Prova Resolvida - Matemática - Apogeu Resolve - EsPCEx

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Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
Questão 01 
Um tabuleiro possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. De quantas maneiras diferentes é possível colocar 4 
peças iguais nesse tabuleiro de modo que, em cada linha e em cada coluna, seja colocada apenas uma peça? 
 
a) 4096 b) 576 c) 256 d) 64 e) 16 
 
 
Resolução: 
A primeira peça tem 16 possibilidades de colocação. Como a segunda peça não pode estar nem na mesma linha nem 
na mesma coluna do primeiro, restam 9 possibilidades. 
Exemplo: 
 Se a posição do primeiro for na 2ª linha e 3ª 
 coluna, eliminam-se esta posições para o 
 segundo. 
 O terceiro restam 4 posições, e o ultimo só terá 
 uma possibilidade de 
 Escolha. 
 
 16 . 9 . 4 . 1 = 576 
 
Resposta: B 
 
Questão 02 
Em um grupo de três crianças de idades diferentes foi notado que a soma das duas idades menores menos a maior é 
igual a 2 anos e que a menor idade mais o dobro da maior é igual a 28 anos. As idades são números inteiros 
positivos. Dentre todas as possibilidades existe uma em que a soma das idades das crianças é a maior possível, 
observando-se sempre o fato de as crianças terem idades diferentes. Essa soma, em anos, é: 
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 
 
Resolução: 
idadeMaiorz
;menoresIdadesy,x
máximozyx
28z.2y
2zyx
→
→





=++
=+
=−=
 
X + y + z = 2 z + z = 2 + 2z = 2 + 28 – y) 
 
Queremos maximizar 2 + (28 – y) 
 
Pelo fato de y + z . 2 = 28, podemos concluir portanto que u e z são números pares. Portanto o menor valor que y 
pode assumir é 2. 
Se y = 2 → x + 2 – z = 2 → x = z (absurdo) 
 
O máximo valor de y a verificar é 4. 
Se y = 4 → z = 12 e x = 10 
Logo x + y + z = 26, 
Resposta: D 
 
Questão 03 
Um comerciante aumenta o preço inicial (PI) de um produto em x% e, em seguida, resolve uma promoção, dando um 
desconto, também de x%, sobre o novo preço. Nessas condições, a única afirmativa correta, dentre as apresentadas 
abaixo, em relação ao preço final (PF) do produto é: 
a) o PF é impossível de ser relacionado com o prelo inicial. 
b) o PF é igual ao preço inicial. 
c) PF = PI . 2
2
x.
2
10−
 
d) PF = PI . 10-4 . x2 
e) PF = PI(1 – 10-4 . x2) 
 
 
 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
Resolução: 
Como o preço inicial PI sofreu, inicialmente, um aumento de x%, temos que o preço após o aumento é dado por PI 






+
100
x
1 
Agora, esse preço PI 




 +
100
x1
 sofreu um desconto de x%, temos que o preço após o desconto é 
)10.x1(PI
10000
x
PIPI
10000
x
1PI
100
x
1
100
x
1PI 42
22
−−=−=







−=





−











+ 
 
Assim, PF = PI (1 – x2.10-4) 
 
Resposta: E 
 
Questão 04 
A fim de incentivar o gosto pela corrida, a seção de treinamento Físico Militar da EsPCEx criou prêmios com base 
numa pontuação mensal que estabelece: 
. 3 pontos para cada 3 000 m corridos (até 45 000 m corridos); 
. após 45 000 m, cada 3 000 m corridos vale 5 pontos. 
 
Se num mês um determinado aluno fez 100 pontos, então, nesse mês, ele correu: 
a) 96 Km b) 86 Km c) 80 Km 
d) 78 Km e) 76 Km 
 
Resolução: 
Um aluno que percorre 4500m ganha pontos453.
3000
4500
= 
Como ele fez 100 pontos, faltam 55 pontos que foram conseguidos analisando a pontuação correspondente a mais de 
4500m percorridos. Como cada 3000m vale 5 pontos e ele ganhou 55 pontos, ele percorreu 
m33000m3000.5
55
=
 
Logo, o aluno correu 4500m + 3300m, ou seja, 78 km. 
Resposta: D 
 
Questão 05 
Em uma cabine de um estádio de futebol, um computador registra todos os lances de uma partida. Em desses lances, 
Zaqueu cobrou uma falta, fazendo a bola descrever um arco de parábola contido num plano vertical, parábola esta 
simétrica ao seu eixo, o qual também era vertical. A bola caiu no chão exatamente a 30 m de Zaqueu. Durante o 
trajeto, a bola passou raspando a cabeça do juiz. O juiz, qual não interferiu na trajetória da bola, tinha, 1,76 m de 
altura e estava ereto, a 8 m de distância de onde saiu o chute. Desse modo, a altura máxima, em metros, atingida 
pela bola foi de: 
 
a) 2,25 m b) 4,13 m c) 6,37 m 
d) 9,21 m e) 15,92 m 
 
Resolução: 
 
