JOGO-TODA-LINHA-SOMA-15-NA-CONSTRUÇÃO-DO-CONHECIMENTO-ARITMÉTICO

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JOGO “TODA LINHA SOMA 15” NA CONSTRUÇÃO DO 
CONHECIMENTO ARITMÉTICO 
 
Fernanda Coelho Goodwin 
 
Mestrando em Ensino de Ciências e Matemática (PUC-MG), Especialista em 
Matemática do Ensino Básico (UFMG), Licenciada em Matemática (UEMG), Professora do 
Ensino Básico do Colégio Metodista Izabela Hendrix. 
fernandacoelhog@terra.com.br 
 
RESUMO 
 
Este trabalho é parte de uma pesquisa em andamento sobre o uso de ferramentas, como 
jogos e equipamentos eletrônicos, no ensino de matemática. Aqui se apresenta uma 
proposta para trabalhar o jogo “Toda Linha Soma 15” como recurso pedagógico para o 
processo ensino aprendizagem, a partir do conceito de progressão aritmética no Ensino 
Médio. A abordagem de alguns fundamentos matemáticos por meio do jogo é apresentada 
como forma eficaz de contornar os preconceitos comuns aos alunos quanto à dificuldade 
da matemática. Sendo o objetivo do jogo organizar as peças numa determinada ordem que 
atenda a uma regra pré-determinada, propõe-se então que o aluno comece a questionar, a 
raciocinar a lógica do jogo, para descobrir o conceito de progressão aritmética e como este 
estrutura a regra do jogo. Esta experiência sugere uma reflexão sobre estratégias para o 
ensino de matemática, utilizando o jogo como base lúdica para a construção do 
conhecimento e a compreensão da teoria. 
 
Palavras-Chave: Jogo Matemático, Progressão Aritmética; Ensino de Matemática. 
 
1. INTRODUÇÃO 
Proponho apresentar neste trabalho a possibilidade de utilizar o jogo “Toda Linha 
Soma 15” como recurso pedagógico com a finalidade de aprofundar o conteúdo de 
progressão aritmética que o jogo apresenta e criar um ambiente lúdico que desafie os 
alunos a vencerem seus temores diante do aprendizado de matemática. 
Esse jogo, muitas vezes, é jogado apenas por descontração; o resultado, quando 
encontrado, é fruto de tentativa e erro, sem conhecimento matemático que explique a 
distribuição dos números no tabuleiro. O resultado não está errado, porém o jogo tem um 
conceito de progressão aritmética, que nem sempre é percebido por quem o joga. Daí o 
desafio para que o aluno, ao manipular as peças, trace estratégias para a solução do jogo e, 
ao fazer isso, perceba a construção do conhecimento matemático. 
Sabemos que muitas pesquisas de Educação Matemática sobre a aplicação de jogos 
matemáticos em sala de aula têm mostrado resultados satisfatórios (GOODWIN, 2011). 
Para a fundamentação teórica deste artigo, foram consultados alguns estudos nessa área do 
conhecimento, inspirados no trabalho de Jean Piaget: Claudia Renata Pissinatti Pauleto 
(2001). Rômulo Campos Lins e Joaquim Gimenez (2006) e Gabriela dos Santos Barbosa 
(2008). 
 Essa ideia surgiu, também, a partir de algumas aulas e leituras feitas no Mestrado 
em Ensino de Ciências e Matemática em relação ao estudo de aritmética, pois percebi a 
existência de problemas no ensino e na aprendizagem matemática, levando-me a pensar 
mais sobre minha conduta em sala de aula. Isto despertou maior interesse sobre pesquisas 
abordando a questão do ensino, buscando melhorar meu exercício profissional. 
mailto:fernandacoelhog@terra.com.br
 
