Apostila de geodesia curso técnico

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Geodésia Prof. Rovane Marcos de França 
 
 
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Email: rovane@ifsc.edu.br 
 
13 GEODÉSIA 
 
13.1 REDES DE REFERÊNCIA 
Uma Rede de Referência Geodésica consiste em um conjunto de pontos materializados através de 
marcos, com coordenadas planimétricas e/ou altimétricas, referenciadas a uma única origem, o Sistema 
Geodésico Brasileiro – SGB, implementado, administrado e mantido pelo Instituto Brasileiro de Geografia e 
estatística (IBGE), possibilitando a amarração de plantas e mapas e suas atualizações a uma mesma 
referência. 
É como ter-se pontos distribuídos sob a forma de malha, em rede, formando um sistema de coordenadas. É 
a materialização de uma rede de coordenadas. 
 
 
13.3 ELEMENTOS GEODÉSICOS 
 
13.3.1 Superfície Topográfica – superfície do terreno com seus vales, fundo do mar e montanhas sobre a 
qual as medidas são executadas 
 
 
13.3.2 Geóide – vocábulo que significa o formato 
geométrico da Terra. Considerado como a superfície 
de nível de altitude igual a zero e coincidente com o 
nível médio dos mares; referência para as altitudes. 
 Como os movimentos e composição da terra 
são muito variáveis, ocorrem deformações no geóide 
impedindo que o geóide seja determinado 
matematicamente. 
 As ondulações da figura ao lado estão 
exageradas, pois o raio da terra é próximo de 6370km 
e as ondulações do geóide são de apenas algumas 
dezenas de metros. Globalmente falando, as 
ondulações são muito pequenas, mas para o 
posicionamento de um ponto é muito grande. 
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13.3.3 Gravimetria – é um método da geodésia física para determinar os 
níveis do campo gravitacional da Terra e, com isto, determinar o geóide. 
O Geóide pode ser determinado com precisão de poucos centímetros, 
através de medições gravimétricas de pontos bem distribuídos sobre a 
Terra. A densidade de pontos é muitíssimo importante para a 
determinação do geóide. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.3.4 Elipsóide de revolução – superfície matemática 3D adotada como referência para o cálculo de 
posições, distâncias, direções e outros elementos geométricos da mensuração. É formada a partir da 
rotação de uma elipse, usando como eixo de rotação o seu semi-eixo menor. 
 
a = semi-eixo maior; 
b = semi-eixo menor; 
f = a/(a-b) = achatamento 
 
O Elipsóide pode ser definido por 2 dos 3 
parâmetros. A forma mais comum é utilizar o “a” e o “f”. 
Se ajusta ao Geóide com uma aproximação de 
primeira ordem, ou seja não existe forma matemática 
que se aproxime tanto quanto o elipsóide. 
O elipsóide de revolução difere do geóide em 
até ± 50 metros. 
 
13.3.5 Datum Horizontal 
 
Para um bom ajuste, cada país ou região adotou um 
elipsóide de referência diferente e que melhor ajustou às 
suas dimensões. Ao utilizar um elipsóide numa 
determinada posição, cria-se uma nova superfície, ou 
seja, um novo Datum. 
Para a Definição de um Datum é necessário conter 3 
elementos: 
- Contém a forma e tamanho de um Elipsóide 
- Contém a posição do elipsóide relativa ao geóide 
Topocêntrico : vértice na superfície terrestre que 
serve para a amarração do elipsóide ao 
geóide 
Geocêntrico : amarrado ao centro de massa da 
terra 
- Contém os parâmetros de conversão para o Datum 
Internacional WGS-84 (World Geodetic System of 1984) 
b 
a 
a 
b 
a 
Sup. Terrestre 
Elipsóide 
Geóide 
Geóide 
Elipsóide 1 
Elipsóide 2 
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– Delta X, Delta Y, Delta Z 
– Rotação e escala 
O referencial planimétrico ou Datum Horizontal Oficial no Brasil é o SIRGAS-2000 (Sistema de 
Referência Geocêntrico para as Américas de 2000) e até 2014 poderá ser utilizado o SAD-69 (South 
American Datum of 1969). 
Datum Elipsóide Tipo 
Raio 
Equatorial 
semi-eixo 
maior a 
Raio Polar 
semi-eixo 
menor b 
f ∆X ∆Y ∆Z 
Córrego Alegre Hayford Topocêntrico 6378388 6356912,00000 1/297 -205,57 +168,77 -4,12 
SAD69/1996 UGGI-67 Topocêntrico 6378160 6356774,71920 1/298,25 -66,87 +4,37 -38,52 
SAD69/2005 UGGI-67 Topocêntrico 6378160 6356774,71920 1/298,25 -67,35 +3,88 -38,22 
WGS84(G1150) WGS84 Geocêntrico 6378137 6356752,31425 1/298,257223563 0,00 0,00 0,00 
SIRGAS2000 GRS80 Geocêntrico 6378137 6356752,31414 1/298,257222101 0,00 0,00 0.00 
Astro Chuá Hayford Topocêntrico 6378388 6356912,00000 1/297 -143,87 243,37 -33,52 
 
 
13.4 SISTEMAS GEODÉSICOS 
 
13.4.1 Coordenadas Terrestres 
 
13.4.1.1 Cartesianas Geocêntricas 
 
 
A Superfície de referência para as Coordenadas Cartesianas é o Elipsóide . 
As Projeções X, Y e Z possuem origem no centro do Datum. 
Este sistema de coordenadas é o sistema de origem para os cálculos geodésicos. 
O plano X,Y coincide com o Equador. O eixo Z coincide com o eixo da Terra. O eixo X passa no meridiano 
de Greenwich. 
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13.4.1.2 Geodésicas 
 A superfície de referência para as 
Coordenadas Geodésicas é o Elipsóide . 
É um sistema de projeção esférico, 
definindo um ponto a partir de 2 ângulos 
de referência: Latitude (F) e Longitude 
(l). 
 A Latitude é um ângulo medido a 
partir do equador até a normal do ponto 
(direção que passa pelo ponto 
perpendicular ao elipsóide). Além da 
dimensão angular, deve ser especificado 
o hemisfério, se N ou S, ou ainda através 
dos sinais positivo e negativo, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 São as coordenadas Geodésicas que o GPS irá nos informar. Como podemos perceber, os ângulos 
são a partir de um datum. Portanto SE MUDARMOS O DATUM, MUDAREMOS AS COORDENADAS do 
mesmo ponto. 
 
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 O IBGE disponibiliza o software TCGeo para efetuar as Transformações entre coordenadas 
geodésicas e geocêntricas, assim como a conversão entre os Data SIRGAS2000 e SAD69/2005. A 
limitação do programa é de não permitir inclusão de novo Datum e efetuar cálculos somente dentro da 
fronteira do Brasil. 
 Vários softwares fazem estas transformações, porém deve-se observar se os parâmetros são 
fielmente os informados pelo IBGE, que constam na tabela do item 13.3.5. 
 
13.4.1.3 Geográficas ou Astronômicas 
 A superfície de referência para as Coordenadas Geográficas é o 
Geóide . É um sistema de projeção esférico, definindo um ponto a partir 
de 2 ângulos de referência: Latitude (F) e Longitude (l). 
 A Latitude é um ângulo medido a partir do equador até a vertical 
do ponto (direção que passa pelo ponto perpendicular ao geóide). Além 
da dimensão angular, deve ser especificado o hemisfério, se N ou S, ou 
ainda através dos sinais positivo e negativo, respectivamente. 
 As coordenadas Geográficas são determinadas 
Astronomicamente, não sendo possível determinar com precisão através 
de métodos de medição com equipamentos topográficos. 
 Como o geóide não é matematicamente definido, não podemos 
Transformar coordenadas geodésicas em geográficas e nem 
coordenadas cartesianasem geográficas. 
 
 
 
Sup. Topog. 
 Geóide 
 Elipsóide 
P 
Desvio de Vertical 
Normal Vertical 
do lugar 
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13.4.1.4 Plano Topográfico Horizontal 
 A superfície de referência é um plano horizontal (paralelo geóide) formado a partir do ponto de 
partida do levantamento com coordenadas arbitrárias. Coincide com o plano horizontal definido pelo 
equipamento. A orientação do sistema de coordenadas pode ser qualquer Norte. 
 
