Exercicios Sistemas Lineares Lista 2 (Aplicacoes)

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE PIRACICABA 
Prof. Odahyr Cavallini 
 
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Exercícios sobre 
 
Sistemas Lineares 
 
 
1) A tabela abaixo indica o consumo efetuado num restaurante, em três mesas 
diferentes, especificando as porções consumidas de cada alimento e a conta em 
reais. Sendo r a conta da mesa III, em Reais, calcule esse valor. 
 
NÚMERO DE PORÇÕES CONSUMIDAS VALOR DA CONTA 
R$ ARROZ FEIJÃO FRANGO REFRIGERANTE 
MESA I 3 2 3 4 11,00 
MESA II 2 1 1 2 6,00 
MESA III 6 5 9 10 r 
 
 
2) Numa lanchonete o garçom apresenta as contas de três mesas: 
Mesa I : 2 sanduíches, 3 refrigerantes e 2 sorvetes: R$ 9,00 
Mesa II: 1 sanduíche, 2 refrigerantes e 1 sorvete: R$ 5,00 
Mesa III: 4 sanduíches, 5 refrigerantes e 4 sorvetes. 
Qual o valor da conta da Mesa III ? 
 
 
3) Resolva os S.L.’s abaixo, “manualmente”, pelo Método de Castilho, discutindo as 
soluções, se for o caso: 
 
a) 2x + 5y + 3z = 20 
 5x + 3y – 10z = – 39 
– x + 7y + 16z = 79 
 
b) 2x + 5y + 3z = 20 
 5x + 3y – 10z = – 39 
– x + 7y + 16z = 78 
 
c) 3x + 2y – 5z = 8 
4x – 3y + 2z = 4 
7x + 2y – 3z = 2 
 z = 3 
 
d) 3x + 2y – 5z = 8 
3x + 2y + 2z = 4 
7x + 2y – 3z = 2 
 
 
 
 
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e) x + y + z + w = 10 
4x – 3y + 2z – w = 0 
7x + 2y – 3z – w = 1 
2x – 3y + z + 3w = 11 
 
f) 2x + 5y + 3z = 20 
5x + 3y – 10z = – 39 
 x + y + z = 5 
 
 
4) A tabela abaixo indica a quantidade de máquinas, bem como o tipo, que cada 
caminhão de uma transportadora pode levar: 
 
TIPO DE 
CAMINHÃO 
TORNO FRESA FURADEIRA 
I 1 0 2 
II 1 1 1 
III 1 2 1 
 
Quantos caminhões de cada tipo a transportadora deve enviar para transportar 
12 tornos, 10 fresas e 16 furadeiras? 
 
 
5) Uma dieta é elaborada para um conjunto de animais em experimentação, 
consistindo de 4 tipos de alimentos que deverão ser comercializados 
posteriormente. Esses alimentos contém as seguintes quantidades de proteínas 
(P), carboidratos (C) e gorduras (G): 
 
TIPO DE 
ALIMENTO 
(P) (C) (G) 
A 5 2 4 
B 2 2 2 
C 3 1 5 
D 2 3 2 
 
Se a dieta deve conter 43 unidades de proteína, 26 unidades de carboidrato e 42 
unidades de gordura, quais as quantidades e tipos de alimentos que satisfarão 
essa condição? Qual é a solução para o caso em que a dieta necessite de 20 
unidades de proteína, 30 unidades de carboidrato e 30 unidades de gordura? 
 
 
6) Os triglicerídeos contém 3 ácidos graxos, aqui designados por A, B e C, 
existindo, portanto, seis possíveis isômeros (dos triglicerídeos) representados por 
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA, Sejam x1, x2, x3, x4, x5 e x6, respectivamente, 
 
 
 
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as proporções de cada um desses isômeros em um certo tipo de triglicerídeo. A 
tabela abaixo informa a participação percentual de cada tipo de ácido graxo para 
cada uma das posições desses ácidos (1a, 2a ou 3a): 
 
POSIÇÃO ÁCIDO “A” ÁCIDO “B” ÁCIDO “C” 
1 60 30 10 
2 10 60 30 
3 30 10 60 
 
Assim, por exemplo, temos que a ocorrência do ácido graxo “A” na 1a posição é 
de 60%, o que significa dizer: 
 
X1 + x2 = 0,60 
 
Determine todas as proporções dos isômeros nos triglicerídeos. 
 
