Resolucao_Cap_6_Planos_Livro_Vetores_e_G

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As QUESTÃO: 
Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1,2,1) e a reta 
interseção do plano com o plano yoz.
RESOLUÇÃO
1) Atribuir outros pontos para este plano. Sendo assim temos: A(1, 2, 1), B(0, 0, 1) e C(0, 0, 
5). Os pontos B e C, são pontos que pertencem ao plano y0z e x=0.
2) Achar os vetores: AB = B-A = (-1, -2, 0) e AC= C-A = (-1, -2, 4)
3) Veriicar se são linearmente independentes: AB= a x AC → (-1, -2, 0) = a x (-1, -2, 4). Neste 
caso, a = 1, a = 1 e a = 0. São linearmente independentes.
4) Veriicar a norma: AB x AC = det . Não pode ser nulo, pois, são linearmente 
independentes. 
Logo AB x AC = -8i+4j+0K → Norma (-8, 4, 0)
5) Achar d: : -8x+4y+d = 0. Substituir o ponto A(1, 2, 1) na equação. -8.(1)+4.(2)+d=0. 
Sendo assim, d=0.
6) Encontrar a equação geral do plano: : -8x+4y=0.
Alguém pode me informar se estes procedimentos estão corretos? Como faço para achar a 
equação da reta interseção do plano com o plano yoz?
Estabelecer a equação geral do plano paralelo ao plano Pi: 2x - 3y -z + 5 = 0 e que contem o 
ponto
C=(4,-2,1).
 a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0
 2(x - 4) + (-3)(y - (-2)) + (-1)(z - 1)=0
 2x - 8 -3y - 6 +z +1 = 0
 2x - 3y - z -8 -6 +1 = 0
 2x -3y - z -13 =0 
 Isolando z= 2x - 3y – 13
Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A
(5,-1,4) e B(-1,-7,1), e seja perpendicular a ele.
Ponto médio de BA , Pm
 Pm= ((5-1)/2 , (-1-7)/2 , (4+1)/2) ou Pm=(2,-4, 5/2) 
Vetor na direçao BA , v ou
 BA=v =( -1-5,-7+1,1-4)=(-6,-6,-3) 
Vetor pertencente ao plano BA v=(-6,-6,-3) ; ponto do plano perpendicular a Pn , Pv=(x.y,z) ; 
vetor u na direçao do plano perpendicular ao primeiro plano passando por Pn u= (x-2,y+4,z-
5/2); como u e v são perpendiculares então , uv=0 
(x-2,y+4,z-5/2)(6,6,3)=0 
6x-12+6y+24+3z-15/2= 0
 12x-24 +12y+48+6z-15=0
 12x+12y+6z+9=0
 4x+4y+2z+3=0
Resp, 4x+4y+2z+3=0
Dado o plano x+y+z-1=0 ache suas equações vetorial e paramétricas.?
Para achar as equações vetoriais e paramétricas de um plano precisamos de dois vetores 
base do plano, ou seja, dois vetores paralelos ao plano e não paralelos entre si.
Possuindo a equação do plano conseguimos encontrar os ininitos pontos do plano. Como 
fazemos isso? Arbritamos dois valores quaisquer para duas variáveis (um para cada) 
encontramos o valor da outra variável. Por exemplo:
Ponto A:
x = 0
y = 0
z = 1 - x -y
z = 1 - 0 -0
z = 1
A (0,0,1)
Ponto B
x = 0 
z = 0
y = 1 - x - z
y = 1 - 0 - 0
y = 1
B(0,1,0)
Ponto C:
y = 0
z= 0
x = 1 - y - z
x = 1 - 0 - 0
C(1,0,0)
Temos 3 pontos pertencentes ao plano ( pontos A,B e C) e com eles somos capazes de formar 
os dois vetores base do plano. Eles podem ser, por exemplo AB e AC (assim como poderiam 
ser AB e BC ou BA E CA):
AB = (0,1,-1)
AC - (1,0,-1)
Conhecido um ponto pertencente ao plano e dois vetores base do plano somos capazes de 
encontrar as equações vetorial e paramétrica do plano.
Equação vetorial:
(x,y,z) = ( 0,0,1) + h(0,1,-1) +t(1,0,-1)
Onde :
(0,0,1) corresponde ao ponto A (mas qualquer outro ponto pertencente ao plano poderia ter 
sido utilizado)
(0,1,-1) e (1,0,-1) são vetores base do plano, nesse caso AB e AC
h e t : são parâmetros.
Equação paramétrica:
Resolvendo a equação vetorial e isolando x,y e z encontramos a equação paramétrica do 
plano:
x = t
y = h
z = 1 - h –t
Dada a equação geral do plano Pi: 3x -2y -z -6 = 0, determinar um sistema de equações 
paramétricas de Pi.?
Exemplo
Dado o plano pi cuja equação geral é 3x -2y - z - 6 = 0 , determine a equação paramétrica 
deste plano.
Solução: Primeiro isolamos uma das variáveis em função das outras duas. Para facilitar os 
cálculos isolamos z :
z = x - 2 y - 6 
Portanto, isso signiica que escolhemos x e y como variáveis livres. Atribuindo a elas valores 
arbitrários, digamos x = t e y = s , obtemos a equação paramétrica do plano pi :
pi : x = t , y = s e z = t - 2y – 6
Sendo
x = 1 + h - 2t
y = 1 - t
z = 4 + 2h - 2t ; as equações paramétricas de um plano (pi), obter uma equação geral
do plano.
eq(3)-2.eq(1):
...z=4+2h-2t
-2x=-2-2h+4t
-------------------
z-2x=2+2t........eq(4)
Da eq(2), tiramos: t=1-y. Substituindo em eq(4), temos:
z-2x=2+2-2y
2x-2y-z=-4
2x-2y-z+4=0
Resposta....2x-2y-z+4=0
Seja o plano0 3x+y-z-4=0. O valor de K para que o Plani1: Kx-4y+4z-7=0, seja paralelo ao 
planno0 dado.
planos paralelos apresentam uma mesma direção e as coordenadas indica dependência linear
entre os vetores 
k/3 =-4/1 = 4/-1 , logo k = -12
Determinar valor de alfa para que os pontos A(α,1,9) B(2,3,4) C(-4,-1,6) e D(0,2,4) sejam 
coplanares
V=B-C = (6,4,-2)
U=D-C= (4,3,-2)
N = i j k
6 4 -2 = -2i +4j + 2k N(-2,4,2)
4 3 2
-2x + 4y +2z +d = 0
substitui com o ponto d
-2.0 +4.2 + 2.4 + d = 0
d=-16
-2x + 4y +2z -16 = 0
substitui com o ponto a
-2α +4.1 +2.9-16=0
α=3
*Forme os vetores 
AB=(7-a , 2+1, 1-5) = (7-a, 3 , -4)
 AC=(-1-a , -3+1,-1-5) =(-1-a, -2,-6)
 AD=(1-a, +1,3-5) ...... =(1-a,1, -2 ) 
Se det M= 0 os pontos são coplanares, então 
M= l 7-a 3 -4 l
 l-1-a -2 -6 l
 l1-a 1 -2 l 
Resolvendo pela primeira coluna 
detM=(7-a) .(4+6) -(-1-a) ( -6+4) +(1-a)(-18 -8) = 
(7-a) .(10) +(1+a) ( -2) +(1-a)(-26) =
 70 -10a -2-2a-26+26a=
 14a=-42 
a= - 3 ... se a = -3 detM= 0 
Resp 
a= - 3
Determinar a equação geral pelo seguinte caso. O plano passa por A(2,0,-2) e é paralelo aos 
vetores u=i-j+k e v=2i+3j.
Mas, essa pergunta é de matemática e não de física ; w = u x v
/..i....j....k../
/.1...-1...1../ => 2j + 3k + 2k - 3i => (-3, 2, 5)
/.2....3...0../
Equação vetorial do plano:
(x - 2, y, z + 2) . (-3, 2, 5) = 0
-3x + 6 + 2y + 5z + 10 = 0
-3x + 2y + 5z + 16 = 0; É a nossa equação geral.
Escreva a equação geral do plano das retas paralelas: r: x-2/2=y-3/1-z-4/3 s: (x,y,z=(-
1,3,2)+(4,2,6)?
r: (x - 2)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/3 
s: (x,y,z) = (-1,3,2) + λ(4,2,6)
Podemos escrever s também na sua forma simétrica:
s: (x,y,z) = (-1,3,2) + (4λ,2λ,6λ)
s: (x,y,z) = (-1 + 4λ, 3 + 2λ, 2 + 6λ) 
x = -1 + 4λ ⇒ λ = (x + 1)/4
y = 3 + 2λ ⇒ λ = (y - 3)/2
z = 2 + 6λ ⇒ λ = (z - 2)/6
Agora, podemos escrever as equações de "r" e de "s" na forma simétrica:
r: (x - 2)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/3 
s : (x + 1)/4 = (y - 3)/2 = (z - 2)/6
Vamos começar a resolver o problema agora. Se arbitrarmos dois pontos, A e B, um em "r" e o
outro em "s", o segmentos de reta AB, que unirá as retas "r" e "s", pertencerá ao plano π 
formado pelas retas "r" e "s". 
Arbitraremos uma das três coordenadas do ponto A e do ponto B e deduziremos as outras 
duas. A escolha é totalmente arbitrária, mas vamos escolher, sempre que possível, valores 
"zero", para facilidade de cálculo. 
Escolha de um ponto A ∈ r
Escolhamos (x,y,z) = (0,y,z). Como A∈r, vamos substituir esses valores nas equações de r:
(0 - 2)/2 = (y - 3)/1 ⇒ y = 2
(2 - 3)/1 = (z - 4)/3 ⇒ z = 1
A(0,2,1)
Escolha de um ponto B ∈ s
