APOL Objetiva 1 (Regular) - GEOMETRIA ANALÍTICA

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u×v=|ijkxuyuzuxvyvzv|
A(−1,0,−1)
B(2,3,−1)
v→=(−2,−1,0)
α
w→
α
u→=AB→
n→=i→
n→=j→
n→=i→+j→
k→ ou (0,0,1)
(0,0,1)
(0,0,3)
u→=AB→=B−A=(2,3.−1)−(−1,0,−1)=(3,3,0)
u→
v→
α
α
α
u×v=|i→j→k→330−2−10|=0i→+0j→−3k→+6k→−oj→−0i→=3k→=(0,0,3)
k→
(0,0,1)
(0,0,3)
n→=i→+j→+k→
u→
v→
S=12∥i→j→k→xuyuzuxvyvzv∥
A=(2,0,0)
B=(0,2,0)
C=(0,0,4)
u→
v→
16
6
u→=AB→=B−A=(0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)
v→=AC→=C−A=(0,0,4)−(2,0,0)=(−2,0,4)
u→
v→
S=12∥i→j→k→−220−204∥=|8i+8j+4k|2=1442=122=6
12
144
u→
v→
u→=AB→
v→=BC→
u→
v→
AC→
u→+v→=AB→+BC→=AC→
u→+v→
(1,−2,3)
u→
v→
u→=AB→=B−A=(3,4,5)−(2,2,2)=(1,2,3)
v→=BC→=C−B=(3,0,5)−(3,4,5)=(0,−4,0)
u→+v→
u→+v→=(1,2,3)+(0,−4,0)=(1,−2,3)
(1,1,1)
(0,−2,3)
(8,−1,0)
(0,0,1)
u→×v→=∥i→j→k→xuyuzuxvyvzv∥
u→=2i→+3j→−k→
v→=−i→−2j→+k→
S
S
22.
S
3.
u→×v→=|i→j→k→23−1−1−21|=(1,−1,−1)
S=|u→×v→|=12+(−1)2+(−1)2=3.
S
72.
S
73.
w→=(−9,−1)
w→=(3,6)
w→=(9,−1)
w→=7u→+2v→=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1)
w→=(3,3)
w→=(−2,1)
Geometria Analítica
A=(−1,−1,0)
B=(3,5,0)
AP→=23AB→
P=(4,0,0)
P=(23,43,0)
P=(53,3,0)
AP→=23AB→P−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0)
P=(13,2,0)
P=(3,53,0)
AB→
(A,B)
Após esta avaliação
Geometria analítica.
Geometria Analítica
u→=(4,1,−3)
v→=(6,a,b)
v→
u→=λv→
v→=(6,45,−13)
v→=(2,45,−13)
v→=(6,32,−92)
u→
v→
v→=λu→
v→=λu→⇒(6,a,b)=λ(4,1,−3)⇒6=λ⋅4⇒λ=64=32.
(6,a,b)=32(4,1,−3)
a=32
b=−92
v→=(6,32,−92)
v→=(6,2,−2)
v→=(6,0,−1)
u→=(3,−1)
v→=(−6,3)
w→=(9,−1)
w→
u→
v→
w→=k1u→+k2v→
k1
k2
k1=2ek2=1/2
k1=−1ek2=−1
k1=7ek2=2
w→=k1u→+k2v→
(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2.
k1=−1ek2=−2
k1=−1ek2=1
u→,v1→,v2→,v3→,⋯vn→
α1,α1,α2,α3,⋯αn
u→
u→,v1→,v2→,v3→,⋯vn→
u→=α1v1→+α2v2→+α3v3→+⋯+αnvn→
u→=4v→
0→=4u→+4v→
0→=u→+v→
0→=4u→−v→
0→=u→−4v→
u→=4v→
0→=u→−4v→
0→=2u→−2v→
u→
v→
w→
V=16∥xuyuzuxvyvzvxwywzw∥
u→=AB→
v→=AC→
w→=AD→
V=8
V=7
V=6
V=5
V=4
u→=AB→=B−A=(7,4,3)−(1,2,1)=(6,2,2)
v→=AC→=C−A=(4,6,2)−(1,2,1)=(3,4,1)
w→=AD→=D−A=(3,3,3)−(1,2,1)=(2,1,2)
V=16∥622341212∥=(48+4+6−6−12−16=58−34)/6=24/6=4
Questão 1/10 - Geometria Analítica
Leia o excerto de texto:
Quando calculamos o produto vetorial de dois vetores, ou seja, u×v=∣∣ ∣∣ijkxuyuzuxvyvzv∣∣ ∣∣, encontramos um terceiro vetor, ortogonal ao plano formado por estes vetores. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, e que os pontos A(−1,0,−1), B(2,3,−1) e o vetor ⃗v=(−2,−1,0) pertencem ao plano α. O vetor ⃗w ortogonal ao plano α é:
dica: faça vetor ⃗u=−−→AB
 