 
7) Em uma certa linha de produção, quatro produtos distintos devem ser produzidos 
num intervalo de uma semana. Para a produção de cada unidade necessita-se 
de três tipos de matéria prima A, B, e C, conforme a tabela abaixo: 
 
PRODUTO 
MATERIAL 
“A” 
MATERIAL 
“B” 
MATERIAL 
“C” 
1 1 2 4 
2 2 0 1 
3 4 2 3 
4 3 1 2 
 
Existindo, respectivamente, 30, 20 e 40 unidades de cada material, determine a 
quantidade possível de se produzir de cada produto. 
 
 
8) Uma certa empresa encarregada de uma pesquisa de mercado estabeleceu o 
seguinte sistema linear: 
 
p11 x1 + p21 x2 + p31 x3 =  x1 
p12 x1 + p22 x2 + p32 x3 =  x2 
p13 x1 + p23 x2 + p33 x3 =  x3 
 
Onde  é uma constante, p i j representa a probabilidade de que um comprador 
que tenha adquirido o produto “i” troque, posteriormente, sua opção para o 
produto “j” e x i representa o número de compradores do produto “i” no período 
 
 
 
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inicial. As probabilidades de migração de produto encontradas na pesquisa 
foram as seguintes: 
 
 MARCA 1 MARCA 2 MARCA 3 
MARCA 1 60 20 20 
MARCA 2 30 60 10 
MARCA 3 30 20 30 
 
Determine o número de compradores de cada produto no período inicial. Se  for 
igual a “1” o que ocorre? Se o número total de compradores for 2100, quantos 
compradores de cada produto ter-se-ia? 
 
 
9) Resolva o S.L. abaixo, com quatro decimais exatas, indicando a Cota Superior 
de Erro Absoluto: 
 
0,24 x + 0,36 y – 0,12 z = 0,84 
0,12 x + 0,16 y + 0,24 z = 0,52 
0,15 x – 0,21 y + 0,25 z = 0,64 
 
 
10) Idem, com cinco decimais: 
 
3 x + 3 y – z = 0 
3 x + 2 y + 3 z = 16 
2 x – 3 y + 3 z = 3 
 
 
11) Quatro jovens investiram no mercado de capitais, obtendo lucros segundo a 
tabela abaixo. Determine o lucro percentual de cada aplicação, com duas 
decimais: 
 
 Ações BM&F Títulos Fundos Lucro (%) 
Angélica 8,0 9,2 8,5 9,3 8,58 
Beatriz 8,1 7,7 8,2 8,2 8,28 
Cleusa 8,9 7,3 7,8 8,6 8,22 
Dayse 8,0 7,5 7,6 8,1 7,80 
 
 
12) Dada a matriz: 
 
 
 
 
 
 
 
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Calcular: 
 
a) O seu determinante; 
b) A sua inversa (se houver); 
c) O seu polinômio característico; 
d) Os seus autovalores; e 
e) Os respectivos autovetores. 
 
 
13) Dada a matriz de aplicações financeiras: 
 
 
determinar se existe um índice de aplicações (ou seja, um vetor) capaz de 
“aumentar” esse próprio índice de aplicações; e, se houver, determiná-lo. 
 
 
14) Idem para a seguinte situação: 
 
 Ações BM&F Títulos Fundos 
Angélica 8,0 9,2 8,5 9,3 
Beatriz 8,1 7,7 8,2 8,2 
Cleusa 8,9 7,3 7,8 8,6 
Dayse 8,0 7,5 7,6 8,1 
 
 
15) Se a matriz de rotação horária no  2 é dada por: 
 
cos  sen  
– sen  cos  
 
qual a matriz de rotação anti-horária? 
 



















54321
32011
83200
20312
10201












544
101
121
 
 
 
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16) Dado o vetor no  2 : 
 
u = (x ; y) 
 
determinar: 
 
a) A transformação de translação horizontal; 
b) A transformação de translação vertical; e 
c) A transformação de translação geral (horizontal e vertical).