Escolhamos (x,y,z) = (0,y,z). Como B∈s, vamos substituir esses valores nas equações de s:
(0 + 1)/4 = (y - 3)/2 ⇒ y = 7/2
(7/2 - 3)/2 = (z - 2)/6 ⇒ z = 8
B(0,7/2,8)
Estão aí dois pontos, A e B, com A∈r e B ∈ s. Podemos achar um vetor AB diretor da reta que 
passa pelo segmento AB:
AB = B - A = (0-0, 7/2-2, 8-1) = (0, 1/2, 7)
Um vetor, u, também diretor da reta que passa pelo segmento de reta AB, é:
u = 2AB = 2(0, 1/2, 7)
u = (0, 1, 14) (I)
Agora, tomemos um vetor diretor de uma das duas retas, "r" ou "s". Como a reta "s" já está 
escrita na forma paramétrica, a descoberta de um vetor diretor é imediata: o vetor (4, 2, 6) é 
um vetor diretor de "s". Claro que v = (2, 1, 3) também é um vetor diretor de "s".
Portanto, temos dois vetores, u e v, paralelos ao plano cuja equação queremos encontrar. 
Sabe-se que o produto vetorial de u por v é um vetor n, normal ao plano π:
n = u∧v
......i......j.....k
n = 0....1....14
......2....1.....3 
n = - 11i+ 28j - 2k
n = (-11, 28, -2)
Sabe-se que, se um vetor n = (a, b, c) é normal a um plano π,então a equação desse plano 
será:
π: ax + by + cz + d = 0 (II)
Ou seja, se o vetor n = (-11, 28, -2) é normal a um plano π, a equação desse plano será:
- 11x + 28y - 2z + d = 0 (III)
Falta achar d? Moleza!!! É só substituir qualquer ponto que pertença ao plano π (o ponto A, 
por exemplo) na equação (III):
A(0, 2, 1) ∈ π, então:
- 11(0) + 28(2) - 2(1) + d = 0
56 - 2 + d = 0
d = - 54
Substituindo d = - 54 na equação (III), temos, inalmente, a equação de π:
π : - 11x + 28y - 2z - 54 = 0
O plano contem os pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano 2x+y-z+8=0 como
calculo isso?
-Reta perpendicular ao plano que passa por A:
 (x-1)/2=(y+2)/1=(z-2)/(-1)
 x-y+z-5=0
 -Reta perpendicular ao plano que passa por B:
 (x+3)/2=(y-1)/1=(z+2)/(-1)
 x-y+z+6=0
 -Elegendo um ponto C pertencente a uma das retas perpendiculares ao plano, como, por 
exemplo, C(2,-2,1) que pertence a reta x-y+z-5=0, o plano que passa por A, B e C é:
 | (x-2)......(y+2).......(z-1) |
 | (1-2)......(-2+2)......(2-1) | = 0
 | (-3-2).....(1+2)......(-2-1) |
 3x-6+3y+6+5y+10+3z-3=0
 3x+8y+3z+7=0
Resposta:...3x+8y+3z+7=0
Sendo x=1+h-2t ; y=1-t ; z=4+2h-2t,equações paramétrica de um plano, obter a equação 
geral?
Isolando t na 2ª equação: t=1-y
Substituindo t na 3ª equação e isolando h:
z=4+2h-2(1-y) => z=4+2h-2+2y => z=2+2h+2y => h=(z-2-2y)/2
Substituindo t e h na 1ª equação:
x=1+(z-2-2y)/2 -2(1-y) multiplicando a equação em ambos os lados por 2:
2x=2 + z-2-2y - 4(1-y)
2x= z-2y -4 +4y
2x= z +2y -4
2x-2y-z+4=0
Obter a equação geral de um plano pelo seguinte caso. O plano passa pelos pontos A(2,1,2) 
B(1,-1,4) e é perpendicular ao plano xOy.
vamos la
vetor diretor = B-A = (1,-2,2)
plano alfa = (2,1,2)+t(1,-2,2) = 
x= 2+t
y= 1-2t
z= 2+2t com t E R okkk
Determinar a equação geral do plano que contém os pares de retas: r: x = z ;y = -3 e s: {x= 
-t ; y=1 ; z=2-t?
Observe:
Solução:
....{ x = z
r : { 
....{ y = - 3
e
.....{ x = 0 - 1.t
s : { y = 1 + 0.t
.....{ z = 2 - 1.t
Devemos encontrar um ponto de r e um ponto de s , pois sabemos que ambos pertencerá ao 
plano, temos que:
A( 1 , - 3 , 1 ) Є r e Є π₁
B( 0 , 1 , 2 ) Є s e Є π₁
Por outro lado;
▬►
AB = B - A = ( 0 , 1 , 2 ) - ( 1 , - 3 , 1 )
▬►
AB = ( - 1 , 4 , 1 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano π₁.
Podemos concluir que o vetor dirtor da reta s ( - 1 , 0 , - 1 ) = ( d , e , f ) Є π₁, já que a mesma 
está contida nele.
Adotando o ponto B( 0 , 1 , 2 ) = B( x₀ , y₀ , z₀ ), temos que:
│x - x₀.....y - y₀.....z - z₀│
│...a... ..... .b....... ....c...│ = 0
│...d.... ......e...... .....f....│
│x - 0.....y - 1....z - 2│
│- 1... .... .0... ...- 1..│ = 0
│- 1...... ...4... .....1..│
...- 1....... ... .... ...1
│..x.. .....y - 1....z - 2│
│- 1... .... .0... ...- 1..│ = 0
│- 1...... ...4... .....1..│
... ..x.. ...... ....z - 2
- 4z + 8 + y - 1 + y - 1 + 4x = 0
4x + 2y - 4z + 6 = 0 : 2
R ─────► π₁: 2x + y - 2z + 3 = 0
**Determine a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção do planos pi1
e p2?
A(2,0,1) pi1: 2x - 3y - 5z = 0 e pi2: x - y = 0
2x-3y-5z+A·(x-y)=0 com 2·2-3·0-5·1 + A(2-0)=0 --> 4-5+2A=0 -->
 A=1/2 --> (2+1/2)·x + (-3-1/2)·y - 5z=0 --> 5/2·x-7/2·y-5z=0 -->
 Plano: 5x-7y-10z=0
Determinar a equaçao do plano? Mediador do segmento de extremos A ( 1,-2,6) e B( 3 ,0 ,0)
O plano mediador de um segmento
é perpendicular ao mesmo, no seu ponto médio .
Calculo do ponto médio P do segmento
xm=(1+3)/2=4/2=2
ym=(-2+0)/2=-2/2=-1
zm=(6+0)/2=6/2=3
logo 
P(2, -1,3)
vetor AB=u=(3-1,0+2,0-6)=(2,2,-6)
u=(2,2,-6)
Um vetor v do plano perpendicular a u , tome um x , y, z do plano e combine com as 
coordenadas de P, ou
v=(x-2,y+1,z-3)
O sabe-se que produto escalar u.v=0 ,
fornece a equação do plano mediador
portanto
(2,2,-6).(x-2,y+1,z-3)=0
2x-4+2y+2-6z+18=0
2x+2y-6z+16=0
x+y-3z+8=0
ou
x+y-3z=-8
Resp: x+y-3z+8=0
ou
x+y-3z=-8
Prova, o ponto médio Pertence ao plano encontrado então suas coordenadas tem que 
satisfazer a equação do plano senão vejamos
P(2, -1,3) aplicado em x+y-3z=-8; 2-1-3.3= 2-10=-8 , de acordo
Determinar a equação geral do plano paralelo ao plano 2x-3y-z+5=0 e que contém o ponto 
a(1,2,3)?
Observe:
1ª Maneira:
Como o plano π a ser encontrado é paralelo ao plano 2x - 3y - z + 5 = 0 , logo ele terá o 
mesmo vetor normal ao plano ( 2 ).x + ( - 3 ).y + ( - 1 ).z + 5 = 0 , já que o vetor normal é 
ortogonal ao plano dado e ao plano a ser encontrado, daí; 
→
n = ( 2 , - 3 , - 1 )
Logo;
......... ....▬►.→
X Є π ⇔ AX . n = 0 . Então , pondo X = ( x , y , z ) , vem;
X Є π ⇔ [ ( x , y , z ) - ( 1 , 2 , 3 ) ].( 2 , - 3 , - 1 ) = 0
( x - 1 , y - 2 , z - 3 ).( 2 , - 3 , - 1 ) = 0
2.( x - 1 ) - 3.( y - 2 ) - 1.( z - 3 ) = 0
2x - 2 - 3y + 6 - z + 3 = 0
2x - 3y - z + 7 = 0
Portanto;
R ▬▬▬▬►π : 2x - 3y - z + 7 = 0
2ª Maneira:
Como o plano π a ser procurado possui vetor normal n = ( 2 , - 3 , - 1 ) , já que os planos são 
paralelos , então a sua equação geral é da forma : 2x - 3y - z = d. Como passa por A( 1 , 2 , 
3 ), temos:
2x - 3y - z = d ⇒ 2.1 - 3.2 - 1.3 = d ⇒ d = 2 - 6 - 3 ⇒ d = - 7
Daí;
2x - 3y - z = - 7
Portanto;
R ▬▬▬▬►π : 2x - 3y - z + 7 = 0
Dado os pontos A (3,-1,2) e R dada x=t y=2-t z= 3+2t? Determinar a equação geral do plano 
que contém o ponto e a reta dados.
Ola
 Passarei os principais pontos e você faz os cálculos;
 Dados:
 --> O ponto: A (3,-1,2)
 -->A reta r: x=t y=2-t z= 3+2t
 Determinar a equaçao geral do plano contendo o ponto A e a reta r
 Soluçao
 (passo 1)
 Escrevendo a equaçao vetorial da reta r (obtenho isto a partir das informaçoes dadas)
 B = (0,2,3) + t (1,-1,2)
 Dai temos 
o vetor diretor da reta r (primeiro vetor diretor)
 v=(1,-1,2)
 e o ponto de origem da reta r:
 P(0,2,3)
 (passo 2)
 Faça um desenho montrando a reta r e o ponto A, ponto A nao pertence a r; visualize tbem o 
veto v e o ponto P
 (passo 3)
 Vamos agora obter o segundo vetor diretor do plano:
 u = PA = A - P = (3,-1,2) - (0,2,3) = (3,-3,-1)
 
