DESENHO GEOMÉTRICO II

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL-RIOGRANDENSE
COORDENADORIA DE DESIGN
CURSO TÉCNICO DE DESIGN DE INTERIORES E COMUNICAÇÃO VISUAL 
DESENHO
GEOMÉTRICO II
PROFª. DANIELA TIMM
Daniela Vergara Ribeiro Timm
Liege Dias Lannes
Marina Mendonça Löder
Alexandre Vergínio Assunção
Alfredo Luiz Cordeiro Viana
Catiúcia Klug Schneider
Cecília Oliveira Boanova
Ceres Chevallier
Claudia Campos Ribeiro
Luiz K. de Vasconcellos (Ilustração da capa)
Martha Coswig
Mauro Hallal dos Anjos
Stela Stein
Fabiana Mendes de Mendonça
Rodrigo Mascarenhas Costa
PROFESSORES COLABORADORES
PROFESSORA ORGANIZADORA E DIAGRAMADORA
LAYOUT
APOIO
SUMÁRIO
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
UNIDADE I - CIRCUNFERÊNCIA
 1.1 - Conceito de circunferência..................................................................................................4
 1.2 - Conceito de círculo.............................................................................................................4
 1.3 - Elementos básicos da circunferência.................................................................................4
 1.4 - Determinação do centro de uma circunferência...............................................................4
 1.5 - Polígonos inscritos..............................................................................................................5
 1.5.1 - Processo particular.................................................................................................5
 1.5.2 - Processo do ângulo central.....................................................................................6
 1.5.3 - Processo geral de Rinaldini ...................................................................................6
 1.6 - Retificação...........................................................................................................................7
 1.6.1 - Método de Arquimedes...........................................................................................7
 1.6.2 - Método do quadrado e do triângulo.........................................................................7
 1.6.3 - Retificação de arcos até 180º..................................................................................7
UNIDADE II - CONCORDÂNCIA
 2.1 - Conceito de concordância................................................................................................8
 2.2 - Princípios fundamentais....................................................................................................8
 2.3 - Concordância entre uma semi-reta e um arco...............................................................9
 2.4 - Concordância entre arcos.................................................................................................9
UNIDADE III - ARCOS
 3.1 - Conceito de arco...............................................................................................................12
 3.2 - Elementos do arco............................................................................................................12
 3.3 - Classificação dos arcos.....................................................................................................12
 
UNIDADE IV - OVAIS
 4.1 - Conceito das ovais...........................................................................................................18
 4.2 - Classificação das ovais....................................................................................................18
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................................................21
 É uma linha curva, fechada, cujos pontos são equidistantes de um ponto interior chamado centro. 
É o contorno de um círculo.
UNIDADE I
CIRCUNFERÊNCIA
1.1 CONCEITO DE CIRCUNFERÊNCIA
4
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
 É a superfície plana limitada pela circunferência. É a reunião da circunferência e sua região 
interna.
1.2 CONCEITO DE CÍRCULO
Circunferência Círculo
CENTRO O: ponto fixo que auxilia o traçado da circunferência.
RAIO AO: é o segmento de reta entre o centro e qualquer ponto da circunferência.
CORDA EF: é o segmento determinado por dois pontos da circunferência.
1.3 ELEMENTOS BÁSICOS DA CIRCUNFERÊNCIA
O
A
F
E
O
B
H
G
A
AB (DIÂMETRO): é o segmento determinado por dois pontos da circunferência
que passa pelo centro.
ARCO: é o subconjunto da circunferência determinado por dois pontos da curva GH.
SEMI-CIRCUNFERÊNCIA: é a parte compreendida pelas extremidades de um
diâmetro. AB = semi-circunferência.
1.4 DETERMINAÇÃO DO CENTRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Dados: circunferência de centro desconhecido.
1. Traçar duas cordas consecutivas PQ e QR;
2. Fazer mediatriz de PQ,
3. Fazer mediatriz de QR, no encontro das duas mediatrizes está o centro (O) da circunferência.
C
O
R
D
A
R
AI
O
AR
C
O
D
IÂ
M
ET
R
O
O
P
Q
R
 Um polígono é dito inscrito quando todos os seus vértices estão na circunferência.
