Análise Combinatória

Prévia do material em texto

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet
Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br
Análise Combinatória
Fatorial de um número:
)!
(
!
,
p
n
n
A
p
n
-
=
ades.
possibilid
 
24
2
.
3
.
4
 
lugar 
 
3º
 
o
 
para
 
ades
possibilid
2
 
e
lugar 
 
2º
 
o
 
para
 
ades
possibilid
 
3
 
sobrando
 
lugar,
 
1º
 
o
 
para
 
ades
possibilid
 
4
 
Existem
 
:
R
lugares?
 
primeiros
 
 três
os
 
para
 
ades
possibilid
 
as
 
são
 
Quantas
 
mundo.
 
do
 
campeões
dos
 
 torneio
o
 
disputam
 
Flamengo)
 
e
 
Paulo
 
São
 
Santos,
 
(Grêmio,
 
futebol
 
de
 
 times
Quatro
 
3)
negativo.
 
número
 
um
 
de
 
fatorial
 
existe
 
não
 
pois
 
,
7
 
:
Resposta
-8
x
7
x
 
 
2
15
1
 
 
2
225
1
 
 
0
56
 
 
 
 
56
 x
 
56
)
)(
1
(
 
 
56
)!
1
(
)!
1
)(
)(
1
(
 
 
56
)!
1
(
)!
1
(
.
56
)!
1
(
)!
1
(
 
equação
 
a
 
Resolva
 
2)
10200
10100
100
100
.
101
100
!
99
!
99
.
100
.
101
!
99
.
100
!
99
!
101
!
100
.
!
99
!
101
!
100
 
expressão
 
da
 valor 
o
 
Calcule
 
1)
2
2
=
®
=
î
í
ì
=
=
Þ
±
-
=
Þ
±
-
=
Þ
=
-
+
Þ
Þ
=
+
Þ
=
+
Þ
=
-
-
+
Þ
=
-
+
=
-
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Definições especiais:
40
17
80
34
8
72
20
24
30
)!
1
8
(
!
8
)!
2
9
(
!
9
)!
2
5
(
!
5
)!
3
4
(
!
4
)!
2
6
(
!
6
.
 
Calcule
 
)
4
1
,
8
2
,
9
2
,
5
3
,
4
2
,
6
1
,
8
2
,
9
2
,
5
3
,
4
2
,
6
=
=
+
-
+
=
-
+
-
-
-
-
+
-
=
+
-
+
+
-
+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
Arranjo simples: 
números.
 
336
6
.
7
.
8
!
5
!
5
.
6
.
7
.
8
!
5
!
8
)!
3
8
(
!
8
1.
 
:
então
 
s,
disponívei
números
 
8
 
existem
 
ainda
 
 três
outros
 
os
 
para
 
e
 
(2),
 
ade
possibilid
 
uma
 
apenas
 
existe
 
algarismo
primeiro
 
o
 
Para
 
3000).
 
e
 
2000
 
entre
 
está
 
(pois
 
algarismos
 
quatro
 ter 
deve
 
número
 
O
 
:
R
 
9?
 
e
 
6,7,8
1,2,3,4,5,
 
entre
 
escolhidos
 
distintos
algarismos
por 
 
formados
 
3000
 
e
 
2000
 
entre
 
dos
compreendi
 
números
 
os
 
são
 
Quantos
 
6)
números.
 
136
64
72
 
é
 
5
por 
 
divisíveis
 
de
 
número
 
O
 
:
Resposta
números.
 
64
8
.
8
!
7
!
7
.
8
.
!
7
!
7
.
8
!
7
!
8
.
!
7
!
8
)!
1
8
(
!
8
.
)!
1
8
(
!
8
.
1.
 
