AL-L1

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1a. LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
Turma: 3o. peŕıodo de Licenciatura em Matemática
Profa. Andréa Cardoso
Data: 09/03/2020
1. Verifique se V =
{(
a −b
b a
)
; a, b ∈ R
}
com operações usuais de M2(R), é espaço vetorial
sobre R.
2. Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é um espaço vetorial em
relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V :
(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x, y) = (x, ay)
(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay)
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam.
3. Seja V como no exerćıcio anterior. Definamos:
(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1)
a(x, y) = (3ay,−ax)
Com essas operações definidas sobre V , pergunta-se se este conjunto é um espaço vetorial
sobre R.
4. No conjunto V = R2 com as operações de “adição” � : V × V → V e multiplicação por
escalar � : R× V → V , definidas por:
(x1, y1) � (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
λ� (x, y) = (λx, λy)
Nestas condições V é um espaço vetorial sobre R? Por quê?
5. No conjunto V = R2 com as operações de adição usual de R2 e a multiplicação por escalar
� : R× V → V , definida por: λ� (x, y) = (λx, 0)
É então V um espaço vetorial sobre R? Por quê?
6. Seja P2(R) = {ax2 + bx + c : a, b, c ∈ R} o conjunto dos polinômios de grau menor ou
igual a 2. Mostre que P2(R) é um espaço vetorial.
7. Verifique que o conjunto P3(R) dos polinômios reais de grau menor ou igual a 3, munido
das operações de soma e multiplicação por escalar definidas para o espaço de funções, é
um espaço vetorial. Neste espaço sejam dados os vetores p1(x) = x
3−1, p2(x) = x2+x−1
e p3(x) = x+ 2.
(a) Calcule 2p1(x) + 3p2(x)− 4p3(x)
(b) Existe k ∈ R de maneira que p1(x) + kp2(x) = p3(x)?
(c) Existem k1, k2 ∈ R tais que p1(x) = k1p2(x) + k2p3(x)?
8. Considere os seguintes espaços vetoriais com a soma e multiplicação usuais e exiba os
elementos neutros dos mesmos.
(a) R3
(b) M2×3
(c) F(R,R)
(d) P2(R)
9. Considere a função f ∈ F(R,R) cujo gráfico é dado abaixo, faça um esboço do gráfico de
−f .
10. Considere o conjunto cujo único elemento é a lua. Será este conjunto um espaço vetorial
com as operações lua + lua = lua e α lua = lua para qualquer número real α?
11. Classifique as sentenças em V(verdadeira) ou F(falsa)? Justifique sua resposta.
(a) ( ) O conjunto dos números naturais N com as operações usuais de soma e
multiplicação é um espaço vetorial.
(b) ( ) O conjunto dos números inteiros Z com as operações usuais de soma e multi-
plicação é um espaço vetorial.
(c) ( ) O conjunto dos números racionais Q com as operações usuais de soma e
multiplicação é um espaço vetorial.
(d) ( ) O conjunto dos números irracionais I com as operações usuais de soma e
multiplicação é um espaço vetorial.
(e) ( ) O conjunto dos números reaisR com as operações usuais de soma e multiplicação
é um espaço vetorial.
(f) ( ) O conjunto dos números complexos C com as operações usuais de soma e
multiplicação é um espaço vetorial.
(g) ( ) Existe um espaço vetorial formado por exatamente dois vetores distintos.
(h) ( ) Seja V um espaço vetorial e considere a soma de n parcelas. Se v ∈ V e n ∈ N
então nv = v + v + ...+ v.
BOM TRABALHO!!!