 
O JOGO NO ENSINO DE MATEMÁTICA 
 Pesquisas já realizadas mostraram que jogos na sala de aula, além de propiciarem o 
prazer, o desafio e a curiosidade, proporcionam também o engajamento dos alunos no 
processo ensino-aprendizagem e na construção de conceitos matemáticos. A presença de 
jogos nas aulas de matemática vem sendo incentivada e, atualmente, é cada vez mais 
incomum que se discuta o ensino desta ciência sem fazer uso desse recurso de ensino. 
Entretanto, não basta a utilização dos jogos se esses ficarem restritos apenas à sua 
manipulação pelos alunos de forma lúdica e sem função educativa. É necessário que seu 
uso esteja atrelado a objetivos bem definidos quanto à promoção da aprendizagem 
matemática. 
Para Fiorentini e Miorim (1990) o importante da ação é que ela seja reflexiva e que 
o aluno aprenda de modo significativo, desenvolvendo atividades nas quais raciocine, 
compreenda, elabore e reelabore seu conhecimento, sendo que o uso de materiais pode 
trazer uma grande contribuição nesse sentido. O aluno é um sujeito ativo na construção do 
seu conhecimento; ele aprende a partir de suas experiências e ações, sejam elas individuais 
ou compartilhadas com o outro (FIORENTINI; MIORIM, 1990, p. 6). 
Manoel Ariosvaldo de Moura (APUD Pauleto, 2001, p.5) nos alerta que o jogo na 
Educação Matemática tem uma intencionalidade, ele deve estar carregado de conteúdo. E 
um conteúdo que não pode ser apreendido pelo aluno apenas ao manipular livremente 
objetos. É preciso jogar. E, ao fazê-lo, é que se constrói o conhecimento a que se quer 
chegar. 
Já Grando (1995) aponta que, apesar de jogos apresentarem várias vantagens para a 
aprendizagem, é preciso que os educadores tomem alguns cuidados para evitar que o jogo 
não se torne uma desvantagem no processo ensino aprendizagem. Por exemplo, o educador 
não deve forçar o aluno a jogar, pois, se o fizer, o jogo perde sua função lúdica e passa a 
ser uma tarefa desprovida de significados. Também não deve interferir constantemente. 
Por outro lado, é preciso cuidado para que o aluno não fique jogando aleatoriamente, sem 
saber o porquê de estar jogando. É preciso dosar adequadamente sua intervenção (Pauleto, 
2001, p.3). 
 
 
O JOGO “TODA LINHA SOMA 15” E O CONHECIMENTO ARITMÉTICO 
No dia a dia é muito comum utilizarmos conjuntos em que é conveniente dispor 
seus elementos em uma ordem, constituindo o que se chama sequência ou sucessão. Assim, 
podemos falar na sequência dos dias da semana, dos meses do ano, sequência dos números 
naturais e números das casas da rua etc. Matematicamente, podemos apresentar a seguinte 
definição: uma sequência ou sucessão de números reais é uma função definida em N
*
 = 
(1,2,3,4..n) . 
O jogo “Toda linha soma 15” tem como objetivo ordenar as peças numeradas de 1 
a 9 no tabuleiro, de forma que a sequência numérica em todas as linhas – horizontais, 
verticais e diagonais – resulte numa soma 15. Como só há uma “peça” com cada numeral, 
não é possível repetir números; as sequências devem ser montadas utilizando os números 1 
a 9. O tabuleiro tem o formato de um quadrado, composto de nove espaços divididos em 
linhas de três, conforme a figura 1: 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Tabuleiro do jogo “Toda linha soma 15” 
 
O jogo permite que se explore conhecimentos matemáticos. Com as nove peças 
numeradas (1,2,3,4,5,6,7,8,9) temos uma sequência dos números naturais, uma progressão 
aritmética. A razão dessa progressão é igual a 1 (um). 
Para demonstrar o posicionamento de cada número, para que todas as linhas – 
horizontais, verticais e diagonais – somem 15, utilizarei características da progressão 
aritmética. 
 
SOMA DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA – PA 
 
O conceito de soma de uma PA permite trabalhar com a sequência numérica, 
visando encontrar uma relação entre os números que permita sua distribuição espacial no 
tabuleiro do jogo, atendendo à regra proposta de que toda linha some 15. 
A fórmula dessa PA pode ser assim escrita: 
 
Sendo a1 o primeiro termo e an o último. Ou, para já utilizar os termos encontrados 
no jogo, a fórmula dessa PA pode ser escrita de forma mais clara: 
 
 
Sabemos que o somatório de todos os termos vale 45, e que serão utilizados 3 
termos para somar 15. Dividindo, pois, 45 por 3, encontramos 15 – demonstrando que, no 
formato apresentado pelo jogo, 15 é o resultado inevitável da soma dos 3 elementos. Desde 
que as peças numeradas estejam dispostas corretamente, bem entendido. Para conseguir a 
correta distribuição das peças, o espaço ao centro do tabuleiro é fundamental, uma vez que 
4 das 8 linhas do jogo passam por ele. Para encontrar o termo central utilizaremos duas 
propriedades da aritmética: 
1ª. Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes é igual à soma dos 
termosextremos. 
(1,2,3,4,5,6,7,8,9) 
9 + 1= 10 
8+ 2 = 10 
7+ 3 = 10 
6 + 4= 10 
 