(passo 4)
 A equaçao vetorial do plano eh dada por:
 X = P + a u + b v
 com "a" e "b" sendo parametros reais. Dai
 (x,y,z) = (0,2,3) + a (3,-3,-1) + b (1,-1,2)
 Uma observaçao
 a partir da equaçao acima podemos escrever
 X - P = a u + b v ==> PX = a u + b v
 logo
 PX = X - P = (x-0, y-2,z-3)
 (passo 5)
 Os vetores u, v e PX sao Linearmente Dependentes (veriique isto), logo a equaçao geral do 
plano é calculada pelo seguinte determinante:
 det[PX, u, v] = 0
 ***aqui neste editor é impossivel representar uma matriz bem como o seu determinante, dai 
represente cada vetor numa linha; em seguida calcule o determinante (faça isto)
 det[ (x-0, y-2,z-3), (3,-3,-1) , (1,-1,2) ]=0
 Obtenha equaçao geral:
 x+y=0
Dado o ponto P(5,2,3) e o plano pi: 2x+y+z-3=0, determinar:?
a) Equações Paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a pi (Eu iz)
b)A projeção ortogonal de P sobre o plano pi
c)O ponto P' simétrico de P em relação a pi
d) A distância de P ao plano pi.
a)
 Vamos encontrar pontos que pertencem a pi:
 Sejam A(0,2,1), B(0,1,2) e C(2,-1,0). Todos satizfazem 2x+y+z-3=0
 Logo podemos escrever dois vetores diretores LI de pi como sendo
 (B-A) = (0,-1,1)
 (C-A) = (2,-3,-1)
 Seja r a reta que passa por P e é perpendicular a pi. Seja u = (a,b,c) um vetor diretor de r. Por
perpendicularidade devemos ter:
 1)
 u.(B-A) = 0 → (a,b,c).(0,-1,1) = 0 → b = c (i)
 2)
 u.(C-A) = 0 → (a,b,c).(2,-3,-1) = 0 → 2a - 3b - c = 0
 2a = 3b + c = 4c → a = 2c (ii)
 De (i) e (ii):
 (a,b,c) = (2c,c,c)
 Para c = 1 icamos com u = (2,1,1) e a equação paramétrica ica:
 (x,y,z) = (5,2,3) + t(2,1,1) = (5+2t,2+t,3+t)
 x = 5 + 2t
 y = 2 + t
 z = 3 + t
 b)
 Para um ponto Q(a,b,c) pertencente ao plano, devemos ter (P-Q) perpendicular a (B-A) = (0,-
1,1) e a (C-A) = (2,-3,-1). Dessa forma Q será a projeção ortogonal de P sobre pi.
 (P-Q) = (5-a, 2-b, 3-c)
 Por perpendicularidade devemos ter:
 1)(P-Q).(B-A) =0 → (5-a, 2-b, 3-c).(0,-1,1) = 0 
b - 2 + 3 - c = 0 → b = c - 1 (I)
 2)(P-Q).(C-A) = 0 → (5-a, 2-b, 3-c).(2,-3,-1) = 0
 10 - 2a + 3b - 6 + c - 3 = 0
 -2a + 3b + c = -1
 -2a + 3c - 3 + c = -1
 -2a = -4c + 2
 a = 2c - 1 (II)
 
