BROITMAN, Cláudia As operações matemáticas no ensino fundamental I

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FORMAÇÃO DE PROFESSORES
O Campo Multiplicativo 
Matemática
Ensino Fundamental I
A área de Educação da Fundação Vale busca contribuir para a melhoria da educação 
básica, com foco na promoção de uma prática docente pautada nos princípios da 
pluralidade cultural e do respeito às diferenças.
COORDENAÇÃO DO PROGRAMA
Equipe de Educação Fundação Vale
APOIO EDITORIAL
Departamento de Comunicação Corporativa Vale
PARCEIRO
Comunidade Educativa CEDAC
EDIÇÃO E REVISÃO DE TEXTO 
JVAB Edições Ltda
PROJETO GRÁFICO E DIAGRAMAÇÃO
Inventum Design
Este símbolo indica que o papel utilizado 
neste material foi produzido com madeiras 
de florestas certificadas.
selo FSC
1
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
A resolução de problemas 
do campo multiplicativo
Professor(a),
No bimestre anterior, analisamos os problemas do campo aditivo, aqueles que envolvem as ideias da 
adição e da subtração. 
Neste bimestre, vamos avançar nos estudos sobre a resolução de problemas, tema que estará constante-
mente presente em nosso processo de formação, haja vista sua importância no ensino e na aprendizagem. 
O nosso foco será explorar o campo multiplicativo, que propõe o estudo da multiplicação e da divisão, 
e refletir sobre questões como: a partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na es-
cola? A multiplicação e a divisão podem ser trabalhadas conjuntamente? 
Vamos conhecer uma classificação para os problemas do campo multiplicativo, tendo como critérios as 
diversas ideias envolvidas na multiplicação e na divisão. 
A atividade de Aplicação Prática será a de planejar e propor em sala de aula o trabalho com problemas 
do campo multiplicativo, bem como coletar, organizar e analisar os procedimentos das crianças para re-
solvê-los, com a finalidade de refletir sobre como podemos intervir para favorecer as aprendizagens. 
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes neste bimestre:
n	 Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do 
grupo.
n	 Apropriar-se do recurso à resolução de problemas, reconhecendo-o como ponto de 
partida da aprendizagem matemática.
n	 Reconhecer a importância da interação entre pares na elaboração do conhecimento, 
promovendo as condições para que essa interação ocorra nas aulas.
n	 Ampliar o repertório de possibilidades do ensino das operações do campo 
multiplicativo.
n	 Coletar, organizar, analisar e interpretar informações sobre procedimentos dos alunos.
n	 Elaborar e desenvolver projetos pessoais de estudo e trabalho, empenhando-se em 
compartilhar a prática e produzir coletivamente.
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos os seguintes 
conteúdos: 
n	 Operações do campo multiplicativo: divisão e multiplicação.
n	 Identificação e classificação de problemas do campo multiplicativo.
n	 Implicações do trabalho com situações-problema do campo multiplicativo no Ensino 
Fundamental I.
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Encontro Presencial
Duração: 4h
Para começo de conversa 
Duração: 30min
Pensar sobre a prática e compartilhar resultados
Iniciaremos este encontro retomando e compartilhando reflexões desenvolvidas a partir da atividade 
Aplicação Prática. Vamos direcionar nossas discussões para o acompanhamento das aprendizagens dos 
alunos e sua importância para a elaboração de planejamentos posteriores. 
1. Na tabela abaixo estão especificados os problemas que fizeram parte da Aplicação Prática de resolução 
de problemas do campo aditivo (comparação) de uma professora do 4º ano do Ensino Fundamental. 
Classificação dos problemas Exemplos
Problema 1
Comparação
O valor desconhecido (incógnita) 
é uma das medidas
Pedro e Henrique colecionam 
figurinhas. Pedro tem 109 
figurinhas e Henrique tem 37 
a mais do que ele. Quantas 
figurinhas Henrique tem em 
sua coleção?
Problema 2
Comparação
O valor desconhecido (incógnita) 
é a relação entre as medidas
Camila tem 19 anos e sua avó 
tem 77. Quantos anos a avó de 
Camila tem a mais do que ela?
Após desenvolver a atividade em sua sala de aula, a professora preencheu a pauta de acompanhamen-
to, que ficou da seguinte forma:
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Nome dos 
alunos
Problema 1 Problema 2
Acertou 
tudo
Utilizou 
estratégia 
adequada, 
mas errou 
algum 
cálculo
Não 
acertou
Acertou 
tudo
Utilizou 
estratégia 
adequada, 
mas errou 
algum 
cálculo
Não 
acertou
Ana X X
Arthur X X
Beatriz X X
Bianca X X
Breno X X
Bruna X X
Bruno X X
Caio X X
Caíque X X
Diogo X X
Eva X X
Fábio X X
Fabíola X X
Flávia X X
Igor X X
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Luana X X
Maria X X
Otávio X X
Rafaela X X
Tiago X X
Vagner X X
Para melhor compreender e visualizar os dados obtidos, a professora decidiu organizar graficamente 
essas informações. Veja o gráfico resultante. 
Resultados obtidos no 4º ano do Ensino Fundamental
Problemas do campo aditivo - comparação
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Acertou Estratégia Adequada / Erro de Cálculo Não acertou
16
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03
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
A partir da análise destes resultados, a professora concluiu que os problemas de comparação cujo valor 
desconhecido (incógnita) é a relação entre as medidas não são apropriados para a sua turma de alunos 
e justificou: “O termo ‘a mais’ confunde os alunos. Eles acham que devem sempre fazer uma adição”. De-
cidiu, então, que problemas deste tipo não farão parte de seus planejamentos no decorrer do ano.
n Você concorda com a decisão tomada por essa professora? Por quê? Registre.
2. Reúna-se com outros professores, formando um grupo de trabalho.
a) Com base nas informações da “Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos” de ca-
da um, compartilhem: 
n Qual foi o resultado que mais os surpreendeu? Por quê?
n Quais resultados encontrados por vocês se assemelham? Quais diferem? 
b) Elejam dois pontos discutidos, referentes aos itens anteriores, e compartilhem com os de-
mais grupos. 
