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APOL - Geometria Analítica
Questão 1/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Vetores podem ter vários pontos, entre eles, a origem e a extremidade, dessa forma é possível representá-los através desses pontos, fazendo a diferença entre a extremidade e a origem. 
Texto elaborado pelo autor da questão:
Considere o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Geometria AnalíticaGeometria Analítica sobre soma de vetores, os pontos A=(−1,−1,0)A=(−1,−1,0) e B=(3,5,0)B=(3,5,0) e a igualdade →AP=23→ABAP→=23AB→. As coordenadas de P são:
Nota: 10.0
	
	A
	P=(4,0,0)P=(4,0,0)
	
	B
	P=(23,43,0)P=(23,43,0)
	
	C
	P=(53,3,0)P=(53,3,0)
Você acertou!
Cálculos para encontrar as coordenadas de P.
→AP=23→ABP−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0)AP→=23AB→P−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0)
(livro-base p. 13,14,27)
	
	D
	P=(13,2,0)P=(13,2,0)
	
	E
	P=(3,53,0)P=(3,53,0)
Questão 2/10 - Geometria Analítica
Leia o excerto de texto:
Quando calculamos o produto vetorial de dois vetores, ou seja, u×v=∣∣
∣∣ijkxuyuzuxvyvzv∣∣
∣∣u×v=|ijkxuyuzuxvyvzv|, encontramos um terceiro vetor, ortogonal ao plano formado por estes vetores. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, e que os pontos A(−1,0,−1)A(−1,0,−1), B(2,3,−1)B(2,3,−1) e o vetor ⃗v=(−2,−1,0)v→=(−2,−1,0) pertencem ao plano αα. O vetor ⃗ww→ ortogonal ao plano αα é:
dica: faça vetor ⃗u=−−→ABu→=AB→
 
Nota: 10.0
	
	A
	⃗n=⃗in→=i→
	
	B
	⃗n=⃗jn→=j→
	
	C
	⃗n=⃗i+⃗jn→=i→+j→
	
	D
	⃗k ou (0,0,1)k→ ou (0,0,1) ou qualquer vetor múltiplo do vetor (0,0,1)(0,0,1), como (0,0,3)(0,0,3)
Você acertou!
Calculando o vetor  
⃗u=−−→AB=B−A=(2,3.−1)−(−1,0,−1)=(3,3,0)u→=AB→=B−A=(2,3.−1)−(−1,0,−1)=(3,3,0).
Como os vetores ⃗uu→ e ⃗vv→ pertencem ao plano αα, calculamos o produto vetorial entre eles para obter um vetor ortogonal a ambos e, consequentemente, ortogonal ao plano αα, ou seja, o vetor normal ao plano αα.
u×v=∣∣
∣
∣∣⃗i⃗j⃗k330−2−10∣∣
∣
∣∣=0⃗i+0⃗j−3⃗k+6⃗k−o⃗j−0⃗i=3⃗k=(0,0,3)u×v=|i→j→k→330−2−10|=0i→+0j→−3k→+6k→−oj→−0i→=3k→=(0,0,3)
Portanto o vetor ortogonal é qualquer vetor múltiplo a ⃗kk→ ou (0,0,1)(0,0,1), inclusive (0,0,3)(0,0,3).
(livro-base pag. 72)
	
	E
	⃗n=⃗i+⃗j+⃗kn→=i→+j→+k→
Questão 3/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Um vetor não nulo pode ter vários pontos, entre eles, a origem e a extremidade. Portanto, é possível representá-los através desses pontos, fazendo a diferença entre a extremidade e a origem. 
Texto elaborado pelo autor da questão:
Considere o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Geometria AnalíticaGeometria Analítica sobre soma de vetores, os pontos A=(−6,−1,3)A=(−6,−1,3) e B=(3,5,0)B=(3,5,0) e a igualdade →AP=13→ABAP→=13AB→. As coordenadas do ponto PP é:
Nota: 10.0
	
	A
	P=(4,0,4)P=(4,0,4)
	
