Contratar um financiamento - Amortização

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Contratar um financiamento, não significa apenas contrair uma dívida. Ao contrário, pode representar a realização de um sonho, como a compra de uma casa, um carro, uma viagem, ou um investimento no aumento de uma empresa ou realização de uma pós-graduação. As organizações se endividam visando o aumento de seus negócios, financiam a compra de plantas para expansão fabril ou maquinário para aumentar sua capacidade de produção.
Mas essa movimentação, chamada de alavancagem, vem com parcelas a serem pagas. Parcelas compostas de juros mais valor principal. Os bancos, concessionárias, gestoras de imóveis, dentre outras, possuem contratos de diversos produtos de financiamentos, com alguns tipos de amortização específicos para auxiliá-lo na realização de seus planos, mas você sabe avaliar qual a melhor alternativa para amortização de financiamentos, ou pelo menos conhece quais taxas existem?
Veremos nesta aula os principais tipos de amortização, como efetuar cálculos como empréstimos bancários e financiamentos habitacionais, conhecendo um pouco de como aplicar tais tipos de amortização e trazer ao valor presente suas parcelas, visando analisar alternativas de investimentos.
Embora os sistemas de amortização, sejam muito comuns em diversas formas de aplicação e financiamentos, eles são mais populares no sistema de financiamento habitacional e conhecer esse mecanismo da matemática financeira pode ajudar na tomada de decisão de um imóvel a comprar conforme a forma de pagamento de prestações e amortização. Você já fez simulações de financiamento imobiliário, você consegue calcular e debater com o gerente do banco a respeito desse assunto? Veja um exemplo de simulação de financiamento no site
http://www8.caixa.gov.br/siopiinternet-web/simulaOperacaoInternet.do?method=enquadrarProdutos
Um dos títulos de renda fixa mais negociados no mercado internacional é o chamado Bond (Bônus). Possuem esse nome pois a empresa ou o Governo, capta recursos com os investidores, pagando os juros desse negócio periodicamente, são os chamados cupons ou bônus, e, ao final do contrato, amortizam integralmente o valor principal captado no início da operação. Embora se trate de um título internacional, inclusive com empresas brasileiras emitindo tal produto fora do país, existem alguns produtos no Brasil que simulam uma amortização parecida na amortização do endividamento que possuem junto a seus investidores. Você conhece algum investimento financeiro parecido?
<https://exame.abril.com.br/mercados/entenda-o-que-sao-bonds/>
<https://londoncapital.com.br/blog/o-que-sao-bonds-e-por-que-investir-nisso/>
Entenda o que são bonds
Enetenda como funcionam os bonds, títulos de dívida emitidos por empresas no mercado internacional
São Paulo — Uma das maneiras de uma empresa captar recursos para poder financiar projetos de médio e longo prazo é através de bonds, como genericamente são conhecidos os títulos de dívidas emitidos por companhias ou por governos no exterior.
Da mesma forma como acontece no mercado interno, a empresa sai em busca de investidores dispostos a emprestar recursos. Em troca, o comprador do título recebe juros periódicos e o valor principal na data de vencimento.
Dependendo do vencimento do título, ele recebe um nome diferente. Os Bills têm vencimento máximo de um ano, os Notes de um a dez anos e o Bonds, propriamente ditos, de até 30 anos, como explica Betty Grobman, especialista em finanças e sócia da BSG DuoPrata.
A remuneração depende de uma série de fatores como a estrutura da companhia e as notas dadas pelas agências de classificação de risco. Quanto maiores forem as chances da empresa não honrar seus compromissos, maior é a taxa esperada pelos investidores.
Também pesa o tempo que o título leva para atingir a maturidade, ou seja, o tempo que a empresa tem para pagar o valor principal ao investidor. Isso também tem relação com o risco, uma vez que para o investidor é muito mais fácil prever as chances de um calote em um período de um ano do que em dez anos, por exemplo. Outro fator que influencia é o fluxos de recebimentos “À medida que vão sendo pagos os juros periódicos, menor vai ficando o risco”, explica a especialista. 
Quem busca tais títulos costuma se debruçar sobre os dados financeiros e as perspectivas de crescimento da companhia e do setor no qual ela atua. A situação econômica do país também é levada em conta pelos compradores de bonds.
Isso faz com que a emissão dos títulos seja bem mais difícil para uma empresa que passa por dificuldades financeiras — uma vez que ela teria que pagar mais pelo “empréstimo” — ou quando a economia local não vai tão bem.
“Entretanto, para as empresas que possuem bons fundamentos de crédito, trata-se de uma modalidade extremamente vantajosa de captação de recursos, já que estas conseguem remunerar seus investidores a taxas bem menores do que as que teriam que que oferecer no mercado doméstico, mesmo considerando uma possível necessidade delas se protegerem do risco cambial, caso internalizem os recursos”, diz Betty Grobman.
Atualmente, as empresas brasileiras vivem um bom momento no mercado de dívida internacional. Só neste mês,  7,15 bilhões de dólares foram captados no exterior por empresas como Petrobras, JSL, Rumo, Marfrig, Hidrovias do Brasil, Rede d’Or e Natura. O montante é 20% maior que o registrado no primeiro mês de 2017.
O que são Bonds e Por Que Investir Nisso?
Com a crise financeira que assola o país, é comum as pessoas procurarem alternativas de investimentos que representem rentabilidade satisfatória e risco controlado. Pensando nisso, utilizamos este artigo para mostrar uma modalidade de investimento segura e que ainda é pouco difundida entre os brasileiros: os Bonds. Conheça agora as suas principais características e algumas razões para investir nele!
Muito antes de haver empresas que emitiam ações para investimento, havia o uso sistemático da dívida para arrecadar dinheiro. A dívida envolve emprestar dinheiro com a promessa de pagá-la de volta na íntegra, juntamente com o juros ao longo do tempo. A garantia dessa promessa é conhecida como um bond. Em outras palavras, as bonds representam títulos de dívida.
Bonds existe há milênios. A antiga cidade de Mesopotomia de Ur, no Iraque atual, tinha um mercado de títulos em torno de 2400 aC, garantindo o reembolso de grãos emprestados. Reis e mais tarde governos democráticos, muitas vezes emitiam títulos para financiar guerras e expansão territorial, são os chamados War Bonds.
Nos tempos modernos, os governos ainda emitem títulos (bonds) para empreender em projetos, mas também há um mercado próspero para títulos emitidos por corporações, que emitem títulos (bonds) para expandir empresas lucrativas. Por exemplo, uma empresa pode emitir títulos (bonds) para adquirir um concorrente, construir uma nova fábrica ou contratar pessoal.
Pacific Railroad Bond emitido pela Cidade e Condado de São Francisco em 1863
Os Bonds são fundamentalmente diferentes das ações de várias maneiras. As ações representam direito sobre lucros e conferem direitos de voto aos acionistas e o preço das ações variam assim com as expectativas de rentabilidade futura para a empresa. Os bonds, por outro lado, representam os títulos de reembolso da dívida e são precificadas com base em fatores como a probabilidade de serem reembolsados.
Na economia moderna, a carteira de investimentos mais diversificada contém algumas alocações para ações e bonds, onde os bonds geralmente são considerados a escolha mais conservadora dos dois. Por uma série de razões que serão discutidas neste artigo, os bonds oferecem algumas salvaguardas que as ações não possuem.
Este artigo, assim espero, o ajudará a entender sobre os bonds e a determinar se os bonds são adequados para você. Apresentaremos os fundamentos sobre o que são os bonds, os diferentes tipos de bonds e suas características importantes, como eles se comportam, como comprá-los e mais.
O que são Bonds?
Mais simplesmente, os bonds representam títulos de dívida – e, portanto, são uma forma de empréstimo. Se umaempresa emite um bond, o dinheiro que eles recebem em troca é um empréstimo e deve ser reembolsado ao longo do tempo.
Assim como a hipoteca em um pagamento de casa ou de cartão de crédito, o reembolso do empréstimo também envolve juros periódico a pagar aos credores. Os compradores de bonds, então, são essencialmente credores. Por exemplo, se você já comprou uma título do Tesouro Direto, você se tornou um credor para o governo federal.
Os governos de forma global e as empresas geralmente usam bonds para captar dinheiro. Os governos precisam financiar estradas, escolas, barragens ou outras infra-estruturas. A súbita despesa de uma guerra também pode exigir a necessidade de arrecadar fundos.
Da mesma forma, as empresas muitas vezes captam recursos para expandir seus negócios, para comprar bens e equipamentos, empreender projetos lucrativos, pesquisar e desenvolver ou contratar funcionários. O problema que as grandes organizações executam é que eles geralmente precisam de muito mais dinheiro do que um banco pode fornecer.
Os bonds fornecem uma solução permitindo que muitos investidores individuais assumam o papel de credor. Na verdade, os mercados de dívida pública permitem que milhares de investidores emprestem cada uma parte do capital necessário. Além disso, os mercados permitem que os credores vendam seus títulos para outros investidores ou comprarem títulos de outros indivíduos – muito depois que a organização emissora original já captou o recurso, o que é chamado de mercado secundário.
Claro, as pessoas não emprestam seu dinheiro suado sem nenhuma compensação – há um custo de oportunidade envolvido com qualquer investimento, que é a oportunidade perdida de usar esses mesmos recursos para outra finalidade. O emissor de um bond deve pagar ao investidor algo extra pelo privilégio de usar seu dinheiro. Este “extra” vem na forma dos pagamentos de juros, que são feitos a uma taxa e horário predeterminados.
A data em que o emitente deve reembolsar o valor emprestado (um valor conhecido como valor nominal) é denominada data de vencimento. A taxa de juros associada a uma obrigação é muitas vezes referida como o rendimento ou o cupom do vínculo. No passado, quando os títulos eram emitidos como documentos em papel, haveria cupons reais de que os investidores se clipariam e canjeariam por seus pagamentos de juros.
Os bonds são muitas vezes referidas como títulos de renda fixa porque o credor pode antecipar o valor exato do dinheiro que receberão se um título for mantido até o vencimento. Por exemplo, diga que você compra uma obrigação corporativa com um valor nominal de $ 1.000, um cupom de 5% pago anualmente e prazo de vencimento de 10 anos.
Isso diz que você receberá um total de US $ 50 ($ 1,000 x 0,05) por ano para os próximos 10 anos (porque a maioria dos bonds corporativos pagam semestralmente por convenção. Você receberia dois pagamentos de US $ 25 por ano por 10 anos. Quando o bond chegar ao vencimento em uma década, você obteria seus $ 1.000 de volta.
No nosso exemplo, o bond foi emitido com uma taxa de juros fixa, mas muitas vezes um bond traz uma taxa variável. O juros variável é tipicamente calculado como um spread predeterminado acima de uma taxa de referência, como a Taxa dos Fed Funds (taxa de juros americano) ou a LIBOR (taxa de juros europeia), e que trazendo para nosso exemplo brasileiro são como a SELIC, e que são reavaliados após cada pagamento de cupom (juros) sucessivamente.
Uma distinção fundamental citada na introdução deste tutorial é que os bonds representam a dívida, enquanto as ações representam a capital social. Ações representa uma reivindicação sobre lucros futuros e o valor de uma ação pode crescer rapidamente para uma empresa crescente e lucrativa. Da mesma forma, o preço da ação pode cair para zero em caso de falência.
Os bonds, por outro lado, apenas pagam um pagamento de juros pré-determinado e seus preços são vinculados por taxas de juros e não pela rentabilidade de uma empresa. Se ocorrer uma falência, os detentores de bonds devem ser reembolsados de uma liquidação na íntegra antes que qualquer acionista seja pago. O resultado para os investidores é que os bonds são, portanto, investimentos de menor risco, mas também não oferecem a vantagem potencial que a ação pode oferecer.
Quais são os principais tipos de Bonds?
Há vários tipos diferentes de Bonds disponíveis no mercado e eles não representam, de maneira nenhuma, propriedade quando são emitidos por empresas privadas. Eles são apenas direitos de recebimentos futuros.
No Brasil, há o Tesouro Direto, que emite títulos de dívida pública federal com prazos e condições de resgate distintos entre si, o que proporciona várias formas diferentes para investimento. Há os prefixados e os pós-fixados, de acordo com a taxa básica de juros ou com os índices oficiais de inflação.
Os bonds vêm em muitas variedades diferentes, e aqui abordaremos apenas os tipos mais comuns.
Government Bonds, os Bonds de governos
Os títulos governamentais podem ser emitidos pelos governos nacionais, bem como pelos níveis mais baixos de governo. A nível nacional ou federal, esses títulos do governo são conhecidos como dívida “soberana”, e são apoiados pela capacidade de uma nação para tributar seus cidadãos e para imprimir moeda.
Estados Unidos
Alguns dos Bonds mais conceituados no mundo todo é o emitido pelo governo dos Estados Unidos. Eles são divididos em 3 tipos distintos: treasury bills (T-Bills), que vencem em até um ano, treasury notes (T-Notes), que vencem entre 2 e 10 anos e treasury bonds (T-Bonds), que vencem entre 10 e 30 anos.
