01 - Exercícios_regra de três_simples e composta

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Regra de Três
Simples e Composta
A ideia de regra de três simples é comumente utilizada em diversas situações do cotidiano. Utiliza-se um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Vejamos quatro passos práticos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua grandeza;
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, o que veremos após o último passo;
3º) Montar a equação da seguinte maneira: se as grandezas forem diretamente proporcionais, multiplica-se os valores em forma de X; se as grandezas forem inversamente proporcionais, inverte-se os valores e multiplica em X;
4º) Resolver a equação.
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse mesmo número positivo.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo.
1) Uma torneira despeja 50 litros de água em 10 minutos. Quantos litros serão despejados por essa torneira em 30 minutos?
Solução: Vamos construir uma tabela e verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais
	Litros	Minutos
	50	10
	X	30
As grandezas litros e minutos são diretamente proporcionais visto que, quanto mais tempo for utilizado, mais litros de água serão despejados. Logo, a equação descrita será obtida multiplicando-se os valores em X: 
 
10.x = 50.30
10x = 1500
x = 150
Resposta: 150 litros 
Uma regra de três é classificada como composta quando apresentar três ou mais grandezas. Vejamos quatro passos utilizados numa regra de três composta: 
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua respectiva grandeza. 
2º) Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não forem destacadas (valor desconhecido) serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Exemplo: Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias.  
Solução: Vamos construir uma tabela, relacionando cada valor a sua respectiva grandeza. 
	Nº de Pedreiros	Nº de Barracões	Tempo (dias)	Horas/dia
	12			
				
Resposta: 12 horas/dia
	Nº de Pedreiros	Nº de Barracões	Tempo (dias)	Horas/dia
	12	5		
				
Resposta: 12 horas/dia
	Nº de Pedreiros	Nº de Barracões	Tempo (dias)	Horas/dia
	12	5	30	6
				
Resposta: 12 horas/dia
	Nº de Pedreiros	Nº de Barracões	Tempo (dias)	Horas/dia
	12	5	30	6
	18	10	20	x
Resposta: 12 horas/dia
3º) Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza destacada será igual ao valor conhecido da grandeza destacada que multiplica as frações das grandezas não destacadas da seguinte maneira: se a grandeza tiver a diretamente proporcional, é só repetir a fração e, caso contrário, tiver a grandeza inversamente proporcional, inverte-se a fração.
4º) Resolver a equação. 
	Horas/dias	Nº de Barracões	Tempo (dias)	Nº de pedreiros
	6	5	20	18
	x	10	30	12
Resposta: 12 horas/dia
 Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade? 
A pergunta é...
Quanto maior for a profundidade da piscina, seu volume será maior ou menor?
A resposta é...
Sim, quanto maior a profundidade, maior o volume.
Logo, temos grandezas diretamente proporcionais.
	Piscina	Profundidade
m	Volume
m3
	A	1,75	35
	B	2	X
1,75 X = 35 . 2
1,75 X = 35 . 2
1,75 X = 70
1,75 X = 35 . 2
1,75 X = 70
X = 70/1,75
1,75 X = 35 . 2
1,75 X = 70
X = 70/1,75
X =40 m3
Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km? 
A pergunta é...
Quanto mais quilômetros, teremos mais centímetros? 
A resposta é...
Sim, quanto mais quilômetros, mais centímetros.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
	Km	cm
	1.600	24
	1.200	x
1.600 X = 24 . 1.200
1.600 X = 24 . 1.200
1.600 X = 28.800
1.600 X = 24 . 1.200
1.600 X = 28.800
X =28.800/1.600
1.600 X = 24 . 1.200
1.600 X = 28.800
X =28.800/1.600
X = 18 cm
Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias. Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias?
A pergunta é...
Se tivermos menos dias para pintarmos o barco, precisaremos de mais ou menos pessoas?
A resposta é...
Se tivermos menos dias para pintarmos o barco, precisaremos de mais pessoas.
 Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
	Pessoas	Dias
	12	8
	X	6
É necessário inverter os valores das grandezas, as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Pessoas	Dias
	12	6
	X	8
6 X = 8 . 12
6 X = 8 . 12
6 X = 96
6 X = 8 . 12
6 X = 96
X = 96/6
6 X = 8 . 12
6 X = 96
X = 96/6
X = 16 pessoas
Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro? 
A pergunta é...
Menos pedreiros levarão mais ou menos tempo, para fazer o muro?
A resposta é...
Menos pedreiros levarão mais tempo para fazer o muro. Logo as grandezas são inversamente proporcionais.