 
 
y = a (x-0) (x-30) 
y = ax (x-30) 
1,76 = a.8(8-30) 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
1,76 = - )2(a8
100
11.16
−= 
a22
100
22
−= 
 
a = 
100
1−
 
 
y = 
100
1−
 x (x-30) 
 
Como xv = :pordadoéyu,15
2
xx 21 =
+
 
 
Yv = m25,2
100
225
)15.(15.
100
1
)3015.(15.
100
1
==−
−
=−
− 
Resposta: C 
 
Questão 06 
Um triângulo tem o lado maior medindo 1 m e dois de seus ângulos são 27° e 63°. O valor aproximado para o 
perímetro desse triângulo, dados 2 = 1,4 e cos 18° = 0,95, é de: 
a) 1,45 m b) 2,33 m c) 2,47 m 
d) 3,35 m d) 3,45 m 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
2P = 1 + Sen 27° = cos 27° 
2P = 1 + Sen (45° - 18°) + cos (45° - 18°) 
2P = 1 + 
2
2
cos 18° - 
2
2
Sen 18° +
2
2
cos 18° + 
2
2
Sen 18° 
2P = 1 + 2 cos 18° → 2P = 1 + 1,4 . 0,95 
2P = 2,33 
 
Resposta: B 
 
Questão 07 
A probabilidade de ocorrer um evento A é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados 
possíveis: 
 
possíveis resultados de Número
favoráveis resultados de Número
)A(P = 
a) 
4060
1
 b) 
812
1
 c) 
406
1
 
d) 
203
1
 e) 
10
1
 
 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
60 cm
r1
20 cm
r2
2
Resolução: 
Resultados possíveis: C
!5
26x27x28x29x30
!5!25
!305
30 == 
Resultados favoráveis cx1 cx2 
 
Cx1 ⇒ contém os 3 números sorteados 
Cx 2 ⇒ contém os dois números errados 
Cx 1 ⇒ possibilidade 
Cx2 = C 227 = 2
26x27
!2!25
!27
= 
P(A) = 
406
1
)A(P
7x29x2
1
26x27x28x29x30
2x3x4x5
x
2
26x27
2x3x4x5
26x27x28x29x30
2
26x27
=== 
Resposta: C 
 
Questão 08 
Este ano, duas empresas patrocinarão a premiação, em dinheiro, dos alunos de uma escola pelo destaque no critério 
“Melhor rendimento escolar”. A empresa Alfa doará um montante de R$9600,00 e a empresa Bravo de R$ 7 800,00. 
Cada aluno deve receber como prêmio um cheque de somente uma das empresas e todos os cheques devem ter o 
mesmo valor. Se todo esse montante for distribuído, o número mínimo de alunos que poderá ser contemplado nessa 
premiação é de: 
a) 25 b) 29 c) 30 d) 32 e) 40 
 
Resolução: 
Como todos os cheques devem ter o mesmo valor, o número mínimo de alunos contemplados será quando o valor de 
cada cheque for o maior possível, sabendo que R$ 9.600,00 e R$ 7.800,00 devem ser divididos em cheques de 
mesmo valor. Assim, temos: 
mdc (9600,7800)=600. 
Logo, o valor de cada cheque será de R$ 600,00 e, assim, como o valor doado pela duas empresas é R$ 17400,00 e 
como esse montante será dividido em cheques de R$ 600,00, o número mínimo de alunos que poderá ser 
contemplado nessa premiação é 29 alunos, pois 17400/600 = 29. 
Resposta: B 
 
Questão 09 
Um tonel, em forma de cilindro circular reto, tem 60 cm de altura. Uma miniatura desse tonel tem 20 cm de altura e 
raio diretamente proporcional à altura. Se a miniatura tem 100 mL de volume, então o volume do tonel original é de: 
a) 30 L b) 27 L c) 2,7 L d) 3 L e) 300 mL 
 
Resolução: 
 r
π
=
9.05,02
1 
05,0
9
r
.
2
1 =π 
 
 
Volume do túnel 1 = 
( ) 1,02.r. 22 =π L7,26.45,0. =ππ 
1,02.
3
r
.
2
1 =





π 
Resposta: C 
 
 
 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
Questão 10 
Conforme a figura, a 60 metros do chão o helicóptero H avista, sob um ângulo α, dois alvos, B e C, que serão logo 
abatidos. 
 