De (I) e (II):
 Q = (a,b,c) = (2c-1,c-1,c)
 Mas Q pertence ao plano, logo,
 2(2c-1) + (c-1) + c - 3 = 0
 4c - 2 + c - 1 + c - 3 = 0
 c = 1
 Logo Q = (1,0,1)
 c)
 Temos que (P-Q) = (5,2,3) - (1,0,1) = (4,2,2)
 O ponto P' pode ser encontrado fazendo-se Q - (P-Q). Logo,
 P' = Q - (P-Q) = (1,0,1) - (4,2,2) = (-3,-2,-1)
 d)
A distância de P a pi é a magnitude do vetor (P-Q) = (4,2,2). Logo,
 d² = 4² + 2² + 2²
 d² = 16 + 8
 d² = 24
 d = 2√6
Determine, se possível, a equação geral do plano que contém o ponto A(1,2,1) e a reta 
interseção do plano com o plano yoz.
RESOLUÇÃO
1) Atribuir outros pontos para este plano. Sendo assim temos: A(1, 2, 1), B(0, 0, 1) e C(0, 0, 
5). Os pontos B e C, são pontos que pertencem ao plano y0z e x=0.
2) Achar os vetores: AB = B-A = (-1, -2, 0) e AC= C-A = (-1, -2, 4)
3) Veriicar se são linearmente independentes: AB= a x AC → (-1, -2, 0) = a x (-1, -2, 4). Neste 
caso, a = 1, a = 1 e a = 0. São linearmente independentes.
4) Veriicar a norma: AB x AC = det . Não pode ser nulo, pois, são linearmente independentes.
Logo AB x AC = -8i+4j+0K → Norma (-8, 4, 0)
5) Achar d: : -8x+4y+d = 0. Substituir o ponto A(1, 2, 1) na equação. -8.(1)+4.(2)+d=0. 
Sendo assim, d=0.
6) Encontrar a equação geral do plano: : -8x+4y=0.
Alguém pode me informar se estes procedimentos estão corretos? Como faço para achar a 
equação da reta interseção do plano com o plano yoz?
Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:?
A(3,-2,-1) e r: x+2y+z-1=0; 2x+y-z+7=0
Observe:
A( 3 , - 2 - 1 )
....{ x + 2y + z - 1 = 0
r : {
....{ 2x + y - z + 7 = 0
Solução:
Devemos encontrar dois pontos pertencentes a reta "r" , pois sabemos que ambos pertencerá
ao plano, temos que:
Fazendo z = 0 , substituindo na reta r,vem;
{ x + 2y + 0 - 1 = 0
{ 2x + y - 0 + 7 = 0
{ x + 2y = 1......x ( - 2 )
{ 2x + y = - 7
{- 2x - 4y = - 2
{ 2x + y = - 7
▬▬▬▬▬▬▬
......- 3y = - 9 ⇒ y = 3
Substituindo y = 3 em x + 2y = 1, vem:
x + 2y = 1 ⇒ x + 2.3 = 1 ⇒ x = 1 - 6 ⇒ x = - 5
Daí, temos o ponto B( - 5 , 3 , 0 ) Є r e Є π₁.
Obs. Para encontrar o outro ponto, basta fazer z = 1 seguindo o mesmo processo acima icará
como exercício para você, chegando ao ponto C( - 4 , 2 , 1 ) Є r e Є π₁. 
Por outro lado;
▬►
AB = B - A = ( - 5 , 3 , 0 ) - ( 3 , - 2 , - 1 )
▬►
AB = ( - 8 , 5 , 1 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano π₁.
▬►
AC = C - A = ( - 4 , 2 , 1 ) - ( 3 , - 2 , - 1 )
▬►
AC = ( - 7 , 4 , 2 ) = ( d , e , f ) , vetor diretor do plano π₁.
Adotando o ponto B( - 5 , 3 , 0 ) = B( x₀ , y₀ , z₀ ), temos que:
│x - x₀.....y - y₀.....z - z₀│
│...a... ..... .b....... ....c...│ = 0
│...d.... ......e...... .....f....│
│x - (-5).....y - 3....z - 0│
│..- 8.... .... .5... .... 1..│ = 0
│..- 7...... ....4... .....2..│
....- 7....... ...........2
│x + 5.....y - 3.... ..z│
│.- 8.... ... .5... .... 1│ = 0
│.- 7..........4... .....2│
...x + 5...... .........z
- 8.4.z + ( x + 5 ).5.2 - 7.( y - 3 ).1 - [ - 8.( y - 3 ).2 - 7.5.z + ( x + 5 ).4.1 ] = 0
- 32z + 10x + 50 - 7y + 21 - ( - 16y + 48 - 35z + 4x + 20 ) = 
10x - 4x + 16y - 7y + 35z - 32z + 50 + 21 - 48 - 20 = 0
6x + 9y + 3z + 3 = 0 : 3
Portanto;
R ─────► π₁: 2x + 3y + z + 1 = 0
DETERMINAR A EQUACAO GERAL DO PLANO QUE CONTEM O PONTO E A RETA DADOS:
 A(1,-2,1) E O EIXO DOS X
Observe:
Solução:
A( - 3 , 0 , 4 ) Є π₁
Ora, como o plano contém o eixo dos "x" , logo fornece dois pontos, são eles B( 1 , 0 , 0 ) e 
C( - 2 , 0 , 0 ), obviamente ambos contidos no plano.
Daí;
▬►
AB = B - A = ( 1 , 0 , 0 ) - ( 1 , - 2 , 1 )
▬►
AB = ( 0 , 2 , - 1 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano π₁.
e
▬►
AC = C - A = ( - 2 , 0 , 0 ) - ( 1 , - 2 , 1 )
▬►
AC = ( - 3 , 2 , - 1 ) = ( d , e , f ) , vetor diretor do plano π₁.
Adotando o ponto B( 1 , 0 , 0 ) = B( x₀ , y₀ , z₀ ), temos que:
│x - x₀.....y - y₀.....z - z₀│
│...a... ..... .b....... ....c...│ = 0
│...d.... ......e...... .....f....│
│x - 1....y + 0....z - 0│
│..0... .... .2... ...- 1..│ = 0
│- 3...... ...2... ...- 1..│
.. .- 3... ......- 1
│x - 1.....y......z│
│...0... . .2....- 1│ = 0
│- 3........2....- 1│
..x - 1..... .....z
- 2x + 2 + 3y + 6z + 2x - 2 = 0
3y + 6z = 0 : 3
y + 2z = 0 
R ─────► π₁: y + 2z = 0
Encontrar uma equação geral do plano determinado por esta retas?
r1: 3x-y-z=0
 8x-2y-3z+1=0
r2: x-3y+z+3=0
 3x-y-z+5=0
r1:
Da primeira equação tiramos que 
z = 3x - y (i)
Substituindo (i) na segunda equação, temos:
8x - 2y - 3(3x - y) + 1 = 0
x - y = 1 → x = y + 1 (ii)
Assim:
(x,y,z) = (y + 1, y, 3(y+1) - y) = (y+1, y, 2y+3) = (1,0,3) + y(1,1,2)
Logo u = (1,1,2) é um vetor diretor do plano e A(1,0,3) pertence ao plano
r2:
Da primeira equação:
z = -x + 3y - 3 (iii)
Substituindo (iii) na segunda equação:
3x - y - (-x + 3y - 3) + 5 = 0
4x - 4y = -8 → x = y - 2 (iv)
Logo,
(x,y,z) = (y-2, y, -(y-2) + 3y - 3) = (y-2, y, 2y-1)
(x,y,z) = (-2,0,-1) + y(1,1,2)
Portanto, B(-2,0,-1) pertence ao plano.
O vetor (A-B) será, portanto, um vetor diretor do plano:
(A-B) = (1,0,3)-(-2,0,-1) = (3,0,4)
Como (A-B) e u são LI, podemos escrever a seguinte equação de plano:
(x,y,z) = (1,0,3) + α(3,0,4) + ß(1,1,2) com α,ß reais
para chegarmos à equação geral do plano, basta notarmos que o produto vetorial de (A-B) e u
deve ser perpendicular ao plano e, portanto (A-B)∧u deve ser perpendicular a (x-1,y,z-3), que 
é um vetor do plano.
(A-B)∧u = 
| i j k|
|3 0 4| = -4i - 2j + 3k = (-4,-2,3)
|1 1 2|
Mas (A-B)∧u deve ser ortogonal a (x-1,y,z-3), logo
[(A-B)∧u].(x-1,y,z-3) = 0
(-4,-2,3).(x-1,y,z-3) = 0
-4x + 4 - 2y + 3z - 9 = 0
4x + 2y - 3z + 5 = 0
Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:?
(Questão 01) A(3,-1,2) e r: x = t
 y = 2 - t
 z = 3 + 2t
 
(Questão 02) A(1,-2,1) e o eixo dos z
A = (3, - 1, 2) e a reta r
x = t
y = 2 - t
z = 3 + 2t
r passa por P = (0, 2, 3)→ P - A = u = (- 3, 3, 1) é um vetor do plano
v = (1, - 1, 2) é o vetor diretor da reta r →uxv = n
|i j k|
|-3 3 1| = 7i + 7j + 0k = (1, 1, 0)
|1 -1 2| 
tomo esse n = (1, 1, 0) que é proporcional à (7,7,0)
logo a eq. do plano será:
x + y + 0z + d = 0 substituindo A nessa eq.
3 + (- 1) + 0 + d = 0→ d = - 2
x + y - 2 = 0
2) A = (1, - 2, 1) e o eixo dos z
A origem (0, 0, 0) pertence à reta z, eixo dos z,
A - O = (1, - 2, 1) = u, vetor pertencente ao plano e v = (0, 0, 1) é o vetor diretorda reta,eixo 
dos z 
uxv = n
|i j k|
|1 -2 1| = - 2i - j + 0k = (2, 1, 0)
|0 0 1|
2x + y + 0z + d = 0
0 + 0 + 0 + d =0→ d = 0
2x + y = 0
obs: resposta dada está errada (x + y = 0) para veriicar isso basta substituir A dado na 
equação
Determinar a equação geral do plano que contem o ponto e a reta dados: 
A(3,-1,2) e r: x=t ; y=2-t; z=3+2t
Observe:
Solução:
....{ x = 0 + 1.t
r : { y = 2 - 3.t
....{ z = 3 + 2.t
A( 3 , - 1 , 2 ) Є π₁e B( 0 , 2 , 3 ) Є r e a π₁também, já que a reta está contida no plano.
Por outro lado;
▬►
AB = B - A = ( 0 , 2 , 3 ) - ( 3 , - 1 , 2 )
▬►
AB = ( - 3 , 3 , 1 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano Є π₁.
Como a reta está contida no plano, logo o seu vetor diretor ( 1 , - 3 , 2 ) = ( d , e , f ) Є π₁.
Adotando o ponto A( 3 , - 1 , 2 ) = A( x₀ , y₀ , z₀ ), temos que:
│x - x₀.....y - y₀.....z - z₀│
│...a... ..... .b....... ....c...│ = 0
│...d.... ......e...... .....f....│
│x - 3.....y + 1....z - 2│
│.- 3... .... .3... .....1..│ = 0
│.. 1... ...- 3... ......2..│
... ...1.. ....... .......2
│x - 3.....y + 1....z - 2│
│.- 3... .... .3... .....1..│ = 0
│.. 1... ...- 3... ......2..│
...x - 3... ...... ...z - 2
9z - 18 + 6x - 18 + y + 1 - ( - 6y - 6 + 3z - 6 - 3x + 9 ) = 0
6x + 3x + y + 6y + 9z - 3z - 35 + 3 = 0
9x + 7y + 6z - 32 = 0
R ─────► π₁: 9x + 7y + 6z - 32 = 0
Determinar a equação geral do plano perpendicular a reta r{x=2y-3, z=-y+1} e que contem o
ponto A(1,2,3);?
Em 
x=2y-3, 
z=-y+1Encontre dois pontos da reta r ou 
se x=1 ,,
1=2y-3, ,,,,,, 2y=4..... y= 2 
z=-2+1,,,,,,, z= -1...................................... P1(1, 2, -1)
se x=3 ,,
3=2y-3, ,,,,,, 2y=6..... y= 3
z=-3+1,,,,,,, z= -2...................................... P2(3, 3, -2)
logo um vetor v na direçao da reta r é 
v=(2, 1, -1)
Um vetor u do plano , lembrando que A(1,2,3); pertence ao plano , é 
u=(x-1,y-2,z-3) 
como sao perpendiculares entao o produto escalar uv= 0 ..... entao 
(x-1,y-2,z-3) (2, 1, -1)=0
2x-2+y-2-z+3=0 
2x+y-z-1=0
Resp
2x+y-z-1=0
Como determinar a equação geral do plano perpendicular a reta r: x= 2+2t y= 1-3t 
z= 4t? 
E que tenha o ponto A(-1,2,3).
A reta r tem como vetor diretor (2, -3, 4).
Um plano tem a equação:
ax + by + cz + d = 0
a, b, e c são exatamente as coordenadas do vetor perpedicular ao plano, então, valem 2, -3 e 
4 respectivamente
Tendo a equação:
2x -3y + 4z + d = 0
e sabendo que o ponto (-1,2,-3) pertence a ele
2*(-1) -3*2 +4*(-3) + d = 0
-2 -6 -12 = -d
d = -20
A equação é:
2x -3y + 4z -20 = 0
1)Determinar a equação geral do plano. Dados: R:{x= 2+t ; y=1-t ; z=3+2t ; e é 
perpendicular ao plano: pi=2x+2y-3z=0
 2)Determinar a equação geral do plano. Dados: R1{x=1+2t ; y=-2+3t ; z=3-t; R2{x=1-2t ; 
y=-2-y ; z=3+2t
1) determinar a equação geral do plano que contém a reta 
r; {x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t} e que é perpendicular ao plano pi: 2x + 2y - 3z = 0
 r pertence ao plano à ser determinado → v = (1, -1, 2) é o vetor diretor da reta e n = (2, 2, - 
3) normal à pi também pertence ao plano →vxn = n1 (normal ao plano)
 |i j k|
 |1 - 1 2 | = - i + 7j + 4k = (- 1, 7, 4) = n1 
|2 2 -3|
 - x + 7y + 4z + d = 0; P = (2, 1, 3)
 - 2 + 7 + 12 + d = 0
 d + 17 = 0 → d = - 17
 - x + 7y + 4z - 17 = 0
 2)determinar o plano dados
 r1:{x = 1 + 2t, y = - 2 + 3t, z = 3 - t} P = (1, - 2, 3) e u = (2, 3, - 1)
 r2: {x = 1 - 2t, y = - 2 - t, z = 3 + 2t} Q = (1, - 2, 3) e v = (- 2, - 1, 2)
 As retas são concorrentes, pois tem um ponto em comum P = Q → uxv = n
 |i j k|
 |2 3 -1| = 5i - 2j + 4k = (5, - 2, 4) = n
 |-2 -1 2| 
5x - 2y + 4z + d = 0; P = (1, - 2, 3)
 5 + 4 + 12 + d = 0
 d + 21 = 0 → d = - 21
 5x - 2y + 4z - 21 = 0
Determinar a equacao geral do plano que contem o ponto e a reta dados:?
A( 1 2 1) e a reta interseção do plano pi = x-2y+z-3=0 com o plano y0z
Observe:
 
A( 1 , 2 , 1 ) e r : π ∩ y0z.
 
