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Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 1 Introdução Eletromagnetismo 2018 03/08/2018 - 1 a Aula Apresentação do curso Neste curso não se aborda todo o conteúdo de eletromagnetismo, más dá ao aluno a capacidade de estudá-lo. Estudar é a palavra mágica. Este é um curso formativo. Ajuda a desenvolver habilidades matemáticas, associando à modelagem dos conceitos. Ao final do curso o aluno perceberá que ganhou poder de interpretação e análise ao mesmo tempo em que domina os cálculos. O curso está montado de uma forma coesa, partindo de uma revisão matemática e chegando ao ponto de demonstrar as equações de Maxwell, incluindo aplicações em ondas planas. O conteúdo é apresentado numa sequência lógica e encadeada, sem faltar ou sobrar itens necessários à compreensão do assunto e sem perda de rigor matemático. A sequência deste curso, demonstrações e arranjos foram concebidos pelo prof. José Alberto Giacometti, que o ministrou para as turmas do curso de Licenciatura em Física, Faculdade de Ciência e Tecnologia da Unesp de Presidente Prudente (FCT-UNESP) por vários anos. Todo o conteúdo está distribuído em 12 módulos sendo apresentada ao final de cada um, uma lista de exercícios. Introdução ao Eletromagnetismo: O diagrama abaixo ilustra a evolução do eletromagnetismo, através da sequencia temporal dos cientistas que fizeram as mais importantes descobertas. A eletricidade e o magnetismo têm origem na Grécia antiga e evoluem, independentemente, até que Oersted, em 1820, mais de dois mil anos mais tarde, mostra que há uma conexão entre Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 2 eles. Da mesma forma a óptica evolui independentemente e, só 1875, eu Maxwell mostra que a luz é onda eletromagnética. Este é o ápice do eletromagnetismo, ponto até onde este curso alcança. O conteúdo e os métodos usados constituem a referência mínima para o estudante de física e a base para estudos mais avançados. O mais importante neste curso é o domínio dos cálculos, uma vez que o aluno já tem os conceitos básicos formulados desde o ensino médio e, principalmente, na física III. No entanto, ele perceberá como a sua compreensão se ampliará quando domina a capacidade de expressão matemática. Bibliografia 1. Fundamentos da Teoria Eletromagnética Jonh R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy. Ed. Campus. 2. Introduction to electrodynamics. Third edition. David J. Griffiths. Prentice Hall. 1999, Nova Jersey. 3. Classical eletromagnetismo. Robert H. Good. Saundeers Golden Sunburst Series. California State University, Havard. Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 3 Analise vetorial 1 a Parte Analise Vetorial A analise vetorial é uma ferramenta muito importante no curso de eletromagnetismo. Sua utilização simplifica a notação e facilita a visualização. Claro que para tanto é necessário o domínio das operações matemáticas associado à visualização de seu significado físico ou geométrico. Escalar Um escalar é uma quantidade completamente determinada pela magnitude. Exemplos: massa, volume, densidade pressão, temperatura, tempo, posição. Campo Escalar Um campo escalar é uma função da posição que está completamente especificada pela sua magnitude. Exemplo: A temperatura na barra. T=T(x,y,z) Vetor O vetor é a representação matemática de uma grandeza que para ser completamente caracterizada precisa de um módulo, direção e sentido. Exemplo. deslocamento, velocidade, aceleração, força e Outro exemplo Gradiente de temperatura Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 4 Campo O campo é uma função de um vetor ou escalar que relaciona uma origem arbitrária a um ponto genérico do espaço. Diversos fenômenos físicos são associados aos conceitos de campo. Exemplo Campo gravitacional, campo magnético. O campo pode ser escalar ou vetorial. Campo Vetorial: função da posição completamente especificada pelo seu módulo direção e sentido. Operações com vetores 1. Adição e subtração ⃗ ⃗ ⃗⃗ Sistema com coordenadas retangulares. Temperatura Gradiente de temperatura Escalar Vetor Se a temperatura é função de x, y e z pode ser transformada em um vetor. Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 5 Os vetores unitários: ,̂ ̂ e ̂ são adimensionais tal que | |̂ | ̂| | ̂| e tem a direção dos eixos x, y e z. Componente de um vetor Utilizando a regra do paralelogramo para soma de vetores, temos: ⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ Seja: ⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ e ⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ Soma E o vetor resultante, ⃗⃗ dado pela soma de ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗. ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Assim. Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 6 Subtração ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ À adição e de vetores aplica-se a propriedade comutativa. ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗) ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ Obs. Não há a necessidade dos parênteses. 2. Multiplicação Multiplicação de um vetor por um escalar. Seja , ⃗⃗⃗ , Então: ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ É um vetor com componentes, , e . Multiplicação de um vetor por outro vetor resultando em escalar (produtor escalar); ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗| O produto escalar é comutativo. Exemplo de produto escalar. ⃗⃗ ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗⃗| Se ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Se ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗| | |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗| Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 7 O cálculo da componente de um vetor numa dada direção é uma das aplicações mais importantes do produto escalar. Seja um vetor unitário qualquer ̂ e o vetor ⃗⃗⃗. ̂ ̂ ⃗⃗⃗ ̂ | ⃗⃗⃗|| ̂| | ⃗⃗⃗| Multiplicação de um vetor por outro vetor resultando num vetor (produto vetorial). ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ | ̂ ̂ ̂ | ̂ ̂ ( ) ̂ Módulo de ⃗⃗ | ⃗⃗| | ⃗⃗⃗| | ⃗⃗⃗| Direção: O vetor ⃗⃗ dado pelo produto vetorial do vetor ⃗⃗⃗ pelo vetor ⃗⃗⃗, é perpendicular ao plano formado pelos vetores ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗. Sentido: Regra da mão direita (parafuso). Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 8 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗) ⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗) ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 4. Derivadas vetoriais ⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ Exemplo Se ⃗ é dado por: ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ 5. Integral de linha Um exemplo de integral de linha é o calculo do trabalho de uma força F, quando um corpo desloca devida a sua ação de um ponto 1 até um ponto 2. ∫ ⃗⃗ ⃗ Escalar Não tem ponto e nem x, pois o produto a seguir é um escalar. Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 9 Seja ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗ ⃗ ∫ ∫ ∫ Quando esta integral é realizada num caminho fecho o resultado é zero. O trabalho de forças conservativas não depende do caminho. ∮ ⃗⃗ ⃗ 6. Integrais de Superfície ∫ ⃗⃗⃗ ̂ Obs: o vetor normal à superfície (n) é unitário. Quando se trata de uma superfície fechada, a integral seráda forma: ∮ ⃗⃗⃗ ̂ Exemplos: Lei de Gaus (fluxo de campo elétrico) Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 10 Movimento de fluidos. 6. Gradiente de uma função escalar Seja Quando descrevemos os valores desta função para dois pontos muito próximos separados por um deslocamento infinitesimal dado por ⃗ temos ⃗ ̂ ̂ ̂ lembrando que ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ Temos que ̂ ̂ ̂ Onde é o vetor chamado de gradiente da função ⃗ Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 11 Assim: 1. Considere ⃗ ao longo de uma curva com ⃗ mas , pois assumimos logo ⃗ 2. Considere ⃗ em diferentes direções com o mesmo módulo. ⃗ ⃗ | | | ⃗| ⃗ Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 12 Onde Então depende de e ⃗ escolhido. Quando é máximo? Resp.: Quando , e isto implica que ⃗ Portanto, o vetor aponta para a direção em que tem a maior variação. Em outras palavras o gradiente de uma função, , é um vetor que nos “aponta” para a direção de maior variação da função. Gradiente ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ | | [( ) ( ) ( ) ] Notas de aulas de eletromagnetismo 1 a Aula- “Analise vetorial “ 13 ⃗ | || ⃗| . Exercícios 1. Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C, D são ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗⃗ ̂ ̂ Demonstre que as linhas e são paralelas. 2. Calcule o produto escalar, o produto vetorial e o ângulo entre ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ 3. Demonstre que os vetores são perpendiculares. ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ 4. Demonstre que os vetores formam os lados de um triangulo reto. ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ 5. Elevando ao quadrado ambos os lados da equação ⃗ ⃗⃗ ⃗ e interpretando geometricamente o resultado, prove a “lei dos cossenos”. 6. Usando o produto escalar, encontre o co-seno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e uma das arestas do cubo. 7. Demonstre que o vetor unitário normal à superfície de ⃗ é ̂ | | Encontre ̂ para o elipsóide | |
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