0).
ser 
 
pode
 
algarismo
 
segundo
 
(o
 
ades
possibilid
 
8
 
existem
 
 também
algarismo
 
segundo
o
 
para
 
E
 
).
algarismos
 
2
 
de
 
número
 
um
 
seria
 
(senão
 
0
 
com
começar 
 
pode
 
não
 
número
 
o
 
pois
ades,
possibilid
 
8
 
ainda
 
existem
 
algarismo
 
primeiro
 
o
 
Para
 
(5).
 
ade
possibilid
 
uma
 
apenas
 
existe
algarismo
 
 terceiro
o
 
para
 
:
5
 
com
 
 terminam
5
por 
 
divisíveis
 
quantos
 
calculamos
 
Agora
 
números.
 
72
8
.
9
!
7
!
7
.
8
.
9
!
7
!
9
)!
2
9
(
!
9
1.
 
:
é
 
0
 
com
 
 terminam
que
 
5
por 
 
divisíveis
 
de
 
número
 
o
 
Portanto
 
s.
disponívei
 
números
 
9
 
existem
ainda
 
primeiros
 
dois
 
os
 
para
 
e
 
(0),
 
ade
possibilid
 
1
 
apenas
 
existe
 
algarismo
 
 terceiro
o
 
Para
 
:
0
 
com
 
 terminam
que
 
5
por 
 
divisíveis
 
de
 
número
 
o
calcular 
 
vamos
nte
Primeirame
 
5.
 
com
ou 
 
0
 
com
 terminar 
deve
 
ele
 
5,
 
divisível
ser 
 
número
 
um
 
Para
 
:
R
 
5.
 
POR
 
DIVISÍVEIS
 
SEJAM
 
c)
números.
 
8
!
7
!
7
.
8
!
7
!
8
)!
1
8
(
!
8
1.1.
 
:
ades
possibilid
 
8
 
existem
 
ainda
 
segundo
 
o
 
Para
 
(5).
 
ade
possibilid
 
1
 
apenas
 
existe
 também
 terceiro
o
 
para
 
e
 
(2),
 
ade
possibilid
 
1
 
apenas
 
existe
 
algarismo
 
primeiro
 
o
 
Para
 
:
R
 
5.
 
COM
 
TERMINEM
 
E
 
2
 
COM
 
COMECEM
 
b)
números.
 
72
8
.
9
!
7
!
7
.
8
.
9
!
7
!
9
)!
2
9
(
!
9
1.
 
:
s
disponívei
 
números
 
9
 
existem
 
ainda
 
dois
 
outros
 
os
 
para
 
e
 
(1)
 
ade
possibilid
1
 
apenas
 
existe
 
primeiro
 
o
 
para
 
que
 
sendo
 
,
algarismos
 
ês
possuir tr
 
pode
 
número
 
O
 
:
R
 
1.
 
COM
 
COMECEM
 
a)
:
que
 
modo
 
de
 
repetir,
 
os
 
sem
 
)
,5,6,7,8,9
(0,1,2,3,4
 
decimal
 
sistema
do
 
algarismos
 
o
 
com
formar 
 
podemos
 
distintos
 
algarismos
 
3
 
de
 
números
 
Quantos
 
5)
3
,
8
1
,
8
1
,
8
2
,
9
1
,
8
2
,
9
=
=
=
=
-
=
=
+
=
=
=
=
-
-
=
®
=
=
=
=
-
=
®
=
=
=
-
=
=
=
=
=
-
=
A
A
A
A
A
A
!
n
P
n
=
maneiras.
 
1152
576
576
 
é
 
 total
o
 
Portanto
maneiras.
 
576
24
.
24
!
4
!.
4
.
:
 também
 temos
posição
 
primeira
 
na
 
dama
 
uma
 
Colocando
maneiras.
 
576
24
.
24
!
4
!.
4
.
:
maneiras
 
de
 
 total
número
 
como
 
 temos
posição
 
primeira
 
na
 
cavalheiro
 
um
 
Colocando
C
-
D
-
C
-
D
-
C
-
D
-
C
-
D
ou 
 
D
-
C
-
D
-
C
-
D
-
C
-
D
-
C
 
:
isso
fazer 
 
de
 
maneiras
 
duas
 
Existem
:
R
 
damas.
 
duas
 
e
 
s
cavalheiro
 
dois
 
juntos
 
fiquem
 
não
 
que
 
forma
de
 
fila,
 
numa
 
s,
cavalheiro
 
4
 
e
 
damas
 
4
 
dipostas
ser 
 
podem
 
maneiras
 
quantas
 
de
 
Calcule
 
8)
anagramas.
 
