Lista 5

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Blumenau – Departamento de Matemática
Licenciatura em Matemática
Disciplina: BLU4491 – Álgebra Linear I
Professor: Luiz Rafael dos Santos (l.r.santos@ufsc.br)
Lista de Exercícios 5
Espaços Vetoriais
1. Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais definidos com a adição usual, isto é,
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, y2 + x2)
mas com a multiplicação por escalar definida como
α • (x1, x2) = (αx1, x2).
Utilizamos o símbolo • para definir a multiplicação por escalar não-usual. V é um espaço vetorial com
estas operações? Justifique sua resposta.
2. Seja R o conjunto dos números reais. Defina a multiplicação por escalar usual, isto é αx = α · x, mas
defina a adição, denotada por †, das seguintes maneiras:
a) x † y = max{x, y};
b) x † y = (x1 + y2, x1 + y1);
c) x † y = (x1x2, y1y2);
d) x † y = (3x1 + 3x2, 5y1 + 5y2).
Em cada um dos casos, diga quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados.
3. Seja `∞(R) o conjunto das sequências de números reais v = (v1, v2, . . . , vn, . . .). Mostre que tal conjunto,
com as operações usuais de soma v + w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn, . . .) e produto por escalar
α · v = (αv1, αv2, . . . , αvn, . . .) obedecem aos axiomas de espaço vetorial.
4. Use os axiomas do espaço vetorial E para mostrar que se v ∈ E e se n ∈ N, então n · v = v + · · ·+ v (n
parcelas). (Dica: Use indução.)
5. Seja X um conjunto qualquer e E um espaço vetorial. Mostre que, com as definições naturais o conjunto
F(X;E) das funções f : X −→ E se torna um espaço vetorial. Identifique os casos particulares X =
{1, 2, . . . , n}, X = N, X = A×B, em que A = {1, 2, . . . ,m} e B = {1, 2, . . . , n}.
6. Seja E um espaço vetorial e v,u ∈ E. O segmento de reta de extremidades u e v é, por definição, o
conjunto
[u, v] = {(1− t)u+ tv; 0 ≤ t ≤ 1}.
Um conjunto X ⊂ E é um conjunto convexo quando para todo x,u ∈ X ⇒ [u,v] ⊂ X (Ou seja: o
segumento de reta que liga dois pontos quaisquer de X está contido em X). Prove que:
a) A interseção X1 ∩ . . . ∩Xm de conjuntos convexos X1, . . . , Xm ⊂ E é um conjunto convexo;
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mailto:l.r.santos@ufsc.br
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b) Dados α, β, γ ∈ R, o conjunto X :=
{
(x, y) ∈ R2 : αx+ βy ≤ γ
}
é um conjunto convexo.
c) Seja X ⊂ E convexo. Se α, β, γ são números reais não-negativos (≥ 0)tais que α+ β + γ = 1 então
u,v,v ∈ X ⇒ αu+ βv + γv ∈ X.
d) Generalizando o resultado acima, a expressão α1v1 + · · · + αkvk em que αj ≥ 0, j = 1, . . . , k e
α1 + · · · + αk = 1 chama-se combinação convexa dos vetores v1, . . . ,vk. Mostre que se o conjunto
X ⊂ E for convexo, então toda combinação convexa de vetores v1, . . . ,vk ∈ X ainda pertence à X.
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