 A construção de polígonos REGULARES e INSCRITOS através do processo de divisão de 
circunferência pode ser feita através de três processos:
 1. Processo particular
 2. Processo do ângulo central
 3. Processo de Rinaldini
UNIDADE I
CIRCUNFERÊNCIA
1.5 POLÍGONOS INSCRITOS
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
5
1.5.1 Processo Particular
Triângulo Quadrado Pentágono
A
B
C
D
L4
A
B
C
1
L3
HeptágonoHexágono Octógono
1 2
3
4
L5
A
B C
D
E
A
B C
1
D
E
G
F
A
B C
D
EF
A
B
C
D
E
F
G
H
Eneágono
1
2
3
4
5
UNIDADE I
CIRCUNFERÊNCIA
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
6
Decágono Dodecágono
1 23
A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
1.5.2 Processo do ângulo central - com uso de transferidor
 Ângulo central = 360º / N = x
3 partes = 120º
4 partes = 90º
5 partes = 72º
6 partes = 60º
7 partes = 51,4º
8 partes = 45º
9 partes = 40º
10 partes = 36º
72º
A
B
C
D
E
1.5.3 Processo geral de Rinaldini
Ex.: 11 partes 1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
UNIDADE I
CIRCUNFERÊNCIA
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
1.6 RETIFICAÇÃO
 Retificação de uma circunferência é o processo de construção de um segmento de medida igual 
ao comprimento desta circunferência.
Métodos: - Método de Arquimedes
 - Método do quadrado e do triângulo
1
1.6.1 Método de Arquimedes
R = 3d + d1
7
2 3 4 5 6 7
d d d d
1
7
1.6.2 Método do quadrado e do triângulo
R = 2L4 + 2L3
Lado do quadrado
Lado do triângulo
L3
L4
L3 L3 L4 L4
1.6.3 Retificação de arcos até 180º
7
3/4
Retificação
1) 2) 3) 4)
R = Retificação
d = diâmetro
UNIDADE II
TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA
Desenho Geométrico II 
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2.1 CONCEITO DE CONCORDÂNCIA
8
 Existe concordância entre uma reta e um arco e entre dois arcos quando eles se unem formando 
uma linha contínua sem quinas ou ângulos.
2.2 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS
 1º - Para concordar um ou mais ARCOS com uma RETA (r) é necessário que o ponto de 
concordância (P) e o centro dos arcos (O1, O2, O3...) estejam sobre uma mesma PERPENDICULAR.
P
O3
O2
O1
 2º - Para concordar dois ou mais ARCOS entre si, o ponto de concordância (P), assim como o 
centro dos arcos, devem estar sobre uma mesma reta (r); que é normal aos arcos no ponto de 
concordância (P).
 CD - Concordância Direta - Sentido Horário
 CR - Concordância Reversa - Sentido Anti-Horário
r
O O1 O2
r
CD
CR
Linhas não-concordantes Linhas concordantes
o
o’
o
o
r
s
o’
o
P
UNIDADE II
CONCORDÂNCIA
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
9
2.3 CONCORDÂNCIA ENTRE UMA SEMI-RETA E UM ARCO
2.4 CONCORDÂNCIA ENTRE ARCOS
EXEMPLO 1 - Arcos concordantes de SENTIDOS 
OPOSTOS.
Concordar o ARCO de circunferência (AM = 
15mm) com um ARCO de circunferência (AN =14mm), sabendo que A é o ponto de 
concordância.
A
M N
r
EXEMPLO 2 - Arcos concordantes de MESMO 
SENTIDO.
Concordar o ARCO de circunferência (AM = 
20mm) com um ARCO de circunferência (AN = 
12mm), sabendo que A é o ponto de 
concordância.
AM N
r
EXEMPLO 1 - Concordar um SEGMENTO DE 
RETA AB conhecido, com um ARCO de 
circunferência de raio = 12mm.
O
BA
O
MA
P
EXEMPLO 2 - Concordar um SEGMENTO DE 
RETA AM com um ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA 
que deverá passar obrigatoriamente por um 
PONTO (P) fora deste segmento.
10
a) Concordar um arco de circunferência com 
uma reta AB.
b) Concordar uma semi-circunferencia com 
duas paralelas.
