calculo numerico

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1.
		
	
	
	
	-3
	
	
	-11
	
	
	-5
	
	
	2
	
	
	3
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
	
	
	
	-3
	
	
	2
	
	
	-7
	
	
	3
	
	
	-11
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Sendo f e g  funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4  e g(x) = 4x -3    calcule f(3) +g(2)  .
	
	
	
	10      
	
	
	  6    
	
	
	 7      
	
	
	14
	
	
	 9      
	
Explicação:
f(3) = 3.3 -4 = 5   e  g(2) = 4.2 -3 = 5    , então  f(3) +g(2)  =  5 + 5  = 10 .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a taxa de entrega.
	
	
	
	V(x) = x50 + 5
	
	
	V(x) =  50x + 5        
	
	
	V(x) = 50x +5      
	
	
	V(x) = 50(x+5)    
	
	
	V(x) = 55    
	
Explicação:
Aplicação  da função de 1º grau : y = ax + b.   Parte proporcional à quantidade vendida   = preço unitário x quantidade =  50 x   . Preço fixo de entrega = 5 . 
Então o valor total é  V(x) =  50x +5.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	1086
	
	
	10085
	
	
	10860
	
	
	1084
	
	
	1085
	
	
	
	 
		
	
		6.
		
	
	
	
	2
	
	
	-3
	
	
	-7
	
	
	3
	
	
	-11
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
	
	
	
	1000 + 50x
	
	
	1000 + 0,05x
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	50x
	
	
	1000
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função logaritma.
	
	
	Função afim.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	
		1.
		Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
	
	
	
	[1,2]  
	
	
	[2,3] 
	
	
	[-2,-1]  
	
	
	[-1,0]
	
	
	 [0,1]  
	
Explicação:
f(-2) = -18    f(-1) = -11    f(0) = -10       f(1) = -9      f(2) = -2       f(3) =  17 
Então apenas o intervalo  [2,3]  atende à condição f(2) .f(3) < 0  para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	5
	
	
	18
	
	
	9
	
	
	10
	
	
	2
	
Explicação:
xu = 3.0 - 2 = -2
yu = 3.2 + 5 = 11
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Analisando  a função y = 3x4 - 1 , usando o  teorema de Bolzano, a conclusão correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é:
	
	
	
	tem nº ímpar de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0
	
	
	não  tem raízes nesse intervalo
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº ímpar  de raízes pois f(-1) .f(0) > 0
	
	
	tem nº par de raízes pois  f(-1) .f(0) < 0 
	
Explicação:
f(-1) =  3 - 1= 2 positivo e f(0) = 0 - 1= - 1 negativo    Então f(-1) . f(0) < 0 .
De acordo com o teorema de Bolzano :
Se f(a) x f(b) < 0, existe uma quantidade ímpar de raízes reais no intervalo [a,b] .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
	
	
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	Nada pode ser afirmado
	
	
	É a raiz real da função f(x)
	
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
Explicação:
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa  x é denomindado raiz da função .  
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Deseja-se buscar a raiz de uma  equação f(x) =0 no intervalo [1,5]  .  Pelo método da bisseção  o intervalo a ser testado para a raiz  na 1ª iteração deve ser escolhido  como:
	
	
	
	 [1,3]  se f(1). f(3) <  0 
	
	
	[1,3]  se f(1). f(3) > 0        
	
	
	 [2,5]  se f(2).f(5) >0 .
	
	
	 [1,2 ]  se f(1). f(2) < 0              
	
	
	[3,5]  se f(3). f(5) > 0    
	
Explicação:
Deve ser calculado o ponto médio do intervalo  x= (1+5)/2  , donde x=3. .
Então os intervalos a serem testados podem ser  [1,3] ou [3,5]  ..
Entretanto o produto f(1).f(3)  ou f(3) .f(5)  tem que ser < 0   pelo teorema de Bolzano, para que contenham ao menos uma raiz. 
Só há uma opção que atende , citando  intervalo [1,3]   com   f(1).f(3) < 0  .
As opções com x=2 não atendem ao método que prevê  usar o ponto médio x =3..
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor encontrado para x3.
	