 
 
13.4.1.5 Plano Topográfico Local 
 A superfície de referência é um plano horizontal (paralelo geóide) formado a partir do ponto de 
partida do levantamento que deve estar Georreferenciado. Coincide com o plano horizontal definido pelo 
equipamento. A orientação do sistema de coordenadas deve ser o Norte Verdadeiro (Geográfico) 
 
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Exercício 1 
Transforme as coordenadas para Geodésicas em SIRGAS2000 
a) f=32º21’45,02861”S 
l=52º50’11,52973”W 
Datum=SAD-69/2005 
b) f=2º46’52,66219”N 
l=62º11’47,00271”W 
Datum=SAD-69/2005 
c) X= 5102280,237 
Y= -3773284,034 
Z= -637935,221 
Datum=SIRGAS2000 
 
Exercício 2 
Transforme as coordenadas para Cartesianas em SIRGAS2000 
a) f=16°49'51,83526"S 
l= 42°05'38,9220 "W 
Datum=SAD-69/2005 
b) X= 3958357,575 
Y= -4987441,612 
Z= 369911,128 
Datum=SAD-69/2005 
 
 
13.4.2 Redução de distâncias 
 
 
 As Distâncias na Topografia são medidas de forma inclinada (DI) com um Medidor Eletrônico de 
Distância (Estação Total ou Distanciômetro) e calculada na Horizontal (DH) com o ângulo vertical lido da 
visada. Pode também ser medido diretamente sobre o plano Topográfico (DH) utilizando uma trena. Após 
se obter a Distância Horizontal (DH), temos que rebatê-la sobre o Geóide (Dn) e em seguida sobre o 
Elipsóide (De) para que todas as distâncias fiquem num mesmo referencial. 
Elipsóide 
Sistema 
Plano-retangular 
Geóide 
Plano Topográfico 
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frDHDn .= 
Rm
Hm
Fr −= 1 ( )153 10..027,1 −+= DnDnDe 
Sendo, 
 Fr= Fator de Redução da Distância Horizontal 
 Hm= altitude média das distância 
 Rm= raio médio da terra (6370000m) 
 
Para distâncias menores que 5km, poderemos fazer De=Dn, pois a mudança é desprezível. 
A projeção das distâncias sobre o elipsóide é necessária para cálculos geodésicos. Devemos utilizar 
os cálculos geodésicos em 2 situações: 
- Georreferenciamento : quando necessitarmos de pontos georreferenciados 
- Grandes desníveis : mesmo quando não houver a necessidade do georreferenciamento, mas na 
extensão do levantamento tivermos grandes desníveis, devemos fazer uso da geodésia. Quando a área 
possuir grandes desníveis, estaremos utilizando vários planos topográficos locais em altitudes diferentes e 
portanto estaremos utilizando várias superfícies de referência. Com isso, as poligonais não possuem bom 
fechamento, em virtude de estarem em projeções diferentes. O que caracterizará os grandes desníveis será 
a precisão desejada para os pontos, pois a diferença de projeção, não pode ser maior que a precisão 
requerida para o levantamento. 
 
Exercício 3 
a) Calcule a distância elipsoidal do alinhamento R-T, com os dados abaixo: 
DHRT=745,092 HR=395,032 HT=632,924 
 
b) Calcule as distâncias elipsoidais da poligonal abaixo 
 
 
 
 
 
 
DHAB=1000,000 D DHBC=1000,000 DHCD=1000,000 
HA= 21,092 HB= 28,128 HC= 1074,280 HD=1033,117 
 
c) Calcule as distância elipsoidal do alinhamento M1-M2, com os dados abaixo: 
DHM1-M2=78,077 HM1=120,045 HM2=98,321 
 
d) Você irá executar um levantamento onde o contratante especificou que o fechamento das poligonais 
devem ser de 1:30000. Numa região montanhosa, uma poligonal terá um desnível de 450m e 
perímetro previsto de 3km. O levantamento não precisa ser georreferenciado. Será necessário 
reduzir as distâncias ao elipsóide? Demonstre pelos cálculos. 
 
A B 
C D 
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e) Calcule a distância horizontal do alinhamento V2-V3, com os dados abaixo: 
DeV2-V3=1245,028 Hm=439,332 
 
13.4.3 Sistemas de Projeções Cartográficas 
 
13.4.3.1 Tipos de Projeção 
Projeção Cartográfica é a técnica de projetar a superfície da Terra, admitida como esférica ou 
elipsóidica, em um plano. A projeção cartográfica é definida por um Modelo da Superfície Terrestre 
(Datum) e pelo plano de projeção . 
O problema da cartografia consiste na tentativa de representar a superfície terrestre, modelada 
como esfera ou elipsóide, no plano. Esses modelos são superfícies não-desenvolvíveis, ou seja, não é 
possível sua perfeita planificação. 
Portanto, qualquer sistema projetivo apresenta distorções de formas, de áreas, de ângulos ou de 
distâncias . O tipo de projeção adotado em um mapa deve ser aquele que melhor conservar propriedades 
de interesse do usuário. 
 
Projeção Plana Projeção Cônica Projeção Cilíndrica 
 
 
De acordo com o tipo de projeção, classificamos elas em: 
- Eqüidistante : sem deformações lineares em uma ou algumas direções 
- Equivalente (eqüiárea): sem deformações de área (dentro de certos limites) 
- Conforme (ortomórfica): sem deformações de ângulos (dentro de certos limites) 
- Afilática : não conserva propriedades, mas minimiza as deformações em conjunto 
 
13.4.3.2 Sistemas de Projeção TM (Transversa de Mer cator) 
13.4.3.2.1 Generalidades 
Gerhard Kremer Mercátor (1512-1594) matemático e cartógrafo belga, é o autor das projeções TM, 
atualmente considerado o pai da Cartografia Moderna. 
Foi o introdutor do uso de projeção cilíndrica e também da confecção de mapas para navegação. 
Somente em 1950 foi adotado a formatação do sistema como é hoje. 
Vários sistemas de projeções, como o Gauss, Gauss Krüger e Gauss Tardi foram desenvolvidos 
com base em estudos de Mercator. 
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Recomendado pela União Geodésica e Geofísica Internacional. 
 
13.4.3.2.2 Características 
Ocorre deformação apenas nas distâncias (projeção Conforme) e conseqüentemente nas áreas. Os 
ângulos se deformam tão pouco que cartograficamente são desprezíveis. 
 
 
13.4.3.2.3 Fator de Escala 
Para fazer a projeção das distâncias elipsoidais sobre o cilindro, utilizamos um fator de escala 
denominado K. 
 
 
Fuso utilizado na projeção Projeção Transversa 
e
TM
D
D
K =
Cilindro Secante 
Elipsóide 
K0 
K=1 K=1 
K<1 K>1 K>1 
De 
DTM 
DTM 
De 
KDD eTM .=
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O Fator K pode ser calculado pela seguinte equação: 
 Sendo, 
 fm: alatitude média entre os pontos 
 lm: a longitude média entre os pontos 
Uma possibilidade também é calcular o fator K dos dois pontos e calcular o K médio do alinhamento. 
Portanto, para projetarmos a DH para o Plano TM, teremos que executar os seguintes passos: 
 
 Fr De=Dn (5km) K 
 DH Dn De DTM 
 
 
Para facilitar os cálculos, podemos calcular um Fator que junta o Fr e o K. Chamaremos de Kr. 
Kr=K.Fr 
 
 Fr De=Dn (5km) K 
DH Dn De DTM 
 
 Kr 
DTM=DH.KR 
 
No site www.ifsc.edu.br/geomensura tem disponível uma planilha eletrônica para o cálculo do K. 
 
13.4.3.2.4 Orientação do Sistema 
 
Norte Verdadeiro ou Geográfico : Direção ao Pólo Norte Físico da Terra. Não podemos considerar as 
direções ao Norte Verdadeiro como sendo paralelo em qualquer ponto do sistema. 
Norte Geodésico : Direção ao Pólo Norte do Datum. O Datum sendo geocêntrico, o Norte Geodésico é igual 
ao Norte Verdadeiro. Não podemos considerar as direções ao Norte Geodésico como sendo paralelo em 
qualquer ponto do sistema. 
Norte Magnético : Direção ao Pólo Norte Magnético, pólo este que concentra um enorme campo magnético 
e atrai as bússolas indicando sua direção. Não podemos considerar as direções ao Norte Magnético como 
sendo paralelo em qualquer ponto do sistema. 
Norte de Quadrícula : Norte utilizado no sistema TM, pois é paralelo quem qualquer lugar do fuso. 
( )[ ]2MCλ.sencosφ1
K
K
mm
0
−−
=
 A 
f= 10ºS 
l=175ºW 
 MC 
177ºW 
 FUSO 1 
EQUADOR 
 B 
f= 10ºS 
l=169ºW 
 MC 
171ºW 
 
 FUSO 2 
EQUADOR 
NA= NB 
EA =EB 
KA =KB 
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NG
NM
NQ
POLO NORTE MAGNÉTICO
POLO NORTE GEOGRÁFICO
NG
NM
NQ
POLO NORTE MAGNÉTICO
POLO NORTE GEOGRÁFICO
 
O ângulo formado a partir do Norte Verdadeiro até o Norte Magnético chama-se Declinação 
Magnética . A Declinação Magnética varia com a posição geográfica e com a data. O Norte magnético está 
em constante mutação. Ao realizar qualquer medição com bússola, é conveniente que fique registrado a 
data da medição, para que em uma data futura possa se atualizar esta direção que não é estática. 
 Geodesicamente as direções ao Norte verdadeiro não são paralelas entre si. Elas convergem para 
um ponto da superfície (Pólo Norte). Para que possamos gerar um sistema de coordenadas Plano 
Retangular, precisamos de uma direção norte de referência que seja paralelo em qualquer ponto da 
projeção. Este norte próprio dos sistemas TM é denominado Norte de Quadrícula . 
 O ângulo formado a partir do Norte Verdadeiro até o Norte de Quadrícula chama-se Convergência 
Meridiana (c) . 
 