Nota: 10.0
	
	A
	⃗n=⃗i
	
	B
	⃗n=⃗j
	
	C
	⃗n=⃗i+⃗j
	
	D
	⃗k ou (0,0,1) ou qualquer vetor múltiplo do vetor (0,0,1), como (0,0,3)
Você acertou!
Calculando o vetor  
⃗u=−−→AB=B−A=(2,3.−1)−(−1,0,−1)=(3,3,0).
Como os vetores ⃗u e ⃗v pertencem ao plano α, calculamos o produto vetorial entre eles para obter um vetor ortogonal a ambos e, consequentemente, ortogonal ao plano α, ou seja, o vetor normal ao plano α.
u×v=∣∣ ∣ ∣∣⃗i⃗j⃗k330−2−10∣∣ ∣ ∣∣=0⃗i+0⃗j−3⃗k+6⃗k−o⃗j−0⃗i=3⃗k=(0,0,3)
Portanto o vetor ortogonal é qualquer vetor múltiplo a ⃗k ou (0,0,1), inclusive (0,0,3).
(livro-base pag. 72)
	
	E
	⃗n=⃗i+⃗j+⃗k
Questão 2/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A interpretação geométrica dos produtos escalar, vetorial e misto são, em alguns casos, as únicas ferramentas para resolver alguns problemas. Por exemplo: A área do triângulo é dado pela metade do módulo do produto vetorial entre dois dos vetores formadores do triângulo. Escolhe-se vetores ⃗u e ⃗v e aplica a fórmula  S=12∥∥ ∥ ∥∥⃗i⃗j⃗kxuyuzuxvyvzv∥∥ ∥ ∥∥.
Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e o triângulo cujos vértices são os pontos A=(2,0,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,4). A área deste triângulo é: 
Dica: Primeiro forme os vetores ⃗u e ⃗v, cada um com dois pares de pontos.
Nota: 10.0
	
	A
	16 u.a.
	
	B
	6 u.a.
Você acertou!
Primeiro calculamos dois dos vetores que formam o tetraedro:
⃗u=−−→AB=B−A=(0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)
⃗v=−−→AC=C−A=(0,0,4)−(2,0,0)=(−2,0,4)
Depois calculamos a metade do módulo produto vetorial entre ⃗u e ⃗v:
S=12∥∥ ∥ ∥∥⃗i⃗j⃗k−220−204∥∥ ∥ ∥∥=|8i+8j+4k|2=√1442=122=6
(livro-base p. 73)
	
	C
	12 u.a.
	
	D
	144 u.a.
	
	E
	A área é nula.
Questão 3/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Sejam os vetores ⃗u e ⃗v e seus representantes (A, B) e (B,C), respectivamente, então podemos escrever ⃗u=→AB e ⃗v=→BC. O vetor soma ⃗u+⃗v tem como representante o segmento →AC; assim, escrevemos ⃗u+⃗v=→AB+→BC=→AC.
Texto retirado do livro-base Geometria Analítica - página 28 - soma de vetores.
Tendo em vista a situação descrita e os conteúdos estudados no livro-base Geometria analítica, considere os pontos A(2,2,2), B(3,4,5) e C(3,0,5). Calcule a soma vetorial ⃗u+⃗v:
Nota: 10.0
	