120
1
.
2
.
3
.
4
.
5
!
5
.
1
.
1
.
1
.
1
:
é
 
 total
o
 
Então
 
ades.
possibilid
 
5
 
existem
 
letras
 
5
 
outras
 
as
 
para
 
e
(E),
 
1
 
existe
 
só
 
 também
última
 
para
 
e
 
(A),
 
ade
possibilid
 
1
 
existe
 
letra
 
primeira
 
a
 
Para
 
E.
 
com
 
 terminam
e
A 
 
POR
 
COMEÇAM
 
b)
anagramas.
 
720
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
!
6
.
1
.
1
:
é
 
 total
o
 
Então
 
ades.
possibilid
 
6
 
existem
letras
 
6
 
outras
 
as
 
para
 
e
 
(A),
 
ade
possibilid
 
uma
 
apenas
 
existe
 
letra
 
primeira
 
a
 
Para
 
A.
 
POR
 
COMEÇAM
 
a)
:
EDITORA
 
palavra
 
da
 
anagramas
 
Quantos
 
8)
números.
 
120
1
.
2
.
3
.
4
.
5
!
5
8?
 
e
 
1,2,3,5
por 
 
formados
ser 
 
podem
 
distintos
 
algarismos
 
5
 
de
 
números
 
Quantos
 
)
7
4
4
4
4
5
6
5
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
P
P
P
P
P
P
P
Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
)!
(
!
!
,
p
n
p
n
C
p
n
-
=
comissões.
 
525
15
.
35
2
30
.
!
3
210
!
2
!.
4
!
4
.
5
.
6
.
!
4
!.
3
!
4
.
5
.
6
.
7
)!
4
6
(
!
4
!
6
.
)!
3
7
(
!
3
!
7
.
.
 
produto
 
o
 
é
 
resultado
 
O
 
-
 
MOÇAS
 
-
 
RAPAZES
moças?
 
4
 
e
 
rapazes
3
 
com
formar 
 
podemos
 
comissões
 
quantas
 
moças,
 
6
 
e
 
rapazes
 
7
 
com
 
reunião
 
Numa
 
11)
saladas.
 
de
 
 tipos
210
24
5040
!
4
5040
!
4
!.
6
!
6
.
7
.
8
.
9
.
10
)!
6
10
!.(
6
!
10
feitas?
ser 
 
podem
diferentes
 
espécies
 
6
 
contendo
 
salada,
 
de
 
 tipos
quantos
 
frutas,
 
de
 
espécies
 
10
 
Com
 
10)
.
C
haver 
 
pode
 
não
 
porque
 
resposta
 
a
 
é
 
não1
 
:
obs
.
5
 
:
Resposta
1
'
'
5
'
 
 
2
16
6
 
 
0
5
6
0
5
6
 
 
0
6
3
3
2
3
0
2
6
2
2
0
!
2
)
1
.(
!
3
)
2
).(
1
.(
0
)!
2
(
!
2
)!
2
).(
1
.(
)!
3
(
!
3
)!
3
).(
2
).(
1
.(
0
)!
2
(
!
2
!
)!
3
(
!
3
!
.
0
 
equação
 
a
Resolver 
 
9)
4
,
6
3
,
7
4
,
6
3
,
7
6
,
10
1,3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
,
3
,
=
=
=
=
-
-
=
=
=
=
-
=
=
=
î
í
ì
=
=
Þ
±
=
Þ
=
+
-
=
+
-
Þ
=
+
-
+
-
=
-
-
+
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
=
-
C
C
C
C
C
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
C
C
m
m
Combinação Simples: é o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos componentes.
ades.
possibilid
 