Solução:
 
y0z ⇒ x = 0 , daí;
 
0 - 2y + z - 3 = 0 ⇒ - 2y + z = 3
 
Logo;
 
....{ - 2y + z = 3
 r : {
 ....{ x = 0
 
Basta, encontrarmos dois pontos da reta "r", temos que :
 
B( 0 , - 1 , 1 ) Є r
 
C( 0 , 1 , 5 ) Є r
 
Então;
 
▬►
 AB = B - A = ( 0 , - 1 , 1 ) - ( 1 , 2 , 1 )
 
▬►
 AB = ( - 1 , - 3 , 0 ) = ( d , e , f )
 
Ainda;
 
▬►
 AC = C - A = ( 0 , 1 , 5 ) - ( 1 , 2 , 1 )
 
▬►
 AC = ( - 1 , - 1 , 4 ) = ( a , b , c )
 
Adotando o ponto A( 1 , 2 , 1 ) = A( x₀ , y₀ , z₀ ), temos que:
 
│x - x₀.....y - y₀.....z - z₀│
 │...a... ..... .b....... ....c...│ = 0
 │...d.... ......e...... .....f....│
 
│x - 1.....y - 2.....z - 1│
 │.- 1... ...- 1.... .....4..│ = 0
 │.- 1... ...- 3... ......0..│
 
.... ..- 1...... ...... .0
 │x - 1.....y - 2.....z - 1│
 │.- 1... ...- 1.... .....4..│ = 0
 │.- 1... ...- 3... ......0..│
 ... x - 1.. ....... .z - 1
 
3z - 3 - 4y + 8 - z + 1 + 12x - 12 = 0
 
12x - 4y + 2z - 6 = 0 : 2
 
R ─────► π₁: 6x - 2y + z - 3 = 0
Determinar a equação geral do plano "Pi" onde as retas r e s estão contidas nesse plano:
r: x = t 
y = 2t + 1 
z = -3t - 2
s: x = -1 +2t
y = +4t
z = 3 - 6t
Achar 1 vetor em cada reta, que será vetor do plano "Pi" produto vetorial destes 2 será um 
vetor normal do plano.
Encontarando 2 pontos em r, faz t = ?, construindo um vetor com 2 pontos.
para t = 0, A = (0, 1, -2)
para t = 1, B = (1, 3, -5) ......... vetor AB = B - A = (1, 2, -3)
Encontarando 2 pontos em s, faz t = ?, construindo um vetor com 2 pontos.
para t = 0, C = (-1, 0, 3)
para t = 1, D = (1, 4, -3) ......... vetor CD = D - C = (2, 4, -6) 
Os vetores são paralelos, então retas paralelas, portanto temos que pegar um vetor formado 
por 1 ponto de cada reta para fazer o produto vetorial e achar um vetor normal.
vetor CA = A - C = (1, 1, -5)
Produto vetorial entre os 2 vetores (NÃO MULTIPLOS), será um vetor ortogonal a ambos, 
portanto normal a um plano que os contenham, AB ^ CA =
i .. j .. k
1 . 2 . -3
1 . 1 . -5 = -10i - 3j + k - 2k + 5j + 3i = (-7, 2, -1)
O vetor normal tem coodenadas a, b, c, onde
ax + by + cz + d = 0, é a equação do plano
d encontra-se substituindo um ponto qq do plano, 
como "Pi" contem as retas r e s, terá tb os pontos de r e s.
-7x + 2y - z + d = 0, substituindo o ponto C = (-1, 0, 3), pode ser qq ponto, teste!
-7*(-1) + 2*0 - 3 + d = 0 ....... d = -4
Eq geral do plano
-7x + 2y - z - 4 = 0 ou seus múltiplos, exemplo 7x - 2y + z + 4 = 0
• Determine a equação geral do Plano pi que passa por A(-1,2,-1) e é paralelo ás retas
 r1 : y = x ... Z = 1 -3x . e Reta r2 = .. r2: 2x = y = 3z
Observe:
Determine a equação geral do plano π que passa por A( - 1 , 2 , - 1 ) e é paralelo as retas
......{ y = x
r₁: { 
......{ z = 1 - 3x
e r₂: 2x = y = 3z 
Solução:
r₁: ( x , y , z ) = ( x , x , 1 - 3x ) = ( 0 , 0 , 1 ) + ( x , x , - 3x ) 
r₁: ( x , y , z ) = ( 0 , 0 , 1 ) + x.( 1 , 1 , - 3 ) 
Logo, o vetor diretor de r₁v = ( 1 , 1 , - 3 ) Є π ( pois o mesmo é paralelo a reta r₁). 
Podemos escrever a reta r₂: 2x = y = 3z como :
r₂: x/( 1/2 ) = y/1 = z/( 1/3 )
Logo, o vetor diretor de r₂u = ( 1/2 , 1 , 1/3 ) Є π ( pois o mesmo é paralelo a reta r₂). 
Daí;
│x - x₀.... y - y₀.....z - z₀│
│...a.... ......b..... ......c....│ = 0
│...d..... .....e...... .....f.....│
Como π passa por A( - 1 , 2 , - 1 ) = A( x₀ , y₀ , z₀ ) ; u = ( 1/2 , 1 , 1/3 ) = ( a , b , c ) e v = ( 1 , 
1 , - 3 ) = ( d , e ,f ) , vem :
│x + 1.... y - 2.....z + 1│
│.1/2.... .....1..... ..1/3..│ = 0
│...1..... .....1...... .- 3..│
.......1.... ........ ..- 3
│x + 1.... y - 2.....z + 1│
│.1/2.... .....1..... ..1/3..│ = 0
│...1..... .....1...... .- 3..│
.....x + 1.... ......z + 1
(1/2).1.(z+1) + (x+1).1.(- 3) + 1.(y-2).(1/3) - [ (1/2).(y-2).(-3) + 1.1.(z+1) + (x+1).1.(1/3) ] = 0
[ (z + 1)/2 ] - 3x - 3 + [ ( y - 2 )/3 ] - { [ ( - 3y + 6 )/2 ] + z + 1 + [ ( x + 1 )/3 ] } = 0
[ ( - x - 1 + y - 2 )/3 ] + [ ( 3y - 6 + z + 1 )/2 ] - 3x - 3 - z - 1 = 0
[ ( - x + y - 3 )/3 ] + [ ( 3y + z - 5 )/2 ] - 3x - z - 4 = 0
( - 2x + 2y - 6 + 9y + 3z - 15 - 18x - 6z - 24 )/6 = 0
- 20x + 11y - 3z - 45 = 0 ⇒ 20x - 11y + 3z + 45 = 0
Portanto;
R ───────► π : 20x - 11y + 3z + 45 = 0
Determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas
{x = -3+t
{y = -t
{z = 4 
e
{ x+2/2 = y-1/-2; z = 0
Observe:
Solução:
....{ x = - 3 + 1.t
r : { y = 0 - 1.t
....{ z = 4 + 0.t
e
.....{ ( x + 2 )/2 = ( y - 1 )/- 2
s : { 
.....{ z = 0
Devemos encontrar um ponto de r e um ponto de s , pois sabemos que ambos pertencerá ao 
plano, já que as mesmas estão contidas no plano, vem;
A( - 3 , 0 , 4 ) Є r e Є π₁
Ainda;
( x + 2 )/2 = ( y - 1 )/- 2 ⇒ x + 2 = [ 2.( y - 1 ) ]/- 2 ⇒ x + 2 = - ( y - 1 ) ⇒ x + 2 = 1 - y ⇒ 
x = - 1 - y 
Fazendo x = 0 , temos;
x = - 1 - y ⇒ 0 = - 1 - y ⇒ y = - 1
Como z = 0 , temos o seguinte ponto B( 0 , - 1 , 0 ) Є s e Є π₁.
Por outro lado;
▬►
AB = B - A = ( 0 , - 1 , 0 ) - ( - 3 , 0 , 4 )
▬►
AB = ( 3 , - 1 , - 4 ) = ( a , b , c ) , vetor diretor do plano π₁.
Podemos concluir que o vetor diretor da reta "r" ( 1 , - 1 , 0 ) = ( d , e , f ) é também vetor 
diretor do plano π₁, já que a mesma está contida nele.
Adotando o ponto B( 0 , - 1 , 0 ) = B( x₀ , y₀ , z₀ ), temos que:
│x - x₀.....y - y₀.....z - z₀│
│...a... ..... .b....... ....c...│ = 0
│...d.... ......e...... .....f....│
│x - 0....y + 1....z - 0│
│..3... ....- 1... ...- 4..│ = 0
│..1...... .- 1... .....0..│
... 1... ...... ......0
│x.......y + 1.......z│
│3... ....- 1... ....- 4│ = 0
│1...... .- 1... ......0│
....x.... ..... .... .z
- 3z - 4y - 4 + z - 4x = 0
- 4x - 4y - 2z - 4 = 0 : ( - 2 )
2x + 2y + z + 2 =0
R ─────► π₁: 2x + 2y + z + 2 = 0
Determinar uma equação geral para o plano que?
Contém as retas:
r:
x= - 3+t
y = -t
z=4
e
s:
x = -2 + 2n
y = 1 - 2n
z=0
A(1,-1,0)
g(-1,-1,4)
A^B=(-4,-4,-2)
-4x-4y-2z+D=0
8-4+D=0 ==>D=-4
-4x-4y-2z-4=0
2x + 2y + z + 2 = 0
Determinar a equação geral do plano que contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos 
planos alfa: 2x - y - 4z - 6 =0 e Beta: x + y + 2z - 3 = 0
Ora, como os planos α e β ´´não são paralelos``, pois as suas normas não são múltiplas entre 
si, logo eles se cortam, ver igura:
http://img18.imageshack.us/img18/7239/pl…
Resolução:
α: 2x - y - 4z = 6 e β: x + y + 2z = 3
Vamos encontrar o vetor normal de α e β, respectivamente,temos:
→
n = (2 , - 1 , - 4)
→
N = (1 , 1 , 2)
Como o plano θ é perpendicular aos planos α e β, logo os vetores normais de α e β são os 
´´vetores diretores( u e v )`` do plano θ, então;
→...→
u = n = ( a , b , c ) = (2 , - 1 , - 4)
→...→
v = N = ( d , e , f ) = (1 , 1 , 2)
A = ( xo , yo , zo )
→
w = ( x - xo , y - yo , z - zo ) = ( x - 4 , y - 1 , z - 0 )
.........→..→....→
Como u , v e w são linearmente dependentes, vem;
|x - 4....y - 1 ....z - 0|
|a...........b..........c..| = 0
|d...........e..........f...|
http://img18.imageshack.us/img18/7239/planosrcapi.jpg
.......1.............2
|x - 4....y - 1....z |
|2.........- 1......- 4| = 0
|1...........1........2|
..x - 4.............z
2.1.z + (x - 4).(-1).2 + 1(y-1).(-4) - [ 2.(y-1).2 + 1.(-1).z + (x-4).1.(-4)] = 0
2z - 2x + 8 - 4y + 4 - ( 4y - 4 - z - 4x + 16 ) = 0
- 2x + 4x - 4y - 4y + 2z + z + 12 - 12 = 0
2x - 8y + 3z = 0 ▬►equação geral do plano
R ▬▬► θ : 2x - 8y + 3z = 0 
DETLHES:
Para provar , basta você multiplicar as normas de θ e α e igualar a zero e multiplicar as 
normas θ e β e igualar a zero se zerar é por que é verdadeiro, certo?
→..→
m. n = 0 ▬► (2 , - 8, 3 ).(2 , - 1 , - 4) = 0 ► 4 + 8 - 12 = 0 , ok!
→..→
m. n = 0 ▬► (2 , - 8 , 3).(1 , 1 , 2) = 0 ►2 - 8 + 6 = 0 , ok
Se fosse para encontrar a equação paramétrica, teríamos
{ x = xo + αa + βd
{ y = yo + αb + βe
{ z = zo + αc + βf
Obs. O plano α não é perpendicular ao plano β, o desenho não icou perfeito...
Determinar a equação geral do plano que é paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A 
(0,3,1) e B(2,0,-1).
Resposta: 3x+2y-6=0
2)Determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:
2) r: x = z ;y = -3
e
{x= -t
s:{y= 1
{z= 2 - t 
Resposta: 2x + y - 2z + 3 = 0
1)
A(0, 3, 1)
B(2, 0, -1)
Como o plano é paralelo ao eixo Z então pode-se deduzir um outro ponto a partir do ponto A 
ou B.
Como B(2, 0, -1) -> C(2, 0, z), onde z pode ser qualquer número. Para facilitar os cálculos 
vamos fazer z=0
Assim 
C(2, 0, 0)
3 Pontos distintos é suiciente para determinar um plano.
Equação geral do plano:
ax + by + cz + d = 0
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano
e d= -(ax0 + by0 + cz0)
Cálculo do vetor Normal
Vetor AB = B - A = (2, 0, -1) - (0, 3, 1) = (2, -3, -2)
Vetor AC = C - A = (2, 0, 0) - (0, 3, 1) = (2, -3, -1)
N = Produto interno entre AB e AC
AC x AB = (2, -3, -1) x (2, -3, -2) = (3, 2, 0)
Deste modo:
a = 3
b = 2
c = 0
Cálculo de 'd', sendo (x0, y0, x0) = C(2, 0, 0)
d= -(ax0 + by0 + cz0)
d= -(3.x0 + 2.y0 + 0.z0)
d= -(3.2 + 2.0 + 0.0)
d= -6
Assim:
ax + by + cz + d = 0
3x + 2y + 0z - 6 = 0
3x + 2y - 6 = 0
Resp: A eq do plano é: 3x + 2y - 6 = 0
Que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(5,-1,4) e B(-1,-7,1) e seja 
perpendicular a ele.
ponto médio de AB
Pm=((5-1)/2 , (-1-7)/2 , (4+1)/2 )
Pm=(2 , -4 , 5/2)
Um vetor PmB =v na direção AB
v=(-1-2 , -7+4 , 1-5/2)
v=( -3 , -3 , -3/2)
Um vetor u , que pertence ao plano que passa por Pm= (2 , -4 , 5/2) e P(x,y,z), logo
u=(x-2,y+4,z-5/2)
 O produto escalar de dois vetores perpendiculares é nulo.
Se u e v sao perpendiculares, entao o produto escalr uv= 0 #
logo 
(x-2,y+4,z-5/2)=( -3 , -3 , -3/2)=0,,, 
ou
-3x+6-3y-12-3z/2+15/4=0,, multiplicando por -4 vem que
12x+12y+6z-24+48-15=0
12x+12y+6z+9=0,, dividindo por 3 ica
4x+4y+2z+3=0 ,,, que é a equaçao do plano procurado 
Resp 
4x+4y+2z+3=0 
Prova 
se passa por Pm=(2 , -4 , 5/2) entao substituindo teremos que ter 0 
4.2+4 .-4+2 .5/2+3= 8 -16+5+3= -8 +8= 0 ,,, de acordo
Como determinar a equaçao geral do plano paralelo ao eixo do x e que contem os pontos 
A(0,3,1) e B(2,0,1)?
Um plano é paralelo ao eixo x, quando suas coordenadas são (x, 0, 0).
primeiro vamos calcular o vetor AB, que chamarei de v(AB);
v(AB) = B - A = (2, -3, 0)
Calcular o ponto médio PM
PM = A+B/2 = (1, 3/2, 1)
Agora só utilizar a expressão
x-x1/a = y-y1/b = z-z1/c
Só que (x1, y1, z1) são as coordenadas do ponto PM
Só que (a, b, c) são as coordenadas do v(AB)
Paralelo ao eixo x, a =0
Como a coordenada c do vetor v(AB) é nula isso signiica q o plano tbm é paralelo a eixo z.
Assim, a minha expressão ica simplicada:
y-y1/b = 0
(y - 3/2)/2 = 0
y - 3/2 = 0
y = 3/2
ou
2y - 3 =0
podem ser a equação geral do plano
ou seja,
O plano é perpendicular ao y porque o plano é paralelo ao eixos x e z, x0z.
Dadas as retas r: x-2/2 = y/2 =z e s: x-2 = y=z obtenha uma equaçao geral para o plano 
determinado por r e s?
Para que tantos cálculos para resolver essa questão,veja uma maneira bem simples e 
eiciente. 
basta pegar (2, 0 ,0) da primeira reta ou (2 , 0 , 0) da segunda reta perceba que são os 
mesmos. e os valores (2, 2 ,1) reta r e (1 , 1 ,1) reta s( esses valores são os denominadores, 
da reta r e da reta s respectivamente,ok). montando o determinante(fórmula).
 