	Pedreiros	Horas
	8	72
	6	X
É necessário inverter os valores das grandezas, as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Pedreiros	Horas
	6	72
	8	X
6 X = 72 . 8
6 X = 72 . 8
6 X = 576
6 X = 72 . 8
6 X = 576
X = 576/6
6 X = 72 . 8
6 X = 576
X = 576/6
X = 96 horas
Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
A pergunta é...
Se a capacidade do caminhão é maior, serão necessários mais ou menos caminhões?
A resposta é...
Se a capacidade do caminhão é maior, serão necessários menos caminhões. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
	Caminhão	Capacidade
m3
	15	2
	X	3
É necessário inverter os valores das grandezas, as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Caminhão	Capacidade
m3
	15	3
	X	2
3 X = 15 . 2
3 X = 15 . 2
3 X = 30
3 X = 15 . 2
3 X = 30
X = 30/3
3 X = 15 . 2
3 X = 30
X = 30/3
X = 10 caminhões
Certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por dia essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias? 
A pergunta é...
Para eu fabricar mais pregos, precisarei de mais ou menos horas?
A resposta é...
Para eu fabricar mais pregos, precisarei de mais horas. 
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta, deverá ser...
Se eu produzir pregos em mais dias, precisarei de mais ou menos horas? 
A resposta é...
Se eu produzir pregos em mais dias, precisarei de menos horas. 
Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
	Horas	Pregos	Dias
	4	12.000	6
	X	20.000	20
É necessário inverter os valores das grandezas, as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Horas	Pregos	Dias
	4	12.000	20
	X	20.000	6
	4	240.000
	x	120.000
=
	4	240.000
	x	120.000
=
	4	
	x	
= 2
	4	240.000
	x	120.000
=
	4	
	x	
= 2
2 X = 4
	4	240.000
	x	120.000
=
	4	
	x	
= 2
2 X = 4
X = 2 horas
Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 200 km, pedalando 4 horas por dia? 
A pergunta é...
Para um ciclista percorrer mais km, ele precisa de mais ou menos dias?
A resposta é...
Para percorrer mais quilômetros, ele precisará de mais dias. 
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra perguntaé...
Se um ciclista percorrer certa quantidade de quilômetros em mais horas por dia, ele precisará de mais ou menos dias?
A resposta é...
.
Se um ciclista percorrer certa quantidade de quilômetros em mais horas por dia, ele precisará de menos dias. 
Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
	Km	Dias	Horas
	75	2	3
	200	X	4
Será necessário inverter os valores de uma das grandezas (horas), as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Km	Dias	Horas
	75	2	4
	200	X	3
	2	75 . 4
	x	200 . 3
=
	2	75 . 4
	x	200 . 3
=
	2	300
	x	600
=
	2	75 . 4
	x	200 . 3
=
	2	300
	x	600
=
300 x = 2 . 600 
	2	75 . 4
	x	200 . 3
=
	2	300
	x	600
=
300 x = 2 . 600 
 x = 1.200/300 
	2	75 . 4
	x	200 . 3
=
	2	300
	x	600
=
300 x = 2 . 600 
 x = 1.200/300 
 x = 4 dias 
Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados. 
A pergunta é...
Quanto mais gotas pingarem, a quantidade de litros de água desperdiçados será maior ou menor?
A resposta é...
Quanto mais gotas pingarem, maior
será
a quantidade de litros de água desperdiçados.
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Quanto mais dias a torneira ficar pingando, teremos mais ou menos litros de água desperdiçados?
A resposta é...
Quanto mais dias a torneira ficar pingando, maior será
a quantidade de litros de água desperdiçados.
Logo, as grandezas também são diretamente proporcionais.
	Gotas	Dias	Litros
	20	30	100
	30	50	x
	 100	 20 . 30
	 x	 30 . 50
=
	 100	 20 . 30
	 x	 30 . 50
=
	 100	 600
	 x	 1.500
=
	 100	 20 . 30
	 x	 30 . 50
=
	 100	 600
	 x	 1.500
=
600 x = 150.000 
	 100	 20 . 30
	 x	 30 . 50
=
	 100	 600
	 x	 1.500
=
600 x = 150.000 
x = 150.000/600 
	 100	 20 . 30
	 x	 30 . 50
=
	 100	 600
	 x	 1.500
=
600 x = 150.000 
x = 150.000/600 
x = 250 litros 
Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento? 
A pergunta é...
Se a altura do muro for menor serão necessários mais ou menos dias para a construção do mesmo?
A resposta é...
Se a altura do muro for menor serão necessários menos dias para a construção do mesmo.
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se o comprimento do muro for menor serão necessários mais ou menos dias para a construção do mesmo?
A resposta é...
Se o comprimento do muro for menor serão necessários menos dias para a construção do mesmo.
Logo, as grandezas também são diretamente proporcionais.