	B
	P=(4,0,0)P=(4,0,0)
	
	C
	P=(−3,1,2)P=(−3,1,2)
Você acertou!
Cálculos para encontrar as coordenadas de P.
→AP=13→ABP−A=13(B−A)P=A+13(B−A)P=(−6,−1,3)+13((3,5,0)−(−6,−1,3))P=(−6,−1,3)+13(9,6,−3)P=(−6,−1,3)+(3,2,−1)P=(−3,1,2)AP→=13AB→P−A=13(B−A)P=A+13(B−A)P=(−6,−1,3)+13((3,5,0)−(−6,−1,3))P=(−6,−1,3)+13(9,6,−3)P=(−6,−1,3)+(3,2,−1)P=(−3,1,2)
(livro-base p. 13,14,27)
	
	D
	P=(13,2,0)P=(13,2,0)
	
	E
	P=(0,2,2)P=(0,2,2)
Questão 4/10 - Geometria Analítica
Leia o texto a seguir:
A equação geral de um plano pode ser obtida com o produto misto de três vetores coplanares. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, o ponto A=(2,−1,0)A=(2,−1,0) e os vetores ⃗u=(−2,1,1)u→=(−2,1,1) e ⃗v=(1,−2,3)v→=(1,−2,3), todos pertencentes ao plano αα. É correto afirmar que a equação do plano αα é:
Nota: 10.0
	
	A
	5x+7y+3z−3=05x+7y+3z−3=0
Você acertou!
Comentário: Consideremos um ponto P(x,y,z)P(x,y,z) genérico pertencente ao plano αα. Assim, 
→AP=P−A=(x,y,z)−(2,−1,0)=(x−2,y+1,z)AP→=P−A=(x,y,z)−(2,−1,0)=(x−2,y+1,z) é um vetor do plano \alpha, pois A e P pertencem ao plano αα.
Logo, os vetores →APAP→, ⃗uu→ e ⃗vv→ são coplanares e o produto misto entre eles é 0.
∣∣
∣∣x−2y+1z−2111−23∣∣
∣∣=0|x−2y+1z−2111−23|=0
3x−6+y+1+4z−z+6y+6+2x−4=05x+7y+3z−3=03x−6+y+1+4z−z+6y+6+2x−4=05x+7y+3z−3=0é a equação geral do plano.
(livro-base, p. 77)
	
	B
	5x+7y+z=05x+7y+z=0
	
	C
	x+y+3z−3=0x+y+3z−3=0
	
	D
	2x−6y+3z−3=02x−6y+3z−3=0
	
	E
	x+y+z=0x+y+z=0
Questão 5/10 - Geometria Analítica
Na física, geometria analítica, cálculo diferencial integral, álgebra linear, ou qualquer outra disciplina em que se aplica vetores, a combinação linear de vetores é indispensável. Ou seja, escrever vetores como soma de outros vetores tem muitas aplicações. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Dados os vetores u=(3,-1) e v=(-6,3). O vetor w=7u+2v é:
Nota: 10.0
	
	A
	⃗w=(−9,−1)w→=(−9,−1)
	
	B
	⃗w=(3,6)w→=(3,6)
	
	C
	⃗w=(9,−1)w→=(9,−1)
Você acertou!
⃗w=7⃗u+2⃗v=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1)w→=7u→+2v→=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1)
(livro-base 41)
 
	
	D
	⃗w=(3,3)w→=(3,3)
	
	E
	⃗w=(−2,1)w→=(−2,1)
Questão 6/10 - Geometria Analítica
Leia o texto a seguir:
Em geometria analítica, conhecidos três pontos é possível determinar a equação do plano formado por eles. Com estes pontos montamos três vetores com a mesma origem, aplicamos o produto misto e igualamos a zero, pois os vetores são coplanares. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e os pontos A(2,1,−1)A(2,1,−1), B(−1,−1,0)B(−1,−1,0) e C(3,3,−4)C(3,3,−4). O plano formado por estes pontos é:
Dica sobre os vetores: Dois deles com os pontos conhecidos (por exemplo: →ABAB→ e →ACAC→) e o terceiro com um ponto genérico D(x,y)D(x,y) ficando →ADAD→ . 
Dica sobre o produto misto →AD⋅(→AB×→AC)=∣∣
∣∣xuyuzuxvyvzvxwywzw∣∣
∣∣=0AD→⋅(AB→×AC→)=|xuyuzuxvyvzvxwywzw|=0  (pois os vetores são coplanares).
Nota: 10.0
	