	A
	(1,−2,3)
Você acertou!
Cálculo dos vetores ⃗u e ⃗v.
⃗u=→AB=B−A=(3,4,5)−(2,2,2)=(1,2,3)
⃗v=→BC=C−B=(3,0,5)−(3,4,5)=(0,−4,0)
Cálculo da soma ⃗u+⃗v
⃗u+⃗v=(1,2,3)+(0,−4,0)=(1,−2,3)
(livro base pag. 28)
	
	B
	(1,1,1)
	
	C
	(0,−2,3)
	
	D
	(8,−1,0)
	
	E
	(0,0,1)
Questão 4/10 - Geometria Analítica
Atente para a seguinte afirmação:
Quando estudamos matemática, além das definições, propriedade e outras teorias sobre o conteúdo, também estudamos as aplicações do referido conteúdo. No caso da geometria analítica, os produtos escalar, vetorial e misto possuem aplicações interessantes. Uma delas é o cálculo da área do paralelogramo em que utiliza-se o produto vetorial ⃗u×⃗v=∥∥ ∥ ∥∥⃗i⃗j⃗kxuyuzuxvyvzv∥∥ ∥ ∥∥
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Tendo em vista a situação descrita e os conteúdos estudados no livro-base Geometria analítica, considere o paralelogramo formado sobre os vetores ⃗u=2⃗i+3⃗j−⃗k e ⃗v=−⃗i−2⃗j+⃗k . Sua área é:
Nota: 10.0
	
	A
	a área S do paralelogramo é igual a 2.
	
	B
	a área S do paralelogramo é igual a √22.
	
	C
	a área S do paralelogramo é igual a √3.
Você acertou!
A área S do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial, ou seja,
⃗u×⃗v=∣∣ ∣ ∣∣⃗i⃗j⃗k23−1−1−21∣∣ ∣ ∣∣=(1,−1,−1).
Calculamos a área do paralelogramo S.
S=|⃗u×⃗v|=√12+(−1)2+(−1)2=√3.
(livro-base pag. 73).
	
	D
	a área S do paralelogramo é igual a √72.
	
	E
	a área S do paralelogramo é igual a √73.
Questão 5/10 - Geometria Analítica
Na física, geometria analítica, cálculo diferencial integral, álgebra linear, ou qualquer outra disciplina em que se aplica vetores, a combinação linear de vetores é indispensável. Ou seja, escrever vetores como soma de outros vetores tem muitas aplicações. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Dados os vetores u=(3,-1) e v=(-6,3). O vetor w=7u+2v é:
Nota: 10.0
	
	A
	⃗w=(−9,−1)
	
	B
	⃗w=(3,6)
	
	C
	⃗w=(9,−1)
Você acertou!
⃗w=7⃗u+2⃗v=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1)
(livro-base 41)
 
	
	D
	⃗w=(3,3)
	
	E
	⃗w=(−2,1)
Questão 6/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Vetores podem ter vários pontos, entre eles, a origem e a extremidade, dessa forma é possível representá-los através desses pontos, fazendo a diferença entre a extremidade e a origem. 
Texto elaborado pelo autor da questão:
Considere o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica sobre soma de vetores, os pontos A=(−1,−1,0) e B=(3,5,0) e a igualdade →AP=23→AB. As coordenadas de P são:
Nota: 10.0
	
	A
	P=(4,0,0)
	
	B
	P=(23,43,0)
	
	C
	P=(53,3,0)
Você acertou!
Cálculos para encontrar as coordenadas de P.
→AP=23→ABP−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0)
(livro-base p. 13,14,27)
	
	D
	P=(13,2,0)
	
	E
	P=(3,53,0)
Questão 7/10 - Geometria Analítica
Leia trecho de texto a seguir:
"Um vetor é uma classe de segmentos orientados equipolentes ao segmento orientado. Por exemplo: se o vetor →AB o segmento orientado é (A,B)." 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L. F. D. Geometriaanalítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p. 22.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, sobre multiplicação escalar por vetor, e os vetores paralelos ⃗u=(4,1,−3) e ⃗v=(6,a,b), assinale a alternativa cujos valores são as coordenadas do vetor  ⃗v :
Dado que:
Dois vetores são paralelos se 
⃗u=λ⃗v
Nota: 10.0
	
