AP2-ProbEstat-EEMA-MANHA-2017 2 (soluções)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
AVALIAÇÃO PARCIAL 2
Prof.: Estêvão R. Fernandes Período: 2017.2
Disciplina: Probabilidade e Estatística (TL0011)
SOLUÇÕES
1. [1,0 pontos] Considere as variáveis aleatórias de�nidas abaixo e responda as perguntar a seguir:
(A) O número de toques da bola no chão durante uma partida de tênis
(B) A espessura de um cilindro de alumínio de alta precisão para aceleração de partículas
(C) A velocidade instantânea da bola durante uma partida de tênis
(D) A corrente elétrica medida nos terminais de uma bateria automotiva escolhida aleatoriamente
(E) O número de baterias com corrente abaixo da especi�cação em um lote de 20 baterias
(F) O número de chapas metálicas testadas aleatoriamente até que se encontre a primeira chapa
com espessura fora do padrão de qualidade exigido
(a) Dentre as variáveis acima, indique quais são contínuas (um erro anula um acerto):
B, C, D
(b) Dentre as variáveis acima, indique quais são discretas (um erro anula um acerto):
A, E, F
(c) Que distribuição de probabilidade que poderia representar a variável aleatória E?
Binomial
(d) Que distribuição de probabilidade que poderia representar a variável aleatória F?
Geométrica (ou Binomial Negativa com r = 1)
2. [2,5 pontos] Em cada item abaixo, determine o que se pede considerando a informação dada sobre a
variável aleatória X:
(a) Determine o valor da constante C, sabendo que p(xi) = C(5− xi), para xi ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
Sabendo que
N∑
i=1
p(xi) = 1, temos: p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 1
Substituindo o valor de p(xi) dado no enunciado, temos:
4C + 3C + 2C + 1C + 0 = 10C = 1
Logo: C = 110
(b) Determine o valor da constante C, sabendo que fX(x) =
1
3e
−C x, para x ≥ 0.
Para que fX(x) seja uma função densidade de probabilidade válida, é preciso que:
+∞∫
−∞
fX(x)dx = 1. Substituindo a função fX(x) dada no enunciado, temos:
+∞∫
0
1
3e
−C xdx = 1 ⇒ −13C e
−C x
∣∣∣+∞
0
= −13C (0− 1) =
1
3C = 1
Logo: C = 13
(c) Determine a função densidade de probabilidade fX(x), sabendo que a Distribuição Acumulada
de X é dada por:
FX(x) =

0, x < 0
x2, 0 ≤ x ≤ 1
1, x > 1
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Probabilidade e Estatística (TL0011), 2017.2
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Sabemos que fX(x) =
d
dxFX(x). Assim:
Para x < 0, fX(x) =
d
dx0 = 0
Para 0 ≤ x ≤ 1, fX(x) = ddxx
2 = 2x
Para x > 1, fX(x) =
d
dx1 = 0
Assim:
fX(x) =
{
2x, 0 ≤ x ≤ 1
0, em caso contrário
(d) Indique a faixa de valores possíveis para a variável do item anterior.
0 ≤ x ≤ 1, pois é a região onde fX(x) é diferente de zero.