	
	
	0,4
	
	
	0.25
	
	
	1
	
	
	0, 375
	
	
	0.765625
	
Explicação:
 f(x) = x3 - 9x + 3  ...   x0 =0     e    x1 =0,5 .      
f(0 ) = +3  positivo   e   f(0,5) =  0,125 - 4,5 +3 =  -1,375  negativo  ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro  x médio  : x2 =  0,25  ...  f (0,25) =  0,253  - 9. 0,25 +3 =  0,0156 + 0,75 = + 0,7656    valor positivo  . então novo intervalo com raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo  x médio   x3 =  ( 0,25 + 0,5 ) /2 =  0,75/ 2 =  0,375  ..iteração pediada. 
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	De truncamento
	
	
	De modelo
	
	
	Relativo
	
	
	Percentual
	
	
	Absoluto
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
	
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x)que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
	
	
	
	(-1, 0)
	
	
	(0, 1)
	
	
	(-2, -1)
	
	
	(1, 2)
	
	
	(2, 3)
	
Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
	
	
	
	1.75
	
	
	2
	
	
	-2
	
	
	1
	
	
	-1
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo considerado.
Dados: x0 = 2 /  e2 = 7,3875
	
	
	
	2,854
	
	
	2,354
	
	
	3,104
	
	
	2.154
	
	
	3,254
	
Explicação:
f(x) = ex  - 10      /      f '(x) = ex
f(2) = e2 - 10 = -2,6124   / f '(2) = e2 = 7,3875
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0)
x1 = 2 - (-2,6124)/(7,3875) = 2,354
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	1.0800
	
	
	1.0746
	
	
	1.9876
	
	
	1.0245
	
	
	1.0909
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada da função como a  tangente , é também conhecido como Método das Tangentes , exemplificado na segunda figura.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
	
	
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
	
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
	
	
	
	3,243
	
	
	2,143
	
	
	1,243
	
	
	2,443
	
	
	1,143
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
Explicação:
A quarta opção , identificada como correta,  é a única matriz cujos termos aij  correspondem exatamente aos coeficientes numéricos de cada  equação dada  .
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
	
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
	
	
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	
	nada pode ser afirmado.
	
	
	apresenta uma única solução
	
	
	apresenta infinitas soluções
	
	
	não apresenta solução
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	1,2,-3
	
	
	1,-2,3
	
	
	-1,2, 3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * representa um valor qualquer.
	
	
	
	0 0 1 | *
0 0 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
0 1 1 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0| *
0 1 0 | *
0 0 1 | *
	
	
	1 0 0 | *
1 1 0 | *
1 1 1 | *
	
	
	1 1 1 | *
1 1 1 | *
1 1 1 | *
	
Explicação:
O objetivo é fazer operações de modo a obter uma matriz com 1 apenas na diagonal  e o restante zero . . Desse temos imediatamente, em cada linha,  o valor solução para cada variável lido na última coluna.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
Explicação:
Multiplicando toda  a primeira equação  por 3  resulta  : 9x  - 6y =  -36  ...
 Somada esta  à segunda  , elimina-se  o termo com y , resultando a equação  ;  14x  = -28  , donde x  = -2  .
 Substituindo x = - 2  na primeira resulta :  - 6  - 2y = -12   ...  -2y = -6   ... y = 3 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	
	Sempre são convergentes.
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	Integração.
	
	
	Derivação.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	Determinação de raízes.
	
	
	Interpolação polinomial.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
	
	
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	W(x) = - x2 + 4x
	
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	
	W(x) = x2 + 4x
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
	
	
	
	Y = ax2 + bx + 2
	
	
	Y = a.2-bx
	
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	
	 Y = a.log(bx)
	
	
	Y = ax + 2
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro conceitual
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro absoluto
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função cúbica.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Os valores de x1,x2 e x3 são:
	
	
	
	-1,2, 3
	
	
	2,-1,3
	
	
	-1, 3, 2
	
	
	1,2,-3
	
	
	1,-2,3
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	0,026 E 0,023
	
	
	0,013 E 0,013
	
	
	0,026 E 0,026
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,023 E 0,026
	
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	Y = abx+c
	
	
	Y = ax + b
	
	
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Nunca se altera
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos.
	