	A
	⃗v=(6,45,−13)
	
	B
	⃗v=(2,45,−13)
	
	C
	⃗v=(6,32,−92)
Você acertou!
Para que ⃗u e ⃗v sejam paralelos, deve satisfazer a relação ⃗v=λ⃗u
⃗v=λ⃗u⇒(6,a,b)=λ(4,1,−3)⇒6=λ⋅4⇒λ=64=32.
Então temos que (6,a,b)=32(4,1,−3)
a=32 e b=−92
Então ⃗v=(6,32,−92)
(livro-base p. 31)
	
	D
	⃗v=(6,2,−2)
	
	E
	⃗v=(6,0,−1)
Questão 8/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A combinação linear é indispensável para várias disciplinas tais como geometria analítica e álgebra linear. Pode-se resumir combinação linear como escrever vetores como soma de outros vetores.
Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro Geometria analítica, os vetores ⃗u=(3,−1), ⃗v=(−6,3) e ⃗w=(9,−1). Se ⃗w é combinação linear de ⃗u e ⃗v, ou seja ⃗w=k1⃗u+k2⃗v então k1 e k2 são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	k1=2ek2=1/2
	
	B
	k1=−1ek2=−1
	
	C
	k1=7ek2=2
Você acertou!
Montando o sistema ⃗w=k1⃗u+k2⃗v.
(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2.
(livro-base 47 e 48)
	
	D
	k1=−1ek2=−2
	
	E
	k1=−1ek2=1
Questão 9/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Sejam ⃗u,→v1,→v2,→v3,⋯→vn vetores e α1,α1,α2,α3,⋯αn números reais (escalares), dizemos que ⃗u é combinação linear de ⃗u,→v1,→v2,→v3,⋯→vn, se ⃗u=α1→v1+α2→v2+α3→v3+⋯+αn→vn. 
Texto retirado do livro Geometria Analítica - página 42 - Combinação linear.
Tendo em vista a situação descrita e outros conteúdos estudados no livro-base Geometria analítica, considere o vetor ⃗u=4⃗v. Uma combinação linear do vetor nulo é:
Nota: 10.0
	
	A
	⃗0=4⃗u+4⃗v
	
	B
	⃗0=⃗u+⃗v
	
	C
	⃗0=4⃗u−⃗v
	
	D
	⃗0=⃗u−4⃗v
Você acertou!
Sendo ⃗u=4⃗v o vetor nulo pode ser escrito da forma ⃗0=⃗u−4⃗v.
(livro-base pag 42 e 43)
	
	E
	⃗0=2⃗u−2⃗v
Questão 10/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A interpretação geométrica dos produtos escalar, vetorial e misto são, em alguns casos, as únicas ferramentas para resolver alguns problemas. Por exemplo: a fórmula para calcular o volume do tetraedro formado pelos vetores ⃗u, ⃗v e ⃗w é V=16∥∥ ∥∥xuyuzuxvyvzvxwywzw∥∥ ∥∥.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e os pontos A(1,2,1), B=(7,4,3), C(4,6,2) e D(3,3,3). O volume do tetraedro ABCD é:
Dica: faça ⃗u=−−→AB, ⃗v=−−→AC e ⃗w=−−→AD.
Nota: 10.0
	
	A
	V=8
	
	B
	V=7
	
	C
	V=6
	
	D
	V=5
	
	E
	V=4
Você acertou!
Comentário:
Primeiro calculamos os vetores que formam o tetraedro:
⃗u=−−→AB=B−A=(7,4,3)−(1,2,1)=(6,2,2)
⃗v=−−→AC=C−A=(4,6,2)−(1,2,1)=(3,4,1)
⃗w=−−→AD=D−A=(3,3,3)−(1,2,1)=(2,1,2)
Então, calculando o produto misto dos vetores acima temos:
V=16∥∥ ∥∥622341212∥∥ ∥∥=(48+4+6−6−12−16=58−34)/6=24/6=4
(livro-base p. 78)