	A
	x−y−z−4=0x−y−z−4=0
	
	B
	4x−8y−4z−4=04x−8y−4z−4=0
Você acertou!
Comentário:
Para que os pontos A,B,C e DA,B,C e D pertençam ao mesmo plano é necessário que os vetores −−→AB,−−→AC e −−→ADAB→,AC→ e AD→  sejam coplanares, isto é, −−→AD.(−−→AB×−−→AC)=0AD→.(AB→×AC→)=0.  
Seja D=(x,y,z)∈πD=(x,y,z)∈π
−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=(1,2,−3)−−→AD=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=(1,2,−3)AD→=(x−2,y−1,z+1)
−−→AD.(−−→AB×−−→AC)=AD→.(AB→×AC→)=∣∣
∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣
∣∣=0|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0
(x−2)(6−2)−(y−1)(9−1)+(z+1)(−6+2)=04x−8y−4z−4=0(x−2)(6−2)−(y−1)(9−1)+(z+1)(−6+2)=04x−8y−4z−4=0
(livro-base 77)
	
	C
	4x+y+z−4=04x+y+z−4=0
	
	D
	y−4z−4=0y−4z−4=0
	
	E
	4x−4y−4z−8=04x−4y−4z−8=0
Questão 7/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A interpretação geométrica dos produtos escalar, vetorial e misto são, em alguns casos, as únicas ferramentas para resolver alguns problemas. Por exemplo: A área do triângulo é dado pela metade do módulo do produto vetorial entre dois dos vetores formadores do triângulo. Escolhe-se vetores ⃗uu→ e ⃗vv→ e aplica a fórmula  S=12∥∥
∥
∥∥⃗i⃗j⃗kxuyuzuxvyvzv∥∥
∥
∥∥S=12∥i→j→k→xuyuzuxvyvzv∥.
Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e o triângulo cujos vértices são os pontos A=(2,0,0)A=(2,0,0), B=(0,2,0)B=(0,2,0) e C=(0,0,4)C=(0,0,4). A área deste triângulo é: 
Dica: Primeiro forme os vetores ⃗uu→ e ⃗vv→, cada um com dois pares de pontos.
Nota: 10.0
	
	A
	1616 u.a.
	
	B
	66 u.a.
Você acertou!
Primeiro calculamos dois dos vetores que formam o tetraedro:
⃗u=−−→AB=B−A=(0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)u→=AB→=B−A=(0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)
⃗v=−−→AC=C−A=(0,0,4)−(2,0,0)=(−2,0,4)v→=AC→=C−A=(0,0,4)−(2,0,0)=(−2,0,4)
Depois calculamos a metade do módulo produto vetorial entre ⃗uu→ e ⃗vv→:
S=12∥∥
∥
∥∥⃗i⃗j⃗k−220−204∥∥
∥
∥∥=|8i+8j+4k|2=√1442=122=6S=12∥i→j→k→−220−204∥=|8i+8j+4k|2=1442=122=6
(livro-base p. 73)
	
	C
	1212 u.a.
	
	D
	144144 u.a.
	