Para o cálculo da Convergência Meridiana, 
podemos utilizar a fórmula abaixo. É uma 
aproximação que normalmente fica na ordem do 
segundo. 
c =∆λ senϕϕϕϕ ∆λ=λ-MC 
 
No site www.ifsc.edu.br/geomensura tem 
disponível uma planilha eletrônica para o cálculo 
da convergência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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onde: 
c= convergência meridiana 
�= latitude do ponto 
λ= longitude do ponto 
Sabendo a Convergência Meridiana (c) e a Declinação Magnética (d), podemos aplicar as fórmulas 
abaixo para calcular os azimutes: 
AZV=AZQ+c AZM=AZV-d 
 A declinação magnética pode ser calculada usando o software gratuito ELEMAG que é distribuído 
pelo Observatório Nacional. Tem também o software gratuito DMAG desenvolvido por Luiz Ricardo Mattos. 
Estes softwares podem ser baixados do site www.ifsc.edu.br/geomensura. 
 Sabemos que uma boa bússola, nos dá uma precisão de alguns graus. Portanto o cálculo do AZV 
nunca deve ser feito partindo-se do AZM medido com bússola. 
 
13.4.3.3 UTM (Universal Transversa de Mercator) 
 
O sistema de projeção UTM é o sistema mais utilizado para a confecção de mapas. É o recomendado 
pela UGGI (União de Geodésia e Geofísica Internacional). 
Sua amplitude é de 6º de longitude, formando um conjunto de 60 fusos UTM no recobrimento terrestre 
total. 
Os Fusos são numerados a partir do Anti-meridiano de Greenwich (longitude -180º) e de oeste para 
leste. 
 A 
f= 10ºS 
l=175ºW 
 MC 
177ºW 
 FUSO 1 
EQUADOR 
 B 
f= 10ºS 
l=169ºW 
 MC 
171ºW 
 
 FUSO 2 
EQUADOR 
NA= NB 
EA =EB 
cA =cB 
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No Brasil temos o fuso 18 passando pela ponta do Acre até o fuso 25 passando por Fernando de 
Noronha. 
 
 
 
Apenas os estados de SC, ES, SE e CE estão totalmente dentro de um único fuso. 
Cada Fuso é mapeado separadamente no Hemisfério Sul e no Hemisfério Norte. 
Em casos de áreas abrangidas por 2 fusos tem-se 2 soluções: 
1) trabalhar como 2 mapeamentos distintos, caso a área seja muito grande, pois os fusos mapeados 
não são contíguos. 
2) extrapolar o fuso em até 30' na tentativa de abranger toda a área, que no Equador 30’ equivalem 
a aproximadamente 55km. 
Os limites de atuação dos fusos na latitude são 80ºS e 80ºN. Além destes limites a UTM não é 
indicada, devido a repetições das áreas mapeadas nos fusos. 
Para calcular o fuso em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a equação 31
6
int +




= λF 
Para calcular o MC em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a equação 36.
6
int +




= λMC 
Para calcular o MC em função do fuso, utilize a equação 36).31( +−= FMC 
 
A função “int” é o inteiro de um número. Por exemplo, inteiro de 3,46 é 3. Muita atenção nos números 
negativos, pois o inteiro de -7,93 é -8 e não -7. 
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Exercício 4 
Calcule o Fuso e o MC do sistema de projeção UTM, dos pontos abaixo: 
a) F= 8º31’45,09274”S e l= 72º05’40,93481”W 
b) F= 3º04’03,12840”N e l= 62º29’30,45621”W 
c) F= 27º06’51,32663”S e l= 49º59’55,10003”E 
 
Exercício 5 
Calcule a distância UTM com os dados abaixo. 
a) DHR-J=1000,000 
HR=734,082 
HJ=784,992 
K=0,99972303 
b) DHA-N=367,243 
Hm=634,077 
Fm= 8º31’45,09274”S 
lm= 72º05’40,93481”W 
c) DHB1-B2=639,022 
HB1=87,189 
H B2=95,022 
Fm= 4º42’00,71103”S 
lm= 38º44’17,68972”W 
Exercício 6 
Converta as coordenadas abaixo para a projeção UTM no datum SIRGAS2000. 
a) F= 29º41’33,09517”S 
l= 52º03’57,31990”W 
datum SIRGAS2000 
 
b) F= 1º28’12,43812”N 
l= 61º47’30,08819”W 
datum SAD69/2005 
c) F= 17º53’05,11587”S 
l= 39º35’54,18233”W 
datum SAD69/2005 
d) N= 8734128,0201 
E= 323248,8235 
MC= 51°W 
datum SAD69/2005Converta as coordenadas UTM abaixo para geodésicas no datum SAD69/2005. 
e) N= 9097240,2108 
E= 274614,1834 
MC= 45°W 
Hemisfério= sul 
datum SIRGAS2000 
 
f) N= 390598,9241 
E= 523948,5774 
Fuso= 20 
Hemisfério= norte 
datum SAD69/2005 
 
 
 
 
Exercício 7 
a) Num Relatório de rastreamento GPS, as coordenadas informadas foram as seguintes: 
Sistema de Projeção UTM 
Datum SAD69/2005 
Hemisfério Sul 
Fuso 21 
Com a estação total, o topógrafo mediu DH=182,108. 
Ponto N E H 
1 7099655,1440 746208,8812 297,698 
2 7099811,5336 746302,3029 310,153 
Geodésia Prof. Rovane Marcos de França 
 
 
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Ele afirma que a diferença foi de 6cm e considera muito grande. 
Calcule a diferença entre a medição da Estação Total X GPS. 
 
b) Calcule a distância UTM e a distância horizontal do alinhamento 5-6. 
 
 DATUM SAD69/2005 
 
 
 
Exercício 8 
a) Calcule o Azimute Verdadeiro e o Magnético para a data de 22/09/2008, com os dados abaixo: 
AZQ= 26°11’38” c= -0°37’21” d= +4°56’23” (para 22 /09/2008) 
 
b) Calcule o Azimute Verdadeiro, Azimute Magnético para o dia 23/07/2007 e Azimute de Quadrícula, 
de A-B e de B-A. 
 
PONTO N UTM E UTM Sirgas2000, Fus o 20, Hemisfério Sul 
 A 7.094.879,8723 385.197,5611 
 B 7.095.102,5722 385.021,6761 
 
c) Calcule o Azimute Verdadeiro, Azimute Magnético para o dia 10/03/2009 e Azimute de Quadrícula, 
de 11-13 e de 13-11. 
F11= 27º35’42,56115”S F13= 27º35’52,65978”S Datum: Sirgas2000 
l11= 49º05’31,44016”W l13= 49º04’54,76176”W 
 
d) Calcule as coordenadas UTM do ponto 108, utilizando os dados do exercício anterior. 
 
H11=56,821 
 
 
 
 
 
 
DICA: como a distância é pequena, para fins práticos, utilize somente a altitude da estação, pois 
não foi fornecida a altitude do ponto 108. Utilize também o K da estação, pois a variação em relação ao K 
médio será desprezível. 
 
 
e) Calcule o Azimute Verdadeiro, Azimute Magnético para o dia 27/12/2008 e Azimute de Quadrícula, 
de MJ e de JM. 
FM= 30º21’03,47718”S FJ= 30º26’48,40450”S Datum: Sirgas2000 
lM= 54º04’51,00915”W lJ= 54º13’22,88019”W 
 
 
 13.4.3.4 RTM (Regional Transversa de Mercator) 
• Sistema pouco utilizado no Brasil 
• Sua amplitude é de 2º, formando um conjunto de 180 fusos RTM no recobrimento terrestre total 
• Cada Fuso é mapeado separadamente no Hemisfério Sul e no Hemisfério Norte 
• Os Fusos são numerados a partir do Anti-meridiano de Greenwich (longitude -180º) e de oeste para 
leste 
• Em Santa Catarina temos o fuso 64 passando pelo Extremo Oeste até o fuso 66 passando pelo 
Litoral 
• Em casos de áreas abrangidas por 2 fusos tem-se 2 soluções: 
• 1) trabalhar como 2 mapeamentos distintos, caso a área seja muito grande, pois os fusos 
mapeados não são contíguos 
• 2) extrapolar o fuso em até 10' na tentativa de abranger toda a área, que no Equador 10’ 
equivalem a aproximadamente 18km; 
• Os limites de atuação dos fusos na latitude são 80ºS e 80ºN. Além destes limites a RTM não é 
indicada. 
Ponto F l H 
5 29º53’15,56001”S 56º45’29,72331”W 109,550 
6 29º52’16,88230”S 56º46’00,63207”W 170,153 
13 
11 
108 
DH=277,439 
279°53’17” 
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Para calcular o fuso em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a equação 91
2
int +




= λF 
Para calcular o MC em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a equação 12.
2
int +




= λMC 
Para calcular o MC em função do fuso, utilize a equação 12).91( +−= FMC 
MC
K
=
1
K<1 K<1 K>1
K
o=
0,
99
99
95
K
=
1
B
or
do
 d
o 
F
us
o
B
or
do
 d
o 
F
us
o
K>1
Equador
1º
2º
Y=0m
Y=5.000.000m
X
=4
00
.0
00
m
K
~1,000152
K
~1,000152
1º
MC
K
=
1
K<1 K<1 K>1
K
o=
0,
99
99
95
K
=
1
B
or
do
 d
o 
F
us
o
B
or
do
 d
o 
F
us
o
K>1
Equador
1º
2º
Y=0m
Y=5.000.000m
X
=4
00
.0
00
m
K
~1,000152
K
~1,000152
1º
 
