Avaliação Final - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada, 
ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja uma matriz 
de ordem n x n). Desta forma, verifique se o determinante do produto das matrizes a 
seguir existe, analise as sentenças quanto a este resultado e assinale a alternativa 
CORRETA: 
 
 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) Somente a sentença IV está correta. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) Somente a sentença I está correta. 
 
2. Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n 
incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. 
Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas 
lineares, como quiser chama-los. Desta forma, o mais importante é conhecer suas 
principais características e propriedades. Com base no sistema apresentado, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Impossível, para todo k real diferente de -21. 
( ) Possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63. 
( ) Possível e determinado, para todo k real diferente de -21. 
( ) Possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - V - F - F. 
 c) V - F - F - F. 
 d) F - F - V - F. 
 
3. Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, 
que normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma 
transformação linear ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande 
diferença é que uma transformação opera com vetores e não com números reais 
como de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por T(x,y,z) = 
(x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)]. 
( ) A sua imagem tem dimensão 2. 
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo. 
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - F - V. 
 b) V - V - F - F. 
 c) V - F - V - V. 
 d) F - V - F - V. 
 
4. A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do 
vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da 
grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (-2,4): 
 a) Raiz de 20. 
 b) 2. 
 c) Raiz de 10. 
 d) 4. 
 
 
5. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, 
permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as 
raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema 
clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a 
análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como 
também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados 
os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e 
de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações 
residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores 
da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F 
para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
 
 a) F - F - V - F. 
 b) V - V - F - V. 
 c) V - F - F - F. 
 d) F - V - F - F. 
 
6. Leonardo, Luiz, Cris e Jaque moram em uma pequena cidade plana, onde há uma 
praça central. Leonardo mora 2 km ao norte e 3 km ao oeste da praça central. Luiz 
mora 1 km ao sul e 2 km ao leste da praça central. Cris mora 3 km ao norte e 4 km 
ao leste da praça central e Jaque mora 2 km ao sul e 2 km ao oeste da praça central. 
Sobre os dados referenciais, assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Cris mora a 5 km, norte e a 2 km, leste de Jaque. 
 b) Luiz mora a 3 km, sul e a 4 km, leste de Cris. 
 c) Leonardo mora a 4 km, norte e a 4 km, oeste de Jaque. 
 d) Jaque mora a 1 km, sul e a 4 km, oeste de Luiz. 
 
7. Utilizando as mais diversas formas de representação da reta, podemos apenas, ao 
analisá-las, tirar diversas conclusões sobre ela. É possível destacar, por exemplo, a 
inclinação da reta e o ponto de intercepto com o eixo das ordenadas (eixo y). Os 
indicadores para tal ação são os coeficientes linear e angular da reta. Baseado nisto, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta o coeficiente angular e linear da reta 
3y + 12 = 9x, respectivamente: 
 a) 9 e 3. 
 b) 3 e -4. 
 c) 12 e 1. 
 d) -4 e 3. 
 
 
8. Arthur Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por volta 
de 1850., divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, 
inicialmente, eram aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas 
lineares e apenas há pouco mais de 150 anos tiveram sua importância detectada. 
Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Se A é uma matriz do tipo 3x5 então o sistema de equações A.X = B será 
indeterminado. 
( ) Se A é triangular do tipo nxn então det(A) = a11 . a22 . a33 . . . ann. 
( ) Se det(A) é diferente de 0 então existe a inversa de A. 
( ) Se A.B pode ser calculada então B.A sempre tem como resultado uma matriz 
diferente. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - V - F. 
 b) V - F - F - V. 
 c) F - V - V - F. 
 d) V - V - V - F. 
 
9. Antes de se analisar analiticamente os casos, é importante ter um olhar gráfico das 
situações para assim poder modelar analiticamente o problema com melhor 
qualidade. Nessa concepção, e utilizando essa dica, imagine que um vértice A de um 
triângulo está na origem do sistema de coordenadas, um outro vértice B está no 
ponto (2, 2) e o último vértice C no ponto (2,- 2). Observando qual delas representa a 
equação da reta que passa por A e pelo ponto médio de BC, analise as opções a 
seguir: 
 
I- y = 0. 
II- x = 0. 
III- x + y = 0. 
IV- y = 2. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
 
10. O trabalho do matemático Apolônio de Perga influenciou significativamente a 
Geometria Analítica. As seções cônicas foram resultados do estudo realizado por 
esse matemático no século II a.C. Dentro das seções cônicas, Apolônio desenvolveu 
trabalhos sobre a elipse, a parábola e a hipérbole, todas elas resultado de cortes feitos 
em um cone. Sabendo que a equação 9x² + 4y² - 18x - 16y - 11 = 0 é de uma elipse e 
com relação aos valores dos semieixos maior e menor desta elipse, classifique V para 
as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) 4 e 3 representam os semieixos maior e menor. 
( ) 4 e 2 representam os semieixos maior e menor. 
( ) 4 e 1 representam os semieixos maior e menor. 
( ) 3 e 2 representam os semieixos maior e menor. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - F - V. 
 d) F - F - V - F. 
 
 
 
 
 
 
 
11. (ENADE, 2008) Considere o sistema de equações a seguir: 
 
 a) As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa 
correta da primeira. 
 b) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda é falsa. 
 c) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
 d) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda é verdadeira.12. (ENADE, 2014) Em uma loja de material escolar, as mercadorias caneta, lápis e 
borracha, de um único tipo cada uma, são vendidas para três estudantes. O primeiro 
comprou uma caneta, três lápis e duas borrachas pagando R$ 10,00; o segundo 
adquiriu duas canetas, um lápis e uma borracha pagando R$ 9,00; o terceiro comprou 
três canetas, quatro lápis e três borrachas pagando R$ 19,00. 
Os estudantes, após as compras, sem verificarem os valores de cada mercadoria, 
procuraram resolver o problema: A partir das compras efetuadas e dos respectivos 
valores totais pagos por eles, qual o preço da caneta, do lápis e da borracha? Para 
isso, montaram um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os preços das 
mercadorias. Esse sistema de equações é: 
 a) Possível determinado, podendo admitir como solução o valor do preço da caneta, 
do lápis e da borracha. 
 b) Possível indeterminado, de forma que a soma dos valores possíveis da caneta, do 
lápis e da borracha é igual a 1/5 da adição do preço da borracha com R$ 28,00. 
 c) Impossível, pois saber os totais das compras não garante a existência de solução. 
 d) Possível determinado, sendo o preço da borracha mais caro que o do lápis.