	E
	A área é nula.
Questão 8/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Módulode um vetor é o seu comprimento, quando somamos dois vetores na forma geometria, ou seja, considerando somente seus módulos, o resultado é o comprimento de um terceiro vetor que junto aos outros dois formam um triângulo. 
Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica sobre vetores, e que os vetores ⃗uu→ e ⃗vv→ são ortogonais e seus módulos são |⃗u|=3|u→|=3 e |⃗v|=4|v→|=4 , é correto afirmar que |⃗u+⃗v||u→+v→| é:
Dica: considere a ortogonalidade dos vetores.
Nota: 10.0
	
	A
	99
	
	B
	88
	
	C
	77
	
	D
	66
	
	E
	55
Você acertou!
Como os vetores \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, o vetor soma \vec{u}+\vec{v} é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos \vec{u} e \vec{v}. Portanto, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras.
|⃗u+⃗v|2=|⃗u|2+|⃗v|2|⃗u+⃗v|2=|3|2+|4|2|⃗u+⃗v|2=9+16|⃗u+⃗v|2=25|⃗u+⃗v|=±√25|⃗u+⃗v|=5|u→+v→|2=|u→|2+|v→|2|u→+v→|2=|3|2+|4|2|u→+v→|2=9+16|u→+v→|2=25|u→+v→|=±25|u→+v→|=5
(livro-base p. 66)
Questão 9/10 - Geometria Analítica
Atente para a seguinte afirmação:
Quando estudamos matemática, além das definições, propriedade e outras teorias sobre o conteúdo, também estudamos as aplicações do referido conteúdo. No caso da geometria analítica, os produtos escalar, vetorial e misto possuem aplicações interessantes. Uma delas é o cálculo da área do paralelogramo em que utiliza-se o produto vetorial ⃗u×⃗v=∥∥
∥
∥∥⃗i⃗j⃗kxuyuzuxvyvzv∥∥
∥
∥∥u→×v→=∥i→j→k→xuyuzuxvyvzv∥
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Tendo em vista a situação descrita e os conteúdos estudados no livro-base Geometria analítica, considere o paralelogramo formado sobre os vetores ⃗u=2⃗i+3⃗j−⃗ku→=2i→+3j→−k→ e ⃗v=−⃗i−2⃗j+⃗kv→=−i→−2j→+k→ . Sua área é:
Nota: 10.0
	
	A
	a área SS do paralelogramo é igual a 2.
	
	B
	a área SS do paralelogramo é igual a √22.22.
	
	C
	a área SS do paralelogramo é igual a √3.3.
Você acertou!
A área S do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial, ou seja,
⃗u×⃗v=∣∣
∣
∣∣⃗i⃗j⃗k23−1−1−21∣∣
∣
∣∣=(1,−1,−1)u→×v→=|i→j→k→23−1−1−21|=(1,−1,−1).
Calculamos a área do paralelogramo S.
S=|⃗u×⃗v|=√12+(−1)2+(−1)2=√3.S=|u→×v→|=12+(−1)2+(−1)2=3.
(livro-base pag. 73).
	
	D
	a área SS do paralelogramo é igual a √72.72.
	
	E
	a área SS do paralelogramo é igual a √73.73.
Questão 10/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A combinação linear é indispensável para várias disciplinas tais como geometria analítica e álgebra linear. Pode-se resumir combinação linear como escrever vetores como soma de outros vetores.
Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o trecho de texto apresentado, os conteúdos do livro Geometria analítica, os vetores ⃗u=(3,−1)u→=(3,−1), ⃗v=(−6,3)v→=(−6,3) e ⃗w=(9,−1)w→=(9,−1). Se ⃗ww→ é combinação linear de ⃗uu→ e ⃗vv→, ou seja ⃗w=k1⃗u+k2⃗vw→=k1u→+k2v→ então k1k1 e k2k2 são respectivamente:
Nota: 10.0
	
	A
	k1=2ek2=1/2k1=2ek2=1/2
	
	B
	k1=−1ek2=−1k1=−1ek2=−1
	
	C
	k1=7ek2=2k1=7ek2=2
Você acertou!
Montando o sistema ⃗w=k1⃗u+k2⃗vw→=k1u→+k2v→.
(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2.(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2.
(livro-base 47 e 48)
	
	D
	k1=−1ek2=−2k1=−1ek2=−2
	
	E
	k1=−1ek2=1k1=−1ek2=1