24
2
.
3
.
4
 
lugar 
 
3º
 
o
 
para
 
ades
possibilid
2
 
e
lugar 
 
2º
 
o
 
para
 
ades
possibilid
 
3
 
sobrando
 
lugar,
 
1º
 
o
 
para
 
ades
possibilid
 
4
 
Existem
 
:
R
lugares?
 
primeiros
 
 três
os
 
para
 
ades
possibilid
 
as
 
são
 
Quantas
 
mundo.
 
do
 
campeões
dos
 
 torneio
o
 
disputam
 
Flamengo)
 
e
 
Paulo
 
São
 
Santos,
 
(Grêmio,
 
futebol
 
de
 
 times
Quatro
 
3)
negativo.
 
número
 
um
 
de
 
fatorial
 
existe
 
não
 
pois
 
,
7
 
:
Resposta
-8
x
7
x
 
 
2
15
1
 
 
2
225
1
 
 
0
56
 
 
 
 
56
 x
 
56
)
)(
1
(
 
 
56
)!
1
(
)!
1
)(
)(
1
(
 
 
56
)!
1
(
)!
1
(
.
56
)!
1
(
)!
1
(
 
equação
 
a
 
Resolva
 
2)
10200
10100
100
100
.
101
100
!
99
!
99
.
100
.
101
!
99
.
100
!
99
!
101
!
100
.
!
99
!
101
!
100
 
expressão
 
da
 valor 
o
 
Calcule
 
1)
2
2
=
®
=
î
í
ì
=
=
Þ
±
-
=
Þ
±
-
=
Þ
=
-
+
Þ
Þ
=
+
Þ
=
+
Þ
=
-
-
+
Þ
=
-
+
=
-
+
=
+
=
+
=
+
=
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
maneiras.
 
1152
576
576
 
é
 
 total
o
 
Portanto
maneiras.
 
576
24
.
24
!
4
!.
4
.
:
 também
 temos
posição
 
primeira
 
na
 
dama
 
uma
 
Colocando
maneiras.
 
576
24
.
24
!
4
!.
4
.
:
maneiras
 
de
 
 total
número
 
como
 
 temos
posição
 
primeira
 
na
 
cavalheiro
 
um
 
Colocando
C
-
D
-
C
-
D
-
C
-
D
-
C
-
D
ou 
 
D
-
C
-
D
-
C
-
D
-
C
-
D
-
C
 
:
isso
fazer 
 
de
 
maneiras
 
duas
 
Existem
:
R
 
damas.
 
duas
 
e
 
s
cavalheiro
 
dois
 
juntos
 
fiquem
 
não
 
que
 
forma
de
 
fila,
 
numa
 
s,
cavalheiro
 
4
 
e
 
damas
 
4
 
dipostas
ser 
 
podem
 
maneiras
 
quantas
 
de
 
Calcule
 
8)
anagramas.
 
120
1
.
2
.
3
.
4
.
5
!
5
.
1
.
1
.
1
.
1
:
é
 
 total
o
 
Então
 
ades.
possibilid
 
5
 
existem
 
letras
 
5
 
outras
 
as
 
para
 
e
(E),
 
1
 
existe
 
só
 
 também
última
 
para
 
e
 
(A),
 
ade
possibilid
 
1
 
existe
 
letra
 
primeira
 
a
 
Para
 
E.
 
com
 
 terminam
e
A 
 
POR
 
COMEÇAM
 
b)
anagramas.
 
720
1
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
!
6
.
1
.
1
:
é
 
 total
o
 
Então
 
ades.
possibilid
 
6
 
existem
letras
 
6
 
outras
 
as
 
para
 
e
 
(A),
 
ade
possibilid
 
uma
 
apenas
 
existe
 
letra
 
primeira
 
a
 
Para
 
A.
 
POR
 
COMEÇAM
 
a)
:
EDITORA
 
palavra
 
da
 
anagramas
 
Quantos
 
8)
números.
 
