P1-CalculoIII

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1a Prova de Cálculo Diferencial e Integral III
Prof.: Claudio de Lima Menezes - FCT-Unesp - Data: 29/06/2017.
Aluno: Turma:
Questão 1. (1.0pt) Utilize uma série para obter a fração inteira (a/b tal que a, b ∈ Z e b ̸= 0) que
representa o decimal infinito 25, 07702702702 . . ..
Questão 2. (4.0pt) Determine se é convergente ou divergente e no caso de séries alternadas se é
absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente cada série abaixo. Caso possível
obtenha o valor da soma da série.
[a] (1.0pt)
+∞∑
n=0
10n2 + 11
e−n(2n+ 3)2
.
[b] (1.0pt)
+∞∑
n=1
5
(5n+ 2)(5n+ 7)
.
[c] (1.0pt)
+∞∑
n=2
(−1)n
√
lnn
n
.
[d] (1.0pt)
+∞∑
n=0
(−10)n
n!
.
Questão 3. (3.0pt) Utilize o discriminante para identificar a cônica, trace o gráfico e indique os vértices
e os focos da cônica.
[a] (1.0pt) 9y2 − x2 − 36y + 12x− 36 = 0.
[b] (2.0pt) x2 + 2
√
3xy + 3y2 + 8
√
3x− 8y + 32 = 0.
Faça uma rotação adequada de eixos para achar uma equação do gráfico no plano x,y,.
Dica: tg120◦ = −
√
3, sen60◦ =
√
3
2
e cos60◦ = 1
2
.
Questão 4. (1.5pt) Esboce o gráfico da curva x = e−t, y = e2t; t ∈ R, indique a orientação e
calcule
dy
dx
e
d2y
dx2
utilizando x(t), y(t) e a função y = y(x) usada para esboçar a curva.
Questão 5. (1.5pt) Determine a área da superfície gerada pela revolução em torno do eixo do eixo-y
da curva x = etsent, y = etcost; 0 ≤ t ≤ π
2