Os Bonds norte-americanos nunca entraram em moratória em toda a história e, dentre outras razões, é relativamente simples e barato para o governo obter dinheiro para suas necessidades. Mesmo com uma dívida muito grande, a economia é dinâmica suficiente para garantir liquidez e pagar todos os credores em dia.
Reino Unido
Já no Reino Unido, os títulos são chamados de Gilts. Assim como o governo dos Estados Unidos, o governo britânico também nunca deixou de honrar os compromissos de pagamento dos títulos. Há dois tipos diferentes de Gilts, os Conventional Gilts e os Index-Linked Gilts, estes últimos sempre representando a variação de um índice britânico qualquer.
Os Conventional Gilts são mais comuns e tratam da maior parte da dívida pública britânica. O valor nominal de cada título é de £100 e possui juros pagos a cada 6 meses para os investidores. Desde 2005, há Gilts com maturidade de 50 anos, mas os mais comuns são de 5, 10 ou 30 anos.
Os Gilts atrelados a índices não são tão populares como os Conventional Gilts, sendo pagos também a cada 6 meses os juros. O índice de reajuste utilizado é o índice de preços ao consumidor britânico (RPI), que é a taxa de inflação oficial britânica.
Alemanha
Na Alemanha, esses títulos são chamados de Bunds, com maturidade que varia entre 4 e 30 anos. Eles são uma referência na Europa em relação a bom pagamento, pois a economia alemã é uma das mais fortes e estáveis de todo o mundo.
Brasil
No Brasil, o Tesouro Direto é negociado com títulos variando de 2 até 45 anos de maturidade e o governo brasileiro, embora em plena crise financeira, é tido mundo afora como um bom pagador da dívida pública. No entanto, há restrições para a compra de títulos por parte de não brasileiros.
Corporate Bonds, títulos corporativos
O outro grande emissor de bonds são corporações, e os títulos corporativos constituem uma grande parcela do mercado geral de bonds. As grandes corporações têm uma grande flexibilidade quanto à quantidade de dívida que podem emitir: o limite é geralmente o que o mercado suportará.
Uma obrigação corporativa é considerada de curto prazo quando o prazo de vencimento é inferior a cinco anos; O intermediário é de cinco a 12 anos, e o longo prazo é de mais de 12 anos. Os títulos corporativos são caracterizados por maiores rendimentos do que os títulos do governo, porque existe um maior risco de uma empresa inadimplente do que um governo.
O lado positivo é que eles também podem ser osinvestimentos de renda fixa mais gratificantes devido ao risco que o investidor deve assumir, onde as maiores empresas de crédito que são mais propensas a pagar suas obrigações terão uma taxa de juros relativamente mais baixa do que os mutuários mais arriscados.
As empresas podem emitir títulos com taxas de juros fixas ou variáveis ​​e de vencimento variável. As obrigações emitidas por empresas altamente qualificadas são referidas como grau de investimento, enquanto as abaixo do grau de investimento são lixo ou de alto rendimento.
As obrigações convertíveis são dívidas emitidas por empresas que dão ao detentor da obrigação de converter os títulos em ações ordinárias em data posterior. A taxa em que os investidores podem converter títulos em ações, ou seja, o número de ações que um investidor obtém para cada título é determinado por uma métrica chamada taxa de conversão. A taxa de conversão pode ser corrigida ou alterada ao longo do tempo, de acordo com os termos da oferta.
Uma taxa de conversão de 30 significa que, por cada $ 1.000 de valor nominal, o detentor de títulos conversíveis converte, ela recebe 30 ações. Não é sempre rentável converter títulos em patrimônio. Os investidores podem determinar o preço de equilíbrio dividindo o preço de venda do vínculo pela taxa de conversação.
Normalmente, os investidores exercerão essa opção se o preço da ação da empresa exceder o preço de equilíbrio. As obrigações convertíveis geralmente possuem rendimentos mais baixos devido a este direito dado aos investidores.
Os títulos chamáveis ​​são títulos que podem ser resgatados pelo emissor em algum momento anterior ao seu vencimento. Se as taxas de juros diminuíram desde que a empresa emitiu o vínculo pela primeira vez, é provável que a empresa deseje refinanciar essa dívida a uma taxa de juros mais baixa. Neste caso, a empresa chama seus títulos atuais e os reedita a uma taxa de juros mais baixa.
Os títulos chamáveis ​​geralmente têm uma taxa de juros mais alta para explicar esse risco adicional para os investidores. Quando os proprietários refinanciam uma hipoteca, eles estão chamando sua dívida mais antiga para um novo empréstimo em melhores taxas. Os títulos obrigatórios permitem que o detentor do título obrigue o emissor a recomprar a garantia em datas especificadas antes do vencimento.
O preço de recompra é fixado no momento da emissão, e geralmente é valor nominal, e geralmente funciona com o favor dos investidores. Portanto, os rendimentos nessas ligações tendem a ser menores.
Asset-Backed Securities, bonds com garantia de ativos
Uma terceira categoria de títulos é emitida por bancos ou outros participantes do setor financeiro e é referida como títulos garantidos por ativos ou ABS. Esses títulos são criados ao encher os fluxos de caixa gerados por uma série de ativos similares e oferecendo-os aos investidores. Se essa obrigação é apoiada por uma série de hipotecas, eles são conhecidos como títulos garantidos por hipotecas ou MBS. Esses títulos geralmente são reservados para investidores sofisticados ou institucionais e não indivíduos.
Como entender uma tabela de Bonds?
Dados de 06/03/2018
Coluna 1: Emissora – Esta é a empresa, estado (ou província) ou país que está emitindo o vínculo.
Coluna 2: Nome do Título Negociado
Coluna 3: Cupom – O cupom refere-se à taxa de juros fixa que o emissor paga ao credor.
Coluna 4: Data de vencimento – Esta é a data em que o mutuário pagará aos investidores seu principal. Normalmente, apenas os dois últimos dígitos do ano são citados: 25 significa 2025, 04 é 2004, etc.
Coluna 5: Tipo de Garantia
Coluna 6: Preço de mercado – Este é o preço que alguém está disposto a pagar pelo bond. É citado em relação a 100, independentemente do valor nominal. Pense no preço da oferta como uma porcentagem: uma obrigação com uma oferta de 93 é negociada em 93% do seu valor nominal.
Coluna 7: Rendimento – O rendimento indica retorno anual até o bond amadurecer. Normalmente, este é o rendimento até o vencimento, e não o rendimento atual. Se o bond for chamado, ele terá um “c–” onde o “-” é o ano em que o vínculo pode ser chamado. Por exemplo, c10 significa que o vínculo pode ser chamado já em 2010.
Coluna 8: Duration – A duration é simplesmente o prazo médio dos pagamentos de um título. Para um título sem cupom, o duration é igual ao prazo de vencimento do título. Mas o duration também é uma medida da sensibilidade do título às taxas de juros. Quanto maior a duration, maior é a volatilidade do título e seu risco. Simplesmente porque o título é mais exposto às variações das taxas de mercado.
Coluna 9: Tempo até o Vencimento
Coluna 10, 11 e 12 – Rating dado pelas principais agências de risco global. Rating é uma nota de crédito atribuída a uma instituição ou a uma emissão de dívida. A nota mostra a probabilidade de um título ser pago por seu emissor.
Como negociar bonds?
A maioria das transações de bonds pode ser realizada através de uma corretora, e cada vez mais serviços de corretagem on-line permitem uma negociação de títulos fácil e barata.
Corretoras
Você também pode abrir uma conta com um corretor de bonds especializado, mas seja avisado que a maioria dos corretores de títulos exige um depósito inicial mínimo de US $ 100.000. Outra opção para adicionar bonds a uma carteira é a análise de fundos de investimento que se especializam em bonds (conhecido como bond fund).
Fundos mútuos e ETFs
Além de vários fundos mútuos, também há exchange traded fund (ETFs) que investem em bonds. Ao comprar e vender títulos no mercado aberto, tenha em mente que estas são transações de “mercado secundário”, o que significa que você está comprando de outro investidor e não diretamente do emissor.
Uma desvantagem de fundos mútuos e ETFs é que os investidores não conhecem o vencimento de todos os títulos do portfólio de fundos, uma vez que estão mudando com bastante frequência e, portanto, esses veículos de investimento não são apropriados para um investidor que deseja manter um bond até o vencimento. Outra desvantagem é que você terá que pagar taxas adicionais aos gestores dos fundos.
Government Bonds
Muitas instituições financeiras hoje oferecerão aos seus clientes o serviço de transações de títulos do governo. No entanto, se seu banco ou corretor não fornecer esse serviço, você pode comprar títulos do governo diretamente através de uma agência governamental. (Isso é verdade na maioria dos países).
Nos Estados Unidos, você pode comprar títulos diretamente do governo federal por meio de seu serviço, TreasuryDirect. O Bureau of the Public Debt iniciou o TreasuryDirect para que os indivíduos pudessem comprar títulos diretamente do Tesouraria, ignorando um corretor e reduzindo os custos de transação. Todas as transações e pagamentos de juros são feitos eletronicamente, exatamente como é feito no Brasil com a plataforma do Tesouro Direto.
Por que comprar Bonds?
Os Bonds são títulos de dívida e, como tais, possuem um risco por ser um investimento financeiro como qualquer outro. Quando se opta por emprestar o seu dinheiro para um governo ou para uma empresa, por mais estáveis e estruturados que eles sejam, há o risco de se perder o dinheiro. Cabe a você estudar o histórico e a rentabilidade e definir se vale a pena a aquisição dessa modalidade de investimento.
Uma das razões que mais tem feito os investidores optarem por comprar Bonds é pensando no longo prazo, na aposentadoria. Grandes planos, tais como aquisição de casa própria ou algum outro objetivo que necessite uma grande quantidade de dinheiro e planejamento também são justificativas muito recorrentes para dar esse passo.
No geral, o brasileiro está se acostumando a investir em Bonds mesmo no curto prazo, pois a Receita Federal diminui a alíquota de imposto de renda para o nível mais baixo. Portanto, se você pretende adquirir Bonds com maturidade mínima de 2 anos a partir do investimento, isso pode ser um fator motivador.
Onde comprar Bonds?
Se os títulos forem de dívida pública brasileira, eles podem ser adquiridos através do site do Tesouro Direto, depoisda abertura de uma conta junto a uma corretora de valores. As taxas de administração são bem módicas, o valor mínimo para investimento é a partir de R$ 30, e o risco de não pagamento por parte do governo brasileiro é bem baixo.
No caso de Bonds emitidos por empresas, deve-se buscar o histórico de pagamentos e a rentabilidade para verificar a viabilidade da aplicação, pois cada organização vai impor características próprias no momento da emissão.
Os Bonds são alternativas viáveis de diversificação nos investimentos, principalmente se o seu prazo de liquidação do recurso puder ser superior a 2 anos, o que trará ainda mais benefícios fiscais. O ideal é que se estude bem a empresa ou o governo emissor do título para verificar a possibilidade de não pagamento. Como os planos variam de curto a longo prazo, os planos mais distantes requerem recursos investidos em Bonds mais seguros para evitar a quebra ou falta de liquidez da empresa ou do governo pagador.
Já pensou em investir em Bonds públicos ou privados? O que achou dessa alternativa de investimento? Comente!
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Os Sistemas de Amortização, são também conhecidos como amortização de empréstimos e financiamentos e estão presentes em situações como financiamentos de imóveis, veículos, mais comumente vistos, mas também são utilizados em contratações de equipamentos ou imóveis para empresas e até mesmo na compra de uma empresa por outra por exemplo e até mesmo para investimentos financeiros.
Existem diversos tipos de sistemas de amortização, inclusive alguns que mesclam mais de um deles, porém os mais conhecidos e aplicados no mercado são os Sistemas de Amortização Americano (SAA), Sistema de Amortização Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês (SAF).
Em todos os casos acima, algumas definições são destacadas como importante, como:
Encargos: São os juros da operação. É a terminologia que usamos para juros em um sistema de amortização que como se observará mais adiante podem fazer parte ou não da prestação.
Amortização: se refere à liquidação do valor principal, nesse caso, não envolve os encargos, apenas o quanto está se pagando do valor que foi contratado ou pego de empréstimo, é a dissolução do Valor Presente que foi contratado inicialmente.
Prestação: também apresentado como Termos, se trata do valor que será efetivamente pago no negócio em períodos contratados. O interessante aqui é observar que a prestação possui características diferentes dependendo do sistema que for contratado, mas em geral podem ser fixas, podem pagar apenas os juros, ou podem ainda já contar a parcela amortizada mais os encargos.
A importância do entendimento desses três conceitos é importante no estudo de sistemas de amortização, pois o que caracteriza cada um dos sistemas estudados é a natureza de comportamento de cada um desses conceitos, pois como se verá a seguir, em alguns casos apenas os encargos são pagos como parcelas, em outro há encargo e amortização efetiva, em outros casos os juros são calculados sobre o valor principal enquanto em outros do saldo residual, ou seja, em cada sistema de amortização analisamos o comportamento dos encargos, da parcela e da amortização.
Sistema de Amortização Americano (SAA)
 
