5 7 1 - Comparação de Médias_ Variâncias iguais - Inferência _ Portal Action

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13/07/2020 5.7.1 - Comparação de Médias: Variâncias iguais - Inferência | Portal Action
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5.7.1 - COMPARAÇÃO DE MÉDIAS: VARIÂNCIAS IGUAIS
Início (/) / Inferência (/inferencia-0) / Testes de hipóteses (/inferencia/testes-de-hipoteses) / Teste para comparação de duas médias
(/inferencia/57-teste-para-comparacao-de-duas-medias-teste-t) / 5.7.1 - Comparação de Médias: Variâncias iguais
Consideraremos agora, que as variâncias das populações são iguais, porém, desconhecidas, ou seja, 
. Denotamos a variância  amostral da amostra . Como as amostras são independentes, obtemos que
são variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado (/probabilidades/63-distribuicao-qui-
quadrado) com e graus de liberdade, respectivamente. Como a soma de distribuições qui-
quadrado independentes também tem distribuição qui-quadrado com os graus de liberdade dado pela soma
(/probabilidades/63-distribuicao-qui-quadrado), obtemos que
  tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Por outro lado, dado que as variância são
iguais, temos que
tem distribuição normal com média zero e variância . 
A partir de propriedades da distribuição amostral da média e da distribuição amostral da variância para
populações normais (/inferencia/23-distribuicao-amostral-de-dados-normais), sabemos que a média amostral e a
variância amostral são variáveis aleatórias independentes. Desta forma, podemos aplicar a de�nição de
distribuição t-Student (/probabilidades/64-distribuicao-t-de-student) para obtemos que a  variável aleatória
que tem distribuição t-Student com  graus de liberdade. Aqui,  é o desvio padrão agrupado (pooled)
que é dado por 
onde
: variância da amostra proveniente da população 1.
: variância da amostra proveniente da população 2.
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Para realizar o teste para igualdade de duas médias com variâncias iguais, porém desconhecidas, devemos
realizar os seguintes passos:
1. Estabelecer uma das hipóteses, por exemplo: 
2. Fixar o nível de signi�cância .
3. Determinar a região crítica.
Se o teste é bilateral, determinamos os pontos críticos e tais que 
.
Se o teste é unilateral à direita, determinamos o ponto crítico tal que . 
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Se o teste é unilateral à esquerda, determinamos o ponto crítico tal que .
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4. Calcular que é o valor da variável sob a hipótese nula. Como 
temos que é dada por 
5. Critério:
Teste bilateral: Se ou , rejeitamos . Caso contrário, não rejeitamos .
Teste unilateral à direita: Se rejeitamos . Caso contrário, não rejeitamos .
Teste unilateral à esquerda: Se rejeitamos . Caso contrário, não rejeitamos .
6. O p-valor é determinado por 
se o teste é bilateral. Se o teste é unilateral à direita, o p-valor é dado por 
e se o teste é unilateral à esquerda, o p-valor é dado por 
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7. Como vimos na Seção 4.6.2 (/503-262-2%C2%BA-caso-vari%C3%A2ncias-desconhecidas-por%C3%A9m-
iguais), se considerarmos b o número de graus de liberdade, ou seja, , o intervalo de con�ança
para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas, porém iguais, é dado por 
se o teste é bilateral. No caso em que o teste é unilateral à direita, o intervalo de con�ança é dado por 
e, se o teste é unilateral à esquerda, o intervalo de con�ança será dado por 
8. O erro do tipo II é calculado ao se aceitar  quando esta é falsa (  é verdadeira).
Suponha, por exemplo que a hipótese nula é falsa e que a verdadeira diferença entre as médias seja .
Então, analogamente ao caso de uma amostra, temos que 
tem distribuição não central, com  graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade  
Com isso, concluímos que o erro do tipo II é dado por
 se o teste é bilateral;
 se o teste é unilateral à direita;
 se o teste é unilateral à esquerda.
onde é a função distribuição acumulada da distribuição não central com  graus de liberdade e
parâmetro de não-centralidade .
9. O poder do teste é calculado como 1 menos a probabilidade de erro do tipo II, ou seja, 
Utilizamos o software Action para o cálculo do poder (dado o tamanho amostral) ou o cálculo do tamanho
amostral necessário para o teste detectar certa diferença entre as diferenças entre as médias, com um
determinado poder. No Action, temos como parâmetros o tamanho da primeira amostra ( ), o tamanho da
segunda amostra ( ), a diferença a ser detectada ( ), o poder ( ), o nível de signi�cância ( ) e o desvio-padrão (
). Então, para calcular o poder do teste, lançamos os valores de e  e nos é fornecido o poder do teste.
