Aula14

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Planos
Na aula anterior estudamos as retas e suas caracterı́sticas. Em
particular vimos que estas representam soluções de sistemas
lineares com uma variável livre. Agora passamos a estudar os
planos. Veremos que estes são representações de soluções de
sistemas lineares de três incógnitas com duas variáveis livres.
Planos
O plano euclidiano pode ser visto como o conjunto de pontos P
tais que o vetor que mede o deslocamento de P com respeito a
um ponto O pode ser escrito como uma combinação linear de
dois vetores fixos que são linearmente independentes
{~e1 = (1,0), ~e2 = (0,1)}. Isto é, P = (x , y) então
−→
OP = x~e1 + y~e2.
Então, podemos generalizar esta construção para o espaço.
Este é o conteúdo da seguinte definição.
Planos: Definição
O plano π que passa por um ponto Q e é paralelo aos vetores
linearmente independentes ~v , ~w é o conjunto de pontos P tais
que −→
QP = λ1~v + λ2~w .
Observações
I Um ponto P está no plano π se
−→
QP é combinação linear
de {~v , ~w}. Em particular, Q ∈ π pois
−−→
QQ = 0~v + 0~w
I Existem pontos P1,P2 ∈ π tais que
−−→
QP1 = ~v e
−−→
QP1 = ~w .
Demonstração:
De fato, na equação do plano,
−→
QP = λ1~v + λ2~w .
Se λ1 = 1 e λ2 = 0 sabemos que existe P1 tal que
−−→
QP1 = 1~v + 0~w = ~v
Se λ1 = 0 e λ2 = 1 existe P2 tal que
−−→
QP2 = 0~v + 1~w = ~w .
Exemplo
Seja Q = (0,−1,2), ~v = (1,−2,1) e ~w = (−1,0,3). Então, um
ponto P = (x , y , z) está no plano π que passa por Q e é
paralelo a ~v e ~w se
(x , y + 1, z − 2) = λ1(1,−2,1) + λ2(−1,0,3) λ1, λ2 ∈ R.
Planos: Equação paramétrica
A equação do plano pode ser escrita em termos de
coordenadas como segue: O plano π que passa por um ponto
Q = (x0, y0, z0) e é paralelo aos vetores linearmente
independentes ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1,w2,w3) é o conjunto
de pontos P = (x , y , z) tais que
(x − x0, y − y0, z − z0) = λ1(v1, v2, v3) + λ2(w1,w2,w3),
de onde segue que
π :

x = x0 + λ1v1 + λ2w1
y = y0 + λ1v2 + λ2w2
z = z0 + λ1v3 + λ2w3
λ1, λ2 ∈ R.
Esta equação é conhecida como equação paramétrica do
plano.
Exemplo
Seja Q = (0,−1,2), ~v = (1,−2,1) e ~w = (−1,0,3). Então, um
ponto P = (x , y , z) está no plano π que passa por Q e é
paralelo a ~v e ~w se
π :