|x-2´´´´y-0´´´´z-0|
 |2´´´´´´2´´´´´´´´1´´| =0
 |1´´´´´´1´´´´´´´´1´´|
 
|x-2´´´´y´´´´z|
 |2´´´´´´2´´´´´1| =0
 |1´´´´´´1´´´´´1|
 
2z+2x-4+y-2y-2z-x+2=0 ---> x - y - 2 = 0---> x - y = 2 ( basta isso, não deu trabalho nenhum
não é mesmo)
O plano contem os pontos A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano 2x+y-
z+8=0 como calculo isso?
O problema pede uma equação geral do plano!
r:
x = 2 + t
y = 1 - t
z = 3 + 2t
(x, y, z) = (2, 1, 3) + t(1, -1, 2)
pi:
2x + 2y - 3z = 0
(2, 2, -3) . (x - 0, y - 0, z - 0) = 0
precisamos encontrar o vetor normal ao plano. temos que (1, -1, 2) aponta em alguma 
direção no plano e que (2, 2, -3) também. assim, o nosso vetor desejado é simultaneamente 
perpendicular a ambos, basta fazer o produto vetorial:
/..i...j....k./
/.1..-1...2./ = 3i + 4j + 2k + 2k - 4i + 3j => (-1, 7, 4)
/.2...2..-3./
agora precisamos de um ponto pertencente ao plano, basta pegar um ponto da reta r ;) por 
exemplo: (2, 1, 3)
assim:
(x - 2, y - 1, z - 3) . (-1, 7, 4) = 0
-x + 2 + 7y - 7 + 4z - 12 = 0
- x + 7y + 4z - 17 = 0
temos que a equação geral do plano é:
>>>>> [x - 7y - 4z + 17 = 0] <<<<<<<
Mostre que as retas são paralelas e determine uma equação do plano que elas 
determinam!?
Mostre que as retas x=2+t , y=3+2t , z=4-t e x=3-t , y=4-2t , z=t são paralelas e determine 
uma equação do plano que elas determinam!
O vetor diretor da reta
x = 2+1t
y = 3+2t
z = 4-1t
é (1,2,-1) (você viu por que? Esses são os números que estão na frente do t)
O vetor diretor da reta
x = 3-1t
y = 4-2t
z = 1t
é (-1,-2,1), que é extatamente o vetor anterior vezes -1.
Ora, multiplicar o vetor por -1 não muda a sua direção (apenas o seu sentido). 
Isso signiica que ambas as retas estão na mesma direção. Logo, são paralelas.
Para traçar um plano, precisamos de 3 pontos que não estejam na mesma reta. Vamos pegar 
dois pontos da primeira reta e um ponto da segunda.
Podemos ter quaisquer pontos. Por isso, vamos simpliicar e fazer t=0 (em ambas as retas) e 
t=1 (só na primeira). Teremos então 3 pontos:
t=0 na primeira reta: A(2,3,4)
t=0 na segunda reta: B(3,4,1)
t=1 na primeira reta: C(3,5,3)
Um plano é descrito pelo seu vetor normal.
Para calcular o vetor normal no plano que passa por 3 pontos, calculamos 2 vetores a partir 
desses 3 pontos e, a seguir, calculamos o produto vetorial desses 2 vetores. O vetor obtido 
pelo produto vetorial será normal ao plano que contém os pontos.
Assim, vemos calcular os vetores AB e AC, por exemplo:
AB = B - A = (3,4,1) - (2,3,4) = (1,1,-3)
AC =C - A = (3,5,3) - (2,3,4) = (1,2,-1)
O produto vetorial de AB e AC se calcula pelo determinante
| i j k|
|1 1 -3|
|1 2 - 1|
que é igual a 5i-2j+1k, que corresponde ao vetor (5,-2,1).
Este é o vetor normal do plano que parra pelos pontos A, B e C (e contém as duas retas 
acima).
O plano cujo vetor normal é (5,-2,1) é o plano
5x-2y+1z=d
onde d é uma constante a ser determinada. Por que isso? Por que existem vários planos que 
são perpendiculares a um mesmo vetor (são todos planos paralelos). Para saber qual desses 
planos queremos, precisamos especiicar um ponto que esteja contido nesse plano (isso é 
suiciente para distinguir o plano, pois nenhum plano paralelo a ele passa por esse ponto).
Podemos escolher qualquer ponto que esteja no plano (ou seja, qualquer ponto de qualquer 
uma das retas do enunciado).
Vamos, por exemplo, escolher o ponto A=(2,3,4)
Substituindo esse ponto na equação do plano, 5x-2y+1z=d, temos
10 - 6 + 4 = d
d = 8
Assim, a equação do plano determinado pelas retas é
5x-2y+1z=8
Determine uma equação geral do plano.? Dadas as retas concorrentes de equações r: X 
= (1,-2,1) +t(1,3,3) e s: X = (2,1,0)+t'(1,3,-1)
e (1,3,-1) note que eles pertencem ao plano procurado,pois duas retas concorretes 
determinam um plano, agora e so montar o determinante;
(x-2,,,y-1,,z-0) 
(1,,,,,,3,,,,,,,3) =0
(1,,,,,,3,,,,,,-1)
é só calcular o valor do determinante e encontrara a equação geral do plano...
Determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:
r: x = z ;y = -3
e
x= -t
s:y= 1
z= 2 – t
A equação vetorial é X = (0,0, -3) + p(1,1,-3) + q(-1,1,-1) faça X = (a,b,c) logo os 
vetores 
(a,b,c + 3), (1,1,-3) e (-1,1,-1) são coplanares então o determinante da matriz 
formada por estes vetores é igual a zero
Dados o ponto A=(1,0,2) e as retas r e s de equações: r : P=(0,-4,2)+t(3-2,0) e s : 
x+6=y=(z-2)/5 ,
pede-se:
a)A equação geral do plano "pi" que contém as retas r e s.
b)As equações paramétricas da reta r ortogonal ao plano "pi" e que contém o ponto
A.
c)A interseção da reta r com o plano "pi" .
A reta r é representada por uma equação paramétrica ( de parâmetro t ) :
P = (x,y,z) = (0,-4,2) + t .(3,-2,0)
Desenvolvendo , temos :
x = 3t
y = -4 -2t
z = 2
Logo , (0,-4,2) E r (E---> pertence)
( 3,-2,0) é um vetor diretor de r (// r )
A reta s é representada pela equação normal ou simétrica :
( x + 6 )/1 = y/1 = ( z - 2 )/5
Logo , (-6,0,2) E s
( 1,1,5 ) é um vetor diretor de s (// s )
Deinidas as retas r e s , vamos as perguntas :
a ) Um plano em R³ pode ser deinido por sua equação cartesiana :
Ax + By + Cz + D = 0 , onde :
(A,B,C) é um vetor normal ao plano (ortogonal)
Observe que as retas r e s devem ser perpendiculares ao vetor (A,B,C), pois elas 
pertencem ao plano .
Então : (3,-2,0) e (1,1,5 ) são normais à ( A,B,C )
Encontrando o produto vetorial entre r e s , encontraremos a direção do vetor 
(A,B,C).
r x s --> é o valor do determinante cuja 1ª linha é i , j , k , 2ª linha é 3 , -2 , 0 e 3ª 
linha é 1 , 1 , 5 .
Resolvendo esse determinate você encontrará :
r x s = ( -10,-15,5 ) = 5( -2,-3,1) 
Portanto , (A,B,C) = ( -2,-3,1)
Plano "pi":
-2x -3y +1z + D = 0
Para encontrarmos D , basta substituímos um dos pontos dados de r ou s :
( 0,-4,2) E "pi"
-2.0 - 3.(-4) + 1.2 + D = 0
12 + 2 + D = 0
D = - 14
Finalmente a equação do plano "pi" :
-2x - 3y + z - 14 = 0
ou
2x + 3y - z + 14 = 0
b ) As equações paramétricas da reta ortogonal ao plano "pi" têm vetor diretor 
(2,3,-1) e passam por (1,0,2) , então ,
r : x = 1 + 2t
y = 3t
z = 2 - t
c ) Basta substituímos os valores encontrados acima na equação do plano "pi" ;
2.(1 + 2t) + 3.(3t) - (2-t) + 14 = 0
2 + 4t + 9t - 2 + t + 14 = 0
14t = -14
t = -1
Portanto a intersecção desejada (I) :
X = 1 + 2.(-1) = 1-2 = -1
Y = 3.(-1) = -3
Z = 2 - (-1) = 3 
I = ( -1,-3,3)
OBS : Eu considerei a reta r do ítem b , e não do enunciado lá de cima , ok ?
Determine a eq. geral do plano que contem o ponto A(3, -2, -1) e a reta r 3x - y + z -
3 =0 ; x +3y + 2z + 4 =0
eq. geral do plano: ax+by+cz=d. 
1) Determinar a,b,c 
Acho que seu enunciado tem um problema... r é a reta que é intersecção dos planos
α: 3x-y+z-3=0
β: x+3y+2z+4=0
fazendo x=λ
-y+z-3=-3λ
3y+2z+4=-λ
5z-9+4=-10λ
5z=5-10λ => z=1-2λ
-y+1-2λ=-3λ
-y=-1-λ=> y=1+λ
Portanto: r: (x,y,z)= (λ,1+λ, 1-2λ) = (0,1, 1) + (λ,λ, -2λ) = (0,1, 1) + λ(1,1, -2) 
fazendo v=(1,1, -2) e u=A- (0,1, 1) = (3, -2, -2) - (0,1, 1) = (3,-3,-3)
o vetor w=vxu nos dará os coeicientes (a,b,c)
w= u x u
| i j k |
| 1 1 -2 | = (-3-6)i-(-3+6)j+(-3-3)k= -9i-3j-6k = (-9, -3, -6)
| 3 -3 -3 | 
Então, (a,b,c) pode ser qualquer vetor paralelo a (-9,-3,-6)
(a,b,c) = (3,1,2)
3x+y+2z=d
Para determinar d, basta substituir por A:
3.3+1.-2+2.-1=d
9-2+-2=d
5=d
===============================
Equação geral 
3x+y+2z+5=0
Determine a equação do plano: que passa pelo ponto (6,0,-2) e contem a reta 
x=4-2t
 y=3+5t
 z=7+4t
Vetor diretor n = (-2,5,4)
O plano tem como equação na forma de 
π = -2x + 5y + 4z + d = 0
e como o ponto (6,0,-2) pertence À reta, substituímos na equação para achar d :
π = -2(6) + 5(0) + 4(-2) + d = 0
π = -12 - 8 + d = 0
d = 20
achamos d, logo, a equação deste plano é
π = -2x + 5y + 4z + 20 = 0
Sejam dados dois planos π1:2x-5y-9z+9=0 e π2: x-2y-4z+3=0..?
a)Determine equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π1 e π2.
b)Encontre uma equação geral do plano π que contém a reta r e que passa pela 
origem O=(0,0,0)
π1:2x-5y-9z+9=0 e π2: x-2y-4z+3=0..
2x-5y-9z+9=0. . 
-2x+4y+8z -6=0... . . -y-z+3= . . . .y = 3-w.; z=w
x-2(3-w)-4w+3=0
x-6+2w-4w+3=0
x = 2w+3
r = 2w+3, 3-w, w <======= (a)
Plano tt
Seja tt : ax+by+cy=0
três pontos de tt : (0, 0, 0); (3. 3, 0) e (6, 0, 3)
resolver o sistema:
3a+3b=0
6a+3c=0. . . .a=1, b=-1 c= -2
tt : x-y-2z = 0 <======= (b)
Dar a equação dos planos que passa pelos pontos A (-1,1,7) e B (2,4,5) e é paralelo 
ao vetor v = (2,1,1)?
Está aqui bem explicadinho!
Dados os pontos A e B que pertencem ao plano, eu consigo achar dois vetores que 
também pertencem ao plano.
v1 = (3, 3, -2) e v2 = (-3, -3, 2) Note que apesar de serem invertidos eles são 
paralelos. O mesmo acontecerá com as normais logo abaixo.
Como o plano é paralelo ao vetor v = (2, 1, 1), eu posso airmar que v1 e v2 
também são paralelos ao vetor v.
Logo, através do produto vetorial eu tenho dois vetores normais ao plano.
n1 = (-5, 7, 3)
n2 = (5, -7, -3)
Portando a equação do plano ica assim:
Lembre-se que a equação geral do plano é
a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 onde:
(a, b, c) é um vetor normal ao plano e (x1, y1, z1) é um ponto pertencente ao 
plano.
com n1 = (-5, 7, 3) e A(-1, 1, 7) temos
-5(x + 1) + 7(y - 1) + 3(z - 7) = 0
-5x - 5 + 7y - 7 + 3z - 21 = 0
-5x + 7y + 3z - 33 = 0 (eq. do plano)
com n1 = (-5, 7, 3) e B(2, 4, 5) temos
-5(x - 2) + 7(y - 4) + 3(z - 5) = 0
-5x + 10 + 7y - 28 + 3z - 15 = 0
-5x + 7y + 3z - 33 = 0 (eq. do plano)
com n2 = (5, -7, -3) e A(-1, 1, 7) temos
5(x + 1) - 7(y - 1) - 3(z - 7) = 0
5x + 5 - 7y + 7 - 3z + 21 = 0
5x - 7y - 3z + 33 = 0 (eq. do plano)
com n2 = (5, -7, -3) e B(2, 4, 5) temos
5(x - 2) - 7(y - 4) - 3(z - 5) = 0
5x - 10 - 7y + 28 - 3z + 15 = 0
5x - 7y - 3z + 33 = 0 (eq. do plano)
Apesar das equações escritas com n1 e n2 terem os sinais trocados, elas 
descrevem o mesmo plano.
Determinar uma equação geral para o plano que? É perpendicular ao plano 2x + y -
z + 8 = 0 e contém os pontos A(1;-2; 2) e B(-3; 1;-2).
AB=(-4,+3,-4)
C.......(2,1,-1)
AB^C=(1,-12,-10)
x-12y-10z+D=0
1+24-20+D=0
D=-5
x - 12y - 10z - 5 = 0
Dado o plano x+y+z-1=0 ache suas equaçoes vetorial e paramétricas.?
Para achar as equações vetoriais e parametricas de um plano precisamos de dois 
vetores base do plano, ou seja, dois vetores paralelos ao plano e nao paralelos 
entre si.
Possuindo a equação do plano conseguimos encontrar os ininitos pontos do plano. 
Como fazemos isso? Arbritamos dois valores quaisquer para duas variáveis (um 