2ª. Em uma PA com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média 
aritmética dos termos extremos: 
 
 
 
Ou, para usarmos os termos do jogo em questão: 
 
 
Assim, descobrimos que o 5° termo é o termo médio. A partir da definição do 
termo central como 5, a etapa seguinte é usar o raciocínio matemático para descobrirmos a 
posição de cada peça numérica no tabuleiro do jogo. Esta é uma compreensão conceitual 
do jogo. Também podemos apresentar o pensamento de outra forma: 
(5 - 1) + 5 + (5 + 1)= 15 
(5 - 2) + 5 + (5 + 2)= 15 
(5 - 3) + 5 + (5 + 3)= 15 
(5 - 4) + 5 + (5 + 4)= 15 
E sucessivamente. Se tomarmos os valores que identificam os números em relação 
ao número médio (2 é 3 unidades inferior a 5, ou seja, 5-3; 8 é 3 unidades superior a 5, isto 
é, 5+3), elas se equivalem 15 = 15. Temos também que os termos extremos são simétricos 
e, portanto, se anulam; por exemplo, (5 - 3) + 5 + (5 + 3) = 15. Assim, (5 - 3) + 5 + (5 + 3) 
= 15. Ao final, todas as linhas podem ser sintetizadas como variações que resultam sempre 
em 5 + 5 + 5= 15. Esta é uma forma de resolver o problema pela algoritmização, usando os 
números e sua posição na linha sequencial como o fundamento da solução proposta. 
Vemos, portanto, que há duas maneiras de visualizar a solução do problema; uma, 
por algoritmos e outra, pela formulação conceitual. Embora os algoritmos possam ser mais 
facilmente reconhecíveis pelos alunos, é importante que eles percebam a conceituação 
como uma maneira de sistematizar o que apreenderam do jogo. 
A partir dessas formas de solucionar o problema, os números podem ser colocados 
no tabuleiro. Temos, por exemplo, as seguintes possibilidades de distribuição das peças 
numéricas. Outras maneiras de distribuir os números são, basicamente, variações 
espelhadas dessas distribuições. Os números ímpares e pares, todavia, não podem ter seu 
posicionamento alterado: pares nas quinas, ímpares no meio das linhas. Esta distribuição é 
determinada pelo fato da peça com o 5 precisar ser colocado sempre no centro do tabuleiro. 
Como mostra a figura abaixo: 
 
Figura 2 – Distribuição das peças no tabuleiro 
 
 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
O jogo “Toda linha soma 15” apresenta-se como um bom exemplo do uso didático 
de jogos matemáticos e objetos concretos que apresentam desafios aos alunos. O jogo tem 
a possibilidade de despertar nos alunos o interesse pela resolução de problemas, a partir de 
uma perspectiva lúdica. Isto pode levar os alunos ao envolvimento com o raciocínio 
matemático, ainda que este seja considerado “difícil” por muitos deles. O jogo revela um 
nível de dificuldade que pode ser superado e, ao mesmo tempo, apresenta o envolvimento 
com a matemática – especificamente a aritmética – como uma experiência prazerosa. 
Todavia, é importante que o jogo não seja jogado apenas como uma atividade 
lúdica, pelo prazer. Esse não pode ser o único objetivo do jogo em sala de aula. A intenção 
maior de seu uso como instrumento pedagógico é que o jogo motive os alunos a refletir 
sobre o problema colocado e as estratégias envolvidas na sua solução. 
Para dizer de forma mais formal, o jogo deve ser utilizado para levar o aluno, após 
momentos de desafio e diversão, a refletir sobre a matemática (e a aritmética, 
especificamente) e tentar entender, conceitualmente, a resolução do jogo. A intenção é que 
o aluno seja capaz de entender – e, preferencialmente, explicar – o motivo do somatório ter 
que ser 15, porque o número central tem que ser 5, porque as peças são distribuídas de uma 
forma específica. E, para isso, o aluno deve perceber que a aritmética tem conceitos e que 
estes podem ajudá-lo a responder a todas as questões acima. 
A proposta do uso do jogo não é, simplesmente, levar o aluno a encontrar a solução, 
mas que ele descubra os conceitos da matemática que subjazem à resolução do desafio. 
Neste caso, a progressão aritmética. 
 
 
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