 
Exercício 9 
a) Calcule o Fuso e o MC do sistema de projeção RTM, dos pontos abaixo: 
I) F= 8º31’45,09274”S e l= 72º05’40,93481”W 
II) F= 3º04’03,12840”N e l= 62º29’30,45621”W 
III) F= 27º06’51,32663”S e l= 49º59’55,10003”E 
 
b) Calcule o Fator K e a convergência meridiana UTM e RTM: 
I) F= 20º13’48,79918”S e l= 54º21’03,41009”W 
II) F= 3º17’11,40117”S e l= 54º21’03,41009”W 
 
c) Calcule as distâncias RTM e UTM com os dados: 
Fm= 23º39’06,62097”S lm= 45º40’39,82661”W DH= 437,831 Hm= 640,821 
 
 
13.4.3.5 LTM (Local Transversa de Mercator) 
Geodésia Prof. Rovane Marcos de França 
 
 
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• Sistema utilizado no Brasil para projetos 
• Sua amplitude é de 1º, formando um conjunto de 360 fusos LTM no recobrimento terrestre total 
• Cada Fuso é mapeado separadamente no Hemisfério Sul e no Hemisfério Norte 
• Os Fusos são numerados a partir do Anti-meridiano de Greenwich (longitude -180º) e de oeste para 
leste 
• Em Santa Catarina temos o fuso 127 passando pelo Extremo Oeste até o fuso 132 passando pelo 
Litoral 
• Em casos de áreas abrangidas por 2 fusos tem-se 2 soluções: 
• 1) trabalhar como 2 mapeamentos distintos, caso a área seja muito grande, pois os fusos 
mapeados não são contíguos 
• 2) extrapolar o fuso em até 5' na tentativa de abranger toda a área, que no Equador 5’ equivalem 
a aproximadamente 9km; 
• Os limites de atuação dos fusos na latitude são 80ºS e 80ºN. Além destes limites a LTM não é 
indicada. 
 
 
Para calcular o fuso em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a equação 181)int( += λF 
Para calcular o MC em função da longitude de um ponto qualquer, utilize a equação '30)int( += λMC 
Para calcular o MC em função do fuso, utilize a equação '30)181( +−= FMC 
 
MC
K
=1
K<1 K<1 K>1
K
o=
0,
99
99
95
K
=1
B
or
do
 d
o 
F
us
o
B
or
do
 d
o 
F
us
o
K>1
Equador
30’
1º
Y=0m
Y=5.000.000m
X
=2
00
.0
00
m
K
~1,000037
K
~1,000037
30’
MC
K
=1
K<1 K<1 K>1
K
o=
0,
99
99
95
K
=1
B
or
do
 d
o 
F
us
o
B
or
do
 d
o 
F
us
o
K>1
Equador
30’
1º
Y=0m
Y=5.000.000m
X
=2
00
.0
00
m
K
~1,000037
K
~1,000037
30’
 
Exercício 10 
a) Calcule o Fuso e o MC do sistema de projeção LTM, dos pontos abaixo: 
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I) F= 8º31’45,09274”S e l= 72º05’40,93481”W 
II) F= 3º04’03,12840”N e l= 62º29’30,45621”W 
III) F= 27º06’51,32663”S e l= 49º59’55,10003”E 
 
b) Calcule o Fator K e a convergência meridiana LTM: 
I) F= 20º13’48,79918”S e l= 54º21’03,41009”W 
II) F= 3º17’11,40117”S e l= 54º21’03,41009”W 
 
c) Calcule as coordenadas LTM do ponto 40, utilizando os dados abaixo: 
 
DATUM: SIRGAS2000 MC=55°30’W 
 
 
Ponto Latitude Longitude H X LTM YLTM 
E19 20°52’11,10887”S 55°56’23,60669”W 728,459 154224,7151 2691292,5841 
E20 20°52’19,71405”S 55°56’19,65523”W 741,290 154339,6578 2691028,2452 
 
 
13.4.4 Transformação de Coordenadas 
 
 CONVERSÃO DE TM ���� PTL 
a) Definir um ponto de origem com coordenadas TM (não precisa estar materializado) 
b) Calcular os AZQ e DTM do ponto origem para os demais pontos 
c) Arbitrar coordenadas de partida no PTL para o ponto de origem 
d) Converter as DTM em DH, do ponto origempara os demais pontos 
e) Converter os AZQ em AZV, do ponto origem para os demais pontos 
f) Calcular as coordenadas no PTL dos pontos 
 
CONVERSÃO DE PLANO TOPOGRÁFICO ���� TM 
a) Definir um ponto de origem (O) no PT que possua coordenadas TM 
b) Definir um ponto de referência (R) no PT que possua coordenadas TM 
c) Calcular DH e AZ do ponto origem (O) para os demais pontos, inclusive para o ponto de referência 
(R) 
d) Converter DTM do ponto Origem para os demais pontos 
e) Calcular AZQO-R 
f) Calcular a Rotação (ROT), fazendo ROT= AZQO-R - AZO-R 
g) Calcular os AZQ, fazendo AZQ=AZ+ROT 
h) Calcular as coordenadas UTM dos pontos 
 
13.4.5 Legislação Vigente 
A legislação no Brasil ainda é muito pobre em relação à legislação dos sistemas de projeção 
utilizados. 
A NBR14166 especifica que se deve utilizar o PTL como referência. Já o INCRA, define como 
sendo o sistema UTM. O IBGE utiliza para a cartografia sistemática nacional, a projeção UTM. 
Cada órgão acaba por definir, ao seu critério, o sistema de projeção que acha mais conveniente. 
 
 
13.5 ALTIMETRIA 
 
Como vimos em módulos anteriores, Datum Vertical é uma Superfície de referência para as 
altitudes. 
As altitudes podem ser do tipo Ortométrica ou Geométrica : 
 
13.5.1 Altitude Ortométrica (ou Altitude Geoidal): 
São as altitudes referenciadas ao geóide (nível médio do mar). 
Estação Ponto Visado Ang. Horizontal DH 
E20 E19 20°11’19” --- 
 40 78°20’31” 195,033 
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Cada região ou país banhado por um oceano pesquisa em sua costa lugares onde a variação de 
marés é mínima. Nestes locais são instalados instrumentos que medem a variação das marés, 
denominados Marégrafos. Um destes marégrafos é escolhido como referência denominado de Datum de 
Controle Vertical. 
O referencial altimétrico ou Datum Vertical Oficial é o Datum Imbituba definido por observações 
maregráficas tomadas na baía de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, entre os anos de 1949 e 
1957. Caso Particular: Datum Porto de Santana, que é referência para o Estado do Amapá, tomado entre os 
anos de 1957 e 1958. 
As Referências de Nível são transportadas a partir de Nivelamentos geométricos e trigonométricos. 
 
 
13.5.2 Altitude Geométrica (ou Altitude Elipsoidal) : 
São as altitudes referenciadas ao elipsóide (calculadas geometricamente). Obtido a partir de 
sistemas de posicionamentos via satélite 
 
 
 
Mudando de Datum, mudaremos de altitude geométrica. 
 
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13.5.3 Mapa Geoidal 
O Mapa Geoidal apresenta as ondulações geoidais (N), também conhecidas como alturas geoidais. 
Ondulações geoidais são as distâncias a partir do Elipsóide até o Geóide. 
 
 
 O IBGE publica o mapa geiodal, mas possui 
escala muito pequena para fazer uma interpolação 
segura. 
Para a obtenção de N, utilizamos softwares 
para interpolação. 
No Brasil, o software utilizado para fazer esta 
conversão é o Mapgeo 2004, disponibilizado pelo 
IBGE. Mas no Brasil o modelo ainda não tem grande 
precisão: 
Absoluto = ±0,5m 
 (em alguns locais o erro pode chegar a 2m) 
Relativo = ±1cm/km 
 
 
 
 
13.5.4 Conversão de Altitudes 
 
Existem 2 métodos para conversão de altitude geométrica em ortométrica: Absoluto e Relativo. 
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Método Absoluto 
 
h=H+N, ou H=h–N 
sendo 
H: altitude ortométrica (geoidal) 
h: altitude geométrica (elipsoidal) 
N: ondulação geoidal, ou altura geoidal ou ainda distância geoidal 
Para encontrar o valor da ondulação Geoidal, utilizaremos o software Mapgeo2004. A ondulação 
obtida terá a precisão de ±500mm, porém existem alguns locais que podemos encontrar até 2,00m de erro. 
Para diferenciar a ondulação calculada da obtida pelo Mapgeo, chamaremos a ondulação do Mapgeo de “n” 
(minúsculo). Portanto a equação no método absoluto ficará assim: 
HP=hP–nP 
 
Lembre-se das propagações dos erros para cada cálculo efetuado. 
 
Método Relativo 
 Este método permite alcançarmos a precisão de ±10mm/km. Para isso precisamos ter um RN 
rastreado com GNSS, ou nivelado um marco que foi implantado com GNSS. 
 