para cada) encontramos o valor da outra variável.Por exemplo:
Ponto A:
x = 0
y = 0
z = 1 - x -y
z = 1 - 0 -0
z = 1
A (0,0,1)
Ponto B
x = 0 
z = 0
y = 1 - x - z
y = 1 - 0 - 0
y = 1
B(0,1,0)
Ponto C:
y = 0
z= 0
x = 1 - y - z
x = 1 - 0 - 0
C(1,0,0)
Temos 3 pontos pertencentes ao plano ( pontos A,B e C) e com eles somos capazes 
de formar os dois vetores base do plano. Eles podem ser, por exemplo AB e AC 
(assim como poderiam ser AB e BC ou BA E CA):
AB = (0,1,-1)
AC - (1,0,-1)
Conhecido um ponto pertencente ao plano e dois vetores base do plano somos 
capazes de encontrar as equações vetorial e parametrica do plano.
Equação vetorial:
(x,y,z) = ( 0,0,1) + h(0,1,-1) +t(1,0,-1)
Onde :
(0,0,1) corresponde ao ponto A (mas qualquer outro ponto pertencente ao plano 
poderia ter sido utilizado)
(0,1,-1) e (1,0,-1) sao vetores base do plano, nesse caso AB e AC
h e t : sao parametros.
Equação parametrica:
Resolvendo a equação vetorial e isolando x,y e z encontramos a equação 
paramétrica do plano:
x = t
y = h
z = 1 - h –t
Estabelecer equações gerais dos planos bissetores dos ângulos formados pelos 
planos xOz e yOz?
Plano xOz:
É o plano que percorre os eixos x e z. Para qualquer par (x,z), teremos sempre y = 
0. Logo a equação do plano xOz é y = 0, visto que x e z não interferem.
Plano yOz:
É o plano que percorre os eixos y e z. Para quaisquer y e z, sempre teremos x = 0. 
Logo a equação do plano yOz é x = 0.
O ângulo formado pelos planos xOz e yOz é evidentemente 90º e ambos percorrem 
o eixo z. Assim sendo, os planos bissetores formarão ângulo de 45º com respeito a 
Oxy. Como ambos os planos bissetores percorrem Oz, esta variável não aparecerá 
na equação do plano. Assim podemos reduzir o problema a achar as retas que 
cortam o plano cartesiano fazendo ângulo de 45º com respeito aos eixos 
coordenados.
As retas serão, naturalmente y = x e y = -x
Como Oz não interfere, as equações dos planos serão:
x - y = 0 e x + y = 0
Qual a equação do plano perpendicular à reta r:(x,y,z) = (2 - t, 4t, t - 3),passando 
pela origem?
(x,y,z) = (2 - t, 4t, t - 3)
(x,y,z) = (2,0,-3) + t (-1,4,1)
Um vector director da recta é (-1,4,1) , que então tem que ser perpendicular ao 
plano , e como o plano passa na origem será
(x,y,z).(-1,4,1) = 0 (produto escalar)
-x+4y+z = 0
Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A
(5,-1,4)
e B(-1,-7,1), e seja perpendicular a ele.
Ponto médio de BA , Pm
Pm= ((5-1)/2 , (-1-7)/2 , (4+1)/2) 
ou
Pm=(2,-4, 5/2) 
Vetor na direçao BA , v 
ou
BA=v =( -1-5,-7+1,1-4)=(-6,-6,-3) 
vetor pertencente ao plano BA v=(-6,-6,-3) 
ponto do plano perpendicular a Pn , Pv=(x.y,z) 
vetor u na direçao do plano perpendicular ao primeiro plano passando por Pn u= (x-2,y+4,z-
5/2)
como u e v sao perpendiculares entao 
uv=0 
(x-2,y+4,z-5/2)(6,6,3)=0 
6x-12+6y+24+3z-15/2= 0
12x-24 +12y+48+6z-15=0
12x+12y+6z+9=0
4x+4y+2z+3=0
Resp
4x+4y+2z+3=0
Sendo x=1+h-2t ; y=1-t ; z=4+2h-2t,equações paramétrica de um plano, obter a equação 
geral?
Isolando t na 2ª equação: t=1-y
Substituindo t na 3ª equação e isolando h:
z=4+2h-2(1-y) => z=4+2h-2+2y => z=2+2h+2y => h=(z-2-2y)/2
Substituindo t e h na 1ª equação:
x=1+(z-2-2y)/2 -2(1-y) multiplicando a equação em ambos os lados por 2:
2x=2 + z-2-2y - 4(1-y)
2x= z-2y -4 +4y
2x= z +2y -4
2x-2y-z+4=0
Determine o valor de a (alfa) para que os pontos A(a,1,9) B(2,3,4) C(-4,-1,6) D(0,2,4) sejam 
coplanares.?
vamos achar os vetores CD,BD e AD e impor que eles sejam linearmente dependentes, isto é 
eles podem ser escritos como combinação linear um dos outros, isto nos garantirá que os 
vetores são coplanares, logo os pontos extremos dele também o serão.
AD = (a,-1,5)
BD = (2,1,0)
CD = (-4,-3,2)
o determinante tem que ser nulo:
| a -1 5|
| 2 1. 0| = 0
|-4 -3 2|
2a - 30 + 20 + 4 = 0
2a = 6
a = 3
Determinar a equação geral pelo seguinte caso. O plano passa por A(2,0,-2) e é paralelo aos 
vetores u=i-j+k e v=2i+3j.
man, essa pergunta é de matemática e não de física x(
w = u x v
/..i....j....k../
/.1...-1...1../ => 2j + 3k + 2k - 3i => (-3, 2, 5)
/.2....3...0../
equação vetorial do plano:
(x - 2, y, z + 2) . (-3, 2, 5) = 0
-3x + 6 + 2y + 5z + 10 = 0
-3x + 2y + 5z + 16 = 0
é a nossa equação geral
Determinar as equações das seguintes retas:?
a) reta que passa por A (1,-2,4)
b) reta que passa por B (3,2,1) e é perpendicular ao plano xOz.
C) reta que passa por A (2,3,4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos x e dos y.
d) reta que passa por A(4,-1,2) e tem direção do vetor i-j
e) Reta que passa pelos pontos M(2,-3,4) e N (2,-1,3)
Boa noite amiga. 
Eu iz essa questão hoje mesmo aqui. E, coincididamente eu vi que você perguntou 
aqui. Então estou te respondendo!
Se a reta é paralela a x, logo ela tem a mesma direção que x. (0,0,1)
p=a+tv
x=1+t porém x=0 entao aqui se anula tudo e só ica y e z
y= -2+0t
z=4+0t
b: perpendicular a x0z v=(0,1,0)
Aí é só fazer a fórmula p=a+tv
x=3+0t
z=1+0t
c: tem direção z. Por que é ortogonal a x e y ao mesmo tempo. 
v=(0,0,1)
x=2+0t
y=3+0t
d: i-j = i
v=(1,0,0)
x= 4+t
y=-1
z=2
e: Passa pelo ponto m e n. 
v=mn = (0,2,-1)
aí é só pegar um ponto. 
x=2+0t
y=-3+2t
z=4-t
se quiser deixar como a resposta. Use a fórmula paramétrica. 
(y+3)/2=(z-4)/-1 essa ou a resposta do livro. As duas estão certas!
Abraço!
Espero ter ajudado!
Escreva a equação geral do plano das retas paralelas: r: x-2/2=y-3/1-z-4/3 s: (x,y,z=(-
1,3,2)+(4,2,6)?
r: (x - 2)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/3 
s: (x,y,z) = (-1,3,2) + λ(4,2,6)
Podemos escrever s também na sua forma simétrica:
s: (x,y,z) = (-1,3,2) + (4λ,2λ,6λ)
s: (x,y,z) = (-1 + 4λ, 3 + 2λ, 2 + 6λ) 
x = -1 + 4λ ⇒ λ = (x + 1)/4
y = 3 + 2λ ⇒ λ = (y - 3)/2
z = 2 + 6λ ⇒ λ = (z - 2)/6
Agora, podemos escrever as equações de "r" e de "s" na forma simétrica:
r: (x - 2)/2 = (y - 3)/1 = (z - 4)/3 
s : (x + 1)/4 = (y - 3)/2 = (z - 2)/6
Vamos começar a resolver o problema agora. Se arbitrarmos dois pontos, A e B, um em "r" e o
outro em "s", o segmentos de reta AB, que unirá as retas "r" e "s", pertencerá ao plano π 
formado pelas retas "r" e "s". 
Arbitraremos uma das três coordenadas do ponto A e do ponto B e deduziremos as outras 
duas. A escolha é totalmente arbitrária, mas vamos escolher, sempre que possível, valores 
"zero", para facilidade de cálculo. 
Escolha de um ponto A ∈ r
Escolhamos (x,y,z) = (0,y,z). Como A∈r, vamos substituir esses valores nas equações de r:
(0 - 2)/2 = (y - 3)/1 ⇒ y = 2
(2 - 3)/1 = (z - 4)/3 ⇒ z = 1
A(0,2,1)
Escolha de um ponto B ∈ s
Escolhamos (x,y,z) = (0,y,z). Como B∈s, vamos substituir esses valores nas equações de s:
(0 + 1)/4 = (y - 3)/2 ⇒ y = 7/2
(7/2 - 3)/2 = (z - 2)/6 ⇒ z = 8
B(0,7/2,8)
Estão aí dois pontos, A e B, com A∈r e B ∈ s. Podemos achar um vetor AB diretor da reta que 
passa pelo segmento AB:
AB = B - A = (0-0, 7/2-2, 8-1) = (0, 1/2, 7)
Um vetor, u, também diretor da reta que passa pelo segmento de reta AB, é:
u = 2AB = 2(0, 1/2, 7)
u = (0, 1, 14) (I)
Agora, tomemos um vetor diretor de uma das duas retas, "r" ou "s". Como a reta "s" já está 
escrita na forma paramétrica, a descoberta de um vetor diretor é imediata: o vetor (4, 2, 6) é 
um vetor diretor de "s". Claro que v = (2, 1, 3) também é um vetor diretor de "s".
Portanto, temos dois vetores, u e v, paralelos ao plano cuja equação queremos encontrar. 
Sabe-se que o produto vetorial de u por v é um vetor n, normal ao plano π:
n = u∧v
......i......j.....k
n = 0....1....14
......2....1.....3 
n = - 11i + 28j - 2k
n = (-11, 28, -2)
Sabe-se que, se um vetor n = (a, b, c) é normal a um plano π,então a equação desse plano 
será:
π: ax + by + cz + d = 0 (II)
Ou seja, se o vetor n = (-11, 28, -2) é normal a um plano π, a equação desse plano será:
- 11x + 28y - 2z + d = 0 (III)
Falta achar d? Moleza!!! É só substituir qualquer ponto que pertença ao plano π (o ponto A, 
por exemplo) na equação (III):
A(0, 2, 1) ∈ π, então:
- 11(0) + 28(2) - 2(1) + d = 0
56 - 2 + d = 0
d = - 54
Substituindo d = - 54 na equação (III), temos, inalmente, a equação de π:
π : - 11x + 28y -2z - 54 = 0
1)Determinar a equação geral do plano que é paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A
(0,3,1) e B(2,0,-1).
Resposta: 3x+2y-6=0
2)Determinar a equação geral do plano que contém os seguintes pares de retas:
2) r: x = z ;y = -3
e
{x= -t
s:{y= 1
{z= 2 - t 
Resposta: 2x + y - 2z + 3 = 0
1)
A(0, 3, 1)
B(2, 0, -1)
Como o plano é paralelo ao eixo Z então pode-se deduzir um outro ponto a partir do ponto A 
ou B.
Como B(2, 0, -1) -> C(2, 0, z), onde z pode ser qualquer número. Para facilitar os cálculos 
vamos fazer z=0
Assim 
C(2, 0, 0)
3 Pontos distintos é suiciente para determinar um plano.
Equação geral do plano:
ax + by + cz + d = 0
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano
e d= -(ax0 + by0 + cz0)
Cálculo do vetor Normal
Vetor AB = B - A = (2, 0, -1) - (0, 3, 1) = (2, -3, -2)
Vetor AC = C - A = (2, 0, 0) - (0, 3, 1) = (2, -3, -1)
N = Produto interno entre AB e AC
AC x AB = (2, -3, -1) x (2, -3, -2) = (3, 2, 0)
Deste modo:
a = 3
b = 2
c = 0
Cálculo de 'd', sendo (x0, y0, x0) = C(2, 0, 0)
d= -(ax0 + by0 + cz0)
d= -(3.x0 + 2.y0 + 0.z0)
d= -(3.2 + 2.0 + 0.0)
d= -6
Assim:
ax + by + cz + d = 0
3x + 2y + 0z - 6 = 0
3x + 2y - 6 = 0
Resp: A eq do plano é: 3x + 2y - 6 = 0
Obter a equação geral de um plano pelo seguinte caso. O plano passa pelos pontos A(2,1,2) 
B(1,-1,4) e é perpendicular ao plano xOy.
vetor diretor = B-A = (1,-2,2)
plano alfa = (2,1,2)+t(1,-2,2) = 
x= 2+t
y= 1-2t
z= 2+2t com t E R
Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contém os planos
A(-2,0,2) e B(0,-2,1)?
Resposta y- 2Z + 4 = 0
Equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2,0,2) e 
B(0,-2,1):
A(-2,0,2) e vetores: AB(2,-2,-1) e v(1,0,0) ==> n= ABxv=(0,-1,2)
==> Plano 0·(x+2)-1·(y-0)+2·(z-2)=0 --> -y+2z-4=0 --> y-2z+4=0
Determine a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção do 
planos pi1 e p2?
A(2,0,1) pi1: 2x - 3y - 5z = 0 e pi2: x - y = 0
Daniel, segue uma forma mais fácil de fazer
Primeiro vc resolve o sistema:
2X-3Y-5Z=0 
X-Y=0 (multiplica por -3)
ai vai ica
2X-3Y-5Z=0
-3X+3Y=0 ( CORTA OS Y) SOMA AS EQUAÇÕES
SOMA DAS EQUAÇÕES:
-X-5Z=0
X=5Z 
SUBSTITUII NA ESQUAÇÃO AGORA
-5Z-Y=0
Y=-5Z
AGORA VC TEM
X=5Z
Y=-5Z
VC TIRA O VETOR E O PONTO DESSA RETA
V(5,-5,1)
B(0,0,0)
VERIFICA A DISTANCIA ENTRE OS PONTOS
AB= (-2,0,-1)
E JOGA NA MATRIZ
I J K
5 -5 1
-2 0 -1