x = 0 + λ1 − λ2
y = −1− 2λ1
z = 2 + λ1 + 3λ2
λ1, λ2 ∈ R.
Definição
Um vetor ~v é dito paralelo ao plano π se para qualquer P ∈ π
existe um Q ∈ π tal que
−→
PQ = ~v . Um vetor ~η é dito normal ao
plano se ~η ·
−→
PQ = 0 para quaisquer P,Q ∈ π.
Com esta definição obtemos outra forma de descrever o plano
π. Seja π o plano que passa por um ponto Q e é paralelo aos
vetores linearmente independentes ~v , ~w . Defina ~η = ~v × ~w
então, claramente η · ~v = η · ~w = 0. Da definição tiramos que o
plano π que passa por Q e é paralelo aos vetores ~v , ~w é o
conjunto de pontos P tais que
−→
QP · ~η = 0.
De fato se P ∈ π então existem λ1, λ2 ∈ R tal que
−→
QP = λ1~v + λ2~w ,
de onde −→
QP · ~η = 0.
Por outro lado, assuma que
−→
QP · ~η = 0. Utilizando que {~η, ~v , ~w}
são linearmente independentes no espaço, temos
−→
QP = λ1~η + λ2~v + λ3~w
Como
0 =
−→
QP · ~η = λ1 ‖~η‖2 ⇒ λ1 = 0
de onde −→
QP = λ2~v + λ3~w
portanto P ∈ π.
Neste caso o vetor ~η recebe o nome de vetor normal ao plano
π pois, para todo par de pontos P e Q no plano π temos que,−→
QP é ortogonal a ~η.
Equação geral do plano
Temos assim que o plano π que passa por Q e tem ~η como
vetor normal é o conjunto de pontos P que satisfaz
π : {P ∈ R3,
−→
QP · ~η = 0}.
Se P = (x , y , z), Q = (x0, y0, z0) e ~η = (a,b, c) então a
equação acima pode ser escrita como
(x − x0, y − y0, z − z0) · (a,b, c) = 0,
ou
ax + by + cz = (ax0 + by0 + cz0) := d ,
que é a equação geral do plano.
Proposição
O plano é a representação gráfica do conjunto solução um
sistema linear com duas variáveis livres.
Demonstração.
Segue do slide anterior.
Observação
Para estudar o comportamento de uma função f : R2 → R ao
redor de um ponto (x0, y0), podemos calcular o polinômio de
Taylor de primeiro grau ao redor do ponto:
f (x , y) = z ' f (x0, y0)+ ∂x f (x0, y0)(x − x0)+ ∂y f (x0, y0)(y − y0).
Temos assim que f pode ser descrita, ao redor de (x0, y0) pela
equação de um plano. Este plano recebe o nome de plano
Tangente a z = f (x , y) em (x0, y0, f (x0, y0)).
Exemplo
Seja Q = (0,−1,2), ~v = (1,−2,1) e ~w = (−1,0,3).
Observamos que
~η = ~v × ~w = det
 e1 e2 e31 −2 1
−1 0 3
 = ( −6,−4,−2 ) .
Então, um ponto P = (x , y , z) está no plano se
−6x − 4y − 2z = (0 + 4− 4) = 0 ⇒ 3x + 2y + z = 0.
Exemplo
Vamos achar condições para determinar se três pontos
P1,P2,P3 estão no mesmo plano.
Se eles estão no mesmo plano temos que
−−−→
P1P2 e
−−−→
P1P3 são
paralelos ao plano, portanto
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3 deve ser normal ao
plano. De onde tiramos que
−−−→
P2P3 · (
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3) = 0.
Análogamente, se temos três pontos P1,P2,P3 no plano
podemos determinar a equação deste considerando o vetor
normal ~η =
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3 e um ponto qualquer, por exemplo P1,
e substituir na equação do plano
π : {P ∈ R3,
−−→
P1P · ~η = 0}.
Resumo
Para obter a equação de um plano são necessários um ponto
no plano Q = (x0, y0, z0) e dois vetores linearmente
independentes e paralelos ao plano ~v = (v1, v2, v3),
~w = (w1,w2,w3). Com esta informação, a equação do plano
fica
(x−x0, y−y0, z−z0) = λ1(v1, v2, v3)+λ2(w1,w2,w3) λ1, λ2 ∈ R,
na forma vetorial, ou
π :

x = x0 + λ1v1 + λ2w1
y = y0 + λ1v2 + λ2w2
z = z0 + λ1v3 + λ2w3
λ1, λ2 ∈ R,
na forma paramétrica.
Resumo
Também podemos descrever um plano a partir de um ponto no
plano Q = (x0, y0, z0) e um vetor normal ~η = (a,b, c). Neste
caso, temos uma equação para descrevé-lo, chamada de
equação geral do plano, e que pode ser obtida a partir do vetor
normal e do ponto ao fazer
ax + by + cz = (ax0 + by0 + dz0).
Resumo
A relação entre as duas formas de descrever o plano é a
seguinte:
I Os vetores paralelos ~v e ~w fornecem um vetor normal no
plano ~η = ~v × ~w .
I O vetor normal fornece dois vetores paralelos ao plano ~v e
~w que são vetores linearmente independentes e que
ressolvem a equação ~η · ~u = 0.