	Altura	Comprimento	Dias
	2,5	30	24
	2	25	x
	 24	 2,5 . 30
	 x	 2 . 25
=
	 24	 2,5 . 30
	 x	 2 . 25
=
	 24	 75
	 x	 50
=
	 24	 2,5 . 30
	 x	 2 . 25
=
	 24	 75
	 x	 50
=
75 x = 1.200 
	 24	 2,5 . 30
	 x	 2 . 25
=
	 24	 75
	 x	 50
=
75 x = 1.200 
x = 1.200/75 
	 24	 2,5 . 30
	 x	 2 . 25
=
	 24	 75
	 x	 50
=
75 x = 1.200 
x = 1.200/75 
x = 16 dias 
 (EsPECEx – 1981) Se 12 recenseadores visitam 1.440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia? 
A pergunta é...
Se temos menos recenseadores serão visitadas mais ou menos famílias?
A resposta é...
Se temos menos recenseadores serão visitadas menos famílias.
Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se mais dias serão utilizados para o recenseamento mais ou menos famílias serão visitadas?
A resposta é...
Se mais dias serão utilizados para o recenseamento mais famílias serão visitadas. Logo, as grandezas também são diretamente proporcionais.
Ainda resta uma pergunta a ser feita...
Se menos horas por dia forem trabalhadas, serão recenseadas mais ou menos famílias?
A resposta é...
Se menos horas por dia forem trabalhadas, serão recenseadas menos famílias.
 Logo, as grandezas também são diretamente proporcionais.
	Rec	Fam	Dias	Horas
	12	1.440	5	8
	5	X	6	4
	 1.440	 12 . 5 . 8
	 x	 5 . 6 . 4
=
	 1.440	 12 . 5 . 8
	 x	 5 . 6 . 4
=
	 1.440	 480
	 x	 120
=
	 1.440	 12 . 5 . 8
	 x	 5 . 6 . 4
=
	 1.440	 480
	 x	 120
=
480 x = 172.800 
	 1.440	 12 . 5 . 8
	 x	 5 . 6 . 4
=
	 1.440	 480
	 x	 120
=
480 x = 172.800 
x = 172.800/480 
	 1.440	 12 . 5 . 8
	 x	 5 . 6 . 4
=
	 1.440	 480
	 x	 120
=
480 x = 172.800 
x = 172.800/480 
x = 360 famílias 
(EsPECEx – 1981) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias? 
A pergunta é...
Se o comprimento do colar é menor, mais ou menos colares serão fabricados?
A resposta é...
Se o comprimento do colar é menor, mais colares serão fabricados.
 Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se os jovens trabalharem menos dias na fabricação dos colares, serão fabricados mais ou menos colares?
A resposta é...
Se os jovens trabalharem menos dias na fabricação dos colares, serão fabricados menos colares.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
	Dias	Colares	Comprimento
	16	320	1,20
	5	x	1,25
Será necessário inverter os valores de uma das grandezas (comprimento), as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Dias	Colares	Comp
	16	320	1,25
	5	x	1,20
	 320	 16 . 1,25
	 x	 5 . 1,20
 = 
	 320	 16 . 1,25
	 x	 5 . 1,20
 = 
	 320	 20
	 x	 6
 = 
	 320	 16 . 1,25
	 x	 5 . 1,20
 = 
	 320	 20
	 x	 6
 = 
20 x = 1.920 
	 320	 16 . 1,25
	 x	 5 . 1,20
 = 
	 320	 20
	 x	 6
 = 
20 x = 1.920 
x = 1.920/20 
	 320	 16 . 1,25
	 x	 5 . 1,20
 = 
	 320	 20
	 x	 6
 = 
20 x = 1.920 
x = 1.920/20 
x = 96 colares 
Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia? 
A pergunta é...
Se mais máquinas serão utilizadas na impressão dos cartazes, mais ou menos dias de trabalho serão necessários?
A resposta é...
Se mais máquinas serão utilizadas na impressão dos cartazes, menos dias de trabalho serão necessários.
 Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se mais cartazes serão impressos, mais ou menos dias de trabalho serão necessários?
A resposta é...
Se mais cartazes serão impressos, mais dias de trabalho serão necessários.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
	Máquinas	Cartazes	Dias
	3	9.000	12
	8	12.000	x
Será necessário inverter os valores de uma das grandezas (máquinas), as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Máquinas	Cartazes	Dias
	8	9.000	12
	3	12.000	x
	 12	 9.000 . 8
	 x	 12.000 . 3
 = 
	 12	 9.000 . 8
	 x	 12.000 . 3
 = 
	 12	 72.000
	 x	 36.000
 = 
	 12	 9.000 . 8
	 x	 12.000 . 3
 = 
	 12	 72.000
	 x	 36.000
 = 
= 2 
	 12	 
	 x	 
	 12	 9.000 . 8
	 x	 12.000 . 3
 = 
	 12	 72.000
	 x	 36.000
 = 
= 2 
	 12	 
	 x	 
2 x = 12 
	 12	 9.000 . 8
	 x	 12.000 . 3
 = 
	 12	 72.000
	 x	 36.000
 = 
= 2 
	 12	 
	 x	 
2 x = 12 
x = 6 dias 
 (PUC – SP) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia? 
