matematica 2b

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Professor 
Matemática 
 
 
 
CCaaddeerrnnoo ddee AAttiivviiddaaddeess 
PPeeddaaggóóggiiccaass ddee 
AApprreennddiizzaaggeemm 
AAuuttoorrrreegguullaaddaa -- 0033 
33ªª SSéérriiee ||33°° BBiimmeessttrree 
Disciplina Curso Bimestre Série 
Matemática Ensino Médio 2° 3ª 
Habilidades Associadas 
1. Identificar e conceituar a unidade imaginária. 
2. Identificar o conjunto dos números complexos e representar um número complexo na forma 
algébrica. 
3. Calcular expressões envolvendo as operações com números complexos na forma algébrica. 
4. Resolver problemas utilizando o cáculo da distância entre dois pontos. 
5. Identificar e determinar as equações geral e reduzida de uma reta. 
 
2 
 
 
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o 
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem 
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes 
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. 
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma 
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar 
suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma 
autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções 
para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. 
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das 
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades 
roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é 
efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. 
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, 
também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o 
a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática. 
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior 
domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para 
o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as 
ferramentas da autorregulação. 
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se 
para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o 
aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. 
 A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da 
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede 
estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim 
de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às 
suas aulas. 
Estamos à disposição através do e-mail curriculominimo@educacao.rj.gov.br para quaisquer 
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. 
 
Secretaria de Estado de Educação 
Apresentação 
http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/
mailto:curriculominimo@educacao.rj.gov.br
 
3 
Caro Tutor, 
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas 
diretamente a algumas habilidades e competências do 3° Bimestre do Currículo Mínimo 
de Matemática da 3ª série do Ensino Médio. 
A nossa proposta é que você, Professor, desenvolva estas atividades com a 
turma. Estas atividades foram elaboradas a partir da seleção das habilidades que 
consideramos essenciais em cada ano/série. 
Para cada bimestre teremos dois documentos: material do aluno e material do 
Professor. O Material do Professor deverá ser utilizado como um suporte para que 
qualquer professor possa aplicá-lo, e o material do aluno, que deverá ser reproduzido 
para cada aluno, é formado por uma base teórica, uma ficha de atividade para cada 
semana de aula e ao fim do bimestre, uma pesquisa. 
 Para os assuntos abordados em cada bimestre, iremos apresentar algumas 
relações diretas com todos os materiais que estão disponibilizados em nosso site 
Conexão Professor, fornecendo desta forma diversos recursos de apoio pedagógico 
para o Professor aplicador. 
 Neste Plano Mensal, vamos trabalhar com dois campos: o Campo Algébrico 
Simbólico e o Campo Geométrico. Na primeira parte iremos ampliar nosso 
conhecimento sobre os conjuntos numéricos e iremos trabalhar com os Números 
Complexos. Já na segunda parte iremos dar início ao estudo da Geometria Analítica. 
Consideramos esse estudo de grande relevância, não apenas pelo conteúdo em si, mas 
também por estar presente na maioria das avaliações em nível estadual e nacional. 
Sabemos das dificuldades encontradas no dia a dia do trabalho em sala de aula. 
Cada um desses planos foi planejado para atender os pontos de carência na 
aprendizagem do aluno. Para maior interação todas as atividades apresentam-se 
comentados, e não necessitam de explicações de conteúdos. 
Um abraço e bom trabalho! 
Equipe de Elaboração. 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 Introdução ............................................................................................ 
 
03 
 Objetivos Gerais ................................................................................................
 Materiais de Apoio Pedagógico ...........................................................................
 Orientação Didático-Pedagógica.......................................................... 
 Aula 01: O Conjunto dos Números Complexos ........................................ 
 Aula 02: Plano de Argand-Gauss e potências de i ..................................... 
 Aula 03: Operações com Números Complexos ......................................... 
 Aula 04: Distância entre dois pontos ....................................................... 
 Aula 05: Equação Geral da Reta ................................................................ 
 Aula 06: Equação Reduzida da Reta .......................................................... 
 Avaliação .................................................................................................. 
 Avaliação Comentada ................................................................................ 
 Pesquisa .................................................................................................................
 Referências: .............................................................................................. 
 