UNIDADE II
CONCORDÂNCIA
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
Exercícios:
A B
RAIO
A B
C D
c) Concordar um segmento de reta com um 
arco de circunferência que deverá passar pelos 
pontos R e S .
A
B
R
d) Concordância de um arco dado com dois 
arcos de raios conhecidos.
O
r
O1
O2
e) Concordância de duas semi-retas paralelas 
de sentidos opostos, cujas origens estão numa 
perpendicular comum, por dois arcos em 
concordância.
r
sQ
f) Concordância de duas semi-retas paralelas 
de sentidos opostos, cujas origens estão numa 
oblíqua comum por dois arcos em concor-
dância. 
Q
P
r
s
S
11
UNIDADE II
CONCORDÂNCIA
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
Exercícios:
h) Concordância de duas retas concorrentes, 
por arcos de raios arbitrários.
r
s
A
i) Concordar um arco de circunferência com 2 
retas perpendiculares.
y
x
r
j) Concordar um arco de circunferência com 2 
retas (ângulo obtuso).
s
z
k) Concordar um arco de circunferência com 2 
retas (ângulo agudo).
s
z
R1 R1
l) Faça a concordância externa das circunferên-
cias dadas com um arco de circunferência de 
raio R1.
m) Faça a concordância interna das circunferên-
cias dadas com um arco de circunferência de 
raio R1.
r
R
r
R
r
r
 Arco de uma circunferência é uma das partes em que ela se divide por dois pontos distintos.
 Também denominamos arcos, as curvas que têm extremidades coincidentes com as origens de 
duas semi-retas paralelas de mesmo sentido e nível. Essas curvas são quase sempre constituídas de 
arcos concordantes entre si ou de arcos que concordam com as semi-retas paralelas.
 Das diversas aplicações que um arco pode ter observa-se principalmente a sua utilização em 
portas, janelas, pontes, aquedutos, abóbodas, etc.
UNIDADE III
ARCOS
3.1 CONCEITO DE ARCO
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
Pontos de origem ou de nascença (I e J): pontos que determinam
a origem do arco.
Vão, base ou abertura (IJ): segmento que liga os pontos de origem,
ou seja, é a linha de nível da semi-retas.
Centro do vão (S): ponto médio do vão.
Ápice (T): ponto do arco que é equidistante dos pontos de origem.
Flecha (TS): segmento de reta perpendicular ao vão, traçado do ápice
do arco ao centro do vão.
Suportes (Ix e Jy): semi-retas paralelas de mesmo sentido e nível. Em
arquitetura são chamadas de ‘‘colunas’’ ou ‘‘pilastras’’.
3.2 ELEMENTOS DO ARCO
T
S
JI
x y
3.3 CLASSIFICAÇÃO DOS ARCOS
ARCOS PLENOS OU ROMANOS
São arcos que têm a flecha com medida igual a metade da medida do vão.
EXEMPLO: ARCO PLENO com vão (AB) = 50mm.
Passo a passo:
1. Traçar o segmento de reta AB, com dois suportes;
2. traçar a mediatriz de AB.
3. ponta seca no ponto médio M abertura até A, traçar o arco.
A B A BM A BM
1) 2) 3)
12
UNIDADE III
ARCOS
Desenho Geométrico II 
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ARCOS ABATIDOS
São arcos cuja flecha tem medida menor que a metade da medida do vão. Esses arcos são obtidos
pela concordância de um número ímpar de circunferência.
EXEMPLO: ARCO ABATIDO de vão (AB) = 56mm e flecha (CD) = 16mm
Passo a passo:
1. Traçar a mediatriz de AB, marcar sobre a flecha, os pontos C e D;
2. ligar os pontos A, D e B traçando um triângulo;
3. ponta seca em C até D, traçar um arco determinando o ponto E;
4. com a medida igual a AE, ponta seca em D, traçar um arco determinando os pontos F e G;
5. traçar a mediatriz de AF e BG, determinando O, O1 e O2;
6. ponta seca em O, abertura até A, traçar um arco, ponta seca em O1, abertura até B, traçar um arco, 
ponta seca em O2 fechar o arco.
