Trigonometria: Relação Fundamental e Suas Consequências

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MATEMÁTICA II
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TRIGONOMETRIA: RELAÇÃO 
FUNDAMENTAL E SUAS CONSEQUENCIAS14
A RELAÇÃO FUNDAMENTAL 
DA TRIGONOMETRIA
Como vimos anteriormente o ciclo trigonométrico possui 
eixos que representam as linhas trigonométricas. Além disso, por 
definição possui raio unitário.
Observe a figura abaixo:
O triângulo BOF é retângulo, dessa forma podemos aplicar o 
teorema de Pitágoras para relacionar as medidas de seus lados.
sen²a + cos²a = 1
Em que momentos essa relação pode ser útil?
01. Sendo x um arco do 2º quadrante e sen a = 0,8, calcule o 
valor de cos a.
Resolução:
Podemos utilizar a relação fundamental que nos diz que 
sen²a + cos²a = 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Substituindo o valor de sen a temos que: 
0,8² + cos² a = 1.
0,64 + cos²a = 1
cos²a = 1-0,64
cos²a = 0,36
cosa = ± 0,36
Como a é um arco do 2º quadrante sabemos que o valor de 
seu cosseno é negativo, portanto, cos a = - 0,6.
OUTRAS RELAÇÕES
A partir da relação fundamental podemos, algebricamente, 
concluir dois fatos muito importantes.
1º. Dividindo ambos os membros por cos² a, obtemos:
sen²a + cos²a = 1
sen² cos² 1
cos² cos² cos²
a a
+ =
a a a
tg2 a + 1 = sec2 a
2º. Dividindo ambos os membros por sen² a, obtemos:
sen²a + cos²a = 1
sen² cos² 1
sen² sen² sen²
a a
+ =
a a a
1 + cotg2 a = cossec2 a
Como podemos interpretar geometricamente essas relações?
Note que o segmento OJ = sec a. OJ sec= a .
O triângulo JOA1 é retângulo, portanto, vale o teorema de 
Pitágoras.
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tg2 a + 1 = sec2 a
Para obtermos a segunda relação estudada precisamos 
conhecer o eixo das cotangentes (que é perpendicular ao eixo das 
tangentes) e então o processo é análogo ao anterior.
Observe que por conta do paralelismo os ângulos 2 ˆA MO e 
MÔA1 são opostos pelo vértice, portanto, congruentes.
Sabemos também que o ângulo MA2O é reto, logo o triângulo 
dado é retângulo e vale o teorema de Pitágoras.
1 + cotg2 a = cos sec2 a
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Encontre o valor de cos x, sabendo que sen x = 1/4, com 
3x
2
π
π < <
02. (CESGRANRIO) Se 3 2cosx
5
= − e 
14tgx
6
= − , qual o valor 
de senx? 
03. Considerando o valor de senx =1/3, calcule o valor da tg x.
04. Considerando o < a < 90º calcule em cada caso os valores 
pedidos utilizando as informações dadas.
a) Se
2sen
3
a = , calcule cosa, tga e sena.
b) Se
2 3sec
3
a = , calcule sena, cosa e tga.
05. Para quais valores de x temos que sen x = cos x, sabendo que 
0 < x < 2π
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (CESGRANRIO) Se tg x = 5 , então sen²x é igual a:
a) 1/6 b) 1/5 c) 3 /4 d) 3/5 e) 5/6
02. Se sen x – cos x = 1
2
 , o valor de sen x . cos x é igual a:
a) 
3
16
− b) 
3
8
− c) 
3
8
d) 
3
4 e) 
3
2
03. (FATEC) Calculando-se o valor da expressão a seguir
3 5sen cos tg
2 4 3 ,2sec 2 cossec cot g
2 3
π π π
⋅ ⋅
π π
π ⋅ ⋅
obtém-se:
a) ( 2)
6
 
b) ( 3)
3
 
c) ( 2)
6
− 
d) ( 2)3
2
− 
e) ( 3)2
3
− 
04. (UNICAMP) Sejam k e θ números reais tais que senθ e cosθ são 
soluções da equação quadrática 2x² + x + k = 0. Então, k é um número
a) irracional.
b) racional não inteiro.
c) inteiro positivo.
d) inteiro negativo.
05. (UNICAMP) Seja x um número real tal que senx + cosx = 0,2. 
Logo, |senx – cosx| é igual a:
a) 0,5 b) 0,8 c) 1,1 d) 1,4
06. (CESGRANRIO) No cubo de base ABCD, anteriormente 
representado, marca-se o ponto P, centro da face EFGH. A medida, 
em graus, do ângulo PBD é um valor entre:
a) 0 e 30 
b) 30 e 45 
c) 45 e 60 
d) 60 e 90 
e) 90 e 120
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07. (UECE) Se x é tal que 
xtg z,
2
= então, é correto afirmar que cosx 
é igual a
a) 
2
2
z .
1 z+
 
b) 
2
2
1 z .
1 z
−
+
 
c) 
2
2
z .
1 2z+
 
d) 
2
2
1 z .
1 2z
−
+
08. (UDESC) A expressão 
2 2
2 2
sec (x) 1 cossec (x) 1
tg (x) 1 cot g (x) 1
− +
+
+ +
 é igual a:
a) 1 – 2 cos²(x)
b) 3 + 2 cos² (x)
c) 3 + 2 sen² (x)
d) 1
e) 1 + 2 sen² (x)
09. (UNISINOS) As funções seno e cosseno de qualquer ângulo x 
satisfazem a seguinte identidade: sen²x + cos²x = 1. Se cosx = 0,5, 
quais são os possíveis valores do seno deste ângulo x? 
Lembre que sen²x = (senx²).
a) 5
2
− e 5
2
b) 3
2
− e 3
2
 