 
Se AB = 40 m e BC = 260 m, então α mede 
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 75° 
 
Resolução: 
 
 
 
 
tg x = 
3
2
tx
60
40
=∴ 
 
tg (x+x)= 5)xx(tg
60
300
=+∴ 
 
Usando a transformação tg (x+x) = 
tgx.tgx1
tgxtgx
−
+
 
 
Então 5 = α+=−⇒
−
+
tg
3
2
3
2
.tg55
tgx
3
2
13
2
tgx
 
 
tgx + 13tgx10tgx3
3
2
5
3
tgx10
=+⇒−= 
 
13tgx = 13 ⇒ tgx=1 ∴ x = 45º 
 Resposta: C 
 
Questão 11 
Os ângulos agudos α e β pertencem aos triângulos retângulos abaixo. 
α β
 
Se o seno de β é o dobro do seno de, α, então o ângulo α pertence ao intervalo: 
a) ]0°,45°[ b) [45°, 60°] c) ]30°, 45°[ 
d) ]0°, 60°[ e) ]0°, 30°[ 
 
 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
Resolução: 
Sabendo que α e β são ângulos agudos. Escreve-se: 
Se α = 30º ⇒ sen30º = 
2
1
 
Então senβ= 1, logo β= 90º 
Como β<90 (ângulo agudo), nos conduz a escrever que α = 30º ou α ∈ ]0, 30º [ 
Resposta: E 
 
Questão 12 
No semestre passado houve, no curso de matemática, três provas, cada uma com um peso diferente do peso das 
demais. A tabela abaixo indica as notas e as médias de alguns alunos do curso. 
Provas 
Aluno Prova 1 Prova 2 Prova 3 
 
Média 
Apolônio 8,0 5,0 7,0 7,0 
Bolzano 5,0 5,0 7,0 6,0 
Copérnico 4,0 4,0 4,0 4,0 
Demócrito 5,5 1,0 10,0 ? 
 
Se a soma dos pesos é igual a 6, a média do aluno Demócrito é: 
a) 4,5 b) 5,0 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0 
 
Resolução: 
Sejam x, y e z , respectivamente, os pesos das provas 1, 2 e 3 assim, analisando a tabela dada, temos: 
Apolônio: 
8x 5y 7.z
x y z
+ +
+ +
 = 7 (i) 
 
Bolzano: 
5x 5y 7.z
x y z
+ +
+ +
 = 6 (ii) 
 
Copérnico: 
4x 4y 4z
x y z
+ +
+ +
4x 4y 4z
x y z
+ +
+ +
 = 4:(4) ⇒ 
x y z
x y z
+ +
+ +
x y z
x y z
+ +
+ +
 = 1⇒ 1 =1 
 
Como a soma das pessoas é igual a 5, temos x + y +z = 6 (iii) e, assim, chegamos ao seguinte sistema; usando as 
equações(i), (ii) e (iii) 
2
3
x y z 6
8x 5y 7z 42(L )
5x 5y 7z 36(L )
+ + = 
 + + = 
 + + = 
  
 
 
Fazendo L2 = 8L1 e L3 = -5L1 , temos: 
i
2
3
x y z 6(L ')
3y z 6(L ')
2z 6 z 3(L ')
+ + = 
 − − = − 
 = ⇒ = 
i
2
3
x y z 6(L ')
3y z 6(L ')
2z 6 z 3(L ')
+ + = 
 − − = − 
 = ⇒ = 
 
Substituindo z= 3 em (L2’) encontramos -3y -3 = -6, ou seja, y= 1 
Substituindo, agora , y=1 e z =3 em (L1)’ encontramos x = 2 
Queremos a média do aluno Demócrito. Ela é dada por 
5,5x 1y10z
x y z
+
+ +
 
5,5x 1y10z
x y z
+
+ +
 = 
5,5.2 1 10.3
6
+ + 5,5.2 1 10.3
6
+ +
 = 
42
6
42
6
 = 7 
Resposta: E 
 
Questão 13 
A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre 
parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova 
com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas? 
a) 80 b) 96 c) 240 d) 640 e) 1280 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
 
Resolução: 
Temos no banco de questões de matemática 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferência e 4 sobre retas. 
Queremos montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferência e 3 de retas. Com isso, 
queremos: 
C5,3.C4,2.C4,3= 2404.3.4.5
!3
!3.4
.
2!.2
!2.3.4
.
2!.3
!3.4.5
!1!3
!4
.
!2!2
!4
.
!2!3
!5
=== provas distintas. 
 