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Atividade de contextualização
Duração: 30min
1. Ainda em grupos, a proposta é refletir sobre os problemas elaborados a partir desta imagem, com 
foco na seguinte questão: 
O que esses problemas têm em comum?
a) Descubra quantos pastéis há em cada bandeja, sem contá-los um a um. Indique como fez o cálculo.
b) Se em cada bandeja são colocados 12 pastéis, quantos pastéis caberão em 4 bandejas?
c) São colocados à venda 48 pastéis organizados em bandejas com espaço para 12. Quantas bandejas 
serão necessárias para acomodar todos os pastéis?
d) Observando a tabela, descubra quantos tipos de pastéis são vendidos na pastelaria.
e) Considerando as opções de tamanhos e sabores disponíveis, descobrimos que podem ser compra-
dos 6 tipos de pastéis. Sabendo que podem ser escolhidos 2 tamanhos diferentes, quantos sabores 
poderão ser escolhidos no ato da compra?
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
2. Registrem as conclusões a que o grupo chegou.
A prática em questão 
Duração: 3h
Momento 1 – As situações-problema do campo multiplicativo 
Duração: 40min
1. Leiam de forma compartilhada o texto a seguir. 
Para abordar os problemas que envolvem a multiplicação e a divisão, vamos considerar alguns pontos 
da Teoria dos Campos Conceituais, do pesquisador francês Gerard Vergnaud, que começamos a estudar 
no caderno anterior. Como vimos, Vergnaud propõe agrupar as operações segundo as ideias que elas 
contêm, ou melhor, segundo o campo de conceitos que elas envolvem. Ele propõe que as quatro ope-
rações sejam agrupadas em dois grandes grupos: o campo aditivo, que engloba a adição e a subtra-
ção, e o campo multiplicativo, que engloba a divisão e a multiplicação. 
Nessa visão, da mesma maneira que as operações de adição e de subtração fazem parte deum mesmo 
campo conceitual, a divisão e a multiplicação também constituem um mesmo campo conceitual, pois 
elas envolvem ideias que se relacionam conceitualmente. 
A partir disso, os problemas do campo multiplicativo são classificados segundo as ideias que eles envol-
vem, diferentemente da tradicional separação em “problemas de multiplicação” e “problemas de divi-
são”. Assim, serão organizados em três grupos, como mostra o quadro:
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Tipo de problema Ideias envolvidas Exemplos de problemas
Problemas de proporcionalidade Problemas que envolvem duas 
séries proporcionais, isto é, existe 
uma relação fixa entre duas 
variáveis
1. Tenho 8 pacotes de biscoito com 
12 unidades em cada um. Quantos 
biscoitos tenho ao todo? 
2. Uma sala de aula tem 38 ganchos 
para pendurar o material dos 
alunos. Se cada aluno utiliza 2 
ganchos com suas mochilas e 
casacos, quantos alunos podem 
acomodar suas coisas nessa sala? 
Problemas de configuração 
retangular
Problemas que se referem à 
organização de elementos em linha 
e coluna ou envolvem uma análise 
dimensional (como a de área)
1. Num auditório, as cadeiras estão 
dispostas em 12 fileiras de 15 
cadeiras cada. Quantas cadeiras há 
ao todo? 
2. Calcular a área de um retângulo que 
possui lados medindo 3 cm e 4 cm
Problemas de análise combinatória São problemas que envolvem 
combinar diferentes elementos 
entre si
1. Para fazer um sanduíche, tenho 3 
tipos de pães e 2 tipos de queijos. 
Quantos sanduíches diferentes eu 
posso fazer com esses ingredientes, 
usando um só tipo de queijo em 
cada um?
2. Luiz consegue formar 20 trajes 
diferentes para ir ao trabalho, 
combinando as calças que possui 
com suas 4 camisas. Quantas calças 
ele tem?
2. Permaneçam em pequenos grupos para realizar a seguinte atividade: ler os problemas da lista a se-
guir e classificá-los de acordo com as três categorias apresentadas, preenchendo o quadro na pági-
na seguinte.
a) Celina comprou 3 pacotes de figurinhas com 5 figurinhas em cada pacote. No total, quantas figuri-
nhas comprou?
b) Em uma mesa há 3 potes: um colorido, um todo branco e um transparente. Também há algumas 
tampas coloridas que servem para todos os potes. Sabendo que é possível fazer 12 combinações di-
ferentes, quantas tampas há em cima da mesa?
c) Em uma página do álbum há 4 fileiras com 3 figurinhas em cada uma. Quantas figurinhas estão co-
ladas nessa página?
d) Mariana tem uma festa de aniversário e está em dúvida sobre que roupa usar. Ela colocou em cima 
da cama 2 camisetas, uma rosa e uma azul, e 3 saias, sendo uma preta, uma branca e uma vermelha. 
De quantas maneiras diferentes Mariana pode combinar essas peças de roupa?
e) Para azulejar uma parede de sua casa, seu Armando precisa de 144 azulejos. Se eles estão dispostos 
em 9 fileiras, quantos azulejos há em cada fileira?
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
f ) Júlia tem 8 chicletes e quer dividi-los igualmente entre suas 4 amigas. Quantos chicletes cada amiga 
de Júlia vai ganhar?
Problema
Classificação
Proporcionalidade Análise combinatória
Configuração 
retangular
a)
b)
c)
d)
e)
f )
3. Comparem a classificação do seu grupo com as dos outros grupos, coletivamente. Em caso de diver-
gências, procurem discutir e, se possível, chegar a um consenso. Depois disso, verifiquem o gabarito 
no fim deste caderno. 
4. Retomem a Atividade de contextualização.
a) Verifiquem se mudariam algo naquela resposta (item 2 da atividade). 
b) Aqueles problemas também podem ser classificados da mesma forma que estes? Justifiquem a 
resposta. 
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Momento 2 – O trabalho com o campo multiplicativo em sua sala de aula 
Duração: 30min
Esse é um momento para que vocês, professores, à luz do que foi colocado e discutido até agora, pen-
sem no seu trabalho em sala de aula com os problemas desse campo conceitual, o multiplicativo.
1. Na primeira coluna do quadro abaixo encontram-se algumas falas de professores a respeito desse 
trabalho. Individualmente, leia e verifique se você se identifica com elas, mesmo que seja parcial-
mente, assinalando uma coluna para cada item.