A pergunta é...
Se o taxista trabalhar mais dias, irá gastar mais ou menos reais em gás?
A resposta é...
Se o taxista trabalhar mais dias, irá gastar mais reais em gás.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se o taxista trabalhar menos horas por dia, gastará mais ou menos reais em gás?
A resposta é...
Seo taxista trabalhar menos horas por dia, gastará menos reais em gás.
 Logo, as grandezas, também, são diretamente proporcionais.
	Horas	Dias	R$
	6	10	1.026,00
	4	30	x
	 1.026	 10 . 6
	 x	 30 . 4
 = 
	 1.026	 10 . 6
	 x	 30 . 4
 = 
	 1.026	 60
	 x	 120
 = 
	 1.026	 10 . 6
	 x	 30 . 4
 = 
	 1.026	 60
	 x	 120
 = 
60 x = 123.120 
	 1.026	 10 . 6
	 x	 30 . 4
 = 
	 1.026	 60
	 x	 120
 = 
60 x = 123.120 
x = 123.120/60 
	 1.026	 10 . 6
	 x	 30 . 4
 = 
	 1.026	 60
	 x	 120
 = 
60 x = 123.120 
x = 123.120/60 
x = 2.052,00 reais 
 (MACK – SP) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 
23 operários em 12 dias de 6 horas, ganhariam quanto? 
A pergunta é...
Se temos mais operários trabalhando eles ganharão mais ou menos reais?
A resposta é...
Se temos mais operários trabalhando eles ganharão mais reais.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se os operários trabalharem mais dias eles ganharão mais ou menos reais?
A resposta é...
Se os operários trabalharem mais dias eles ganharão mais reais.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
Ainda nos resta uma pergunta a ser feita...
Se os operários trabalharem menos horas eles ganharão mais ou menos reais?
A resposta é...
Se os operários trabalharem menos horas eles ganharão menos reais.
 Logo, as grandezas, também, são diretamente proporcionais.
	Operários	Dias	Horas	R$
	15	9	8	10.800,00
	23	12	6	x
	 10.800	 15 . 9 . 8
	 x	 23 . 12 . 6
=
	 10.800	 15 . 9 . 8
	 x	 23 . 12 . 6
=
	 10.800	 1.080
	 x	 1.656
=
	 10.800	 15 . 9 . 8
	 x	 23 . 12 . 6
=
	 10.800	 1.080
	 x	 1.656
=
1.080 x = 17.884.800,00 
	 10.800	 15 . 9 . 8
	 x	 23 . 12 . 6
=
	 10.800	 1.080
	 x	 1.656
=
1.080 x = 17.884.800,00 
x = 17.884.800/1.080 
	 10.800	 15 . 9 . 8
	 x	 23 . 12 . 6
=
	 10.800	 1.080
	 x	 1.656
=
1.080 x = 17.884.800,00 
x = 17.884.800/1.080 
x = 16.560,00 reais
(Unimep – SP) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários quantos gatos?
A pergunta é...
Mais ratos para serem comidos, são necessários mais ou menos gatos?
A resposta é...
Mais ratos para serem comidos, serão necessários mais gatos.
 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.
A outra pergunta é...
Se mais minutos forem gastos para os gatos comerem os ratos, serão necessários mais ou menos gatos?
A resposta é...
Se mais minutos forem gastos para os gatos comerem os ratos, serão necessários menos gatos.
 Logo, as grandezas são inversamente proporcionais.
	Gatos	Ratos	Minutos
	2	2	2
	x	60	30
Será necessário inverter os valores de uma das grandezas (minutos), as setas devem estar apontadas para o mesmo lado.
	Gatos	Ratos	Minutos
	2	2	30
	x	60	2
	 2	 2 . 30
	 x	 60 . 2
= 
	 2	 2 . 30
	 x	 60 . 2
= 
	 2	 60
	 x	 120
= 
	 2	 2 . 30
	 x	 60 . 2
= 
	 2	 60
	 x	 120
= 
60 x = 240
	 2	 2 . 30
	 x	 60 . 2
= 
	 2	 60
	 x	 120
= 
60 x = 240
x = 240/60
	 2	 2 . 30
	 x	 60 . 2
= 
	 2	 60
	 x	 120
= 
60 x = 240
x = 240/60
x = 4 gatos