120
1
.
2
.
3
.
4
.
5
!
5
8?
 
e
 
1,2,3,5
por 
 
formados
ser 
 
podem
 
distintos
 
algarismos
 
5
 
de
 
números
 
Quantos
 
)
7
4
4
4
4
5
6
5
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
P
P
P
P
P
P
P
Autor: Juliano Zambom Niederauer
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1
0!=1
1!=1
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
40
17
80
34
8
72
20
24
30
)!
1
8
(
!
8
)!
2
9
(
!
9
)!
2
5
(
!
5
)!
3
4
(
!
4
)!
2
6
(
!
6
.
 
Calcule
 
)
4
1
,
8
2
,
9
2
,
5
3
,
4
2
,
6
1
,
8
2
,
9
2
,
5
3
,
4
2
,
6
=
=
+
-
+
=
-
+
-
-
-
-
+
-
=
+
-
+
+
-
+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
números.
 
336
6
.
7
.
8
!
5
!
5
.
6
.
7
.
8
!
5
!
8
)!
3
8
(
!
8
1.
 
:
então
 
s,
disponívei
números
 
8
 
existem
 
ainda
 
 três
outros
 
os
 
para
 
e
 
(2),
 
ade
possibilid
 
uma
 
apenas
 
existe
 
algarismo
primeiro
 
o
 
Para
 
3000).
 
e
 
2000
 
entre
 
está
 
(pois
 
algarismos
 
quatro
 ter 
deve
 
número
 
O
 
:
R
 
9?
 
e
 
6,7,8
1,2,3,4,5,
 
entre
 
escolhidos
 
distintos
algarismos
por 
 
formados
 
3000
 
e
 
2000
 
entre
 
dos
compreendi
 
números
 
os
 
são
 
Quantos
 
6)
números.
 
136
64
72
 
é
 
5
por 
 
divisíveis
 
de
 
número
 
O
 
:
Resposta
números.
 
64
8
.
8
!
7
!
7
.
8
.
!
7
!
7
.
8
!
7
!
8
.
!
7
!
8
)!
1
8
(
!
8
.
)!
1
8
(
!
8
.
1.
 
0).
ser 
 
pode
 
algarismo
 
segundo
 
(o
 
ades
possibilid
 
8
 
existem
 
 também
algarismo
 
segundo
o
 
para
 
E
 
).
algarismos
 
2
 
de
 
número
 
um
 
seria
 
(senão
 
0
 
com
começar 
 
pode
 
não
 
número
 
o
 
pois
ades,
possibilid
 
8
 
ainda
 
existem
 
algarismo
 
primeiro
 
o
 
Para
 
(5).
 
ade
possibilid
 
uma
 
apenas
 
existe
algarismo
 
 terceiro
o
 
para
 
:
5
 
com
 
 terminam
5
por 
 
divisíveis
 
quantos
 
calculamos
 
Agora
 
números.
 
72
8
.
9
!
7
!
7
.
8
.
9
!
7
!
9
)!
2
9
(
!
9
1.
 
:
é
 
0
 
com
 
 terminam
que
 
5
por 
 
divisíveis
 
de
 
número
 
o
 
Portanto
 
s.
disponívei
 
números
 
9
 
existem
ainda
 
primeiros
 
dois
 
os
 
para
 
e
 
(0),
 
ade
possibilid
 
1
 
apenas
 
existe
 
algarismo
 
 terceiro
o
 
Para
 
:
0
 
com
 
 terminam
que
 
5
por 
 
divisíveis
 
de
 
número
 
o
calcular 
 
vamos
nte
Primeirame
 
5.
 
com
ou 
 
0
 
com
 terminar 
deve
 
ele
 
5,
 
divisível
ser 
 
número
 
um
 
Para
 
:
R
 
5.
 
POR
 
DIVISÍVEIS
 
SEJAM
 
c)
números.
 
8
!
7
!
7
.
8
!
7
!
8
)!
1
8
(
!
8
1.1.
 