13
3)
A B
D
C
E
4)
A B
D
C
E
F G
5)
A B
D
C
E
F G
O O1
O2
6)
2)
A B
D
C
1)
A B
D
C
A B
D
C
E
F G
O O1
O2
UNIDADE III
ARCOS
Desenho Geométrico II 
Comunicação Visual e Design de Interiores
ARCOS OGIVAIS OU SUPERELEVADOS
São arcos que têm a flecha com medida maior que a metade da medida do vão. Esses arcos apresentam 
as seguintes variedades: OGIVAL FERRADURA e OGIVAL GÓTICO.
EXEMPLO 1: ARCO OGIVAL com vão (AB) = 30mm
Passo a passo:
1. Ponta seca em A, abertura até B, traçar um arco;
2. ponta seca em B, abertura até A, fechar o arco.
A B
1)
14
EXEMPLO 2: ARCO OGIVAL com vão (AB) = 37mm, flecha (CD) = 33mm e (CO) = 22mm.
Passo a passo:
1. Traçar a mediatriz entre AB;
2. marcar os pontos C, D e O conforme as medidas dadas;
2. traçar a mediatriz entre BD, determinando o ponto O1, traçar a mediatriz entre AD, determinando 
o ponto O2;
3. unir os pontos O,O1 e O2, com as retas prolongadas;
4. centro em O1, abertura até B, traçar um arco, centro em O2, abertura até A, traçar outro arco;
5. com o centro em O, fechar o arco.
2)
A B
A B
C
D
O
O1 O2
A B
C
D
O
O1 O2
A B
C
D
O
O1 O2
A B
C
D
O
O1 O2
A B A B
C
D
O
1) 2) 3)
6)5)4)
UNIDADE III
ARCOS
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Comunicação Visual e Design de Interiores
15
EXEMPLO 3: ARCO OGIVAL FERRADURA com vão (AB) = 40mm.
Passo a passo:
1. Traçar mediatriz de AB;
2. ponta seca no ponto médio, abertura até A, traçar um arco determinando o ponto C;
3. ligar AC e BC, traçando semi-retas (r) e (s);
4. ponta seca em C até A, traçar um arco até a semi-reta (r), criando o ponto D; 
5. ponta seca em C até B, traçar um arco até a semi-reta (s), criando o ponto E;
6. ponta seca em B até D, traçar um arco; ponta seca em A até E, fechar o arco.
A B
6)
D
C
r sE
A B
5)
D
C
r sE
A B
2)
C
A B
1)
A B
3)
C
r s
A B
4)
D
C
r s
UNIDADE III
ARCOS
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16
EXEMPLO 4: ARCO OGIVAL GÓTICO com vão (AB) = 40mm,
Passo a passo:
1. Traçar mediatriz de AB; ponta seca no ponto médio traçar um arco determinando o ponto C;
2. ligar AC e BC, traçando semi-retas prolongadas (r) e (s).
3. ponta seca em A abertura até B traçar um arco até (s), criando o ponto E. Ponta seca em B, 
abertura até A traçar um arco até (r), criando o ponto D, transportar as medidas BD = DF / AE = EG; 
4. ponta seca em F até D traçar um arco, ponta seca em G até E e fechar o arco.
A B
4)
C
r s
D E
F G
A B
3)
C
r s
D E
F G
A B
2)
C
r s
A B
1)
C
UNIDADE III
ARCOS
Desenho Geométrico II 
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17
EXEMPLO 5: ARCO SUPERELEVADO com vão (AB) = 35 mm e flecha (CD) = 38mm
Passo a passo:
1. Traçar mediatriz de AB, determinando os pontos C e D;
2. unir BD e AD. Traçar a mediatriz de BD, determinando o ponto O, traçar a mediatriz de AD, 
determinando o ponto O1;
3. com o centro em O até B, traçar um arco;
4. com o centro em O1 até A, fechar o arco.
A B
C
D
A B
C
D
O O1
A B
C
D
O O1
1)
A B
C
D
O O1
2)
3) 4)
 Oval é uma curva plana, fechada, simples, constituída de arcos de circunferência concordantes 
dois a dois, cujos centros estão situados sobre dois segmentos de reta perpendiculares entre si.
UNIDADE IV
OVAIS
4.1 CONCEITO DAS OVAIS
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4.2 CLASSIFICAÇÃO DAS OVAIS
18
 As ovais são classificadas em:
REGULARES: têm arcos concordantes opostos e congruentes. 
