que ela é verdadeira para dois elementos quaisquer
do conjunto em discussão.
Se queremos mostrar que a comutatividade da adição é veri�cada no espaço   , devemos
considerar dois elementos quaisquer desse espaço, como    e   , e
construir uma demonstração que justi�que a validade dessa propriedade, como:
Observe que nessa demonstração, após o primeiro símbolo de igualdade, consideramos a de�nição da
operação de adição de polinômios; após o segundo símbolo de igualdade, recorremos à propriedade da
comutatividadeW. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, D. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
STRANG, G.. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013. 
Aula 5
ANTON, H.; RORRES, C.. Álgebra linear com aplicações. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
FERNANDES, L. F. D. Álgebra linear. 2. ed. Curitiba: InterSaberes, 2017.
FRANCO, N. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
NICHOLSON, W. K. Álgebra linear. 2. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
POOLE, D. Álgebra linear: uma introdução moderna. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
STRANG, G. Introdução à álgebra linear. Rio de Janeiro, LTC, 2013.
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