	
	
	n + 1
	
	
	menor ou igual a n
	
	
	menor ou igual a n - 1
	
	
	menor ou igual a n + 1
	
	
	n
	
Explicação:
Na interpolação polinomial, quando temo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo "n".
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	Função exponencial.
	
	
	Função logarítmica.
	
	
	Função quadrática.
	
	
	Função linear.
	
	
	Função cúbica.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada a função f através do tabelamentoa seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 13,900
	
	
	 13,857
	
	
	 13,017
	
	
	 13,000
	
	
	 13,500
		Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
 
	
	
	
	0,81 %        
	
	
	10%
	
	
	8,1 %        
	
	
	0,88 %
	
	
	8,8 %
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 %
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	3,141
	
	
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,142
	
	
	3,1415
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
	
	
	
	8,3%      
	
	
	0,77%
	
	
	7,7%    
	
	
	0,077%
	
	
	0,83%
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077=  7,7%
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	3,14
	
	
	3,1416
	
	
	0,1415926536
	
	
	0.0015926536
	
	
	0,14
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
	
	
	
	Erro relativo
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro absoluto
	
	
	Erro conceitual
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,5% . Qual o valor do erro absoluto?  
	
	
	
	 0,5 cm
	
	
	 95 cm
	
	
	99,5 cm   
	
	
	5 cm     
	
	
	0,05 cm.
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,5%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,5% . 100 =  0.5/100 . 100 = 0,5 cm
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
	
	
	
	2,5
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	indeterminado
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
	
	
	
	3
	
	
	Indefinido
	
	
	30
	
	
	0,5
	
	
	0,3
		No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h.
	
	
	
	1/5
	
	
	1/3
	
	
	0
	
	
	1/4
	
	
	1/2
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	
	
	
	quarto
	
	
	primeiro
	
	
	terceiro
	
	
	segundo
	
	
	nunca é exata
	
Explicação:
Quando a função é do primeiro grau, pois a figura formada abaixo da curva coincide com um trapézio.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	É um método de pouca precisão
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
	
	
	
	1,2
	
	
	0,4
	
	
	0,6
	
	
	1,0
	
	
	0,8
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	5
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	
	
	
	0,2500
	
	
	0,3225
	
	
	0,3000
	
	
	0,3125
	
	
	0,2750
	
Explicação:
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1
f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125
f(1) = 13 = 1
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125
		as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
	
	
	
	erro de arredondamento
	
	
	erro booleano
	
	
	erro absoluto
	
	
	erro relativo
	
	
	erro de truncamento
	
	
	
	 
		
	
		2.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a estetipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	1,34
	
	
	1,00
	
	
	3,00
	
	
	2,50
	
	
	2,54
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-1
	
	
	-2
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	-2
	
	
	-3
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	1
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	
	0,030 e 3,0%
	
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	2.10-2 e 1,9%
	
	
	0,030 e 1,9%
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	
	Método de Gauss-Seidel.
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,8%
	
	
	99,8%
	
	
	0,992
	
	
	0,2 m2
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	
	Uso de dados de tabelas
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem "  n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações:
I - é um método de passo dois
II - há a necessidade de se calcular a função derivada
III - não é necessário utilizar a série de Taylor
É correto afirmar que:
	
	
	
	todas estão erradas
	
	
	apenas I e II estão corretas
	
	
	apenas II e III estão corretas
	
	
	apenas I e III estão corretas
	
	
	todas estão corretas
	
Explicação:
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor
	
	 1a Questão (Ref.: 201603550966)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
		