No sistema de amortização americano, as parcelas pagam apenas os encargos sem amortizar o valor principal. Como o próprio nome caracteriza, esse sistema de amortização possui maior utilização no mercado americano, porém é comum no Brasil haver títulos que possuam semelhança em sua aplicação.
 
Aplicação: Uma empresa contrata um financiamento de US$ 1.000.000,00, por um ano, pagando mensalmente parcelas ou termos de US$ 10.000,00 e junto à ultima parcela, devolve o valor de US$ 1.000.000,00 contratado inicialmente.
 No caso desse sistema de amortização como representada na aplicação acima, se pode notar que o valor principal só é amortizado ao fim do contrato.
Para melhor entendimento do cálculo dos sistemas de amortização, se utiliza uma planilha onde se pode observar separadamente os encargos, parcelas e a prestação entendendo de forma mais panorâmica, como ocorre o sistema de amortização.
 
	Período
	Saldo
	Amortização
	Encargos
	Prestação
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	TOTAL
	 
	 
	 
	 
Tabela: Modelo de planilha de amortização
O modelo de planilha apresentado acima pode ser usado para todos os modelos de amortização. É mais utilizado para fins didáticos já que em um ambiente corporativo, tais cálculos são feitos com softwares ou calculadoras específicas, mas na ausência dessas ferramentas, pode ser replicada em uma planilha financeira, já com as fórmulas específicas.
Aplicação: Uma empresa vai contratar um financiamento de R$ 2 milhões através do sistema de amortização americano, por 6 anos a juros de 5% a.a. Como serão pagas as parcelas, de quanto serão os encargos e como ocorrerá a amortização? Utilizando o modelo de planilha acima, pode-se começar com o preenchimento do valor principal contratado:
	Ano
	Saldo
	Amortização
	Juros (C*5%)
	Prestação
	0
	2.000.000,00
	-
	-
	-
	1
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	5
	 
	 
	 
	 
	6
	 
	 
	 
	 
	TOTAL
	 
	 
	 
	 
Tabela: Sistema de Amortização Americano – etapa 1
O valor contratado deve ser preenchido no período inicial ou período “zero” já que nele não haverá pagamento de parcela, deixando então todas demais informações em branco justamente por não ocorrer nenhuma movimentação nesse período. A partir daí, no primeiro ano se calculam as informações necessárias e no caso do sistema americano, se calculam apenas os encargos sobre o valor principal que foi contratado resultando no valor da parcela que será igual ao valor dos encargos, visto que não há amortização do principal no período do contrato. Portando a seguinte linha a ser preenchida na tabela, será como a demonstração a seguir em que os juros dos 2 milhões contratados (R$ 100.000,00), será o valor da parcela a ser pago. Como não houve amortização do valor inicial, a cada ano os juros calculados serão de R$ 100.000,00.
	Ano
	Saldo
	Amortização
	Juros (C*5%)
	Prestação
	0
	2.000.000,00
	-
	-
	-
	1
	2.000000,00
	-
	100.000,00
	100.000,00
	2
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	5
	 
	 
	 
	 
	6
	 
	 
	 
	 
	TOTAL
	 
	 
	 
	 
Tabela: Sistema de Amortização Americano – etapa 2
A partir daí, como a cada mês sempre serão calculados os encargos sobre o valor principal que permanecerá o mesmo, basta replicar cada um dos períodos, como a seguir.
 
	Ano
	Saldo Devedor
	Amortização
	Juros (SD*5%)
	Prestação
	0
	2.000.000,00
	-
	-
	-
	1
	2.000000,00
	-
	100.000,00
	100.000,00
	2
	2.000000,00
	-
	100.000,00
	100.000,00
	3
	2.000000,00
	-
	100.000,00
	100.000,00
	4
	2.000000,00
	-
	100.000,00
	100.000,00
	5
	2.000000,00
	-
	100.000,00
	100.000,00
	6
	2.000000,00
	2.000000,00
	100.000,00
	2.100.000,00
	TOTAL
	-
	2.000000,00
	600.000,00
	2.600.000,00
Tabela: Sistema de Amortização Americano – etapa 3
Com isso, no último período além do cálculo dos encargos, a parcela conterá também em sua composição a amortização do valor principal, gerando a parcela de R$ 2.100.000,00.
Como se pode observar, os encargos que são calculados em cada período sobre o valor principal, nada mais se tratam do que um cálculo de juros simples, logo, para que se saiba quanto será pago basta usar a fórmula habitual de juros como você já conhece:
J = C x i x n
J = 2.000.000 x 5% x 6 anos
J = 600.000Sistema de Amortização Constante (SAC)
 
O Sistema de Amortização Constante (SAC), é um meio de cálculo mais comumente utilizado no mercado financeiro. Ele tem como característica efetuar amortizações iguais, ou seja, constantes, nos períodos estipulados na sua contratação, por isso possui esse nome, portanto para se encontrar o valor a ser amortizado em cada período basta dividir a o valor contratado pelo prazo estipulado.
Com base nisto, os juros sempre serão calculados sobre o saldo devedor do período anterior, formando assim a prestação com a soma dos juros com o valor a ser amortizado, diferente do sistema americano que tinha em sua parcela apenas os encargos.
 
Aplicação: Um financiamento de R$ 300.000,00 pelo prazo de 6 meses a juros de 2% a.m. no sistema SAC.
 