IRREGULARES: têm um par de arcos concordantes opostos e não-congruentes.
EXEMPLO 1: OVAL REGULAR ou FALSA ELIPSE dado eixo maior AB = 8cm.
1. Traçar um segmento de reta AB = 8cm;
2. com uma pequena abertura qualquer e PS em A, determinar o ponto O;
Com a mesma abertura,ponta seca em B, determinar o ponto O’;
3. ponta seca em O com raio OO’ traçar um arco em cima e embaixo, repetir o mesmo processo com 
a ponta seca em O’, determinar os pontos O1 e O1';
4. traçar semi-retas prolongadas, unindo O e O' à O1 e O1';
5. ponta seca em O até A, traçar um arco até encontrar as semi-retas, ponta seca em O’ até B, traçar 
um arco até encontrar as semi-retas;
6. ponta seca em O1 e O1' traçar arcos fechando a oval.
A BO O’
O1
O1’
UNIDADE IV
OVAIS
Desenho Geométrico II 
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19
 EXEMPLO 2: OVAL REGULAR ou FALSA ELIPSE dado eixo menor CD = 5cm.
Passo a passo:
1. traçar um segmento de reta CD = 5cm, traçar a mediatriz de CD;
2. ponta seca no ponto médio (O), traçar uma circunferência de raio = OC, determinando os pontos
O1 e O1';
3. traçar semi-retas unindo C e D à O1 e O1';
4. ponta seca em C, raio CD traçar um arco até encontrar a semi-reta, repetir o processo com a 
ponta seca em D;
5. ponta seca em O1 e O1' traçar arcos fechando a oval.
C
D
OO1 O1'
EXEMPLO 3: OVAL REGULAR ou FALSA ELIPSE 
 Dado eixo maior AB = 7cm e eixo menor CD = 4,5cm.
Passo a passo:
1. traçar um segmento de reta AB = 8cm, traçar a mediatriz e marcar CD = 5cm e o ponto médio (O);
2. com uma abertura menor que OC, ponta seca em A, determinar o ponto O1, com a mesma 
abertura e ponta seca em B, determinar O1';
3. com raio AO1, PS em C, determinar o ponto P (AO1=CP);
4. unir os pontos O1 e P e traçar a mediatriz determinando o ponto O2;
5. determinar o ponto O2' sabendo que OO2=OO2';
6. unir os pontos O2 e O2' aos pontos O1 e O1';
7. ponta seca em O1 abertura até A traçar um arco, ponta seca em O1' abertura até B traçar um arco 
fechando a oval;
A B
C
D
OO1 O1'
P
O2
O2'
UNIDADE IV
OVAIS
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20
EXEMPLO 4: OVAL IRREGULAR NORMAL dado eixo menor CD = 5cm.
Passo a passo:
1. traçar um segmento de reta CD = 5cm, traçar a mediatriz de CD;
2. ponta seca no ponto médio (O), raio OC determinar o ponto O1;
3. unir os pontos C e D ao ponto O1 traçando semi-retas;
4. ponta seca em O, raio OC traçar uma semi-circunferência;
5. ponta seca em C, raio CD traçar um arco até a semi-reta, ponta seca em D, raio CD traçar um 
arco até a semi-reta;
6. ponta seca em O1, fechar a oval.
C
D
O O1
Desenho Geométrico I 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BORNANCINI, Jose Carlos M. Desenho técnico básico. Grupo Graf S.A, 1987. Porto Alegre
BORNANCINI, Jose Carlos M., PETZOLD, Nelson Ivan, ORLANDI, Henrique Junior. Desenho 
Técnico Básico - fundamentos teóricos e exercícios à mão livre. Volume II. Ed. Sulina. Porto 
Alegre, 1981.
ELAM, Kimberly. Geometria do design. Ed. Cosac Naufy. São Paulo, 2010.
MARCHESI, Isaias Jr. Desenho geométrico. Ed. Ática, São Paulo, 1996.
PUTINOKI, José de Carlos “Jota”. Elementos de geometria e desenho geométrico. Ed.Scipione. 
São Paulo,1989.
RIVERA, Félix O., NEVES, Juarenze C. e GONÇALVES, Dinei N. Traçados em Desenho 
geométrico. Editora da FURG. Rio Grande, 1986.
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