Eu me 
identifico 
totalmente
Eu me 
identifico 
parcialmente
Eu não me 
identifico
1- Sempre trabalhei com problemas de 
multiplicação e divisão, mas separadamente, 
conforme o livro didático propõe. Na verdade, 
não havia me dado conta de que estão tão 
relacionados. 
2- Pra mim, a multiplicação tinha muito mais a 
ver com a adição e não com a divisão, porque 
uma das formas de resolver a multiplicação é 
somando as parcelas.
3- Ainda não trabalho com a divisão, estamos 
vendo a multiplicação, mas percebo que meus 
alunos já resolvem divisões em situações bem 
práticas do cotidiano. Por exemplo, calculam 
quantos refrigerantes podem comprar com 
certa quantia de dinheiro. 
4- Eu dou para meus alunos problemas de 
divisão e multiplicação, mesmo antes de eles 
conhecerem os sinais e as contas, mas não sei o 
que fazer depois que eles resolvem. Normal-
mente, o que faço é socializar as estratégias 
usadas por eles.
5- Como os alunos ainda não sabem as contas 
de divisão e multiplicação, só trabalho com 
meus alunos os problemas de adição e 
subtração. 
6- Sempre proponho problemas do campo 
multiplicativo, de vários tipos. Faço um trabalho 
para que ampliem suas ideias sobre essas 
operações, gradualmente. 
7- Eu acho que as diferentes estratégias para 
resolver problemas são importantes enquanto 
os alunos ainda não aprenderam os algoritmos, 
mas, depois que aprendem, se um problema é 
de divisão, eles têm que usar o algoritmo de 
divisão. Se é de multiplicação, têm que usar o de 
multiplicação.
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
2. Em grupo, compartilhem as situações com as quais se identificaram, as situações com as quais se 
identificaram parcialmente e aquelas com as quais não se identificaram. Depois, discutam as ques-
tões: 
a) O que é comum a todos? Por que essa(s) situação(ões) está(ão) presente(s) para todos?
b) Em que os professores do grupo diferem? Essas diferenças estão relacionadas à faixa etária com 
que trabalham? Há outros fatores envolvidos? Nesse caso, procurem identificar os fatores. 
Momento 3 – Planejamento passo a passo da Aplicação Prática
Para pensar
O planejamento escolar é um processo de racionalização, organização e coordenação da 
atividade do professor.
“Se a escola é o lugar onde por excelência se lida com o conhecimento, não podemos agir só 
com base no improviso. Ensinar requer intencionalidade e sistematização.” (José Cerchi Fusari). 
Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/planejamento-e-avaliacao/planejamento/ensinar-bem-saber-
planejar-424802.shtml. Acesso em: 18.set.2012.
Considerando os estudos realizados até agora, vamos planejar uma atividade para ser realizada em sala 
de aula com problemas do campo multiplicativo envolvendo a ideia de proporcionalidade. Para tanto, 
tenham em mãos o livro didático adotado por sua escola.
Observação: é importante considerar que as situações do campo multiplicativo são muitas. Para efei-
tos deste estudo, porém, colocaremos nosso foco de atenção nos procedimentos dos alunos para re-
solver um problema de proporcionalidade. Sugerimos que você, ao longo do ano, realize um trabalho 
semelhante com problemas variados do campo multiplicativo, abrangendo análise combinatória e 
configuração retangular, além da ideia de proporcionalidade. Os problemas também se diversificam 
conforme variamos as grandezas envolvidas, a sua forma de apresentação e a linguagem empregada.
1. Antes de iniciar o planejamento, vamos pensar nas etapas que o envolve. Coletivamente, preen-
cham as orientações correspondentes a cada uma delas.
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Roteiro: etapas para o planejamento da atividade de resolução de problemas do campo 
multiplicativo
Etapas Orientações 
Selecionar os conteúdos envolvidosna situação-problema 
Selecionar, conhecer e preparar a 
situação
Antecipar possíveis estratégias que 
os alunos poderão utilizar para a 
resolução 
Identificar o descritor que se 
relaciona com esse(s) conteúdo(s)
Organizar as etapas de trabalho com 
os alunos no tempo e no espaço da 
sala de aula
Antecipar o papel do professor
Avaliar a atividade
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
2. Estudo das possíveis antecipações das estratégias de resolução de problemas do campo multiplicativo:
a) Analisem o modelo de pauta que contém a antecipação de exemplos de estratégias frequente-
mente empregados pelos alunos para resolver problemas do campo multiplicativo (proporcio-
nalidade). Em grupos, analisem e discutam como esse instrumento foi organizado, estudando os 
exemplos que constam em cada campo.
b) Como essas estratégias aparecem em suas salas?
 Observação: é importante considerar que os tipos de estratégias que constam desse quadro são 
bastante frequentes, mas não são os únicos; existem muitas outras possibilidades de respostas.
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
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 +
 9
 =
 2
7
27
 +
 9
 =
 3
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36
 +
 9
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s.
16
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
3. Organizados em grupos de professores da mesma escola, que podem ser de séries diferentes, utilizem es-
se roteiro para planejar o trabalho.
Planejamento da atividade de resolução de problemas do campo multiplicativo 
Situação-problema
Fonte: 
Etapas Planejamento
Descrever os procedimentos a serem feitos, o material que será utilizado e o tempo 
previsto para a atividade ou cada parte da atividade
Selecionar os conteúdos 
envolvidos na situação- 
problema
Selecionar, conhecer e 
preparar a situação
Antecipar possíveis estraté-
gias que os alunos poderão 
utilizar para a resolução 
Identificar o descritor que se 
relaciona com esse(s) 
conteúdo(s)
Organizar as etapas de 
trabalho com os alunos no 
tempo e no espaço da sala 
de aula
Antecipar o papel do 
professor
Avaliar a atividade
17
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
4. Considerando a importância do acompanhamento das aprendizagens dos alunos e tendo a pauta 
de observação como um instrumento organizador dessa atribuição, planejem os critérios que farão 
parte da pauta que utilizarão. Para tanto, apoiem-se no planejamento que fizeram, nos objetivos ne-
le envolvidos e no que pretendem saber sobre seus alunos em relação às aprendizagens do campo 
multiplicativo. Registrem esses critérios no quadro que segue:
Alunos
Pauta de acompanhamento das aprendizagens dos alunos - resoluções de 
problemas do campo multiplicativo
18
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Avaliação do encontro 
Duração: 10min
Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial. 
Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é 
melhorar cada vez mais este programa de formação para você.
Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar:
n Do livro didático de matemática adotado por sua escola.
n Dos Cadernos Bimestrais I e II.
n Deste caderno: O Campo Multiplicativo 
Referências
n ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2: 
actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la 
EGB, 2001. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. Disponível em: ht-
tp://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php
 Acesso em: jun.2009.
n ARGENTINA. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 4: actua-
lización curricular. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 2001. Disponível 
em: http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php
 Acesso em: jun.2009.
n BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental. Brasília: Inep, 
1997. 
n BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática: 
orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009. 
n BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental I: contribuições para o trabalho 
em sala de aula. São Paulo: Ática, 2011. (Nós da educação).
n ITZCOVICH, Horacio. El trabajo con la multiplicación y con la división. In: La matemática escolar: las 
prácticas de enseñanza en el aula. Buenos Aires: Aique Educación, 2009.
n VERGNAUD, Gérard. A criança, a matemática e a realidade – Problemas do ensino da matemática na es-
cola elementar. Curitiba:UFPR, 2009.
19
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Aplicação Prática
Duração: 4h
A proposta aqui é que um dos professores do grupo desenvolva com seus alunos a atividade de reso-
lução de problemas do campo multiplicativo que foi planejada no Encontro Presencial e que os demais 
do grupo assistam a essa aula. Para isso, sigam os passos a seguir:
n Releiam o planejamento e procurem esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas de grupo.
n Lembrem-se dos conteúdos que serão trabalhados na atividade e também dos encaminhamen-
tos que planejaram.
n Se planejaram usar como suporte para apresentação da atividade algum material, como cartaz ou 
folha xerografada, é preciso já ter em mãos esse material no momento da aplicação da atividade.
Para pensar
“O tempo pedagógico não pode ser desperdiçado, sob pena de se assistir ao esvaziamento da 
prática pedagógica que impulsiona o estudante para atingir novos patamares de aprendizagens”.
BRASIL, MEC. Conselho escolar e o aproveitamento significativo do tempo pedagógico. Brasília: MEC/SEB, 2004. p. 53-54. 
Ao planejar as atividades, é importante considerar as melhores maneiras de aproveitar o 
tempo. Uma forma de fazer isso é identificar o que é fundamental e o que é secundário na 
atividade, a partir da definição dos objetivos de ensino. 
Na atividade que você está planejando, o foco deve ser colocado na resolução do problema, 
enquanto outras atividades que demandam muito tempo e esforço dos alunos podem ser 
simplificadas. Por exemplo, a cópia do problema pode ser substituída por tiras de papel 
impressas com o enunciado, que serão coladas no caderno dos alunos. Assim, privilegia-se 
o fazer matemático que é inerente à proposta de resolução de problemas. 
Registrando a prática
1. Com o mesmo grupo de professores, depois do desenvolvimento da atividade, preencham a pauta de 
acompanhamento das aprendizagens dos alunos que foi elaborada no Encontro Presencial. Para isso se-
rá necessário ter em mãos as produções dos alunos.
2. Agora façam o registro reflexivo da atividade utilizando o modelo a seguir:
20
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Registro da atividade – resolução de problemas relacionados ao campo multiplicativo
Município: 
Escola: 
Professor que realizou a aula planejada:
Professores parceiros do grupo: 
Ano/série em que a atividade foi aplicada: 
Quantidade de alunos presentes no dia da atividade: 
Tempo utilizado para a realização da atividade: 
1- Qual foi o problema proposto? 
2- Vocês consideram que o problema selecionado foi adequado? Trouxe um bom grau de desafio para os alunos? 
Comentem a resposta.
3- Na turma apareceram outras estratégias que não foram antecipadas no planejamento que realizaram? Quais?
4 – A partir dos dados obtidos na atividade e organizados na pauta de acompanhamento, o que puderam 
identificar sobre as aprendizagens dos alunos a respeito do campo multiplicativo?
5- Ainda considerando esses dados, como pretendem dar continuidade a esse trabalho? Que atividade ou 
discussão pretendem propor aos alunos para ajudá-los a avançar nas suas aprendizagens?
21
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Grupo de Estudos
Duração: 4h
Momento 1 – Mudanças no ensino dos problemas e das operações
1. Nesse momento vamos propor uma reflexão sobre algumas questões que podem ser levantadas 
a respeito do trabalho com problemas do campo multiplicativo. Leiam as questões, de forma 
compartilhada:
a) De que forma a prática de sala de aula pode mudar ao considerarmos os problemas de multipli-
cação e de divisão como pertencentes a um mesmo campo conceitual? Ou seja, o que muda no 
ensino dos problemas que até então classificávamos como “problemas de divisão” e “problemas 
de multiplicação”?
b) Qual a melhor maneira e qual o melhor momento para trabalhar com os alunos as ideias relacio-
nadas com multiplicar e dividir? 
c) O que esperar de crianças pequenas, principalmente as dos dois primeiros anos do Ensino Fun-
damental, em relação a problemas do campo multiplicativo?
d) O ensino dos algoritmos (a conta armada) de divisão e de multiplicação é um pré-requisito para 
o trabalho com os problemas do campo multiplicativo?
2. Para buscar respostas a essas questões, façam a leitura compartilhada dos trechos a seguir. Duran-
te a leitura, grifem as partes que considerarem importantes para responder às questões que foram 
colocadas no item anterior. Além disso, procurem relacionar cada texto a uma ou mais questões, 
escrevendo a(s) letra(s) correspondente(s) ao lado dos textos. 
“No decorrer da escolaridade, é importante propor situações para que as crianças tenham dife-
rentes e sucessivas oportunidades de ir construindo e reorganizando seus conhecimentos sobre 
as operações. A multiplicação não é um conteúdo de um ano em particular, mas um aprendiza-
do a longo prazo (VERGNAUD, 1976). Durante os diferentes anos do Ensino Fundamental, as crian-
ças poderão ampliar seus conhecimentos sobre essa operação a partir das situações que enfren-
tam e de uma organização do ensino que favoreça a reflexão sobre essas mesmas situações.”