 
	Ano
	Saldo Devedor
	Amortização
Valor contratado dividido pelo período
	Juros (SD*2%)
	Prestação
	0
	300.000
	-
	-
	-
	1
	250.000
	50.000,00
	6.000,00
	56.000,00
	2
	200.000
	50.000,00
	5.000,00
	55.000,00
	3
	150.000
	50.000,00
	4.000,00
	54.000,00
	4
	100.000
	50.000,00
	3.000,00
	53.000,00
	5
	50.000
	50.000,00
	2.000,00
	52.000,00
	6
	-
	50.000,00
	1.000,00
	51.000,00
	TOTAL
	-
	300.000,00
	21.000,00
	321.000,00
Tabela: Sistema de Amortização Constante
 
Após preencher o VP contratado no período zero, no caso R$ 300.000,00, se divide esse valor pelo prazo de contratação, que são 6 meses, gerando a amortização mensal de R$ 50.000,00. A primeira parcela será constituída então do valor a ser amortizado mais os juros sobre os R$ 300.000,00 contratados, que é o saldo devedor. Somando então à amortização, os juros de R$ 6.000,00, tem-se a primeira parcela de R$ 56.000,00.
No segundo período, embora o valor a ser amortizado continue R$ 50.000,00, os juros são calculados sobre o saldo devedor, agora, de R$ 250.000,00. Gerando os juros de R$ 5.000,00 e parcela de R$ 55.000,00 e assim sucessivamente até liquidar o contrato. Note que o valor da amortização que é constante, as parcelas não são, pois começam com um valor mais alto e vão diminuindo no passar do tempo em decorrência dos juros irem diminuindo também por incidirem sobre uma base de cálculo menor. Esse é o tipo de contrato de financiamento conhecido por ter as parcelas maiores no início e irem diminuindo o seu valor no passar do tempo.
Baseando-se nessa estrutura, é possível efetuar o cálculo da parcela sem montar a planilha, para saber o valor da parcela de um determinado período basta calcular os juros, nesse caso temos a seguinte equação:
Em que :
P M Tt = parcela do período em que se deseja calcular a parcela
t = período em que se deseja calcular a parcela
 
Para se encontrar então o valor da terceira parcela do financiamento de R$ 300.000,00 que foi feito pelo prazo de 6 meses a juros de 2% a.m. como no caso da aplicação acima, tem-se:
No Sistema de Amortização Francês (SAF)
 
Como descrito anteriormente, o sistema de amortização americano, tem como característica, pagar apenas os juros no decorrer do tempo e amortizar o principal no final. Por sua vez o sistema de amortização constante tem a amortização ocorrendo por igual todo mês e os juros incidem sobre o saldo devedor, fazendo assim com que as parcelas diminuam no decorrer do tempo.
No Sistema de Amortização Francês, os juros também incidem sobre o saldo devedor, porém as parcelas são constantes, para isso, o valor da amortização começa menor e vai aumentando no passar do tempo, então, somando a amortização com os juros se terá parcelas constantes. Então nesse caso, na hora de preencher a planilha já começamos com a coluna do valor da prestação. Essa metodologia de aplicação é bastante comum de ser utilizada no mercado quando se tem as parcelas com valores iguais, pois já se acrescentam todos os juros
 
Aplicação: Considere um financiamento de R$ 400.000,00 feito por 4 meses a taxa de 2% ao mês no sistema de amortização francês.
Calcular inicialmente o valor das parcelas que já envolverão a amortização e os encargos após obter-se o VF, divide-se o valor total pelo período de contrato, o que na fórmula simplificada tem-se:
A partir do cálculo das parcelas, pode-se transportar a informação para a planilha de cálculo da amortização para entender os demais dados.
 
 
	Mês
	Saldo Devedor
	Amortização
 
	Juros (SD*2%)
	Prestação
	0
	400.000
	-
	-
	-
	1
	 
	 
	 
	105.049,50
	2
	 
	 
	 
	105.049,50
	3
	 
	 
	 
	105.049,50
	4
	 
	 
	 
	105.049,50
	TOTAL
	 
	 
	 
	420.198,00
Tabela: Sistema de Amortização Francês – Etapa 1
 
Os demais dados podem ser calculados “de trás para frente”.  Se calcula os 2% de juros sobre o saldo devedor de R$ 400.000,00, que no caso será R$ 8.000,00, então, a diferença da parcela e dos juros será a amortização, no caso então calcula-se R$ 105.049,50 da prestação menos R$ 8.000,00 dos juros, resultando na amortização de R$ 97.049,50. Subtraindo então esse valor de amortização do saldo devedor de 400.000,00 teremos um novo saldo devedor no segundo período de 302.950,50.
	Mês
	Saldo Devedor
	Amortização
 
	Juros (SD*2%)
	Prestação
	0
	400.000
	-
	-
	-
	1
	302.950,50
	97.049,50
	8.000,00
	105.049,50
	2
	 
	 
	 
	105.049,50
	3
	 
	 
	 
	105.049,50
	4
	 
	 
	 
	105.049,50
	TOTAL
	 
	 
	 
	420.198,00
Tabela: Sistema de Amortização Francês – Etapa 2
 
As informações para as demais linhas da planilha que representam os demais períodos podem ser calculadas da mesma maneira.
	Mês
	Saldo Devedor
	Amortização
 
	Juros (SD*2%)
	Prestação
	0
	400.000
	-
	-
	-
	1
	302.950,50
	97.049,50
	8.000,00
	105.049,50
	2
	203.960,01
	98.990,49
	6.059,01
	105.049,50
	3
	102.989,71
	100.970,30
	4.079,20
	105.049,50
	4
	-
	102.989,71
	2.059,59
	105.049,50
	TOTAL
	-
	400.000,00
	20.198,00
	420.198,00
 
Caso não se tenham todas as informações e se queira calcular o saldo devedor em algum determinado período, se pode utilizar a seguinte equação:
Em que :
SDT = saldo devedor do período em que se deseja calcular a parcela
t = período em que se deseja calcular o saldo devedor
 
Então para a aplicação mencionada, caso se queira calcular o saldo devedor do 3º período:
Sabendo-se o saldo devedor de um período é possível calcular os juros do período seguinte, por exemplo, sabendo o saldo devedor do 3º período é possível calcular os juros do 4º período e assim sucessivamente:
Essa fórmula é uma adaptação de muitas fórmulas, mas que simplifica a maneira de efetuar esse tipo de cálculo caso você precise realizá-la, por isso em muitas obras você verá algumas variações ou até mesmo o nome de “fórmula genérica”.
 
 
Referências
 
 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações, 14ª Edição; 2019.
Páginas 205, 206 a 214, 218, 219 e capítulo 8
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597021615/cfi/6/2!/4/2@0.00:0
 
ROSS, Stephen, et al. Fundamentos de Administração Financeira, 9ª Edição; 2013
Páginas 157 e 172 a 174
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788580552256/cfi/0!/4/2@100:0.00
 