As fórmulas utilizadas para o cálculo do poder são 
para o teste bilateral, 
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para o teste unilateral à esquerda e 
para o teste unilateral à direita. Aqui é a função distribuição acumulada da distribuição não central com 
 graus de liberdade e parâmetro de não-centralidade .
Já para o cálculo do tamanho da amostra necessária para que o teste detecte uma diferença pré-determinada
entre as hipóteses nula e alternativa, com um determinado poder, basta lançarmos os valores da diferença , do
desvio-padrão , do nível de signi�cância e do poder . Com isso, o Action nos fornece o valor do tamanho das
amostras . As fórmulas utilizadas para cada teste são as mesmas acima, basta reescrevê-las isolando 
.
Exemplo 5.7.1.1:
Para ilustrar a aplicação deste teste de hipótese, considere os dados de duas amostras apresentadas a seguir e, a
um nível de signi�cância , decida se existe diferença signi�cativa entre as médias populacionais e .
Amostra 1
18,800 17,591 20,835 19,169 18,755
20,504 18,756 17,527 19,290 19,203
18,621 18,977 17,078 22,059 18,419
19,919 20,308 17,620 18,585 20,764
21,117 18,899 21,426 17,890 21,055
Amostra 2     
22,284 22,057 22,629 24,620 21,491 21,198
21,901 22,881 22,860 22,058 22,699 22,909
25,302 17,968 24,515 23,150 24,662 23,327
22,447 23,382 22,426 22,787 21,983 24,534
22,771 21,043 21,203 24,009 21,917 21,152
clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo
(/sites/default/�les/inferencia/planilhas/TesteComp2MediasVarDesconhecida.xls)
Vamos testar se as médias das amostras 1 e 2 são iguais ou diferente, portanto
1. Estabelecemos as hipóteses 
que são equivalentes as hipóteses 
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Temos a partir dos dados que a média e o desvio padrão da amostra 1 são e ,
respectivamente. A média e desvio padrão da amostra 2 são e , respectivamente. O
tamanho de cada amostra é e . Com isso, temos que o desvio padrão agrupado (pooled) é dado
por 
2. Para este exemplo, �xamos o nível de signi�cância .
3. Como o teste é bilateral e sabendo que o número de graus de liberdade é , encontramos
na Tabela da distribuição de Student os seguintes valores críticos  e .
4. Calculamos o valor da estatística . 
5. Como , rejeitamos a hipótese nula, ou seja, rejeitamos a hipótese de que as médias são iguais.
6. Vamos agora calcular o p-valor. Como o teste é bilateral, temos que 
7. Já o intervalo de con�ança para a diferença é dado por 
ou seja, 
Os resultados obtidos no Action são dados na tabela a seguir.
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Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
(/manual-estatistica-basica/comparacao-de-medias-entre-duas-populacoes-independentes-para-dados-0)
Vamos calcular o poder do teste ao se aceitar   quando esta é falsa (   é verdadeira), para uma diferença 
 entre as diferenças das médias. Faremos isso utilizando o software Action. Como , , 
 e , temos que o cálculo do poder é dado por 
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
(/content/teste-t-2-amostras-diferentes)
Suponha agora que dado o tamanho de uma das amostras , queremos calcular o tamanho da outra
amostra necessário para detectar uma diferença entre as hipóteses nula e alternativa com um poder de,
no mínimo, , com desvio padrão .
Os resultados obtidos no Action são dados na tabela a seguir.
Temos que ambas as amostras devem conter elementos na amostra para ter no mínimo de poder, com uma
diferença e desvio padrão .
Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.
(/manual-estatistica-basica/comparacao-de-medias-entre-duas-populacoes-independentes-para-dados-0)
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http://www.portalaction.com.br/manual-estatistica-basica/comparacao-de-medias-entre-duas-populacoes-independentes-para-dados-0
http://www.portalaction.com.br/content/teste-t-2-amostras-diferentes
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‹ 5.7 - Teste para comparação de duas médias (Teste t)
(/inferencia/57-teste-para-comparacao-de-duas-medias-
teste-t)
acima
(/inferencia/57-
teste-
para-
comparacao-
de-
duas-
medias-
teste-
t)
5.7.2 - Comparação de médias: variâncias diferentes ›
(/inferencia/572-comparacao-de-medias-variancias-
diferentes)
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5.7 - Teste para comparação de duas médias (Teste t) (/inferencia/57-teste-para-comparacao-de-duas-medias-teste-t)
5.7 - Teste para comparação de duas médias (Teste t) (/inferencia/57-teste-para-comparacao-de-duas-medias-teste-t)
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SOBRE O PORTAL ACTION
O Portal Action é mantido pela Estatcamp - Consultoria Estatística e Qualidade, com o objetivo de disponibilizar
uma ferramenta estatística em conjunto com uma fonte de informação útil aos pro�ssionais interessados.
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