NRN=hRN-HRN 
 
DN=nP-nRN sendo que o DN terá uma precisão de 1cm/km. 
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DN(mapgeo)=DN(real) 
 Podemos fazer esta igualdade, pois consideramos que o Geóide definido pelo Mapgeo é paralelo ao 
Geóide Real. 
 
 
NP=NRN+DN 
HP= hP-NP 
 
Lembre-se das propagações dos erros para cada cálculo efetuado. 
 
Exercício 11 
a) Calcular as altitudes ortométricas e as precisões solicitadas de acordo com os dados abaixo, utilizando o 
método absoluto: 
I) FT3= 15°21’17,0844”S 
 lT3= 59°00’38,45889”W 
 hT3= 1215,421 ± 7mm 
 Datum: SIRGAS2000 
II) FJ6= 32°52’24,07633”S 
 lJ6= 50°09’25,07812”W 
 hJ6= 623,853 ± 23,2mm 
 Datum: SAD69/2005 
 
b) Calcular as altitudes ortométricas e suas precisões com os dados abaixo, utilizando o método relativo: 
I) FP1= 27°03’23,02459”S 
 lP1= 72°11’56,23378”W 
 hP1= 812,070 ± 32mm 
 FP2= 26°53’18,05992”S 
 lP2= 72°13’20,72460”W 
 hP2= 806,822 ± 5,3mm 
 HP2= 810,632 ± 9mm 
 Datum: SAD69/2005 
II) NUTMB45= 6941453,691 
 EUTMB45= 747430,263 
 h B45=5,099± 2,3mm 
 H B45=4,588± 5mm 
 NUTMB46= 6941909,7812 
 EUTMB46= 747338,9277 
 hB46=14,233 ± 2,8mm 
 Datum: SIRGAS2000 
 MC: 51°W 
 Hemisfério: Sul 
 
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c) Calcular as altitudes ortométricas e as precisões solicitadas de acordo com os dados, utilizando a técnica 
mais precisa. 
I) FRN= 20°10’08,41179”S 
lRN= 56°23’34,77081”W 
hRN= 348,221 ± 12mm 
Datum: SIRGAS2000 
HRN= 338,181 ± 6mm 
FP= 20°08’06,30997”S 
lP= 56°19’50,84766”W 
hP= 220,408 ± 7mm 
Datum: SIRGAS2000 
HP= ? 
 
II) RN � SAT 91501 
Ponto � SAT 91860 
 
 
III) NUTMB= 9466773,2340 
EUTMB= 588230,1276 
hB= 103,210 ± 18mm 
HB= 103,670 ± 2mm 
NUTMG= 9518864,201 
EUTMG= 587072,432 
hG= 67,255 ± 7mm 
Datum: SAD69/2005 
Fuso: 21 
Hemisfério: Sul 
HG= ? 
IV) Para um levantamento planialtimétrico, foi implantado o marco B17 com os dados abaixo 
extraídos do relatório GPS. Com o propósito de calcular a altitude ortométrica de B17, foi 
rastreado o RN2005D, com os dados abaixo também informados. Os dados apresentados no 
relatório estão em SIRGAS2000. 
PONTO Latitude Longitude h Rms V 
B17 27°38'3.54261"S 48°39'09.90771"W 39,005 ±8,3mm 
RN2005D 2,728 ±27,2mm 
 
 
13.6 GNSS 
 GNSS é o acrônimo de Global Navigation Satellite Systems (Sistema Global de Navegação por 
Sátelite), que engloba todos os sistemas de posicionamento por satélite. 
 
13.6.1 Tipos 
 Atualmente, temos operando: 
GPS: Desenvolvido e mantido pelos departamento de defesa dos Estados Unidos. 
GLONASS: Desenvolvido e mantido pelo Ministériode Defesa Federal Russo. Em atual reestruturação. 
Estão em desenvolvimento: 
GALILEO: Sistema europeu de navegação por satélite. 
BEIDOU: também conhecido como COMPASS, é o sistema de posicionamento Chinês. 
 
13.6.1.1 GPS 
 
13.6.1.1.1 Introdução 
 
A geodésia sempre se utilizou de ângulos e distâncias para resolver seus problemas e implantar 
pontos geodésicos de referência. 
Com o surgimento dos satélites artificiais, começou o desenvolvimento de métodos para a utilização 
deles como pontos espaciais geodésicos de referência. 
O primeiro sistema de satélites colocado a disposição no meio civil foi o TRANSIT em 1967. 
Necessitava várias semanas de rastreamento para a determinação de 1 ponto. Este sistema foi usado pelo 
IBGE até 1991. 
Com a criação do sistema NAVSTAR GPS (Navigation Satellite with Time and Ranging) em 1973, que 
permitiu alcançar melhores precisões num menor tempo de rastreamento. Usado pelo IBGE a partir de 1991 
e até 2004 implantados mais de 1400 vértices. 
O sistema NAVSTAR GPS foi desenvolvido e mantido pelo Departamento de Defesa Norte 
Americano, inicialmente para navegação com propósitos militares. 
O sistema GPS consiste de 30 satélites distribuídos em 6 planos de órbita cada um com 55º com o 
plano do Equador. 
A alltitude aproximada de sua órbita é de 20200km. 
12h siderais de período espacial (4’ a menos por dia). 
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O tempo máximo que um satélite fica acima do horizonte é de 5h. 
 
 
Imagem LandSat a uma altitude de 20200km com 
Florianópolis ao Centro 
 
 
 
 
Rede Implantada com método Clássico na década 
de 40 (triangulação) 
 
 
Rede de Triangulação na região de Florianópolis 
 
13.6.1.1.2 Estrutura do Sistema 
 
Segmento Espacial 
É constituído pelos satélites GPS, com as seguintes funções: 
• manter uma escala de tempo bastante precisa ( 4 relógios atômicos – 2 césio e 2 rubídio) 
• emitir sinais eletromagnéticos ultra-estáveis em duas freqüências 
• Receber, armazenar e processar informações provenientes do segmento de controle 
• efetuar manobras orbitais 
• Transmitir mensagens ao solo: 
� as efemérides do próprio satélite 
� Almanaque (efemérides de todos os satélites) 
� Sincronização do relógio do receptor 
� parâmetros atmosféricos 
� outros dados relevantes sobre o sistema em geral. 
 
Segmento de Controle 
É constituído por 1 Estação Master e 4 Estações de Monitoramento 
• Estação Master 
� Registra os sinais GPS a seu alcance 
� Recebe dados das 4 Estações de Monitoramento 
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� Processa os dados e os transmite para as estações de monitoramento 
� Envia dados para os SV’s a seu alcance; 
 
• Estações de Monitoramento 
o Registram os sinais GPS a seu alcance 
o Enviam e recebem dados da Estação Master 
o Enviam dados para os SV’s. 
 
 
Segmento do Usuário 
Compreende o conjunto de usuários civis e militares do sistema GPS, incluindo: 
• Receptores 
• Algoritmos 
• Softwares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Completo 
 
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13.6.1.1.3 Estrutura dos Sinais 
 O sinal GPS é composto de ondas eletromagnéticas em duas 
freqüências. 
- Duas freqüências portadoras 
• L1 - 1575,42 MHz – λ=19,05cm (λ=c/f) 
• L2 - 1227,60 MHz – λ=24,45cm (λ=c/f); 
- Dois códigos 
• C/A (Clear Access): Código civil, dura 1ms, L1 
• P (Precise Code): Código militar, dura 7dias, criptografado para evitar sabotagem (AS - Anti-
Spoofing) criando o código Y, L1 e L2 
- Mensagem 
• São codificadas e acrescidas aos códigos C/A e P. 
 
 
 
13.6.1.1.4 Matemática do Posicionamento 
 Imaginemos que utilizando técnicas específicas (veremos adiante quais são), podemos obter a 
distância entre o satélite e o receptor. Como temos o almanaque, podemos obter as coordenadas de 
qualquer satélite em qualquer momento. 
 Portanto, como o satélite possui coordenadas e temos a distância entre o satélite e o receptor, o 
receptor pode estar em qualquer ponto da superfície de uma esfera. 
Sabemos que a interseção de 4 esferas gera um único ponto, desde que saibamos as coordenadas 
dos centros e os raios delas. Veja nas ilustrações a seguir como a interseção se comporta. 
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Interseção de 2 esferas 
 
Círculo Resultante da 
Interseção 
 
Interseção de 3 esferas 
 
2 Pontos Resultantes da 
Interseção 
 
Interseção de 4 esferas 
 
1 Ponto Resultante da 
Interseção 
 Trazendo este conceito matemático para o GPS, o ponto a ser conhecido é o receptor, os 4 centros 
das esferas coordenados são os satélites, e os raios são as distâncias entre o receptor e os satélites. 
 Perceba que o uso de 3 satélites, gera 2 pontos. Teoricamente precisaríamos da 4ª esfera para 
definir um ponto, mas se considerarmos que o receptor estará próximo a superfície terrestre, mesmo que 
em grandes altitudes, um dos dois pontos estará muito próximo à terra e outro muito longe. Isso é válido 
pelo fato da distância do receptor até o satélite ser muito grande e que todos os satélites estão acima do 
horizonte. Podemos então utilizar o próprio elipsóide como sendo a 4ª esfera. Portanto, podemos definir as 
coordenadas do receptor até mesmo com apenas 3 satélites, geometricamente falando, mas a precisão 
piora muito. 
 