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira, 8ª Edição; 2018
Páginas 125 a 127
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597015461/cfi/6/2!/4/2/2@0:0
DICAS DE CALCULADORA
Valores presentes de uma anuidade
Para encontrar valores presentes de uma anuidade usando uma calculadora financeira, precisamos da tecla “pagamento” PMT (talvez você já estivesse se perguntando o que ela faz). Em comparação com o cálculo do valor presente de um montante único, há duas diferenças importantes. Primeiro, digitamos o fluxo de caixa da anuidade usando a tecla PMT . Segundo, nada digitamos para valor futuro FV . Assim, por exemplo, o problema que estivemos analisando é uma série de pagamentos de três anos de $500 por ano. Se a taxa de desconto for 10%, devemos fazer o seguinte (após limparmos a memória da cal- culadora!):
Digite	3	10	500 N I/Y PMT PV FV
Calcule
Como de costume, temos um número negativo para PV.
–1.243,43
Como calcular as prestações	Suponhamos que você queira iniciar um novo negócio espe- cializado na última moda em alimentos saudáveis,o leite congelado de iaque. Para produzir e comercializar o seu produto, o Iaque Maravilha, você precisa tomar emprestados $100.000. Como parece pouco provável que essa empreitada em particular dure muito tempo, você propõe pagar o empréstimo rapidamente, em cinco prestações anuais iguais. Se a taxa de juros for de 18%, qual será o pagamento anual?
Neste caso, sabemos que o valor presente é de $100.000. A taxa de juros é de 18%, e o prazo, cinco anos. Os pagamentos são todos iguais e, portanto, precisamos encontrar o fator de anuidade correspondente e calcular a incógnita do fluxo de caixa:
Valor presente da anuidade 􏰀 $100.000 􏰀 C 􏰇 [(1 – Fator de valor presente)/r] 􏰀 C 􏰇 {[1 􏰆 (1/1,185)]/0,18}
􏰀 C 􏰇 [(1 􏰆 0,4371)/0,18]
􏰀 C 􏰇 3,1272 C 􏰀 $100.000/3,1272 􏰀 $31.978
Assim, você fará cinco pagamentos de pouco menos de $32.000 cada um.
ESTRATÉGIAS DE PLANILHA
Valores presentes de anuidades
O uso de uma planilha para encontrar valores presentes de anuidades é assim:
A
B
C
D
E
F
G
1
2
Usando uma planilha para encontrar valores presentes de anuidades
3
4
Qual o valor presente de $500 por ano durante três anos se a taxa de desconto for 10%?
5
Precisamos calcular o valor presente, então usamos a fórmula VP(taxa;nper;pgto;VF).
6
7
Montante do pagamento por período:
$500
8
Número de pagamentos:
3
9
Taxa de desconto:
0,1
10
11
Valor presente da anuidade:
$1.243,43
12
13
A fórmula digitada na célula B11 é =VP(B9;B8;−B7;0). Observe que VF é zero e que pgto é precedido
14
por um sinal negativo. Note também que a taxa é inserida como decimal, e não como porcentagem
DICAS DE CALCULADORA
Pagamentos de uma anuidade
Encontrar os pagamentos de uma anuidade é fácil com uma calculadora financeira. Em nosso exemplo, o VP é $100.000, a taxa de juros é 18% e o período é de cinco anos. Podemos calcular o pagamento assim:
Digite	5	18	100.000 N I/Y PMT PV FV
Calcule	–31.978
O sinal negativo no pagamento se deve ao fato de que, para nós, o pagamento é um fluxo de saída de caixa.
EXEMPLO 6.6	Como encontrar o número de pagamentos
Você ficou meio sem dinheiro nas férias, por isso gastou $1.000 no cartão de crédito. Você só consegue fazer o pagamento mínimo de $20 por mês. A taxa de juros do cartão de crédi- to é de 1,5% ao mês. Quanto tempo será necessário para você pagar os $1.000?
Aqui temos uma série de pagamentos de $20 por mês a 1,5% por mês e o período é a incógnita. O valor presente é $1.000 (o montante que você deve hoje). Precisamos fazer alguns cálculos (ou usar uma calculadora financeira):
$1.000 􏰀 $20 􏰇 [(1 − Fator de valor presente)/0,015] ($1.000/$20) 􏰇 0,015 􏰀 1 􏰆 Fator de valor presente
Fator de valor presente 􏰀 0,25 􏰀 1/(1 􏰅 r)t 1,015t 􏰀 1/0,25 􏰀 4
Neste ponto, o problema se resume ao seguinte: quanto tempo levará para que seu dinheiro se quadruplique a 1,5% ao mês? Com base no capítulo anterior, a resposta é aproximada- mente 93 meses:
1,01593 􏰀 3,99 􏰕 4
Serão necessários aproximadamente 93/12 􏰀 7,75 anos para pagar os $1.000 a essa taxa. Se você usar uma calculadora financeira para problemas como este, deve saber que algu- mas arredondam automaticamente para o próximo período inteiro.
ESTRATÉGIAS DE PLANILHA
Pagamentos de uma anuidade
Podemos usar uma planilha da seguinte maneira para resolver o mesmo problema:
A
B
C
D
E
F
G
1
2
Usando uma planilha para encontrar os pagamentos de uma anuidade
3
4
Qual é o valor de pagamento da anuidade se o valor presente é $100.000, a taxa de juros é 18% e estão em
5
jogo cinco períodos? Precisamos calcular o valor dos pagamentos da anuidade, então usamos a fórmula
6
PGTO(taxa;nper;VP;VF).
7
8
Valor presente da anuidade:
$100.000
9
Número de pagamentos:
5
10
Taxa de desconto:
0,18
11
12
Valor dos pagamentos:
$31.977,78
13
14
A fórmula digitada na célula B12 é =PGTO(B10;B9;−B8;0). Observe que VF é zero e que o valor dos pagamentos
15
recebe um sinal negativo, por ser um fluxo de saída de caixa para nós.
Um segundo tipo de plano de pagamento de empréstimo é aquele em que o mutuário paga somente juros a cada período e paga todo o principal (o montante original do empréstimo) em algum momento futuro. Os empréstimos com tal plano de pagamento são chamados de em- préstimos de juros constantes. Observe que, se houver apenas um período, um empréstimo tipo desconto e um empréstimo com pagamento de juros intermediários são a mesma coisa (mas as taxas de juros cotadas serão diferentes). No Brasil, esse tipo de amortização de empréstimos é conhecido como Sistema Americano, ou Sistema de Juros Constantes. Nesse sistema, o saldo devedor do principal se mantém constante até o seu pagamento.
Por exemplo, com um empréstimo por três anos do tipo juros constantes, com juros de 10%, o mutuário pagaria $1.000 􏰇 0,10 􏰀 $100 de juros ao final do primeiro e do segundo ano. Ao final do terceiro ano, o mutuário devolveria $1.000 somados aos $100 de juros daquele ano. Da mesma maneira, um empréstimo com juros por 50 anos pediria que o mutuário pagasse juros a cada ano pelos próximos 50 anos e então pagasse o principal. No caso extremo, o mutu- ário pagaria os juros a cada período para sempre e nunca pagaria o principal. Como discutimos anteriormente neste capítulo, o resultado seria uma perpetuidade.
A maioria dos títulos de dívida corporativos tem a forma geral de um empréstimo com juros constantes. Visto que consideraremos títulos de dívida em maiores detalhes no próximo capítulo, não vamos discuti-los por enquanto.
Empréstimos com pagamento parcelado
Com um empréstimo tipo desconto puro ou com pagamento de juros constantes, o principal é pago todo de uma vez. Uma alternativa seria um empréstimo com pagamento parcelado, por meio do qual o financiador poderia exigir do mutuário que pagasse partes do montante do empréstimo ao longo do período do empréstimo. O processo que prevê o pagamento de um empréstimo por meio de reduções no principal a prazos regulares é chamado de amortização do empréstimo.
Uma maneira simples de amortizar um empréstimo é fazer que o mutuário pague os juros a cada período mais uma determinada quantia fixa. Essa abordagem é comum nos empréstimos comerciais de médio prazo. Por exemplo, suponhamos que uma empresa faça um empréstimo de $5.000 por cinco anos a 9%. O contrato do empréstimo pede que o mutuário pague os juros sobre o saldo do empréstimo todos os anos e reduza o saldo do empréstimo todos os anos em $1.000. Como o montante do empréstimo diminui em $1.000 a cada ano, ele é totalmente pago em cinco anos. No Brasil, esse tipo de amortização de empréstimos é conhecido pelo nome de Sistema SAC – Sistema de Amortizações Constantes. No sistema SAC, as amortizações do principal são fixas, os pagamentos totais por período são declinantes e o saldo devedor diminui linearmente.
No caso que estamos examinando, observe como o pagamento total diminuirá a cada ano. O motivo é que o saldo devedor cai, o que resulta em uma cobrança de juros menor a cada ano, enquanto a redução do principal em $1.000 é constante. Por exemplo, os juros do primeiro ano serão de $5.000 􏰇 0,09 􏰀 $450. O pagamento total será de $1.000 􏰅 $450 􏰀 $1.450. No segundo ano, o saldo do empréstimo é de $4.000, então os juros são de $4.000 􏰇 0,09 􏰀 $360 e o pagamento total é de $1.360. Podemos calcular o pagamento total de cada um dos anos res- tantes preparando uma programação de amortização simples da seguinte maneira:
Ano
Saldo inicial
Pagamento total
Juros pagos
Principal pago
Saldo devedor
1
$5.000
$1.450
$ 450
$1.000
$4.000
2
4.000
1.360
360
1.000
3.000
3
3.000
1.270
270
1.000
2.000
4
2.000
1.180
180
1.000
1.000
5
1.000
1.090
90
1.000
0
Totais
$6.350
$1.350
$5.000
Observe que, a cada ano, os juros pagos são dados pelo saldo inicial multiplicado pela taxa de juros. Observe também que o saldo inicial é dado pelo saldo devedor do ano anterior.
Provavelmente, a forma mais comum de amortizar um empréstimoé aquela em que o mu- tuário faz pagamentos de valor fixo a cada período. Quase todos os empréstimos ao consumidor (como os empréstimos para a compra de automóveis) e empréstimos habitacionais funcionam assim. Por exemplo, suponhamos que nosso empréstimo de $5.000 a 9% por cinco anos tenha sido amortizado dessa maneira. Como ficaria o cronograma de amortização?
Primeiro, precisamos determinar o pagamento. A partir do que discutimos neste capítulo, sabemos que os fluxos de caixa desse empréstimo estão na forma de anuidade ordinária. Neste caso, podemos calcular o pagamento da seguinte maneira:
$5.000 􏰀 C 􏰇 {[1 􏰆 (1/1,095)]/0,09} 􏰀 C 􏰇 [(1 􏰆 0,6499)/0,09]
Isso resulta em: C 􏰀 $5.000/3,8897
􏰀 $1.285,46
O mutuário, portanto, fará cinco pagamentos iguais de $1.285,46. Isso pagará o empréstimo? Fazemos a verificação a partir de um cronograma de amortização.
Em nosso exemplo anterior, sabíamos qual era a redução do principal a cada ano. Então calculamos os juros devidos para obter o pagamento total. Neste exemplo, sabemos o pagamen- to total. Dessa forma, calculamos os juros e, em seguida, os subtraímos do pagamento total para calcular a parte do principal em cada pagamento.
No primeiro ano, os juros são de $450, como calculamos antes. Como o pagamento total é de $1.285,46, o principal pago no primeiro ano deve ser:
Principal pago 􏰀 $1.285,46 􏰆 $450 􏰀 $835,46 O saldo devedor do empréstimo no final do primeiro ano é:
Saldo devedor 􏰀 $5.000 − $835,46 􏰀 $4.164,54
Os juros do segundo ano são $4.164,54 􏰇 0,09 􏰀 $374,81 e o saldo do empréstimo diminui em $1.285,46 􏰆 374,81 􏰀 $910,65. Podemos resumir todos os outros cálculos pertinentes no seguinte cronograma:
Como o saldo devedor diminui até zero, os cinco pagamentos iguais pagam o empréstimo. Observe que os juros pagos diminuem a cada período. Isso não é surpresa, porque o saldo do empréstimo está diminuindo. Dado o fato de que a soma dos pagamentos do principal e juros é fixa, o principal pago deve estar aumentando a cada período. No Brasil, este tipo de amortiza- ção de empréstimos é conhecido como Sistema Price. No Sistema Price, portanto, as prestações são fixas e as amortizações do principal são crescentes; o saldo devedor do principal é maior nos períodos iniciais em comparação com o Sistema SAC.
Se você comparar as duas amortizações de empréstimos desta seção, verá que os juros totais são maiores no caso em que se paga sempre a mesma quantia: $1.427,31 versus $1.350. O motivo disso é que o empréstimo é pago mais lentamente no início e, portanto, os juros são mais altos. Isso não quer dizer que um empréstimo seja melhor do que o outro, apenas que um é pago mais rapidamente do que o outro. Por exemplo, a redução do principal no primeiro ano é de $835,46 no caso das parcelas iguais, em comparação aos $1.000 do caso com amortizações
constantes. Muitos sites oferecem cronogramas de amortização de empréstimos. Consulte a seção Exercícios na Internet para obter um exemplo.
Fecharemos este capítulo com um exemplo que pode ser particularmente importante. Os empréstimos da Federal Stafford são uma fonte importante de financiamento para muitos uni- versitários estadunidenses, pois ajudam a cobrir o custo das mensalidades, de livros, de auto- móveis novos, de condomínios e de muitas outras coisas. Às vezes, parece que os estudantes não conseguem perceber que os empréstimos da Stafford têm uma séria desvantagem: eles devem ser pagos em parcelas mensais que, em geral, iniciam seis meses após o estudante ter- minar o curso.
Alguns dos empréstimos da Stafford são subsidiados, o que quer dizer que os juros não são cobrados antes de o pagamento começar (isso é bom). Se você é um estudante de gradua- ção que depende do sustento de seus pais e fez essa opção em particular, a sua dívida total pode chegar, no máximo, a $23.000. A taxa máxima de juros em 2008􏰆2009 foi de 6,0%, ou 6,0/12 􏰀 0,50% ao mês. Dentro do “plano-padrão de pagamento”, os empréstimos são amorti- zados ao longo de 10 anos (sujeitos a um pagamento mínimo de $50).
EXERCÍCIOS NA INTERNET
A preparação de uma tabela de amortização é uma das aplicações mais tediosas do valor do dinheiro no tempo. O uso de uma planilha eletrônica torna essa tarefa relativamente fácil, mas há também sites disponíveis que preparam uma amortização com rapidez e simplicidade. Um desses sites é o www.bankrate.com. Esse site tem uma calculadora para empréstimos imobiliários, mas os mesmos cálculos se aplicam à maioria dos outros tipos de empréstimos, como aque- les para a compra de automóveis ou para o pagamento de estudos. Suponha que se formou com um empréstimo educacional de $25.000 e pagará o empréstimo nos próximos 10 anos a 6,8%. Quais são seus pagamentos mensais? Usando a calculadora temos:
Teste este exemplo e aperte o botão “Show/Recalculate Amortization Table”. Você descobrirá que seu primeiro pagamento resultará em $146,03 do principal e $141,67 de juros. Ao longo da vida do empréstimo, você pagará um total de $9.524,10 de juros.
Questões
1.	Suponha que fez um empréstimo imobiliário com garantia de hipoteca de $250.000 por 30 anos a uma taxa de juros de 6,8%. Use o site para montar uma tabela de amortização do empréstimo. Quais são os montantes de juros e de principal no 110o pagamento? Quanto de juros você pagará pelo empréstimo?
2.	Você fez um empréstimo imobiliário com garantia de hipoteca de $275.000 por 30 anos a uma taxa de juros de 7,3%. Quanto de juros você pagará durante esse empréstimo? Agora suponha que está pagando $100 extras por mês. Quanto são os juros totais agora? Quanto tempo antes resgatará a hipoteca?
Um sistema de amortização nada mais é do que um plano composto por pagamentos periódicos para liquidação de um empréstimo ou de um financiamento, de curto ou de longo prazo. O plano pode ser formado por apenas um pagamento ou por uma série de parcelas iguais ou diferentes, com periodicidade diária, quinzenal, mensal, trimestral, anual ou em períodos variáveis. Assim, embora uma dívida qualquer possa ser quitada de infinitas maneiras, apenas alguns desses planos têm sido utilizados de maneira generalizada no mundo financeiro. A seguir vamos apresentar e analisar os sistemas de amortização mais utilizados no Brasil e no mundo, que, não por coincidência, são também os mais citados nos livros e publicações que tratam de finanças.
6.1SISTEMA DE PRESTAÇÕES IGUAIS (SPI)
O sistema de amortização em prestações iguais ou uniformes é seguramente o mais utilizado no mundo. E tanto no Brasil, como em vários outros países, esse plano também é conhecido por Sistema Francês de Amortização. Mas apenas no Brasil é chamado de Sistema Price ou Tabela Price.
Nesta edição é imperioso que se faça uma correção na história contida nas edições anteriores deste livro. Nelas afirmei: “De acordo com o Professor Mário Geraldo Pereira,1 a denominação ‘Tabela Price’ se deve ao nome do matemático, filósofo e teólogo inglês Richard Price, que viveu no século XVIII e que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou financiamentos).” Na verdade, parte dessa afirmação não tem fundamento: Richard Price nada teve a ver com a dedução da fórmula que calcula o valor das prestações de uma série de prestações iguais. Com base em longa pesquisa que fizemos, comprova-se que essa fórmula já era utilizada por volta dos séculos XII ou XIII, época em que as tabelas existiam na forma manuscrita; no ano de 1582 aparece a primeira tabela impressa, como se comprova no livro Magic is no Magic – The Wonderful Word of Simon Stevin, de autoria de Jozef T. Devreese e Guido Vanden Berghe; em 1726 o Banco da Inglaterra já utilizava essa mesma forma de cálculo, como também se pode comprovar através do trabalho Tables of Interest, Discount, Annuities, Etc., de autoria de John Smart; posteriormente, por volta de 1752, essas tabelas aparecem no livroThe Doctrine of Chances, de autoria do grande matemático e estatístico Abraham de Moivre; e quase vinte anos depois é que essas mesmas tabelas vão aparecer na primeira edição da obra escrita por Richard Price: Observations on Reversionary Payments and Annuities. Na página 334 desse livro, consta que o próprio Richard Price, ao se referir às tabelas publicadas no apêndice do seu livro, assim escreveu (o texto já está traduzido para facilitar a compreensão do leitor): “Estas tabelas podem ser encontradas na maioria dos livros que tratam de juro composto e anuidades; mas tem sido, neste trabalho, tantas vezes necessário consultá-las, que foi necessário poupar o leitor do trabalho de recorrer a outros livros por cauda delas”. Mais claro que isso, só isso!
Sobre essa parte histórica, ainda são necessárias duas observações importantes. A primeira é em defesa do professor e pesquisador Mário Geraldo Pereira,1 que foi meu mestre na primeira metade da década de 60 do século passado na Universidade de São Paulo, curso de Ciências Econômicas, na cadeira Matemática Financeira. Nessa época as fontes de pesquisa se limitavam aos livros existentes nas bibliotecas, o que diferia muito das condições atuais, em que dispomos dos recursos ilimitados da internet, fato este que nos permitiu descrever com maiores detalhes parte da verdadeira história da chamada “Tabela Price”. A outra observação diz respeito a algo que sempre me intrigou: por que a partir do período entre os anos 1937 e 1942 a fórmula para se obter o valor das prestações de uma série de pagamentos iguais passou a ser conhecida no Brasil como “Price”. Aqui provavelmente o filósofo e teólogo Richard Price teve alguma coisa a ver com esse nome. A partir de alguma edição posterior à de 1771 ele passou a se referir a prestações mensais; e para tanto apenas elaborou tabelas em que a taxa utilizada era resultante da divisão da taxa anual por 12. E essas tabelas se tornaram populares entre nós somente meio século depois e denominadas Tabela Price. Assim, seguramente Richard Price não deu nenhuma contribuição importante para a dedução da fórmula utilizada universalmente para amortizar um empréstimo ou um financiamento em prestações iguais e sucessivas.
Vamos voltar ao sistema de prestações iguais (SPI). Essas prestações são calculadas com base na fórmula deduzida no Capítulo 5, dentro do conceito de termos vencidos ou postecipados, a saber:
Nesse sistema, as prestações podem ser mensais, trimestrais, semestrais ou anuais; basta que sejam iguais, periódicas, sucessivas e de termos postecipados. Também é importante que se esclareça que a Tabela Price não implica necessariamente taxas de juros de 1% ao mês (ou de 12% ao ano, como normalmente é indicado), podendo ser definida para qualquer taxa.
O valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas: uma de capital (chamada de amortização) e outra de juros. A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros (mensal, trimestral, semestral ou anual) pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior (mês, trimestre, semestre ou ano); a parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros. Assim, o valor da parcela de juros referente à primeira prestação de uma série de pagamentos mensais é igual à taxa mensal multiplicada pelo valor do capital emprestado ou financiado (que corresponde ao saldo devedor inicial).
Exemplo:
Calcular os valores das parcelas de juros e de amortização referentes à primeira prestação, de um empréstimo de $ 8.530,20, à taxa de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 prestações iguais.
Solução:
a) Valor da prestação
em que o fator ou coeficiente 0,11723 é indicado simbolicamente pela expressão FRC(3%, 10), normalmente encontrada nas tabelas publicadas na maioria dos livros de matemática financeira.
b) Valor da parcela de juros (J)
J = P × i = 0,03 × 8.530,20 = 255,91
c) Valor da parcela de amortização (A)
A = R – J = 1.000,00 – 255,91 = 744,09
Para que possamos determinar os valores das parcelas de juros e das parcelas de amortização correspondentes às demais prestações, é necessário fazer como segue:
Jt = parcela de juros referente ao período de ordem t (t = 1, 2, 3,..., n)
At = parcela de amortização referente ao período de ordem t (t = 1, 2, 3,..., n)
Pt = Saldo devedor referente ao período de ordem t (t = 0, 1, 2, 3,..., n – 1)
Assim, o valor da parcela de juros referente à primeira prestação será representado por J1, da segunda por J2, da quinta por J5 e assim sucessivamente; idem para as parcelas de amortização. Quanto ao saldo devedor, o saldo inicial será representado por P0; o saldo devedor no final do primeiro período, após a dedução da primeira amortização (A1), será representado por P1; o saldo devedor no final do segundo período após a dedução da segunda amortização por P2; e assim por diante.
Voltemos ao exemplo em pauta para calcular as parcelas de juros e amortização referentes à segunda prestação.
J2 = i × P1
P1 = P0 − A1 = 8.530,20 − 744,09 = 7.786,11
J2 = 0,03 × 7.786,11 = 233,58
A2 = R − J2 = 1.000,00 − 233,58 = 766,42
Para a terceira prestação:
J3 = i × P2
P2 = P1 − A2 = 7.786,11 − 766,42 = 7.019,69
J3 = 0,03 × 7.019,69 = 210,59
Operando da mesma forma para as demais prestações, teremos os valores resumidos na Tabela 6.1 para a série de 10 prestações, que vamos denominar plano de pagamento do empréstimo.
Tabela 6.1 Plano de pagamento do empréstimo: sistema francês
	t
	Saldo devedor (Pt)
	Amortização (At)
	Juros (Jt)
	Prestação (R)
	0
	8.530,20
	−
	−
	−
	1
	7.786,11
	744,09
	255,91
	1.000,00
	2
	7.019,69
	766,42
	233,58
	1.000,00
	3
	6.230,28
	789,41
	210,59
	1.000,00
	4
	5.417,19
	813,09
	186,91
	1.000,00
	5
	4.579,71
	837,48
	162,52
	1.000,00
	6
	3.717,10
	862,61
	137,39
	1.000,00
	7
	2.828,61
	888,49
	111,51
	1.000,00
	8
	1.913,47
	915,14
	84,86
	1.000,00
	9
	970,87
	942,60
	57,40
	1.000,00
	10
	−
	970,87
	29,13
	1.000,00
	TOTAL
	−
	8.530,20
	1.469,80
	10.000,00
Observa-se através da tabela acima que as parcelas de amortização crescem exponencialmente à razão de 1,03. Conhecidos o valor do empréstimo, a taxa de juros e o número de prestações, poder-se-á deduzir uma série de relações matemáticas importantes. Vamos inicialmente apresentar tais relações para em seguida aplicá-las ao exemplo dado.
1.Valor da prestação:
R = P0 × FRC (i, n)
2.Valor do saldo devedor de ordem t:
Pt = R × FVA (i, n – t)
3.Valor do saldo devedor de ordem t – 1:
Pt – 1 = R × FVA (i, n – t + 1)
4.Valor da parcela de juros de ordem t:
Jt = i × Pt – 1 = i × R × FVA (i, n – t +1)
5.Valor da primeira parcela de amortização:
A1 = R – i × P0
6.Valor da parcela de amortização de ordem t:
At = A1 (1 + i)t –1
7.Valor das amortizações acumuladas até o período de ordem t (a partir da 1a):
8.Valor das amortizações acumuladas entre os períodos de ordem t e t + k:
em que k representa o número de parcelas de amortizações compreendidas no intervalo considerado.
9.Valor dos juros acumulados até o período de ordem t (a partir da 1a):
10.Valor dos juros acumulados entre os períodos de ordem t e t + k:
Vamos agora verificar se a partir das fórmulas discriminadas podemos realmente obter os dados transcritos na Tabela 8.1. Para tanto, vamos partir dos dados contidos no enunciado do problema anterior, ou seja, P0 = 8.530,20, n = 10 e i = 3%.
Exemplos:
1. Calcular o valor do saldo devedor existente no final do 6o mês (após o pagamento da 6a prestação).
	Solução:
	Pt = R × FVA (i, n – t)
P6 = R × FVA (3%, 10 – 6)
R = P0 × FRC (i, n) = 8.530,20 × FRC (3%,10)
R = 8.530,20 × 0,11723 = 1.000,00
P6 = 1.000,00 × FVA (3%,4) = 1.000,00 × 3,71710 = 3.717,10,
valor esse que confere com o transcrito na Tabela 6.1.
2. Calcular o valor da parcela de juros correspondente à 4a prestação.
	Solução:
	J1 = i × R × FVA (i, n – t + 1)
J4 = 0,03 × 1.000,00 × FVA (3%, 10 – 4 + 1) = 30,00 × FVA(3%,7)
J4 = 30,00 × 6,23028 = 186,91
que também coincide com o valor da parcela de juros correspondente ao plano de pagamentos conhecido.3. Calcular o valor da parcela de amortização correspondente à 5a prestação.
	Solução:
	At = A1 (1 + i) t – 1
A1 = R – i × P0 = 1.000,00 – 0,03 × 8.530,20 = 744,09
A5 = 744,09 × (1,03)4 = 744,09 × 1,12551= 837,48
Tanto o valor de A1 quanto o valor de A5 conferem com os valores que se encontram na Tabela 6.1.
Nota: Podemos observar, pelos valores contidos na coluna “Amortização (At)”, da tabela mencionada, que as parcelas de amortização crescem a uma taxa de 3%, ou seja,
P2 = P1 (1,03), P3 = P2 (1,03), P4 = P3 (1,03), ..., P10 = P9 (1,03)
Facilmente pode-se deduzir que P3 = P1 (1,03)2, P4 = P1 (1,03)3, ... P10 = P1 (1,03)9
4. Calcular o valor das amortizações acumuladas até o 4o mês, ou seja, a soma das parcelas correspondentes às quatro primeiras prestações.
Solução:
Vamos conferir com os valores contidos no plano de pagamentos do empréstimo.
5. Calcular o valor de juros acumulados até a 4a prestação.
Solução:
Vamos conferir com os valores da Tabela 8.1.
6. Calcular o valor dos juros acumulados entre o sexto e o nono mês, ou seja, entre a sexta e a nona prestação.
Nota: Ao mencionar “entre a sexta e a nona prestação”, entende-se a sexta exclusive e a nona inclusive.
Solução:
Vamos solucionar esse problema por partes, ou seja, primeiramente determinaremos o valor acumulado das amortizações e posteriormente o valor dos juros.
Vamos conferir com o plano de pagamentos:
Valor dos juros:
Conferindo:
Outros exemplos
1. Calcular o saldo devedor de um empréstimo de $ 100.000,00, feito em 24 prestações mensais e iguais, à taxa de 3,5% ao mês, após o pagamento da 13ª prestação.
	Solução:
	Pt = R × FVA (i, n – t)
P13 = R × FVA (3,5%, 24 – 13)
R = P0 × FRC (i, n) = 100.000,00 × FRC (3,5%, 24)
R = 100.000,00 × 0,06227 = 6.227,00
P13 = 6.227,00 × FVA (3,5%, 11) = 6.227,00 × 9,00155 = 56.052,65
2. Calcular o valor da parcela de amortização referente à 12ª prestação do empréstimo referido no exemplo anterior.
	Solução:
	At = A1 (1 + i)t – 1
A12 = A1 (1,035)11
A1 = R – i × P0 = 6.227,00 – 0,035 × 100.000,00 = 6.227,00 – 3.500,00 = 2.727,00
A12 = 2.727,00 (1,035)11 = 2.727,00 × 1,45997 = 3.981,34
3. Calcular o valor dos juros acumulados entre a 84a e 96a prestação, correspondentes a um empréstimo de $ 3.500 mil, à taxa de 1% ao mês, para pagamento em 120 prestações mensais e iguais.
Solução:
Inicialmente, solucionar o problema por partes, como segue (em $ 1.000,00).
a) Valor das prestações
R = P0 × FRC (i, n − t) = 3.500,00 × FRC (1%, 120)
R = 3.500,00 × 0,001435 = 50,225 mil
b) Valor das amortizações acumuladas
c) Valor dos juros acumulados
Utilizando a fórmula racionalizada
4. Um empréstimo de $ 200.000,00 é concedido para ser pago em 20 prestações trimestrais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 10% ao trimestre, calcular:
a) o saldo devedor após o pagamento da 10a prestação;
b) o valor total das amortizações feitas até a época do pagamento acima.
Solução:
a) Saldo devedor após o pagamento da 10a prestação
Pt = R × FVA (i, n − t)
R = P0 − FRC (i, n) = 200.000,00 × FRC (10%, 20)
R = 20.000,00 × 0,11746 = 23.492,00
P10 = 23.492,00 × FVA (10%, 10)
P10 = 23.492,00 × 6,14457 = 144.348,24
b) Valor total das amortizações feitas até a 10a prestação (inclusive)
Observação:
A solução deste problema poderia ser obtida mais facilmente subtraindo-se do valor financiado o valor do saldo devedor existente após o pagamento da 10a prestação. Assim, temos:
(A pequena diferença no resultado deve-se a problema de arredondamento.)
5. No dia 31-07-2014 uma empresa firmou um contrato de financiamento de capital de giro no valor de $ 1.500.000,00, para ser liquidado em 18 prestações mensais e iguais de $ 116.094,93, com vencimento para o último dia de cada mês. Sabendo-se que a empresa encerra seus balanços no dia 31 de dezembro de cada ano, determinar o total de juros pagos e contabilizados nos exercícios de 2014, 2015 e 2016.
Solução:
a) Determinação da taxa de juros
Por tentativa e erro, ou com o auxílio de uma calculadora financeira, obtém-se: i= 3,75%.
b) Juros pagos e contabilizados em 2014
Nesse ano foram pagas 5 prestações. Portanto, t = 5
c) Juros pagos e contabilizados em 2015
Em 2015 foram pagas 12 prestações (da 6a inclusive até a 17a inclusive). Para t = 5 e k = 12.
d) Juros pagos e contabilizados em 2016
Apenas uma prestação foi paga e contabilizada em 2016. O valor dos juros referentes à última prestação pode ser obtido por diferença como segue:
JUROS TOTAIS = 18 × 116.094,93 − 1.500.000,00 = 589.708,74
Parcelas de juros referentes à 18a prestação:
J18 = Juros totais − juros pagos em 2014 e 2015.
J18 = 589.708,74 − 257.951,33 − 327.561,85 = 4.195,56.
Vamos conferir esse resultado utilizando a fórmula específica:
Jt = Pt − 1 × i ⇒ J18 = P17 × i
Pt = R × FVA (i, n − t)
P17 = 116.094,93 × FVA (3,75%, 1) = 116.094,93 × 0,96386 = 111.899,26
J18 = P17 × i = 111.899,26 × 0,0375 = 4.196,22 ≅ 4.195,56
6.2SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Este sistema é extremamente simples. Sua denominação deriva da sua principal característica, ou seja, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes. O SAC consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em progressão aritmética, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra de capital, chamada de amortização.
Os valores das prestações são facilmente calculados.
A parcela de capital é obtida dividindo-se o valor do empréstimo (ou financiamento) pelo número de prestações, enquanto o valor da parcela de juros é determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior.
Exemplo:
Elaborar um plano de pagamentos, com base no Sistema de Amortização Constante, correspondente a um empréstimo de $ 100.000,00, à taxa de 3% ao mês, a ser liquidado em 10 prestações mensais.
Solução:
	1a prestação
	=
	R1 = A + J1 = 10.000,00 + 0,03 × 100.000,00
	 