Extraído de: 
BROITMAN, Claudia. As operações matemáticas no Ensino Fundamental I: contribuições para o trabalho em sala de aula. São 
Paulo: Ática, 2011. p. 59. (Nós da educação). 
“Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho con-
junto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas cone-
xões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações com 
base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado.”
Extraído de: BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Inep, 1997. p 72. 
22
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
“As crianças podem enfrentar certos problemas multiplicativos ainda que não dominem es-
tratégias de cálculo nem a utilização do sinal X. Como resolvem então os problemas? Tome-
mos por exemplo o problema: ‘Quantas patas têm 5 cachorros?’. Como os alunos de primeiro 
ano ou início do segundo não dispõem de recursos de cálculo multiplicativo, mobilizarão di-
ferentes recursos de resolução: desenhar, contar, somar etc. 
Propor problemas multiplicativos às crianças desde o início do primeiro ano tem diversos 
objetivos. Por um lado, criar condições propícias em aula para abordar conhecimentos e 
atitudes vinculados ao fazer matemático, à tarefa de resolver e analisar problemas. A inten-
ção é que os alunos possam interpretar situações novas para as quais não dispõem de ne-
nhum ‘recurso especialista’ e desenvolver confiança na sua capacidade de construir estraté-
gias pessoais que poderão ser comparadas, buscando suas semelhanças e diferenças, julgando 
sua validade, analisando sua economia etc. Em segundo lugar, propor tais problemas tem 
como objetivo promover o estudo das situações multiplicativas, estudo esse que exigirá su-
cessivas abordagens nos anos seguintes.”
Extraído de: ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2: 
actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB. 
Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. p. 3. Tradução livre.
“É importante frisar que, na resolução de problemas, deve caber a cada estudante decidir so-
bre o procedimento de cálculo mais adequado, sendo que posteriormente as escolhas dos 
estudantes podem ser comparadas em termos de praticidade, rapidez e eficiência.” 
Extraído de: BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - 
Matemática: orientações para o professor. Brasília: Inep, 2009. p. 102. 
“A aprendizagem desses conceitos (multiplicação e divisão) é muito complexa e sua constru-
ção se dá ao longo de vários anos. É tão amplo o conjunto de situações em que essas opera-
ções estão envolvidas, que o desafiopara o ensino é cobrir essa diversidade e garantir um 
aprofundamento crescente nos tipos de situações propostas ao longo da escolaridade.”
Extraído de: ARGENTINA. Gobierno de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 4: 
actualización curricular. Buenos Aires: Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 2001. Tradução livre..
“É importante que desde o primeiro ano as crianças tenham a oportunidade de resolver proble-
mas como esse*, em vez de se restringir aos problemas para os quais elas conhecem a operação. 
(...) No primeiro ano, as crianças poderão resolver problemas similares por meio de contagem, 
de dividir de um em um, de somas e de subtrações. 
Durante o segundo e terceiro anos, a resolução de problemas de dividir poderá continuar car-
regando de significado o que foi aprendido sobre a multiplicação. É importante que as crian-
ças enfrentem, ao mesmo tempo, problemas de dividir e resolvam problemas de multiplicar. 
23
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Justamente pela relação entre esses dois tipos de problemas, os alunos vão reconhecer como 
a multiplicação é um conhecimento útil para a resolução de problemas de divisão, mesmo 
que, dispondo dos recursos, não os utilizem diretamente nesses problemas.”
*O problema ao qual a autora se refere é: ”Tenho 25 balas para dividir igualmente entre 5 
crianças. Quantas balas terá cada uma?”
“(...) No segundo ciclo espera-se que os alunos recorram ao algoritmo da divisão para resolver es-
se tipo de problema**. Ainda que alguns utilizem outros tipos de recurso, será parte da tarefa a 
se desenvolver conseguir que todos reconheçam esta operação como a mais econômica.” 
** Os autores referem-se ao problema: “Para a festa do município serão colocadas na praça 
3.452 cadeiras. Serão formadas fileiras com 132 cadeiras cada. Quantas fileiras devem ser for-
madas? Sobrarão cadeiras?”
Extraído de: ARGENTINA. Municipalidad de la ciudad de Buenos Aires. Matemática – documento de trabajo nº 2: 
actualización curricular. Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres ciclos de la EGB. Buenos Aires: 
Secretaria de Educación/Dirección de currículum, 1996. p. 15. Tradução livre.
3. Voltem às perguntas do item 1 e procurem discutir e responder às questões colocadas. Se deseja-
rem, escrevam aqui outras questões que vocês tiverem sobre o assunto: 
Momento 2 – Reflexão sobre a prática 
1. Individualmente, faça a leitura do texto “Multiplicação e divisão já nas séries iniciais” e identifique as-
pectos que gostaria de discutir com seus colegas.
Multiplicação e divisão já nas séries iniciais
O domínio das operações de adição e subtração não é pré-requisito para compreender as 
propriedades do campo multiplicativo que deve ser trabalhado desde o 1º ano
A partir de quando é possível abordar a multiplicação e a divisão na escola? A resposta é de 
ouriçar os educadores mais conservadores: elas já podem aparecer nos primeiros anos do En-
sino Fundamental. Problemas envolvendo ambas as situações devem ser explorados em um 
24
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
trabalho continuado que percorra toda a escolaridade. Outra visão que se modificou nos últi-
mos anos diz respeito à segregação do multiplicar e do dividir. Por que tratá-los como etapas 
diferentes se a ligação entre eles é tão estreita?
A ideia defendida por especialistas de renome é buscar cada vez mais evidenciar as relações 
existentes entre as operações, mesmo antes da sistematização de seus algoritmos.
Desenvolver a compreensão dos conceitos por trás das operações e dar condições às turmas 
para que joguem com as estruturas multiplicativas amplia a visão sobre a matemática. Resul-
tado? O aluno avança de forma autônoma na resolução dos problemas, e o que parecia inde-
cifrável começa a fazer sentido (leia quadro abaixo).
A classificação da multiplicação e da divisão
Assim como no campo aditivo, os problemas do campo multiplicativo foram divididos em ca-
tegorias pelo psicólogo francês Gérard Vergnaud. Com essa organização, é possível trabalhar 
os conceitos de multiplicação e divisão já nos primeiros anos do Ensino Fundamental.
