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Matemática com alegria e competência Foco na excelência. Plantão do Matemático PÁG. 1 INSTAGRAM: plantaodomatematico Lista do Plantão -1 - Circunferência Trigonométricas até Equações trigonométricas 1) Sendo sen x = 1/2; x Q, o valor da expressão cos2 x.sec2 x+2senx é: a) zero b) 1 c) 3/2 d) 2 e) 3 2) Seja x um número real pertencente ao intervalo [0, /2]. Se secx=3/2, então tgx é igual a a) 2 /3 b) 2/3 c) 1/2 d) 5 /2 e) 3 /2 3) Para x , 3 π o valor da expressão 2 cos (x) 1 sec (3x) sec (2x) é a) 1 . 3 b) 3 . 2 c) 1 . 2 d) 2 . 3 e) 3 . 2 4) Na figura, em que está representada a circunferência trigonométrica, P é a extremidade de um arco trigonométrico da 1ª volta cuja medida, em radianos, é igual a .α Observe que P é um ponto do 2º quadrante localizado no interior do retângulo ABCD. Matemática com alegria e competência Foco na excelência. Plantão do Matemático PÁG. 2 INSTAGRAM: plantaodomatematico As coordenadas dos vértices do retângulo são dadas por: 2 3 A ; , 2 2 2 3 B ; , 2 2 2 3 C , 2 2 2 3 D ; . 2 2 Assim, é necessariamente verdadeira a desigualdade a) 2 2 3 π π α b) 2 3 3 4 π π α c) 3 5 4 6 π π α d) 5 6 π α π e) 7 6 π π α 5) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito na circunferência trigonométrica, os arcos »AP e »AQ têm medidas iguais a α e ,β respectivamente, com 0 .α β π Sabendo que cos 0,8,α pode-se concluir que o valor de cos β é a) −0, 8. Matemática com alegria e competência Foco na excelência. Plantão do Matemático PÁG. 3 INSTAGRAM: plantaodomatematico b) 0, 8. c) −0, 6. d) 0, 6. e) −0, 2. 6) No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco »AB mede .α Assim, PM é igual a a) 1 tg α b) 1 cos α c) 1 cos α d) 1 sen α e) 1 cotg α 7) Considerando os valores de ,θ para os quais a expressão sen cos csc sec θ θ θ θ é definida, é CORRETO afirmar que ela está sempre igual a a) 1. b) 2. c) sen .θ d) cos .θ Matemática com alegria e competência Foco na excelência. Plantão do Matemático PÁG. 4 INSTAGRAM: plantaodomatematico Gabarito: 1) D 2) D Resposta da questão 3: [D] 12 cos 1 2 1 2 cos (x) 1 23 2 sec (3x) sec (2x) 1 ( 2) 3 sec 3 sec 2 3 3 π π π Resposta da questão 4: [B] O ponto M tem a mesma ordenada que o ponto B, portanto o seno do arco do segundo quadrante com extremidade em M é 3 . 2 Portanto, este arco mede 2 rad. 3 π O ponto N tem a mesma abscissa que o ponto B, portanto o cosseno do arco do segundo quadrante com extremidade em N é 2 . 2 Portanto, este arco mede 3 rad. 4 π Portanto, 2 3 . 3 4 π π α Resposta da questão 5: [C] Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Matemática com alegria e competência Foco na excelência. Plantão do Matemático PÁG. 5 INSTAGRAM: plantaodomatematico Como µPOQ 90 ,β α segue-se que 90 .β α Além disso, sabendo que cos( 90 ) sen ,α α 2 2sen cos 1α α e cos 0,8,α com 0 180 ,α β temos cos cos( 90 ) sen 0,6. β α α Resposta da questão 6: [C] Considere a figura. Como o menor arco »AS mede 90 e µAQS é um ângulo inscrito, segue-se que µAQS 45 . Daí, como µBMQ 90 , vem $QPM 45 e, portanto, MQ PM. Além disso, OA OQ 1. Donde podemos concluir que OM 1 PM. Por outro lado, como AQ BM, segue que M é o ponto médio de BM. Assim, tomando a potência do ponto M em relação à circunferência de centro O, obtemos 2 MB MN MQ MA MB PM (2 PM). Adicionalmente, tem-se µ »QOB QB 180 .α Logo, do triângulo retângulo OBM, encontramos MB sen(180 ) sen MB OB α α e, portanto, 2 2 2 2 2 sen PM (2 PM) (PM 1) 1 sen (PM 1) cos PM 1 cos . α α α α Porém, como 90 180α implica em cos 0,α segue-se que PM 1 cosα (pois PM 1). Matemática com alegria e competência Foco na excelência. Plantão do Matemático PÁG. 6 INSTAGRAM: plantaodomatematico Resposta da questão 7: [A] 2 2sen cos sen cos 1. csc sec θ θ θ θ θ θ
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