	 
	R1 = 10.000,00 + 3.000,00 = 13.000,00
	2a prestação
	=
	R2 = A + J2 = 10.000,00 + 0,03 × 90.000,00
	 
	 
	R2 = 10.000,00 + 2.700,00 = 12.700,00,
	 
	 
	em que o valor de $ 90.000,00 refere-se ao saldo devedor existente no período imediatamente anterior, após o pagamento da 1a parcela de amortização de $ 10.000,00.
	3a prestação
	=
	R3 = A + J3 = 10.000,00 + 0,03 × 80.000,00
	 
	 
	R3 = 10.000,00 + 2.400,00 = 12.400,00.
	 
	 
	e assim sucessivamente até a 10a prestação.
A Tabela 6.2 apresenta o plano global de pagamentos com os valores das prestações desdobrados em amortizações e juros.
Tabela 6.2 Plano de pagamento do empréstimo: sistema SAC.
	t
	Saldo devedor (Pt)
	Amortizações constantes (A)
	Juros (Jt)
	Prestações (Rt)
	0
	100.000,00
	−
	−
	−
	1
	90.000,00
	10.000,00
	3.000,00
	13.000,00
	2
	80.000,00
	10.000,00
	2.700,00
	12.700,00
	3
	70.000,00
	10.000,00
	2.400,00
	12.400,00
	4
	60.000,00
	10.000,00
	2.100,00
	12.100,00
	5
	50.000,00
	10.000,00
	1.800,00
	11.800,00
	6
	40.000,00
	10.000,00
	1.500,00
	11.500,00
	7
	30.000,00
	10.000,00
	1.200,00
	11.200,00
	8
	20.000,00
	10.000,00
	900,00
	10.900,00
	9
	10.000,00
	10.000,00
	600,00
	10.600,00
	10
	−
	10.000,00
	300,00
	10.300,00
	TOTAL
	−
	10.000,00
	16.500,00
	116.500,00
Analisando a Tabela 6.2, podemos verificar que as prestações decrescem a uma razão constante de $ 300,00, razão essa dada pela multiplicação da taxa pela amortização constante, ou seja, 0,03 × 10.000,00 = 300,00.
No SAC, as seguintes relações são importantes:
1.Valor da amortização constante
, em que P0 é o valor do empréstimo ou financiamento (saldo devedor inicial) e n o número de pagamentos ou prestações.
2.Valor do saldo devedor de ordem t.
Pt = A (n – t)
3.Valor do saldo devedor de ordem t – 1.
Pt − 1 = P1 + A = A (n − t) + A = A (n − t + 1)
4.Valor da parcela de juros de ordem t.
Jt = i × Pt-1 = i × A (n – t + 1)
5.Valor da prestação de ordem t.
Rt = A + Jt = A + i × Pt-1 = A+ i × A (n– t + 1)
Rt = A [ 1 + i (n – t + 1)]
6.Razão da Progressão Aritmética decrescente representada pelos valores das prestações.r = i × A
7.Valor da prestação de ordem t (em função de R1 e r).
R1 = R1 – (t – 1) r
8.Soma das amortizações acumuladas do 1o período até o período de ordem t.
A = t × A, ou seja, a soma das amortizações é obtida pela multiplicação do número de prestações existentes até o período t pelo valor da amortização constante.
9.Soma das amortizações compreendidas entre os períodos de ordem t (exclusive) e t + k (inclusive).
A = k × A, ou seja, a soma das amortizações é obtida multiplicando-se o número de prestações existentes entre os dois períodos pelo valor da amortização constante.
10.Soma dos juros acumulados do 1o período até o período de ordem t.
11.Soma dos juros compreendidos entre os períodos de ordem t (exclusive) e t + k (inclusive).
12.Soma das prestações acumuladas do 1o período até o período de ordem t.
13.Soma das prestações compreendidas ente os períodos de ordem t (exclusive) e t + k (inclusive).
Podemos verificar agora que os valores determinados com base nas relações dadas realmente conferem com aqueles estampados na tabela representativa do plano de pagamentos, correspondente ao exemplo anterior.
1.Determinar o saldo devedor após o pagamento da 8a prestação (saldo devedor de ordem t = 8).
Pt = A (n – t)
P8 = 10.000,00 × (10 – 8) = 20.000,00
2.Determinar o valor da parcela de juros correspondente à 5a prestação (juros de ordem t = 5).
Jt = i × A (n – t + 1)
J5 = 0,03 × 10.000,00 (10 – 5 + 1) = 1.800,00
3.Determinar o valor da 7a prestação (prestação de ordem t = 7).
Rt = A [ 1 + i (n – t + 1)
R7 = 10.000,00 [ 1 + 0,03 (10 – 7 + 1) = 11.200,00
Esse valor também pode ser determinado a partir do valor da 1ª prestação e da razão r:
R1 =A + i × P0 = 10.000,00 + 0,03 × 100.000,00 = 13.000,00
r = i × A = 0,03 × 10.000,00 = 300,00
Rt = R1 – (t – 1) r = 13.000,00 – (7 – 1) × 300,00 = 11.200,00
4.Determinar a soma das amortizações correspondentes às quatro primeiras prestações:
5.Determinar a soma das amortizações compreendidas entre a 3a (exclusive) e a 8a prestação (inclusive).
6.Determinar a soma dos juros correspondentes às seis primeiras prestações.
Vamos conferir aplicando os valores contidos no plano de pagamentos transcrito anteriormente.
7.Determinar a soma dos juros compreendidos entre a 5ª prestação (exclusive) e a 8ª (inclusive).
Vamos conferir:
8.Determinar a soma das três primeiras prestações.
Conferindo:
9.Determinar a soma das prestações compreendidas entre a 2ª (exclusive)
Conferindo:
10.Determinar a soma das prestações compreendidas entre a 5a e a 7a, ambas incluídas.
Observação: Quando o problema é apresentado dessa forma, a prestação de ordem t passa, automaticamente, a ser a 4ª (no caso do exemplo).
Conferindo:
Vamos apresentar e resolver outros exemplos, a fim de que possamos melhor entender e fixar os conceitos dados.
1. Um apartamento é vendido por $ 1.500.000,00, sendo $ 300.000,00 de entrada e o restante em 60 prestações mensais, à taxa de 2,5% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante.
Calcular:
a) o valor da 1a e da última prestação;
b) o valor do decréscimo mensal das prestações;
c) o valor das parcelas de juros referentes à 37a e à 38a prestações;
d) o somatório da 41a até a 50a prestação (ambos os limites incluídos);
e) o total de juros a ser pago até a liquidação do débito.
Solução:
a) Valor da 1ª e da última prestação
Rt = A [1 + i (n − t + 1)]
P0 = valor financiado = valor do imóvel − entrada
P0 = 1.500,00 − 300.000,00 = 1.200.000,00
R1 = 20.000,00 [1 + 0,025 (60 − 1 + 1)] =
R1 = 20.000,00 × 2,5 = 50.000,00
R60 = 20.000,00 [1 + 0,025 (60 − 60 + 1)] =
R60 = 20.000,00 × 1,025 = 20.500,00
Observação: O valor de R1 também poderia ser obtido a partir da seguinte equação:
b) Valor do decréscimo mensal das prestações
r = i × A= 0,025 × 20.000,00 = 500,00
c) Valor das parcelas de juros referentes à 37ª e à 38ª prestações
Jt = i × A (n – t + 1)
J37 = 0,025 × 20.000,00 (60 – 37 + 1) = 12.000,00
J39 = 0,025 × 20.000,00 (60 – 38 + 1) = 11.500,00
Observação: Como o valor de qualquer prestação é igual ao valor da anterior deduzida da razão, poderíamos achar o valor da 38ª prestação como segue:
J38 = J37 – r = 12.000,00 – 500,00 = 11.500,00
d) Somatório da 41ª até a 50ª prestação (ambos os limites incluídos)
e) Total dos juros a ser pago até a liquidação do débito
Observação: Os valores das parcelas de juros decrescem de acordo com uma progressão aritmética; neste caso, temos uma PA de 60 termos, de razão igual a $ 500,00, cujo primeiro termo é igual a $ 30.000,00 e o último é igual a $ 500,00. Para encontrar a solução deste item, podemos utilizar a fórmula que nos dá a soma de uma PA, como segue:
a1 = primeiro termo = R1 = 30.000,00
an = último termo = R60 = 500,00
n = número de termos = 60
Igualmente, podemos obter o valor de qualquer prestação ou de qualquer parcela de juros a partir da fórmula geral an = a1 – (n – 1) r, definida para uma progressão aritmética decrescente. Adaptando a fórmula citada às nossas variáveis, teremos:
Exemplo:
Rt = R1 – (t – 1) r
Jt = J1 – (t – 1) r
Calcular a parcela de juros referente à 37ª prestação (cuja solução conhecemos).
J37 = 30.000,00 – (37 – 1) × 500,00 = 12.000,00
2. Uma empresa de crédito imobiliário concede um empréstimo de $ 2.700.000,00, cobrando uma taxa de 1% ao mês. Sabendo-se que o valor da 1a prestação é de $ 42.000,00 e que o sistema de amortização é o SAC, determinar o número de prestações mensais e o somatório do valor das prestações do plano.
Solução:
a) Número de prestações mensais
Sabendo que
b) Somatório do valor das prestações do plano
De acordo com o conceito de PA:
1o termo: R1 = 42.000,00
último termo = R180 = R1 − (t − 1) r
3. Em agosto de 2010 um mutuário adquiriu uma casa financiada pela Caixa Econômica Federal em 120 prestações mensais, pelo sistema SAC. Sabendo-se que o valor financiado foi de $ 350.000,00, que a taxa de juros contratual foi de 10,47% ao ano (equivalente a 0,8333% ao mês, conforme estabelecido no contrato) e que a primeira prestação foi paga no mês de setembro desse mesmo ano, calcular:
a) o valor das amortizações pagas até dezembro de 2012 (inclusive);
b) o valor da prestação a vencer em dezembro de 2014 e a respectiva parcela de juros;
c) o total dos juros pagos durante o ano de 2013.
Solução:
a) Valor das amortizações pagas até dezembro de 2012 (inclusive)
t = número de prestações pagas de setembro/2010 (inclusive) a dezembro/2012 = 28
b) Valor da prestação a vencer em dezembro de 2014 e a respectiva parcela de juros
Número de ordem da prestação de dezembro/2014 = t = 52
Rt = A [ 1 + i (n – t + 1)]
R52 = 2.916,67 [ 1 + 0,008333 (120– 52 + 1)] = 4.493,69
J52 = R52 – A= 4.593,69 – 2.916,67 = 1.677,02
c) Total dos juros pagos durante o ano de 2012
Número de ordem da prestação de dezembro/2011 = t = 16
4. Com base nos dados do exercício anterior, determinar qual o valor da comissão que a Caixa Econômica deveria cobrar do financiado, na data do contrato, a fim de que obtivesse uma receita equivalente a uma taxa de juros de 1% ao mês.
Solução:
O valor da comissão é a diferença entre o valor financiado e o valor atual da série de 120 prestações decrescentes, à taxa de 1% ao mês. Esse valor atual é obtido com base na fórmula vista quando tratarmos das “Séries de Pagamentos Variáveis em Progressão Aritmética Decrescente”.
Comissão = P0 – [R × FVA (i, n) + G × FVAg(-) (i, n)], em que
P0 = valor financiado = 350.000,00
R = valor do termo da série de prestações iguais = 2.916,67
G = razão do decréscimo da PA = r = i × A = 0,008333 × 2.916,67 = 24,30
Substituindo, temos:
Comissão = 350.000,00 – [2.916,67 × FVA (1%, 120) + 24,30 × FVAg(-) (1%, 120)]
Comissão = 350.000,00 – (2.916,67 × 69,70052 + 24,30 × 5029,94780)
Comissão = 350.000,00 – (203.293,42 + 122.227,73) = 350.000,00 – 325.521,15 = 24.478,85
O valor dessa comissão equivale a uma taxa de 6,994% sobre o valor financiado de R$ 350.000,00. Essa taxa é conhecida por TAC (Taxa de Abertura de Crédito).
6.3SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Este sistema foi criado pelo antigo BNH em maio de 1979, e constituiu-se num misto