:
ades
possibilid
 
8
 
existem
 
ainda
 
segundo
 
o
 
Para
 
(5).
 
ade
possibilid
 
1
 
apenas
 
existe
 também
 terceiro
o
 
para
 
e
 
(2),
 
ade
possibilid
 
1
 
apenas
 
existe
 
algarismo
 
primeiro
 
o
 
Para
 
:
R
 
5.
 
COM
 
TERMINEM
 
E
 
2
 
COM
 
COMECEM
 
b)
números.
 
72
8
.
9
!
7
!
7
.
8
.
9
!
7
!
9
)!
2
9
(
!
9
1.
 
:
s
disponívei
 
números
 
9
 
existem
 
ainda
 
dois
 
outros
 
os
 
para
 
e
 
(1)
 
ade
possibilid
1
 
apenas
 
existe
 
primeiro
 
o
 
para
 
que
 
sendo
 
,
algarismos
 
ês
possuir tr
 
pode
 
número
 
O
 
:
R
 
1.
 
COM
 
COMECEM
 
a)
:
que
 
modo
 
de
 
repetir,
 
os
 
sem
 
)
,5,6,7,8,9
(0,1,2,3,4
 
decimal
 
sistema
do
 
algarismos
 
o
 
com
formar 
 
podemos
 
distintos
 
algarismos
 
3
 
de
 
números
 
Quantos
 
5)
3
,
8
1
,
8
1
,
8
2
,
9
1
,
8
2
,
9
=
=
=
=
-
=
=
+
=
=
=
=
-
-
=
®
=
=
=
=
-
=
®
=
=
=
-
=
=
=
=
=
-
=
A
A
A
AA
A
comissões.
 
525
15
.
35
2
30
.
!
3
210
!
2
!.
4
!
4
.
5
.
6
.
!
4
!.
3
!
4
.
5
.
6
.
7
)!
4
6
(
!
4
!
6
.
)!
3
7
(
!
3
!
7
.
.
 
produto
 
o
 
é
 
resultado
 
O
 
-
 
MOÇAS
 
-
 
RAPAZES
moças?
 
4
 
e
 
rapazes
3
 
com
formar 
 
podemos
 
comissões
 
quantas
 
moças,
 
6
 
e
 
rapazes
 
7
 
com
 
reunião
 
Numa
 
11)
saladas.
 
de
 
 tipos
210
24
5040
!
4
5040
!
4
!.
6
!
6
.
7
.
8
.
9
.
10
)!
6
10
!.(
6
!
10
feitas?
ser 
 
podem
diferentes
 
espécies
 
6
 
contendo
 
salada,
 
de
 
 tipos
quantos
 
frutas,
 
de
 
espécies
 
10
 
Com
 
10)
.
C
haver 
 
pode
 
não
 
porque
 
resposta
 
a
 
é
 
não
 
1
 
:
obs
.
5
 
:
Resposta
1
'
'
5
'
 
 
2
16
6
 
 
0
5
6
0
5
6
 
 
0
6
3
3
2
3
0
2
6
2
2
0
!
2
)
1
.(
!
3
)
2
).(
1
.(
0
)!
2
(
!
2
)!
2
).(
1
.(
)!
3
(
!
3
)!
3
).(
2
).(
1
.(
0
)!
2
(
!
2
!
)!
3
(
!
3
!
.
0
 
equação
 
a
Resolver 
 
9)
4
,
6
3
,
7
4
,
6
3
,
7
6
,
10
1,3
2
2
3
2
2
3
2
2
2
3
2
,
3
,
=
=
=
=
-
-
=
=
=
=
-
=
=
=
î
í
ì
=
=
Þ
±
=
Þ
=
+
-
=
+
-
Þ
=
+
-
+
-
=
-
-
+
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
=
-
C
C
C
C
C
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
C
C
m
m
_964487010.unknown
_964489333.unknown
_964490424.unknown
_964914988.unknown
_964488497.unknown
_964484520.unknown
_964484666.unknown
_964484003.unknown