Lista 07-08 -Estimadores e Intervalo de Confiança

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
Lista de Exercícios 06 (Cap. 07 e 08)
Estimação de Parâmetros e Intervalos de Con�ança
Prof.: Carlos Estêvão R. Fernandes
Disciplina: Probabilidade e Estatística
1. Seja uma amostra aleatória de 3 observações X1, X2 e X3 de uma população com média µ e
variância σ2. Considere os seguintes estimadores da média µ:
Θ̂1 =
2X1 +X2 −X3
2
e Θ̂2 =
2X1 + 2X2 +X3
5
(a) Classi�que Θ̂1 e Θ̂2 como tendencioso ou não-tendencioso.
(b) Determine o erro-padrão de cada um dos estimadores Θ̂1 e Θ̂2.
(c) Com base nas respostas dos itens (a) e (b), decida qual dos dois é o melhor estimador, Θ̂1 ou Θ̂2.
(d) Determine a e�ciência relativa do estimador da média amostral X̄ em relação a Θ̂1, ou seja a razão
entre seus respectivos erros quadráticos médios. Dentre estes dois, qual é o mais e�ciente?
As questões 2 e 3 (abaixo) devem ser respondidas de acordo com o enunciado a seguir:
Seja X1, X2, X3, X4 uma amostra aleatória de tamanho 4 com valores observados de uma população
com média µ e variância σ2. Considere que Θ̂1, Θ̂2 e Θ̂3 são estimadores da média µ, de�nidos como:
Θ̂1 =
X1 +X2 +X3 +X4
4
, Θ̂2 =
2X1 +X2 + 2X3 +X4
2
e Θ̂3 =
2X1 −X2 + 2X3 −X4
2
2. Em relação aos estimadores Θ̂1, Θ̂2 e Θ̂3, podemos dizer que:
(a) São todos não-tendenciosos
(b) Apenas Θ̂1 é não-tendencioso
(c) Apenas Θ̂2 é não-tendencioso
(d) Apenas Θ̂3 é tendencioso
(e) Apenas Θ̂2 é tendencioso
(f) São todos tendenciosos
3. Em relação aos estimadores Θ̂1, Θ̂2 e Θ̂3, podemos dizer que:
(a) Θ̂2 tem a menor variância dentre os três.
(b) Θ̂3 é o melhor estimador da média µ pois tem
o menor erro quadrático médio
(c) A variância de Θ̂1 é a maior
(d) Θ̂3 é tendencioso mas tem a menor variância dos três
(e) Θ̂2 e Θ̂3 têm a mesma variância, logo são igualmente
bons.
(f) Θ̂2 e Θ̂3 têm a mesma variância, mas Θ̂3 é melhor pois
não é tendencioso enquanto Θ̂2 é.
4. A resistência à compressão do concreto é Normalmente distribuída, sendo o concreto do tipo A
com média µA = 2500psi
1 e desvio-padrão σ2A = 20psi. O concreto do tipo B tem µB = 2515psi
e σ2B = 15psi. Corpos-de-prova são submetidos a testes, sendo 10 amostras do tipo A e 25 do
tipo B.
1 psi=libra-força por polegada quadrada
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(a) Qual a probabilidade de que a média das amostras do tipo B (X̄B) seja maior que a média das
amostras do tipo A (X̄A)?
(b) Sem conhecer µA e µB e sabendo que x̄B = 2494psi e x̄A = 2490psi, que con�ança temos em a�rmar
que a resistência média do concreto do tipo B é maior que a do tipo A?
5. A concentração de cálcio (em mg/`) nas águas de um lago tem distribuição Normal com média e
desvio padrão desconhecidos. Foram retiradas aleatoriamente 4 amostras de água e concluiu-se
que a concentração média de cálcio no lago encontra-se entre 52,93 e 75,65mg/`, com 98% de
con�ança. Responda:
(a) Qual a concentração média de cálcio encontrada nas amostras observadas?
(b) Qual o desvio padrão amostral s da concentração de cálcio nas observações realizadas?
(c) Que con�ança temos em a�rmar que a concentração média de cálcio no lago é inferior a 72,25mg/`?
As questões 6 a 13 (abaixo) devem ser respondidas de acordo com o enunciado a seguir:
A resistência do concreto à compressão é uma variável aleatória Normalmente distribuída. O resistência
à compressão do concreto produzido por um fabricante A tem média µA = 2500psi e desvio-padrão
σA = 27psi. Amostras aleatórias de 9 corpos-de-prova são coletadas e o valor médio amostral X̄A é
calculado.
6. Qual o valor do erro-padrão do estimador X̄A?
7. A probabilidade de que o valor médio amostral X̄A caia entre 2492,8psi e 2523,4psi é de (assinale
a resposta mais próxima):
(a) 5,3%
(b) 99,97%
(c) 78,4%
(d) 68,4%
(e) Menos de 1%
(f) 31,6%
8. Suponha que um novo tipo concreto (B) é fabricado e sua resistência à compressão XB tem
distribuição Normal com média µB = 2515psi e desvio-padrão de 18psi. Após coletar 12 amostras
do novo concreto, sua média amostral x̄B foi comparada com a do concreto antigo x̄A (obtida
usando as 9 amostras da questão anterior). A chance de que x̄B − x̄A ≤ 20psi é de (assinale a
resposta mais próxima):
(a) 5,3%
(b) 99,97%
(c) 78,4%
(d) 68,4%
(e) Menos de 1%
(f) 31,6%
9. Suponha que a média µA não é conhecida e os nove corpos-de-prova forneceram uma média
amostral de x̄A = 2489psi. Determine um intervalo de con�ança de 98% para a média µA.