Resposta: 
 
Questão 14 
Temos as funções: 
f(x) = x + 1 
g(x) x3 + ax2 + bx + c 
h(x) = g(f(x)). 
 
Considerando que as raízes de h(x) são {-1,; 0; 1}, determine h(-2). 
a) 0 b) -3 c) 4 d) 5 e) -6 
 
Resolução: 
Sabemos que: 
f (x) = x + 1 
g (x) = x3 + ax2+bx+c 
h (x) = g (f(x)). 
Temos: 
h(x) = g (f(x)) = (x + 1)3 + a (x + 1)2 + b (x+1) + c 
Como – 1,0 e 1 são raízes de h (x), então: 
h (-1) = 0 ⇒ (-1+1)3 + a (-1+1)2 + b (-1 + 1) + c = 0 ⇒ c = 0 
h (0) = 0 ⇒ (0 + 1)3 + a (0 + 1)2 b (0 + 1) + c = 0 ⇒ 1 + a + b + c = 0 ⇒ a + b = -1⇒ 
⇒ b = -a -1 (i) 
h (01) = 0 ⇒ (1 + 1)3 + a (1 + 1) 2 b (1 + 1) + c = 0 ⇒ 8 + 4ª + 2b + c = 0 ⇒ 
⇒ 4ª + 2b = -8 : 2 ⇒ 2ª + b = -4 (ii) 
 
Substituindo (i) em (ii), temos: 
2ª – a – 1 = - 4 ⇒ a = -3 ⇒ b = 2 
Logo, h(x) = (x+1)3 – 3 (x + 1)2 + 2 (x + 1) 
Queremos h (-2) 
h (-2) = (-2 + 1)3 – 3 (-2 + 1)2 + 2 (-2 + 1) 
h (-2) = -1 -3 – 2 = -6 
Portanto, h (-2) = -6 
Resposta: E 
 
Questão 15 
O valor da expressão 
°
°+°
+
°
°+°
15Cos
75Sen15Sen
15Sen
75Cos15Cos
é igual a 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
Resolução: 
A = 
cos15 cos75
sen15
+o o
o
 + 
sen15 sen75
cos15
+o o
o
 = 
cos15 (cos15 cos75 ) sen15 (sen15 sen75 )
sen15 .cos15
+ + +o o o o o o
o o
 
2 3 6
cos15 cos75 2cos45 .cos30 2 .
2 2 2
+ = = =o o o o
 
6
sen15 cos75 cos75 .cos15
2
+ = =o o o o 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
A= 
6 6 6
cos15 sen15 (cos15 sen15 ) 6(cos15 cos75 )2 2 2A
sen15 cos15 sen15 cos15 2sen15 cos15
+ + +
⇒ = =
o o o o
o o
o o o o o o
 
 
6
6. 62A .2 A 6 (d)
1 2
2
= = ⇒ = →
6
6. 62A .2 A 6 (d)
1 2
2
= = ⇒ = → 
 
Resposta: D 
 
Questão 16 
Dispondo de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água 
até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento: 
. mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm3 de volume; 
. mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1 cm3 de 
volume, uma progressão aritmética de razão 2 cm3. 
Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos, verificou que a altura do nível da 
água passou para 39 cm. 
7 cm
14 cm
37 cm
 
 
Com base nessas informações, a área total do último cubo colocado é de: 
a) 54 cm2 b) 42 cm2 c) 24 cm2 
d) 150 cm2 e) 216 cm2 
 
Resolução: 
 
 
Vc = 196 cm3 , onde VC é o volume de todos os cubos.a1 = 1 cm
3 
a2 = 3 cm
3 
a3 = 5 cm
3 
 . 
 . 
 . 
an = 1 (x – 1)2 
an = 1 + 2n – 2 .
.. an = 2x – 1 
 
 
 
 
Resolução Prova EsPCEx 2006-2007 
Matemática. 
 
 
Então 
Sn =
( )
2
aan1 +
 
Sn 
2
nn2n 2 −+
 
Sn = n2 
 
Então: n2 = 196 
 n = 14 
Com isso, an = 2n – 1 
 an = 28 - 1 ... na = 27 
 
Temos que o ultimo cubo possui volume igual a 27 cm3, então sua aresta e 3 cm. 
A área total do mesmo será at = 6 a2 
At = 6 . (3)2 ... At = 54 cm2. 
 
Resposta: A