Exemplo Observação Variações
Proporcionalidade
Na festa de aniversário de 
Carolina, cada criança levou 2 
refrigerantes. Ao todo, 8 crianças 
compareceram à festa. Quantos 
refrigerantes havia?
REGULARIDADE
A está para B
na mesma medida 
em que
C está para D
• Oito crianças levaram 16 
refrigerantes ao aniversário de 
Carolina. Se todas as crianças 
levaram a mesma quantidade 
de bebida, quantas garrafas 
levou cada uma?
• Numa festa foram levados 16 
refrigerantes pelas crianças e 
cada uma delas levou 2 garrafas. 
Quantas crianças havia?
• Quatro crianças levaram 8 
refrigerantes à festa. Supondo 
que todas levaram o mesmo 
número de garrafas, quantos 
refrigerantes haveria se 8 
crianças fossem à festa?
Marta tem 4 selos. João tem 3 
vezes mais do que ela. Quantos 
selos tem João?
REGULARIDADE
A x B = C
A = C 
 B
B =
 
C 
 A 
• João tem 12 selos e Marta tem 
a terça parte da quantidade do 
amigo. Quantos selos tem 
Marta?
12 1 
 3 
? 12 1 
 3 
?
x -
25
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Exemplo Observação Variações
Organização retangular
Um salão tem 5 fileiras com 4 
cadeiras em cada uma. Quantas 
cadeiras há nesse salão?
ANáLISE 
DIMENSIONAL
• Um salão tem 20 cadeiras, com 
4 delas em cada fileira. Quantas 
fileiras há no total?
• Um salão tem 20 cadeiras 
distribuídas em colunas e 
fileiras. Como elas podem ser 
organizadas?
Exemplo Observação Variações
Combinatória
Uma menina tem 2 saias e 3 
blusas de cores diferentes. De 
quantas maneiras ela pode se 
arrumar combinando as saias e 
as blusas? 
FORMAÇÃO 
DE SUBCONjUNTOS
• Uma menina pode combinar 
suas saias e blusas de 6 
maneiras diferentes. Sabendo 
que ela tem apenas 2 saias, 
quantas blusas ela tem?
• Uma menina pode combinar 
suas saias e blusas de 6 
maneiras diferentes. Sabendo 
que ela tem apenas 3 blusas, 
quantas saias ela tem?
Consultoria: Célia Maria Carolino Pires, coordenadora da pós-graduação em Educação Matemática da 
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), e Priscila Monteiro, formadora do programa 
Matemática É D+
A possibilidade de mudança no ensino se baseia principalmente na Teoria dos Campos Con-
ceituais, do psicólogo francês Gérard Vergnaud, que teve suas primeiras inserções no Brasil no 
fim dos anos 1980. O pesquisador diferencia o campo aditivo do campo multiplicativo, iden-
tificando as particularidades de cada uma das áreas, mas também ressaltando o que elas têm 
em comum: as operações não são estanques – não se pode descolar a adição da subtração, 
assim como não se separa a multiplicação da divisão, e não há somente um caminho para so-
lucionar os problemas matemáticos. 
Com tantas negativas em seus pontos-chave, a teoria de Vergnaud se coloca em contraposi-
ção ao ensino convencional. “Trabalhar com campos conceituais é romper o contrato didáti-
co estabelecido tradicionalmente”, explica Lilian Ceile Marciano, orientadora pedagógica e 
26
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
formadora de professores da Escola da Vila, em São Paulo. “Primeiro você apresenta a situação-
-problema. Só depois de ela ser elaborada pelos alunos, é possível começar a discussão sobre 
as possíveis estratégias para resolvê-la”. O aluno pode não ter familiaridade com o algoritmo 
nem perceber que a adição repetida faz parte do caminho para a multiplicação, mas vai se 
apropriando da operação com as ferramentas que já possui. 
Diferentes enunciados criam variados olhares
A divisão traz, desde o início, um fator de complexidade quando comparada às operações do 
campo aditivo: ela trabalha com quatro termos – dividendo, divisor, quociente e resto –, em 
vez de apenas os três da adição e da subtração. A diversidade de tipos de problema exige o 
domínio das diversas relações matemáticas para ser resolvida.Divisibilidade sem decoreba
Todo número par é divisível por 2. Um número é divisível por 3 se a soma dos algarismos que 
o compõem for divisível por 3. Regras como essas talvez pareçam práticas no trabalho com a 
divisibilidade, mas o seu uso pode incorrer na mesma questão dos algoritmos: ele perde o 
sentido se não for revestido de significação para a garotada. Ao decorar a “fórmula mágica”, 
que verifica se um número é divisível por outro sem fazer a conta armada, é possível ofuscar a 
maior riqueza desse tipo de atividade: que a criança perceba as regularidades da divisão. “Em 
problemas de máximo divisor comum (MDC), por exemplo, os alunos costumam começar 
simplesmente testando o maior número”, diz Priscila Monteiro, formadora do programa Mate-
mática É D+, da Fundação Victor Civita (FVC). “Essa estratégia é positiva e deve ser validada pe-
lo professor”. Ela destaca que o interessante do trabalho com atividades que envolvem divisi-
bilidade é o potencial de discutir estratégias e, em conjunto, elaborar hipóteses de generali-
zação de fenômenos – o que mais tarde as turmas verificarão serem propriedades da divisão.
Assim, podem-se ter várias modalidades de enunciados que se baseiam nos mesmos elemen-
tos, como no exemplo: “Dezessete balas são divididas entre 5 crianças. Quantas balas ganha 
cada uma se os doces forem distribuídos igualmente?” De formas variadas, os pequenos de-
vem chegar ao resultado: 3 balas para cada uma e sobram 2. A questão pode ser alterada sem 
modificar os termos: e se as balas forem distribuídas uma a uma até acabarem? Nesse caso, 
formam-se dois grupos com quantidades diferentes, e o aluno verificará – por contagem, sub-
tração repetida ou multiplicando números por 5 até chegar ao mais próximo de 17 (3 x 5), en-
tre outras estratégias – que cada criança recebe 3 balas e 2 ficam com 1 bala a mais. 