(e) No caso do item (c), determine P (0,3 ≤ X ≤ 0,9)
P (0,3 ≤ X ≤ 0,9) = FX(0,9)− FX(0,3) = 0,92 − 0,32 = 0,81− 0,09 = 0,72 ou 72%
3. [2,5 pontos] Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada (FDA) dada pela
�gura abaixo. Determine o que se pede:
(a) Determine os possíveis valores da variável X e suas respectivas probabilidades
xi p(xi)
0 0,1
4 0,1
5 0,4
8 0,2
10 0,2
(b) Determine o valor médio da variável X
µ =
∑
i
xip(xi) = (0× 0,1) + (4× 0,1) + (5× 0,4) + (8× 0,2) + (10× 0,2)
µ = 0 + 0,4 + 2,0 + 1,6 + 2,0 = 6,0
(c) Determine o desvio padrão da variável X
σ2 =
∑
i
x2i p(xi)−µ2 =
[
(02)× 0,1 + (42)× 0,1 + (52)× 0,4 + (82)× 0,2 + (102)× 0,2
]
− (6,0)2
σ2 =
(
0 + 1,6 + 10 + 12,8 + 20
)
− 36 = 44,4− 36 = 12,4
Logo: σ =
√
8,4 = 2,9
(d) Calcule P (2 ≤ X ≤ 9)
P (2 ≤ X ≤ 9) = FX(9)− FX(2) = 0,8− 0,1 = 0,7 ou 70%
ou, de forma equivalente, podemos fazer:
P (2 ≤ X ≤ 9) = p(4) + p(5) + p(8) = 0,1 + 0,4 + 0,2 = 0,7
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(e) Calcule P (X < 8|X ≥ 4)
P (X < 8|X ≥ 4) = P (4≤X<8)P (X≥4) =
FX(6)−FX(0)
1−FX(0) =
0,6−0,1
1−0,1 =
0,5
0,9 = 0,5556 ou 55,6%
ou, de forma equivalente, podemos fazer:
P (X < 8|X ≥ 4) = P (4≤X<8)P (X≥4) =
p(4)+p(5)
p(4)+p(5)+p(8)+p(10) =
0,1+0,4
0,1+0,4+0,2+0,2 =
0,5
0,9 = 0,5556
4. [2,5 ponto] Um dispositivo eletrônico tem corrente elétrica nominal declarada de 8mA. O fabricante
alega que a corrente fornecida pelo seu dispositivo é uma variável aleatória contínua X de média
8mA e desvio padrão de
√
3mA. O Inmetro a�rma que a corrente fornecida não pode ser diferente
da nominal em mais do que 2,0mA (nem para mais, nem para menos).
Como a corrente fornecida não pode ser diferente da nominal em mais do que 2,0mA (nem para
mais, nem para menos), signi�ca que queremos que 6 ≤ X ≤ 10. Portanto, nos itens (a) e (b),
iremos calcular a probabilidade P (6 ≤ X ≤ 10) de acordo com a distribuição dada em cada um
destes itens
(a) Determine o percentual de dispositivos que satisfazem à norma do Inmetro considerando que
a corrente do dispositivo é uma variável com distribuição Uniforme (0,8)
Se a distribuição é Uniforme no intervalo [a, b], temos:
a = µ−
√
3σ = 8−
√
3
√
3 ⇒ a = 5
b = µ+
√
3σ = 8 +
√
3
√
3 ⇒ a = 11
Logo: P (6 ≤ X ≤ 10) = 10−611−5 =
4
6 = 2/3 = 0,6667 ou 66,7%
(b) Determine o percentual de dispositivos que satisfazem à norma do Inmetro considerando que
a corrente do dispositivo é uma variável com distribuição Normal (0,7)
Para uma distribuição Normal, precisamos fazer a padronização da variável X. Isto é, de�ni-
mos Z = X−µσ =
X−8√
3
.
De�nindo Z dessa forma, garantimos que Z ∼ N (0, 1). Assim:
P (6 ≤ X ≤ 10) = P
(
6−8√
3
≤ Z ≤ 10−8√
3
)
= P (−1,15 ≤ Z ≤ 1,15) = Φ(1,15)− Φ(−1,15)
P (6 ≤ X ≤ 10) = Φ(1,15)− (1− Φ(1,15)) = 2Φ(1,15)− 1
P (6 ≤ X ≤ 10) = 2× (0,874928)− 1 = 0,74986 ou 74,99%
(c) Ainda considerando que a corrente do dispositivo é uma variável com distribuição Normal,
sabe-se que 98% dos dispositivos apresentam corrente elétrica abaixo de um certo valor x0.
Determine o valor de x0. (1,0)
O enunciado do item informa que: P (X ≤ x0) = 0,98
Usando a mesma padronização do item anterior (porque a distribuição aqui também é a
Normal), Z = X−8√
3
, temos:
P (X ≤ x0) = P (Z ≤ x0−8√3 ) = Φ(
x0−8√
3
) = 0,98
Consultando a Tabela da Distribuição Acumulada Normal Padrão, observamos que se Φ(z0) =
0,98 ⇒ z0 = 2,05. Assim temos:
x0−8√
3
= 2,05;⇒ x0 = 8 + 2,05×
√
3 = 11,55mA
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