ACHA O DETERMINANTE E VC VAI ACHAR = (-5I,-7J,-10K)
JOGA NA EQUAÇÃO DO PLANO
5(X-2)-7(Y-0)-10(Z-1) QUE VAI DAR
5X-7Y-10Z=0
Determinar a equação geral do plano que é paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A 
(0,3,1) e B(2,0,-1).
Resposta: 3x+2y-6=0
A(0, 3, 1)
B(2, 0, -1)
Como o plano é paralelo ao eixo Z então pode-se deduzir um outro ponto a partir do ponto A 
ou B.
Como B(2, 0, -1) -> C(2, 0, z), onde z pode ser qualquer número. Para facilitar os cálculos 
vamos fazer z=0
Assim 
C(2, 0, 0)
3 Pontos distintos é suiciente para determinar um plano.
Equação geral do plano:
ax + by + cz + d = 0
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano
e d= -(ax0 + by0 + cz0)
Cálculo do vetor Normal
Vetor AB = B - A = (2, 0, -1) - (0, 3, 1) = (2, -3, -2)
Vetor AC = C - A = (2, 0, 0) - (0, 3, 1) = (2, -3, -1)
N = Produto interno entre AB e AC
AC x AB = (2, -3, -1) x (2, -3, -2) = (3, 2, 0)
Deste modo:
a = 3
b = 2
c = 0
Cálculo de 'd', sendo (x0, y0, x0) = C(2, 0, 0)
d= -(ax0 + by0 + cz0)
d= -(3.x0 + 2.y0 + 0.z0)
d= -(3.2 + 2.0 + 0.0)
d= -6
Assim:
ax + by + cz + d = 0
3x + 2y + 0z - 6 = 0
3x + 2y - 6 = 0
Resp: A eq do plano é: 3x + 2y - 6 = 0
Melhor resposta - Escolhida por votação
Observe:
Como o plano é paralelo ao eixo dos ´´z`` , então v = ( 0 , 0 , 1 ) é um vetor diretor que 
pertence ao plano, ok?
Por outro lado, já que o plano contém os pontos A(0 , 3 , 1) e B(2 , 0, -1), disso podemos 
extrair outro vetor diretor e adotarmos um ponto para o plano, podemos escolher tanto o 
ponto A como o ponto B, temos:
▬►
AB = B - A = ( 2 , 0 , -1 ) - ( 0 , 3 , 1 ) = ( 2 , - 3 , - 2 ) 
Escolhendo o ponto A =( 0 , 3 , 1 ) , podemos montar o determinante,ica;
...2...................1
│x - 0....y - 3.......z - 1│
│0............0...........1..│ = 0
│2..........- 3..........- 2.│
..x-0..................1
...2.....................1
│x.........y - 3.......z - 1│
│0............0...........1..│ = 0
│2..........- 3..........- 2.│
....x...................1
0.(-3).1 + x.0.(-2) + (2).(y - 3).1 - [ 0.(y - 3).1 + 2.0.(z - 1) + x.(-3).1 ] = 0
0 + 0 + 2y - 6 - ( 0 + 0 - 3x ) = 0
3x + 2y - 6 = 0 
R ▬▬▬▬►π : 3x + 2y - 6 = 0
Determinar a equação geral do plano perpendicular ao eixo dos y e que contém o 
ponto A(3, 4, -1).?
Ax+By+Cz+D=0
(A,B,C) é o vetor
perpendicular ao plano
(A,B,C)=(0,1,0) 
0*x+1*y+0*z+D=0
y+D=0
ponto A(3,4,-1)
4+D=0 ==>D=-4
Eq. y-4=0
Determine a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta interseção do 
planos pi1 e p2?
A(2,0,1) pi1: 2x - 3y - 5z = 0 e pi2: x - y = 0
Primeiro vc resolve o sistema:
2X-3Y-5Z=0 
X-Y=0 (multiplica por -3)
ai vai ica
2X-3Y-5Z=0
-3X+3Y=0 ( CORTA OS Y) SOMA AS EQUAÇÕES
SOMA DAS EQUAÇÕES:
-X-5Z=0
X=5Z 
SUBSTITUII NA ESQUAÇÃO AGORA
-5Z-Y=0
Y=-5Z
AGORA VC TEM
X=5Z
Y=-5Z
VC TIRA O VETOR E O PONTO DESSA RETA
V(5,-5,1)
B(0,0,0)
VERIFICA A DISTANCIA ENTRE OS PONTOS
AB= (-2,0,-1)
E JOGA NA MATRIZ
I J K
5 -5 1
-2 0 -1
ACHA O DETERMINANTE E VC VAI ACHAR = (-5I,-7J,-10K)
JOGA NA EQUAÇÃO DO PLANO
5(X-2)-7(Y-0)-10(Z-1) QUE VAI DAR
5X-7Y-10Z=0
Estabeleça a equação reduzida na variável x e da reta interseção dos planos: 
pi1=3x-y+2z-1=0 e pi2=x+2y-3z-4=0?
π1: 3x - y + 2z - 1 = 0
π2: x + 2y - 3z - 4 = 0
Sabe-se que:
o vetor n1 = (3,-1,2) é normal ao plano π1: 3x - y + 2z - 1 = 0; e 
o vetor n2 = (1,2,-3) é normal ao plano π2: x + 2y - 3z - 4 = 0. 
Sabe-se, também, que o produto vetorial n1∧n2 é um vetor paralelo à reta interseção dos 
planos π1 e π2 (Esse será o vetor diretor da reta que queremos):
..............i.....j....k
n1∧n2 = 3...-1....2
.............1....2...-3
n1∧n2 = - i + 11j + 7k
v = - i + 11j + 7k
Agora, que já sabemos o vetor diretor da reta, basta acharmos um ponto dessa reta para 
podermos resolver a questão. Arbitremos um valor de x nos planos π1 e π2 e deduzamos os 
valores correspondentes de y e de z. Por exemplo, arbitremos x = 0:
π1: 3(0) - y + 2z - 1 = 0
π2: 0 + 2y - 3z - 4 = 0
- y + 2z - 1 = 0
2y - 3z - 4 = 0
-2y + 4z - 2 = 0
2y - 3z - 4 = 0
z - 6 = 0
z = 6 
Substituindo z = 6 em - y + 2z - 1 = 0, temos:
- y + 2(6) - 1 = 0
- y + 12 - 1 = 0
y = 11
Assim o ponto P(0,11,6) é um ponto que pertence à interseção de π1 e π2 e, portanto, é um 
ponto da reta interseção dos dois planos.
Se temos um ponto da reta, P(0,11,6), e o seu vetor diretor, v = - i + 11j + 7k, as equações 
paramétricas da reta podem ser escritas:
x = 0 - t = - t
y = 11 + 11.t
z = 6 + 7.t 
Mas o cara não quer as equações paramétricas. Ele quer as equações reduzidas na variável x,
ou seja, ele quer que escrevamos y e z em função de x.
Da primeira equação paramétrica, temos que x = - t, ou seja, t = - x. 
Pois bem, substituamos esse valor de t na segunda e na terceira equações paramétricas:
y = 11 + 11.(-x)
z = 6 + 7.(-x)
Finalmente, aqui estão as equações reduzidas na varavel x da reta interseção dos planos π1 e
π2:
y = - 11x + 11
z = - 7x + 6.
Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada 
pelos pares de pontos:?
A (1,-2, 3)
B (3,-1,-1)
AB= (2,1,-4) --> 
(x-1)/2= (y+2)/1 = (z-3)/(-4) -->
(x-1)/2= (y+2)/1 e (x-1)/2= (z-3)/(-4) -->
x-1 = 2y + 4 e -2x+2= z-3 -->
{ y= -5/2 + 1/2·x e z= 5- 2x }
Dada a equação geral do plano Pi: 3x -2y -z -6 = 0, determinar um sistema de 
equações paramétricas de Pi.?
Dado o plano pi cuja equação geral é 3x -2y - z - 6 = 0 , determine a equação 
paramétrica deste plano.
Solução: Primeiro isolamos uma das variáveis em função das outras duas. Para 
facilitar os cálculos isolamos z :
z = x - 2 y - 6 
Portanto, isso signiica que escolhemos x e y como variáveis livres. Atribuindo a 
elas valores arbitrários, digamos x = te y = s , obtemos a equação paramétrica do 
plano pi :
pi : x = t , y = s e z = t - 2y – 6
Determine a intersecção da reta x = -y e z = 5 com o plano y = 2x - z + 1
Para determinares intersecções junta sempre as equações e resolve o sistema.
x=-y
z=5
y=2x-z+1
Substituindo x e z na última equação vem
y=2(-y)-5+1
y = -2y-4
3y = -4
y = -4/3
logo x=-y=-(-4/3) = 4/3
A intersecção da recta com o plano é o ponto (4/3,-4/3,5)
Calcule o ponto de interseção entre a reta e o plano abaixo:?
......... {x= t
r........ {y=-3+2t
......... {z=2-t
pi= 2x+4y-z-4=0
E só substituir os valores de X,Y e Z da reta no plano
icando assim
2t + 4(-3+2t) - (2-t) - 4 = 0
2t - 12 + 8t - 2 + t - 4 = 0
11t - 18 = 0 
t = 18 / 11
agora que temos o valor de t e só substituir na reta r
como t = 18/11
X = 18/11
Y = -3 + 2*18/11
Y = -3 + 32/11
Y = - 1/11
Z = 2 - 18/11
Z = 4/11
Determine o ponto de interseção da reta r com o plano pi.?
r: x=2y-3=2z-3/3 e pi: 2x-y+3z-9=0
resp.(1,2,3)
Vc tem que montar um sistema e resolve-lo achando os resultados de (X,Y,Z) = (1,2,3) a 
resposta que vc deu.
Segue
X= 2y-3
2y=x+3
y=x+3/2
Agora vc substitui o valor de Y achado na equação de cima
X=2(X+3/2)
X=4X+3
4X-X+3=0
X=3/3
X=1
Joga na outra equação e acha Y agora
1=2Y-3
1+3=2Y
Y=2
Agora acha Z
2.2 - 3 = 2Z-3/3
3=2Z-3
2Z=3+3
Z=6/2
Z=3
PARA TER CERTEZA QUE ACHOU O RESULTADO VC JOGA O RESULTADO NO PLANO
2.1 - 2+3.3 -9 =0
SE DER 0 VC ACERTOU!
Determinar os pontos de interseção de plano
"pi": 2x + 4y - z - 4 = 0; com os eixos coordenados e, também, a reta interseção deste plano 
com o plano xOy.
2x+4y-z=4 --> x/2 +y/1-z/4=1
Pontos A(2,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,-4)
reta: {2x+4y-z=4, z=0} em paramétricas {x=2+2t, y=-t, z=0 com t€R
Determine o ponto dado pela interseção da reta e do plano especiicados?
reta 
x=3-t
y=2+t
z=5t
plano
x-y+2z=9
demorei muito para responde, mas espero que minha resposta seja a melhor
acho esse exercicio sera assim
como se trata d´interseção
então sera
reta 
x=3-t
y=2+t
z=5t
plano
x-y+2z=9
3-t -2-t +10t=9
t=1 
se t=1 então
reta 
x=3-t=2
y=2+t=3
z=5t=5
então o ponto sera (2 ,3 ,5)
Determine a equação da reta que é interseção dos planos 2x-y+4z-1=0 e 3x+y-
2z+5=0?
Assim 
2x-y+4z-1=0 
3x+y-2z+5=0,,, multiplique esta por 2 ia assim o sistema 
2x-y+4z-1=0 
6x+2y-4z+5=0,, somando ica 
8x+y+4=0 
y=-8x-4 ,, levando para a primeira ica 
2x+8x -4+4z+5=0
4z=-10x-1
z=-5x/2-1/4
Resp
y=-8x-4 
e 
z=-5x/2-1/4 
são as equações reduzidas da reta procurada
Como fazer? Geometria analítica: Determinar no eixo das ordenadas, um ponto 
equidistante de A(1,1,4) e B(-6,6,4)?
Equidistante signiica que vc tem que achar um ponto que tenha a mesma distância para A e 
para B. Vamos vamos chamar esse ponto de P.
Com isso observamos que a distancia de AP é igual à distância de PB. AP=PB, vamos imaginar
que AB seja um vetor. Pegue AP=PB e substitua os pontos que vc já tem.
AP=PB
P-A=B-P
P-(1,1,4)=(-6,6,4)-P
2P=(1,1,4)+(-6,6,4)
2P=(-5,7,8)
P=(-5,7,8)/2
P=(-5/2,7/2,4)
O eixo das ordenadas é o eixo do x, o resultado é -5/2.
Espero que esta seja a resposta certa. Bjnhos
Determine o ponto (P), do eixo das abscissas, que é equidistante dos pontos A(-
1,2) e B(5,2?
Se o ponto P é equidistante dos pontos A e B, AP = PB e P é o ponto médio de AB.
Então: Xa+Xb/2 = Xp => -1+5/2=2 => Xp=2. Mas como o P está no eixo das abscissas, seu y
é 0. Portanto: P(2,0)
Determine o ponto equidistante de a(4,1), b(5,0) e c=(1,2).?
A forma mais simples de encontrar o ponto (x,y) equidistante de a(4,1), b(5,0) e c=(1,2) é:
1. ponto médio de AB: Mab (9/2;1/2)
Basta fazer a média de 4 e 5, depois a média de 1 e 0.
2. reta suporte de AB (reta que passa por AB): y = -x + 5
Inclinação = -1 (coeiciente de x)
3. reta perpendicular passando por Mab
A inclinação desta reta vezes a inclinação da anterior deve ser -1 para que as duas sejam 
perpendiculares. Então a inclinação desta é -1/-1 = 1, ou seja a reta é do tipo y = x + C
Tem que passar por Mab. Então 1/2 = 9/2 + C ==> C = -4
A reta é y = x - 4
4. ponto médio de AC: Mac (5/2;3/2)
Basta fazer a média de 4 e 1, depois a média de 1 e 2.
5. reta suporte de AC (reta que passa por AC): x + 3y - 7 = 0
Ou y = -x/3 + 7/3
Inclinação = -1/3 (coeiciente de x)
6. reta perpendicular passando por Mac
A inclinação desta reta vezes a inclinação da anterior deve ser -1 para que as duas sejam 
perpendiculares. Então a inclinação desta é -1/(-1/3) = 3, ou seja a reta é do tipo y = 3x + D
Tem que passar por Mac. Então 3/2 = 5/2 + D ==> D = 1
A reta é y = 3x + 1
7. Poderíamos fazer o mesmo para os pontos B e C, mas isso não é necessário. Duas 
mediatrizes são suicientes para determinar o ponto, que é o encontro das duas retas:
y = x - 4
y = 3x + 1
x - 4 = 3x + 1 ==> 2x = -5 ==> x = -5/2
y = x - 4 = (-5/2) -4 = -13/2
O ponto procurado é (-5/2 ; -13/2)