Há também como alterar o local da incógnita na operação, usando sempre os mesmos termos: 17 
balas foram distribuídas igualmente entre um número de crianças, cada uma ficou com 3 e sobra-
ram 2. Quantas crianças havia? Nesse caso, a relação de inverso entre multiplicação e divisão é o 
destaque. Quanto mais tipos de problema as turmas conhecerem, mais elas ampliarão a compre-
ensão das operações e aumentarão o repertório de estratégias para elucidar os desafios. 
Percebe-se também que relações referentes ao campo aditivo, como a composição e a de-
composição de números, servem como uma base para progredir no campo multiplicativo, as-
sim como a compreensão do valor posicional e real dos algarismos. 
27
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Conhecer os tipos de trabalho é chave para ensinar melhor
Até o 5º ano do Ensino Fundamental, é importante trabalhar com três conceitos do campo 
multiplicativo: a proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. Com a propor-
cionalidade, a criança percebe a regularidade entre elementos de uma tabela – se um pacote 
tem 5 figurinhas, 2 pacotes têm 10, 3 pacotes têm 15 etc. – e deve também ter oportunidade 
de constatar a ideia da proporcionalidade inversa (fenômeno da diminuição proporcional de 
um dos elementos com o aumento do outro. Exemplo: uma caixa d’água tem seu volume di-
minuído pela metade a cada semana. Quanto tempo levará para chegar a 1/8 de sua capaci-
dade total? Nessa lógica, quanto maior o tempo, menor é o resultado obtido). 
A organização retangular – também conhecida como análise dimensional ou produto de me-
didas – pode ter mais questões de seu potencial de complexidade tratadas nas séries iniciais. 
Algumas propostas envolvem o desafio de descobrir a área de uma superfície, quantas peças 
cabem em um tabuleiro, o número de casas ou de uma casa específica em jogos com tabelas 
numéricas. “É comum a criança não entender de início que um retângulo de três fileiras e qua-
tro linhas tenha o mesmo número de casas que um de quatro fileiras e três linhas”, explica Ana 
Ruth Starepravo, educadora e pesquisadora da Universidade de São Paulo (USP). “Familiarizar-
-se com essa noção é importante para o campo multiplicativo e para a geometria e a percep-
ção do espaço”, argumenta. 
A análise combinatória – conteúdo antes reservado às turmas do Ensino Médio – ganha lugar 
nas séries iniciais. Os desafios que desenvolvem combinação são adaptados para ficar ao al-
cance do entendimento dos alunos menores. No início, a garotada geralmente faz represen-
tações usando desenhos ou identificando, com outras notações, elemento por elemento no 
papel e, somente depois, faz a contagem. 
Essa estratégia é útil e importante para a compreensão da operação, mas quando diferentes 
maneiras de calcular são discutidas pelo grupo e validadas pelo professor e a grandeza dos 
números envolvidos cresce, é hora de sistematizar o conhecimento. “É preciso dar conta das 
ideias que estão por trás do concreto”, explica Esther Pillar Grossi, doutora em psicologia da in-
teligência e coordenadora do Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e 
Ação (Geempa), em Porto Alegre. “É importante ter algo que possa ser generalizado, um co-
nhecimento já incorporado e que possa ser usado sem ser preciso inventar uma estratégia a 
cada problema”.
Saber armar conta sem saber o porquê não faz sentido
A ideia de que dispomos de um aglomerado de saberes – espécie de rede maleável e aberta 
que se reorganiza a cada novo conhecimento adquirido, criando novas relações –, trabalhada 
por seguidores de Vergnaud, remete à visão de que não há sentido em separar o aprendizado 
das operações, mas aproveitar as relações estabelecidas para avançar no estudo da matemática.
Mudança de verdade
Romper com a educação matemática tradicional é uma atitude válida desde que a mudança se-
ja construída com consistência pelo educador e embasada por conhecimentos concretos. “O 
28
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
que mais ouço em formações de professores são discursos estereotipados e vazios, como o cli-
chê de desenvolver o raciocínio lógico e de estimular que as crianças ‘vivenciem’ os problemas”, 
conta Silvia Swain Canoas, docente da Universidade do Estado de Minas Gerais (UEMG) e espe-
cialista em campo multiplicativo. “Quando pergunto que tipo de prática propicia esses objetivos, 
eles repetem o velho esquema linear de trabalho com as operações”. Para ela, uma das maiores 
dificuldades dos professores é o fato de não compreenderem realmente o que se busca com o 
uso do campo multiplicativo. É preciso ter clareza de que trabalhar nessa linha é oferecer opor-
tunidades de estabelecer mais relações matemáticas com as mesmas operações que são traba-
lhadas no ensino tradicional. Primeiro, o professor deve saber quais delas podem ser trabalhadas 
nas séries iniciais – a proporcionalidade (direta e inversa), a organização espacial e a combinató-
ria. Quanto mais amplo for o conhecimento do professor sobre esses conceitos, maior facilidade 
ele terá para reconhecer os tipos de problema. Assim, a tendência é que a diversidade de ques-
tões e de resoluções cresça, assim como a rede de saberes do próprio aluno.
O campo aditivo e o multiplicativo podem ser ensinados paralelamente e de maneira não line-
ar. As relações entre adição e multiplicação e entre subtração e divisão devem ser explicitadas, 
como explica Esther: “O ensino da disciplina nas séries iniciais caminha em três pistas: desenvol-
ver as estruturas numéricas, aditivas e multiplicativas”. Uma vez ativa em todas essas áreas, por 
mais que não as domine de imediato, a criança vai gradualmente tecendo as relações entre os 
conceitos das operações, e o posterior aprendizado do algoritmo ganhará significado. 
Sob esse enfoque, saber armar uma conta sem entender o porquê da escolha da operação 
não faz sentido. Um termômetro disso é a necessidade de a criança perguntar qual operação 
deve ser utilizada em cada problema. “Pode-se estabelecer uma analogia com a informática”, 
diz Jorge Falcão, da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE). “Qualquer programadorfaz 
o computador calcular. O desafio é conseguir que a máquina interprete o problema e decida 
qual operação realizar”.
De todo modo, o algoritmo não deve ser desprezado, mas é crucial que a criança compreen-
da o que é o resto, por exemplo, sem pensar que seja simplesmente um dos elementos dos 
quais tem de dar conta para executar o algoritmo da divisão. Aquela que enxergar além disso 
nas séries iniciais sairá em vantagem no percurso de compreensão da matemática.