	
	1086
	 
	10085
	 
	1085
	
	1084
	
	10860
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201602628977)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
		
	
	-11
	 
	-5
	
	3
	
	-3
	
	2
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201602671353)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	Gauss Jordan
	
	Gauss Jacobi
	
	Newton Raphson
	
	Ponto fixo
	 
	Bisseção
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201602753809)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
		
	 
	9
	
	10
	
	2
	
	18
	
	5
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201603422822)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Ométodo do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	 
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201602788863)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	1,56
	 
	1,14
	
	1,00
	
	1,85
	
	0,55
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201603642391)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
		
	
	y=2x
	
	y=x3+1
	
	y=2x-1
	
	y=x2+x+1
	 
	y=2x+1
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201603543006)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
		
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
	x1 = 10 ; x2 = -10
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201602628989)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
		
	
	Erro absoluto
	
	Erro fundamental
	
	Erro derivado
	
	Erro conceitual
	 
	Erro relativo
		
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201602676790)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
		
	
	grau 15
	
	grau 20
	 
	grau 30
	
	grau 32
	
	grau 31
		
	Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	
		
	 
	-7
	
	3
	
	-3
	
	-11
	
	2
	Respondido em 26/10/2020 16:47:17
	
		2a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
		
	
	Gauss Jordan
	
	Newton Raphson
	
	Gauss Jacobi
	
	Ponto fixo
	 
	Bisseção
	Respondido em 26/10/2020 16:49:27
	
	Explicação:
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse  novo intervalo e refaz-seo teste  repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
	
		3a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta equação em que intervalo?
		
	 
	(2, 3)
	
	(1, 2)
	
	(-1, 0)
	
	(-2, -1)
	
	(0, 1)
	Respondido em 26/10/2020 16:41:56
	
	Explicação:
Determinação dos valores numéricos do polinômio P(x) para os extremos de cada intervalo:
P(-2) = (-2)3 - 3.(-2)2 + 3.(-2) - 3 = - 29
P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 3 = - 10
P(0) = (0)3 - 3.(0)2 + 3.(0) - 3 = - 3
P(1) = (1)3 - 3.(1)2 + 3.(1) - 3 = -  2
P(2) = (2)3 - 3.(2)2 + 3.(2) - 3 = -  1
P(3) = (3)3 - 3.(3)2 + 3.(3) - 3 = 6
Como P(2) x P(3) = -6 < 0, o teorema de Bolzano afirma que existe um número ímpar de raízes reais no intervalo considerado, isto é, (2, 3)
	
		4a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
		
	
	apresenta infinitas soluções
	 
	apresenta uma única solução
	
	não apresenta solução
	
	nada pode ser afirmado.
	
	apresenta ao menos uma solução
	Respondido em 26/10/2020 16:41:38
	
	Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
		5a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
		
	
	Determinação de raízes.
	
	Verificação de erros.
	
	Integração.
	 
	Interpolação polinomial.
	
	Derivação.
	Respondido em 26/10/2020 16:40:05
	
		6a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
		
	 
	(11,14,17)
	
	(6,10,14)
	
	(8,9,10)
	
	(13,13,13)
	
	(10,8,6)
	Respondido em 26/10/2020 16:45:17
	
		7a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	3,142
	 
	3,1415
	
	3,14159
	
	3,141
	
	3,1416
	Respondido em 26/10/2020 16:43:01
	
		8a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
		
	
	segundo
	
	terceiro
	 
	primeiro
	
	nunca é exata
	
	quarto
	Respondido em 26/10/2020 16:40:44
	
	Explicação:
Quando a função é do primeiro grau, pois a figura formada abaixo da curva coincide com um trapézio.
	
		9a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	-1
	
	1
	 
	2
	
	0
	
	-2
	Respondido em 26/10/2020 16:40:58
	
		10a
          Questão
	Acerto: 1,0  / 1,0
	
	Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
		
	
	0,030 e 3,0%
	
	0,030 e 1,9%
	 
	2.10-2 e 1,9%
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	0,020 e 2,0%