13.6.1.1.5 Métodos de Medida 
 
13.6.1.1.5.1 Código C/A 
 Baseando-se no Movimento Retilíneo Uniforme, poderemos obter a distância sabendo apenas o 
tempo, pois a velocidade de uma onda eletromagnética é a velocidade da luz. Portanto a equação D=v.t é 
válida. Considerando que v=c~300000km/s , portanto teremos D=c.t . Para descobrirmos o t, teremos que 
gerar no receptor o mesmo código gerado no satélite e então comparar o horário que ele foi gerado com o 
horário que ele chegou. Desta forma, descobrimos o tempo de trânsito do sinal do satélite até o receptor. 
 
 
 
 
 
Obs: O tempo mostrado na figura é 
meramente ilustrativo, pois o tempo do sinal 
chegar no receptor é bem menos que 1s 
 
 
 Para que este tempo esteja correto, é necessário que o relógio do receptor e do satélite estejam 
sincronizados, mas sabemos que isso é impossível, pois o relógio do receptor não é atômico e mesmo se 
fosse, teríamos ainda uma pequena diferença em função do tempo de sincronização dos relógios. 
 Portanto, o tempo tem aí um erro (et) e a equação passa a ser D=c.(t+et). Como sabemos que o 
tempo está errado, não poderemos chamá-la de Distância e sim de Pseudo-distância (falsa distância). A 
equação passa a figurar PD=c.t+c.et, ou ainda PD=D+c.et . 
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 Analiticamente sabemos que a distância tridimensional entre 2 pontos é 
222 ZYXD ∆+∆+∆= ,que representa exatamente a equação da esfera. Portanto a equação fica da 
seguinte forma. 
( ) ( ) ( ) etcZZYYXXPD RRR .2121211 +−+−+−= 
sendo, PD1 : Pseudo-distância do receptor para o satélite 1, calculadapelo tempo medido 
 (X1 Y1 Z1) : Coordenadas do satélite 1 obtidas pelas efemérides 
 (XR YR ZR) : Coordenadas do receptor que desejamos 
 
 Temos portanto 1 equação e 4 incógnitas (XR YR ZR e et), matematicamente impossível de se 
calcular. Precisamos então incluir mais satélites para gerar mais equações, desde que seja num mesmo 
instante para o erro do tempo ser o mesmo para os demais satélites. 
( ) ( ) ( ) etcZZYYXXPD RRR .2121211 +−+−+−= 
( ) ( ) ( ) etcZZYYXXPD RRR .2222222 +−+−+−= 
( ) ( ) ( ) etcZZYYXXPD RRR .2323233 +−+−+−= 
( ) ( ) ( ) etcZZYYXXPD RRR .2424244 +−+−+−= 
 Utilizando 4 satélites num mesmo instante, poderemos saber o valor de et e as Coordenadas do 
receptor. 
 Por esse motivo é fundamental que se tenha no mínimo 4 satélites. 
 Com mais de 4 satélites poderemos calcular várias posições utilizando as combinações possíveis e 
aumentando a precisão. Com 5 satélites, fazendo a análise combinatória, teremos 5 coordenadas num 
único instante. Com 7 satélites teremos 210 coordenadas.Ou seja, quanto mais satélites, maior será a 
precisão. 
 Em função do erro das efemérides, falta de sincronismo dos relógios dos satélites, ionosfera e 
outras variáveis do sistema, a posição acaba por ter a precisão de ±15m com 95% de confiabilidade (2s). 
 
13.6.1.1.5.2 Fase da Portadora 
 Vimos que utilizando o Código C/A, obrigatoriamente 
precisaremos utilizar o tempo para o cálculo das distâncias entre os 
satélites e o receptor. O método de medição da fase da portadora visa 
calcular estas distâncias sem o uso do tempo, eliminando assim uma 
grande fonte de 
erros. 
Chamamos 
de Fase da 
portadora quando 
um ciclo é 
fracionado. 
 
 
 λ.111 nFcFpD ++= 
 ( )λ.222 anFcFpD +++= 
 ( )λ.333 bnFcFpD +++= 
 
Onde, D1 : Distância do satélite ao receptor no t1 
 Fp1 : Fase de Partida no satélite no t1 
Fc1 : Fase de Chegada no receptor no t1 
N : número de ciclos 
a : número de ciclos acrescidos em n no t2 
b : número de ciclos acrescidos em n no t3 
F λ 
Ciclo Fase 
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n nas equações é chamado de Ambigüidade Inteira . 
 
As Fases são possíveis medir, pois a equação senoidal Y=senX permitirá calcular o valor de X, 
desde que o receptor tenha sensor para a medição desta fase. 
a e b também é possível ser determinado, desde que entre os tempos t1, t2 e t3, o receptor conte o 
número de ciclos que se passaram. 
Portanto, fica como variável em cada equação a distância D e número de ciclos acrescidos em n 
no t2. Como n é constante em todas as equações, variando a D, teremos sempre uma incógnita a mais que 
o número de equações. Sendo matematicamente impossível resolver as equações. Devemos fazer uso da 
estatística. 
Para se resolver estatisticamente de forma confiável, é necessária uma grande amostragem que 
acaba por ser improdutivo e até impossível. Por esse motivo, faz-se uso de técnicas chamadas de Simples 
Diferença de Fase (2 receptores e 1 satélite), Dupla Diferença de Fase (2 receptores e 2 satélites) e 
Tripla Diferença de Fase (2 receptores e 2 satélites em 2 tempos), onde geometricamente se elimina 
incógnitas e produz requisitos que n deve atender. Com isso é possível resolver as ambigüidades em 
questão de minutos para distâncias curtas e poucas horas para distâncias longas. Quanto mais satélites, 
mais rápido será a resolução das ambigüidades. 
Quando temos a resolução da ambigüidade inteira de forma segura e confiável para todos os 
satélites, chamamos esta solução de FIXA. Quando conseguimos resolver as ambigüidades inteiras 
somente para alguns satélites, chamamos esta solução de PARCIAL. Quando não conseguimos resolver as 
ambigüidades inteiras para nenhum dos satélites estatisticamente de forma confiável, mas conseguimos 
eliminar muitas das possibilidades dela, chamamos esta solução de FLUTUANTE. A solução flutuante não 
possui a confiabilidade da solução fixa e da parcial, mas é muito superior à medição com código C/A. 
 Como devemos utilizar obrigatoriamente 2 receptores, conseguimos eliminar vários erros que 
ocorrem simultaneamente e podemos obter a precisão de poucos milímetros nas distância entre o satélite 
e o receptor com 95% de confiabilidade (2s), desde que a solução seja fixa. 
Atualmente os receptores permitem uma alta performance para resolver as ambigüidades, em 
relação ao tempo necessário para montar as equações. A tabela a seguir é um exemplo de tempos 
necessários para resolver as ambigüidades inteiras. 
 
 Esta tabela é empírica e considerando 
excelentes condições de rastreamento. Deve-se 
consultar o fabricante para aplicação segura 
desta tabela. 
 Acima de 50km de distância, o 
equipamento de monofreqüência não é 
recomendado. Veremos mais a frente o motivo. 
 
 
 
13.6.1.1.6 Tipos de Posicionamento 
 
13.6.1.1.6.1 Autônomo (ou absoluto) 
O Posicionamento autônomo é quando utilizamos apenas um receptor 
independente. Desta forma todos os erros provenientes do sistema incidem 
diretamente sobre o receptor não sendo possível eliminar nenhum dos erros. 
Como a resolução das ambigüidades inteiras é impossível quando 
utilizamos apenas 1 receptor, este tipo de posicionamento é usado apenas com 
o código C/A. 
Muito utilizado para Navegação, pois a precisão fica em torno de ±15m com 95% de confiabilidade. 
 
3.6.2 Diferencial (ou relativo) 
 O Posicionamento Diferencial consiste no uso de 2 receptores medindo simultaneamente os 
mesmos satélites, onde os erros gerados num receptor serão os mesmos erros gerados no outro receptor 
num mesmo instante. 
TEMPO DISTÂNCIA 
BASE-ROVER L1 L1/L2 
SOLUÇÃO 
ESPERADA 
< 5 Km 20’ 10’ FIXA 
< 10 Km 30’ 15’ FIXA 
< 20 Km 1h 30’ FIXA 
< 30 Km 1h30’ 45’ FIXA 
< 50 Km 2h 1h FIXA 
< 100 Km - 2h FIXA 
> 100 Km - 4h FLUTUANTE 
(XR, YR, ZR) medid a 
ROVER 
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 Conhecendo-se as coordenadas do ponto BASE, podemos calcular as coordenadas do ROVER. 
 Erros comuns aos 2 receptores são eliminados. 
 Com isso, definimos um vetor bastante preciso, depende apenas se foi utilizado fase (+/-3mm) ou 
código C/A (+/-1m). 
 