Extraído de: http://revistaescola.abril.com.br/matematica/fundamentos/multiplicacao-divisao-ja-series-iniciais-500495.shtml. 
Acesso em: 30.abr.2013.
2. Elejam alguns pontos comuns ao grupo e discutam. 
3. À luz das considerações trazidas neste texto, atentem, mais uma vez, à prática de sala de aula e refli-
tam sobre alguns aspectos do trabalho com o campo multiplicativo descritos na primeira coluna da 
tabela que segue. Em seguida, façam um registro coletivo que relate como esse trabalho vem acon-
tecendo nessa escola, preenchendo a 2ª e a 3ª colunas.
29
 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Escola:
Município:
Professores que fazem parte desse grupo de estudos:
Formador local responsável pelo grupo de estudo:
Trechos do texto para refle-
tirem sobre como esse 
trabalho acontece, na prática, 
nas salas de aula dessa escola
O que já está assegurado, a 
respeito desse aspecto do 
trabalho, para esse grupo de 
professores?
Em quais aspectos desse 
trabalho esse grupo de 
professores considera que 
ainda é preciso avançar?
TRECHO 1
Outra visão que se modificou nos 
últimos anos diz respeito à 
segregação do multiplicar e do 
dividir. Por que tratá-los como 
etapas diferentes se a ligação entre 
eles é tão estreita?
TRECHO 2
A ideia defendida por especialistas 
de renome é buscar cada vez mais 
evidenciar as relações existentes 
entre as operações, mesmo antes da 
sistematização de seus algoritmos.
TRECHO 3
Ao decorar a “fórmula mágica” que 
verifica se um número é divisível por 
outro sem fazer a conta armada, é 
possível ofuscar a maior riqueza desse 
tipo de atividade: que a criança 
perceba as regularidades da divisão.
TRECHO 4
Até o 5º ano do Ensino Fundamen-
tal, é importante trabalhar com três 
conceitos do campo multiplicativo: 
a proporcionalidade, a organização 
retangular e a combinatória.
TRECHO 5
A ideia de que dispomos de um 
aglomerado de saberes – espécie de 
rede maleável e aberta que se 
reorganiza a cada novo conhecimen-
to adquirido, criando novas relações 
–, trabalhada por seguidores de 
Vergnaud, remete à visão de que não 
há sentido em separar o aprendiza-
do das operações, mas aproveitar as 
relações estabelecidas para avançar 
no estudo da matemática. 
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Anexos:
Gabarito da atividade da página 10
Problema
Classificação
Proporcionalidade Análise combinatória
Configuração 
retangular
A X
B X
C X
D X
E X
F X
Descritores de Matemática1
Bloco de 
Conteúdo
Número do 
Descritor Descrição
Espaço e 
forma
D1 Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e outras 
representações gráficas.
D2 Identificar propriedades comuns e diferenças entre poliedros e corpos redondos, 
relacionando figuras tridimensionais com suas planificações.
D3 Identificar propriedades comuns e diferenças entre figuras bidimensionais pelo 
número de lados, pelos tipos de ângulos.
D4 Identificar quadriláteros observando as posições relativas entre seus lados 
(paralelos, concorrentes, perpendiculares).
D5 Reconhecer a conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro 
da área em ampliação e/ou redução de figuras poligonais usando malhas 
quadriculadas.
1 BRASIL. Ministério da Educação. Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5º ano, Ensino Fundamental - Matemática: orientações para o professor. 
Brasília: Inep, 2009. 
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Bloco de 
Conteúdo
Número do 
Descritor Descrição
Grandezas e 
medidas
D6 Estimar a medida de grandezas utilizando unidades de media convencionais ou não.
D7 Resolver problemas significativos utilizando unidades de medida padronizadas 
como km/m/cm/mm, kg/g/mg, l/ml.
D8 Estabelecer relações entre unidades de medida de tempo.
D9 Estabelecer relações entre o horário de início e término e/ou o intervalo da 
duração de um evento ou acontecimento. 
D10 Num problema, estabelecer trocas entre cédulas e moedas do sistema monetário 
brasileiro, em função de seus valores. 
D11 Resolver problema envolvendo o cálculo do perímetro de figuras planas, 
desenhadas em malhas quadriculadas.
D12 Resolver problema envolvendo o cálculo ou estimativa de áreas de figuras planas, 
desenhadas em malhas quadriculadas. 
Números e 
operações
D13 Reconhecer e utilizar características do sistema de numeração decimal, tais como 
agrupamentos e trocas de base 10 e princípio do valor posicional.
D14 Identificar a localização de números naturais na reta numérica.
D15 Reconhecer a decomposição de números naturais nas suas diversas ordens.
D16 Reconhecer a composição e a decomposição de números naturais em sua forma 
polinomial.
D17 Calcular o resultado de uma adição ou subtração de números naturais.
D18 Calcular o resultado de uma multiplicação ou divisão de números naturais.
D19 Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes significados da 
adição ou subtração: juntar, alteração de um estado inicial (positiva ou negativa), 
comparação e mais de uma transformação (positiva ou negativa).
D20 Resolver problema com números naturais envolvendo diferentes significados da 
multiplicação ou divisão: multiplicação comparativa, ideia de proporcionalidade, 
configuração retangular e combinatória.
D21 Identificar diferentes representações de um mesmo número racional.
D22 Identificar a localização de números racionais representados na forma decimal na 
reta numérica. 
D23 Resolver problema utilizando a escrita decimal de cédulas e moedas do sistema 
monetário brasileiro. 
D24 Identificar fração como representação que pode estar associada a diferentes 
significados.
D25 Resolver problemas com números racionais expressos na forma decimal 
envolvendo diferentes significados da adição ou subtração. 
D26 Resolver problemas envolvendo noções de porcentagem (25%, 50%, 100%).
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Bloco de 
Conteúdo
Número do 
Descritor Descrição
Tratamento da 
Informação
D27 Ler informações e dados apresentados em tabelas.
D28 Ler informações e dados apresentados em gráficos (particularmente em gráficos 
de colunas).
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 Formação de Professores O Campo Multiplicativo Formação de Professores O Campo Multiplicativo 
Anotações
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