c) 1
2
− e 
1
2
d) 2
2
− e 2
2
e) 3
4
− e 
3
4
10. (FUVEST) Sabe-se que existem números reais A e x0, sendo 
A > 0, tais que 
senx + 2cosx = A cos(x – x0)
para todo x real. O valor de A é igual a:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 2 e) 2 3 
11. (UPE) Num triângulo retângulo, temos que tgx = 3. Se x é um 
dos ângulos agudos desse triângulo, qual o valor de cosx? 
a) 1
2
 b) 5
10
 c) 2
2
 d) 
1
4
 e) 10
10
 
12. (UFSJ) Considerando os valores de θ, para os quais a expressão 
sen cos
csc sec
θ θ
+
θ θ
 é definida, é CORRETO afirmar que ela está sempre 
igual a
a) 1 b) 2 c) senθ d) cosθ
13. (IBMECRJ) O valor de m para que exista um ângulo x com 
( )2cosx e tg x m 2
m 1
= = −
−
é dado por:
a) Um número par. 
b) Um número ímpar. 
c) Um número negativo. 
d) Um número natural maior que 10. 
e) Um número irracional. 
14. (CFTMG) Sabendo-se que cos a = 3/5 e 0 < a < π/2, pode-se 
afirmar que tg α vale 
a) 4/3 b) 1 c) 5/6 d) 3/4 
15. (FUVEST) Uma folha de papel ABCD de formato retangular é 
dobrada em torno do segmento EF, de maneira que o ponto A ocupe 
a posição G, como mostra a figura.
Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do segmento AF é igual a
a) (3 5)
2
 b) (7 5)
8
 c) (3 5)
4
 d) (3 5)
5
 e) ( 5)
3
 
16. (FGV) Se cos x + sec (- x) = t, então, cos2 x + sec2 x é igual a: 
a) 1 b) t2 + 2 c) t2 d) t2 - 2 e) t2 + 1 
17. (CFTMG) A simplificação da expressão
22–2cos(x)–sen (x)
1–cos(x) ,
onde cos x ≠ 1, é 
a) -1 - cos x 
b) -1 + cos x 
c) 1 + cos x 
d) 1 - cos x 
18. (UFJF) Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 
12/13. O cosseno desse ângulo é igual a:
a) 5/13.
b) 1/13.
c) - 5/13.
d) - 1/13.
e) - 12/13.
19. (CFTMG) Sabendo-se que sen a - cos a = m e sen a + cos a = n, 
o valor de y = sen4a – cos4a, é 
a) mn b) m - n c) m + n d) m2 - n2 
20. (CFTMG) Sendo sen x = - 4/5 e 3a/2 < x < 2a, então a tg x é 
igual a 
a) - 4/3 b) - 3/5 c) 3/4 d) 5/3 
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (INSPER) Seja θ um ângulo maior do que 45° e menor do que 
90°. Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo e 
cuja razão são, respectivamente,
a1 = tg²(θ) – 1 e q = sen²θ
a) Determine, em termos de θ, o limite da soma dos termos dessa 
progressão: S = a1 + a2 + a3 + ... 
b) Considere agora que θ é o ângulo dado no triângulo retângulo 
e não isósceles representado a seguir, cuja hipotenusa mede 5 
e cujo cateto menor mede 1. Calcule o valor numérico do limite 
da soma obtida no item (a).
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02. (CFTCE) Prove que a expressão (1 + cos x - 2 cos2 x)/(1 - cos2x) 
é igual a (1 + 2 cos x)/(1 + cos x).
03. (FGV) 
a) Num triângulo isósceles ABC, em que AB = AC, o ângulo  
mede o dobro da soma dos outros dois. O lado BC mede 
10 cm. Obtenha o perímetro desse triângulo.
b) Considerando que sen x + cos x = k, calcule, em função de k, o 
valor da expressão sen3x + cos3x. 
04. (UFSC) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, 
então o valor da expressão 9·(sec² x + tg² x) é: 
05. (UNESP) Sejam a e b ângulos tais que a = 2b. Se vale a relação:
(cos a + cos b)2 + (sen a + sen b)2 = 3
Determinar a e b.
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. E
02. C
03. D
04. B
05. D
06. C
07. B
08. E
09. B
10. C
11. E
12. A
13. B
14. A
15. D
16. D
17. D
18. C
19. A
20. A
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. a) S = sec²θ(sec²θ - 2) b) S = 575
02. (1 + cos x - 2 cos2 x)/(1 - cos2x) = [(1 - cos x) (1 + 2 cos x)]/[(1 + cos x) (1 - cos x)] = (1 
+ 2 cos x)/(1 + cos x).
03. a) {10 + 20 3
3
} cm
b) (3k - k3)/2 
04. 41
05. a = 2π/3 +4nπ e b = π/3 + 2nπ ou a = - 2π/3 + 4nπ e b = - π/3 + 2nπ, n ∈ 
ANOTAÇÕES