13.6.1.1.7 Tipos de Processamento 
 
13.6.1.1.7.1 Pós-processado 
 Consiste em executar o levantamento em campo e depois executar o processamento. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Coleta de dados brutos (código e/ou fase) 
- Tratamento dos Dados (Ajustamento de Redes) 
- Independe de comunicação entre base e rover 
- Tempo de processamento 
- Falta de Controle dos Dados 
 
 
 
 
 
13.6.1.1.7.2 Processamento em Tempo Real 
 Consiste em processar os dados instantaneamente, juntamente com a coleta dos dados. 
 
Vantagens Desvantagens 
- Coleta de dados finais (N, E, H) 
- Locação 
- Tempo de processamento 
- Controle dos Dados em Campo 
- Impossibilidade de tratamento (ajustamento de redes) 
- Preço Alto 
Linha Base 
ROVER BASE 
(XR, YR, ZR)medid a (XB, YB, ZB) medid a (DDDDX, DDDDY, DDDDZ,) 
(XB, YB, ZB) conhecid a (XR, YR, ZR) calculad a 
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 Os dados da base devem ser transmitidos imediatamente para o rover para permitir que o 
computador de mão faça o processamento instantaneamente. A transmissão pode ser feita por rádio UHF, 
VHF, via satélite, celular, wi-fi e até mesmo por internet. 
 Quando o processamento em tempo real é realizado usando fase da portadora, chamamoseste 
processo de RTK (Real Time Kinematic – Cinemático em tempo real). Quando usamos o código C/A, 
denominamos DGPS (Diferencial GPS). 
 
13.6.1.1.8 Ângulo de Máscara 
 É o ângulo formado a partir do 
horizonte que restringe o uso dos satélites 
dentro desta faixa. 
 Os fabricantes recomendam o uso do 
ângulo de 15º. 
 Em campo é comum o uso de ângulo 
de máscara de apenas 5°, pois permite em 
casos críticos, reduzir o ângulo de máscara 
para que tenhamos um tempo maior de 
rastreamento de um determinado satélite. O ângulo de máscara é possível ser alterado para pós-
processamento. 
 
13.6.1.1.9 Sistema de Referencia do GPS 
 GPS SGB Conversão 
Datum Horizontal WGS84 SIRGAS2000/SAD69 Matemática 
Sistema de Coordenadas Cartesianas Geodésicas/UTM Matemática 
Altitude Geométrica Ortométrica Mapa geoidal 
Datum Vertical WGS84 Imbituba Mapa Geoidal 
 
 
13.6.1.1.10 Geometria dos Satélites 
A geometria dos satélites tem grande influência sobre a precisão no posicionamento. Para 
representar esta geometria, são utilizado índices chamados DOP (Diluition of Precision). 
Estes Índices indicam a diluição da precisão dos dados coletados. Eles variam de 0 a 10. 
A melhor disposição espacial é um satélite no zênite e outros igualmente espaçados. 
 
DDOOPP rruuiimm DDOOPP bboomm 
1155ºº 
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São vários os índices de DOP: 
GDOP – Geometria 
PDOP – Posição 3D 
HDOP – Horizontal 
 VDOP – Vertical 
TDOP – Tempo 
 Nos equipamentos destinados a navegação, o DOP é representado pelo EPE (Erro de Posição 
Estimado) e é dado em metros. Este valor apenas representa a geometria dos satélites e está longe de 
realmente representar o erro no posicionamento, devido às inúmeras variáveis do sistema. 
 Para Mapeamento um DOP usual é menor que 6 e para Geodésia/Topografia o usual é menor que 
2. 
 
 
13.6.1.1.11 Principais erros no Posicionamento GPS 
 
Disponibilidade Seletiva S/A (Selective Availabilit y) 
 A S/A é a Degradação do Código C/A imposta pelo DoD: 
 - Até 02/05/2000: precisão de ±100m com 95% de confiabilidade 
 - Após 02/05/2000 precisão de ±15m com 95% de confiabilidade 
 Segundo decreto assinado em 02/05/2000 por Bill Clinton, a S/A deveria se eliminada, mas existem 
Rumores que ainda existe uma S/A de cerca de ±10m. 
 
 
Multi-caminhamento 
É a reflexão provocada por superfícies próximas das antenas. Muitos receptores identificam o multi-
caminhamento pela deformação do sinal e eliminam automaticamente o satélite, ou seja, não conseguem 
recuperar o sinal refletido. 
Prédios, casas, muros, postes, e outros obstáculos sólidos, merecem atenção, principalmente 
quando tiverem superfície lisa. 
Caso a antena não tenha plano de terra interno ou adaptado, deve-se ter o cuidado especialmente 
em lâminas d’água ou pisos cerâmicos e cimentados 
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Ionosfera 
A ionosfera compreende a camada de 200Km 
entre as altitudes 50km e 250km. Principalmente 
com a incidência solar, a Ionosfera carrega-se 
negativamente as suas partículas, provocando 
atrasos ou adiantos nos sinais 
Quanto maior a distância entre os 
receptores, maior será o atraso ou o adianto 
diferencial dos sinais. 
A Ionosfera interfere diferentemente em 
freqüências diferentes, ou seja, atua diferente em 
L1 e L2, portanto, se utilizarmos um receptor de 
dupla freqüência, podemos detectar quais são os 
atrasos ou adiantos ocorridos. Em virtude disso, o 
uso de receptores de monofreqüência tem limite 
de distância em 50km. 
 
ORIGEM DO ERRO ABSOLUTO CÓDIGO C/A 
RELATIVO 
CÓDIGO C/A 
RELATIVO 
FASE 
Relógio Satélite 1m 0m 0m 
Efemérides Satélite 1m 0m 0m 
S/A 10m 0m 0m 
Troposfera 1m 0m 0m 
Ionosfera 10m 0m 0m 
Ruído na Pseudo-Dist. 1m 1m 0m 
Ruído no Receptor 1m 1m 5mm 
Multicaminhamento 0,5m 0,5m 0m 
RMS 15m 1,0m 3mm 
RMS*PDOP=2 30m 2,0m 6mm 
 
Plano de Terra 
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13.6.1.1.12 Métodos de Levantamentos 
 
13.6.1.1.12.1 Método Estático 
 Método pós-processado utilizado para 
transporte de coordenadas. 
 O receptor fica estático rastreando os 
satélites durante longo tempo. Varia de 15 minutos a 
muitas horas, dependendo do tipo de receptor e da 
distância entre os 2 receptores. Utilizando o código 
C/A, para cada época medida, é determinada uma 
coordenada e então é feita uma média e pode chegar 
a precisão de ±30cm. Utilizando a Fase da Portadora, 
o tempo deve ser suficiente para resolver as 
ambigüidades estatisticamente de forma confiável e 
desta forma pode chegar a poucos milímetros de 
precisão. 
 Neste método é possível fazer um 
ajustamento em rede, conhecendo os erros 
cometidos no rastreamento dos vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13.6.1.1.12.2 Método Stop-and-go 
 Método utilizado para levantamento topográfico ou mapeamento. É necessário pelo menos 5 
satélites para o uso desta técnica. 
 O receptor fica pouco tempo sobre o ponto medido apenas para compor uma média. 
Com Código C/A : O receptor trabalha OTF (on the fly) e assim que ele sintonizar pelo menos 5 satélites já 
é possível iniciar a medição de um ponto. 
Com Código C/A, suavizado com fase : O receptor também trabalha OTF, mas quanto mais tempo ficar 
rastreando os mesmos satélites, maior será a precisão, pois tentará resolver as ambigüidades. A precisão 
pode variar de 50cm a 10cm. 
Com Fase da Portadora : O receptor necessita inicializar. Inicializar significa resolver as ambigüidades para 
então iniciar o levantamento. A inicialização é feita no 1º ponto do levantamento (mais demorado) ou sobre 
um ponto já conhecido (menos demorado). Fica-se o tempo necessário para resolver as ambigüidades e 
então o valor de n é aplicado para os demais pontos (desde que não haja perda de ciclos). Alguns 
A 
D 
C 
B 
E 
Coord. conhecidas 
A 
C 
B 
D 
MC5 4 
1 
3 
2 
5 
M1 
T1 
T2 
M2 T3 
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receptores permitem fazer a inicialização OTF, mas enquanto não passar o tempo necessário para a 
resolução das ambigüidades, não poderá haver perda de ciclos. Toda vez que se perder um ciclo, é 
necessário inicializar novamente. Com o sistema de correção em tempo real (RTK) a inicialização ocorre em 
poucos segundos. 
 
13.6.1.1.12.3 Método Cinemático 
 O método cinemático consiste em definir um parâmetro para coleta de dados em função do tempo 
ou em função da distância percorrida. Utilizado para mapear elementos contínuos como cultivos, limite de 
vegetação, estradas, rios, etc. Elementos contínuos que necessite maior precisão (poucos centímetros) não 
devemos utilizar este métodos pela deficiência na verticalidade da antena e na grande variação da altura da 
antena. 
 