Escreva seu resultado no formato: ≤ µA ≤ (use uma casa decimal de precisão).
10. No caso da questão anterior, se �xarmos a largura do intervalo de con�ança, o que devemos
esperar ao aumentar o número de amostras coletadas?
(a) Menor con�abilidade
(b) Maior con�abilidade
(c) Mesma con�abilidade
(d) População com menor desvio-padrão
(e) Inferência Estatística
(f) Distribuição Binomial
11. Suponha que a média µA não é conhecida e queremos determinar um intervalo de con�ança de
98% para a média µA, mas gostaríamos que esse intervalo tivesse largura de no máximo 10psi.
Qual o número mínimo de amostras (corpos-de-prova) que deveríamos coletar?
12. Suponha que a média µA e o desvio-padrão σA são desconhecidos e apenas cinco corpos-de-prova
foram coletados, fornecendo os seguintes valores (em psi): 2488,3, 2455,0, 2503,4, 2507,8, 2469,0.
Nesta caso, podemos dizer com 98% de con�ança que a média µA não será inferior a quanto?
(use uma casa decimal de precisão em sua resposta).
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13. Por outro lado, com base nas amostras fornecidas na questão 12 podemos a�rmar com 95%
de con�ança que o desvio-padrão σA da população A, encontra-se (com uma casa decimal de
precisão) no intervalo:
(a) 12,7 ≤ σA ≤ 35,1
(b) 13,5 ≤ σA ≤ 64,9
(c) 14,6 ≤ σA ≤ 53,3
(d) 11,8 ≤ σA ≤ 91,7
(e) 0 ≤ σA ≤ 30,8
(f) 30,8 ≤ σA ≤ 54,8
14. Deseja-se testar uma amostra aleatória de capacetes para determinar que proporção destes ca-
pacetes têm resistência ao impacto superior ao valor R exigido por lei.
(a) Determine o número mínimo de capacetes que devem ser testados para termos 95% de con�ança de
que o erro na proporção estimada (ε = |p− p̂|) será menor que 5%.
(b) Assumindo que a resistência ao impacto é Normalmente distribuída, considere que uma amostra de
16 capacetes apresentou variância de s2 = 0,04R2. Estime um intervalo de con�ança de 98% para
o desvio padrão da resistência ao impacto. (deixe a resposta em função de R)
15. As paredes de garrafas de refrigerante (PET) devem ter espessura de no mínimo 4mm de acordo
com as normas de segurança industrial. Foram medidas as espessuras das paredes de 10 garrafas
de certo fabricante sendo a média das amostras de 4,03mm e seu desvio padrão de 0,05mm.
Considerando que a espessura das paredes das garrafas tem distribuição Normal, faça o que se
pede:
(a) Decida se é possível a�rmar com 95% de con�ança que a espessura média das garrafas deste fabri-
cante está de acordo com as normas de segurança industrial. E com 99% de con�ança, é possível
a�rmar a mesma coisa?
(b) Construa um intervalo de con�ança de 98% para o desvio padrão da espessura das garrafas.
(c) Após medir a espessura de 200 garrafas, observou-se que apenas onze tinham espessura abaixo de
4mm. Com base nisso, a�rma-se que a proporção de garrafas fora da norma é menor que 8%. Que
grau de con�ança temos nesta a�rmação? O que se pode fazer para aumentar a con�ança?
As questões 16 e 17 (abaixo) devem ser respondidas de acordo com o enunciado a seguir:
Uma amostra aleatória de 50 capacetes foi submetida a um teste de impacto, sendo observado algum
dano em 9 destes capacetes.
16. Determine um intervalo de con�ança bilateral aproximado dentro do qual se espera encontrar
com 97% de con�ança a verdadeira proporção de capacetes que apresentaria dano no teste (use
duas casas decimais de precisão).
17. Assinale o item que melhor indica a quantidade mínima de capacecetes que devemos testar para
estarmos 97%con�antes de que o erro na estimação do valor verdadeiro de p seja menor que
0,02 (use a estimativa pontual p̂, obtida a partir da amostra preliminar de 50 capacetes):
(a) 60
(b) 80
(c) 435
(d) 6950
(e) 140
(f) 1740
IMPORTANTE: Além das questões acima, fazem parte desta lista os seguintes exercícios:
• Cap. 7 (Estimadores Pontuais e Distribuições Amostrais): 7.1 a 7.5, 7.7, 7.11, 7.12, 7.14
a 7.17, 7.22, 7.23 e 7.24
• Cap. 8 (Intervalos de Con�ança): 8.1 a 8.3 (itens a e c, de cada questão), 8.4 (itens a, c e
e), 8.7, 8.8, 8.12, 8.15, 8.19, 8.21 a 8.25, 8.31, 8.36, 8.40, 8.41, 8.46, 8.50, 8.52, 8.53
Lista de Exercícios 06 (Cap. 07 e 08)
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