 
13.6.1.1.14 Tipos de Receptores 
 
13.6.1.1.14.1 Navegação 
 
 
13.6.1.1.14.2 GIS 
 
 
13.6.1.1.14.3 Mapeamento 
 
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13.6.1.1.14.4 Geodésico 
 
 
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13.6.1.1.14.5 Características dos Receptores 
 
Equipamento Navegação GIS 
(C/A) 
GIS 
(fase) 
Mapeam. 
(fase) 
Mapeam. 
(DGPS) 
Geodésico 
Estático 
Geodésico 
Stop and Go 
Geodésico 
(RTK) 
Tipo de Posic. Absoluto Relativo Relativo Relativo Relativo Relativo Relativo Relativo 
Processamento Tempo Real 
Pós- 
Process. 
Pós- 
Process. 
Pós- Process. Tempo Real Pós- Process. Pós- Process. Tempo Real 
Tipo de Medição C/A C/A C/A+Fase C/A+Fase C/A Fase Fase Fase 
Freqüência L1 L1 L1 L1 L1 
L1 
L1/L2 
L1 
L1/L2 
--- 
L1/L2 
Armazenamento Coord. C/A C/A+Fase C/A+Fase Coord. Fase Fase Coord. 
Controlador / Coletor Não Não Não Sim Sim Não Sim Sim 
Precisão 
Stop and go 
15m 5m 3m 0,1 1m 
15mm+1ppm 
10mm+1ppm 
15mm+1ppm 
10mm+1ppm 
--- 
20mm+1ppm 
Máx. Linha Base Stop and Go (Km) --- --- --- 15 500 
20 
30 
20 
30 
--- 
30 
Precisão Estático --- 3m 1m 1cm 
--- 
--- 
5mm+1ppm 
3mm+1ppm 
5mm+1ppm 
3mm+1ppm 
--- 
3mm+1ppm 
Máx. Linha Base Estático (Km) --- --- 300 15 
--- 
--- 
50 
Não existe 
50 
Não existe 
--- 
Não existe 
Preço (R$) julho/2008 400 (1) 8000 (1) 15000(1) 16000(1) 33000(1) 
25000(2) 
40000(2) 
35000(2) 
50000(2) 
--- 
100000(2) 
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4. Outros sistemas GNSS 
 
4.1 Glonass 
 O Sistema de Posicionamento Glonass (GLObal NAvigation Satellite System), é um sistema 100% 
Russo e assim como o GPS foi desenvolvido para fins militares. 
• Controlado pelo Ministério de Defesa Federal Russo 
• Altitude de 19100km 
• Projeto de 24 satélites em 3 planos orbitais 
• Inclinação de 65º do Plano Orbital em relação ao Equador 
• Período Espacial de 11h15min 
• Atualmente somente 12 satélites em operação 
• Totalmente integrado com o GPS 
• Futuro incerto, apesar de algumas campanhas tentando fortalecê-lo, inclusive uni-lo ao Galileo. 
• Satélites novos com vida útil de 7 anos (os anteriores tinham apenas 3 anos) 
• A maioria dos satélites já excedeu seu período operacional 
• Cada lançamento põe em órbita 6 satélites 
• Previsão de 25 satélites em 2012 
• Entrada recente da China 
• Existem receptores no mercado que rastreiam GPS+GLONASS, melhorando o número de satélites, 
diminuindo o DOP, consequentemente reduzindo o tempo para resolução das ambigüidades. 
 
4.2 Galileu 
 
O Sistema de Posicionamento Galileu, tem data prevista para iniciar o funcionamento em 2008. 
• Sistema 100% Civil 
• Implantado pela Comunidade Européia com participação de vários outros países (14 nações ao 
todo) 
• Em setembro de 2004: fase Desenvolvimento e Validação em Órbita 
• Satélite experimental será lançado em 2005 
• Próxima fase: Colocação Total – etapa de fabricação e lançamento do restante dos satélites (até 
2008) 
• Início da Operação: 2009 
• Constelação de 30 satélites (3 reservas) 
• 3 órbitas com inclinação de 56º com o equador 
• Altitude de 23600km 
• Período de 14h04min. 
• Boa Cobertura mesmo em latitudes altas 
• Grande número de estações terrestres (30) e Centros de Assistência Locais e Regionais. 
• Sinal: 
o L1 – 1575,42Mhz 
o L5 – 1176,45MHz 
• Precisões Previstas com aumentos (EGNOS): 
o horizontal= 4m 
o Vertical= 7,7m 
• Possivelmente será compatível com GPS 
• Mais informação em : 
www.europa.eu.int/comm/dgs/energy_transport/galileo/intro/future_en.htm 
Geodésia Prof. Rovane Marcos de França 
 
 
Material Disponível em www.vectorgeo.trix.net/rovane 41 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
Exercício 1 
a) 32°21'46,81993"S e 52°50'13,49301"W b) 2°46'51,47252"N e 62°11'48,87298"W 
c) 05°46'43,99688"S e 36°29'02,39443"W 
 
Exercício 2 
a) 4531338,117; -4093594,114; -1834991,122 b) 3958290,225; -4987437,732; 369872,908 
 
Exercício 3 
a) 745,032 b) 999,996; 999,914; 999,835 c) 78,076 
d) De=2999,894; redução=0,106; erro relativo 1:28319; Será necessário 
reduzir as distâncias ao elipsóide, pois só a redução já produz um erro relativo de 
1:28319. 
e) 1245,114 
 
 
Exercício 4 
a) F=18 e MC=75ºW b) F=20 e MC=63ºW c) F=39 e MC=51ºE 
 
Exercício 5 
a) 999,604 b) 367,522 c) 638,764 
 
Exercício 6 
a) N=6714809,218; E=396875,779; MC=51ºW; hemisfério=sul; SIRGAS2000 
b) N=162491,988; E=634463,091; MC=63ºW; hemisfério=norte; SIRGAS2000 
c) N=8022456,227; E=436611,312; MC=39ºW; hemisfério=sul; SIRGAS2000 
d) N=8734086,142 ; E=323198,558; MC=51ºW; hemisfério=sul; SIRGAS2000 
e) 08°09'42,58511"S e 47°02'44,35212"W 
f) 03°32'01,63945"N e 62°47'03,74718"W 
Exercício 7 
a) 6mm b) DUTM=1987,291 e DH=1988,117 
Exercício 8 
a) AZV=25°34’17” , AZM=20°37’54” 
b) AZQAB=321º41’56”, AZQBA=141º41’56”, cA=0°30'31” , AZV AB=322º12’27”, cB=0°30'34” 
AZVBA=142º12’30”, dA= -6°06'00” , AZM AB=338º18’27” , dB= -6°05'58” e AZM BA=148º18’28” 
c) AZQ11-13=108º03’35”, AZQ13-11=288º03’35”, c11=-0°53'02” , AZV 11-13=107º10’33”, c13=-0°53'19” 
AZV13-11=287º10’16”, d11= -17°48'13” , AZM 11-13=124º58’46” , d13=-17°48'32” e AZM 13-11=304º58’48” 
d) K=1,00003541752; Fr=0,999991079; Kr=1,000026496; DUTM=277,446; AZQ=27°56’52”; 
N=6946435,3630; E=688439,2698 
e) AZQMJ=233º34’55”, AZQJM=53º34’55”, cM=-1°28'30” , AZV MJ=232º06’25”, cJ=-1°24'26” 
AZVJM=52º10’29”, dM= -13°13'54” , AZM MJ=245º20’19” , dJ=-13°04'43” e AZM JM=65º15’12” 
Exercício 9 
a) 
I) F=54 e MC=73ºW II) F=59 e MC=63ºW III) F=115 e MC=49ºE 
b) 
I) KUTM= 1,00054130253, cUTM= -0°54'57,7'', K RTM= 1,00005149294, cUTM= -0°13'28,0'' 
II) KUTM= 1,00066582817, cUTM= -0°09'06,7'', K RTM= 1,00005895521, cUTM= -0°02'14,0'' 
c) KRTM=1,000053701; KUTM=0,999658678; DRTM=437,810, DUTM= 437,638 
 
Exercício 10 
a) 
I) F=108 e MC=72º30’W II) F=118 e MC=62º30’W III) F=230 e MC=49º30’E 
b) 
I) KLTM= 0,99999797918, cLTM= -0°03'05,5'' II) K LTM= 0,99999837267, cLTM= -0°00'30,8'' 
c) AZQE20-E19=336°29’57”; AZ QE20-40=34°39’08”; D LTM=195,014; K=1,00002060327; X40=154450,5425; 
Y40=2691188,6670 
 
Exercício 11 
a) 
I) 1203,581 ± 507mm II) 624,233 ± 523,2mm 
 
b) 
I) 815,140 ± 234,1mm II) 13,722 ± 14,8mm 
 
Geodésia Prof. Rovane Marcos de França 
 
 
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c) 
I) 210,628 ± 100,1mm II) 10,637 ± 298,7mm III) 72,005 ± 507mm 
IV) 38,350 ± 135,8mm 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
http://www.lapig.iesa.ufg.br/lapig/cursos_online/gvsig/index.html 
http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat010392k2/ens22k2/xyz/projecao.htm 
http://www.mundovestibular.com.br/articles/4258/1/A-FORMA-DA-TERRA/Paacutegina1.html 
http://www.ibge.gov.br 
http://www.uff.br/mapprojections/mp_br.html 
http://www.esteio.com.br/newsletters/paginas/006/orientacao.htm 
http://ciencia.hsw.uol.com.br/mapa.htm