05 
05 
07 
08 
14 
21 
28 
34 
41 
45 
46 
49 
51 
 
 
 
Sumário 
file:///C:/Users/vmano/Desktop/Materiais%20-%20SEEDUC/RPM%20-%202º%20Bimestre/Produção/9°Ano_RPM_PROFESSOR_2°BI(Vesão%20Vinícius).docx%23_Toc366482419
file:///C:/Users/vmano/Desktop/Materiais%20-%20SEEDUC/RPM%20-%202º%20Bimestre/Produção/9°Ano_RPM_PROFESSOR_2°BI(Vesão%20Vinícius).docx%23_Toc366482420
file:///C:/Users/vmano/Desktop/Materiais%20-%20SEEDUC/RPM%20-%202º%20Bimestre/Produção/9°Ano_RPM_PROFESSOR_2°BI(Vesão%20Vinícius).docx%23_Toc366482421
file:///C:/Users/vmano/Desktop/Materiais%20-%20SEEDUC/RPM%20-%202º%20Bimestre/Produção/9°Ano_RPM_PROFESSOR_2°BI(Vesão%20Vinícius).docx%23_Toc366482426
 
5 
 
 
 No segundo bimestre, na 3°série do Ensino Médio trabalhamos um dos 
conhecimentos mais utilizados hoje em dia, a Estatística. Este assunto é muito usado 
para descrever os dados observados em pesquisas ou experimentos. É cada vez mais 
relevante para todo cidadão interpretar criticamente resultados de pesquisas 
estatísticas. Para isso, é importante que situações que envolvam dados da realidade 
físicaou social sejam apresentados, trabalhados e interpretados por nossos alunos. 
É também importante saber fazer inferências, com base em informações qualitativas 
ou dados numéricos. 
 
 
 
No site Conexão Professor, é possível encontrar alguns materiais que podem auxiliá-
los. Veja a lista a seguir: 
 
 
Orientações 
Pedagógicas do CM 
 
Vídeo: História dos números complexos, Conjuntos 
Numéricos e Fórmula de Euler 
Descrição: Este vídeo apresenta uma breve história 
dos números complexos com destaque para os 
principais personagens envolvidos nesta história. 
Endereço eletrônico: 
http://www.youtube.com/watch?v=iFoG9T2kEmk 
Tempo de duração: 12’14’’ 
 
Números complexos 
Descrição: O site apresenta a história dos números de 
forma geral. O Episodio 3 que descreve a história por 
trás do números complexos. 
Endereço eletrônico: 
http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/matem
atica/condigital2/campos_numericos/n%C3%BAmeros_
complexos.html 
 
Materiais de Apoio Pedagógicos 
Objetivos Gerais 
 
6 
 
Vídeo:Forma trigonométrica de um complexo 
Descrição: Esse vídeo apresenta a forma polar ou 
trigonométrica dos Complexos nele são apresentados 
definições de afixo, módulo, argumentos. 
Endereço Eletrônico: 
http://www.gilmaths.mat.br/page_32.html 
Tempo de duração: 14’ 52’’ 
 
Vídeo: Números complexos I PAPMEM 
Descrição: Nessa aula destaca-se a importância de, 
caso trabalhe-se números complexos no Ensino 
Médio, demonstrar sua real importância de uso para 
o aluno. É possível verifi car a resolução de equações 
do 3º grau através da fórmula de Cardano. É 
mostrada ainda a representação no plano 
cartesiano e operações com Complexos. 
Endereço Eletrônico: 
http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-
2006 
Tempo de duração: 1:11’04’’ 
 
Vídeo: Distância entre dois pontos - Aula número 52 
Descrição: Nessa aula são analisados graficamente a 
distância entre dois pontos, considerando as três 
posições possíveis ( Vertical, Horizontal, Inclinado) dos 
segmentos cujos pontos são seus extremos. Também 
são solucionados diversos problemas envolvendo 
triângulos. 
Vestibulandia.com 
Endereço Eletrônico: 
http://www.youtube.com/watch?=aIXcuud7QUo 
Tempo de duração:13’36’’ 
 
 Vídeo : Formas da Equação da Reta 
Descrição: Nessa aula é possível verificar as formas de 
equação da reta. O vídeo apresenta de forma 
bastante simplificada as deduções das formulas das 
equações da reta. 
Endereço Eletrônico: 
http://www.youtube.com/watch?v=Z2GduKiLazs 
Tempo de duração: 14’47’’ 
 
 
 
file:///C:/p:/www.gilmaths.mat.br/page_32.html
file:///C:/p:/video.impa.br/index.php%3fpage=janeiro-de-2006
file:///C:/p:/video.impa.br/index.php%3fpage=janeiro-de-2006
http://www.youtube.com/watch?v=Z2GduKiLazs
 
7 
 
 
 Para que os alunos realizem as Atividades referentes a cada dia de aula, 
sugerimos os seguintes procedimentos para cada uma das atividades propostas no 
Caderno do Aluno: 
1° - Explique aos alunos que o material foi elaborado que o aluno possa compreendê-lo 
sem o auxílio de um professor. 
2° - Leia para a turma a Carta aos Alunos, contida na página 3. 
3° - Reproduza as atividades para que os alunos possam realizá-las de forma individual 
ou em dupla. 
4° - Se houver possibilidade de exibir vídeos ou páginas eletrônicas sugeridas na seção 
Materiais de Apoio Pedagógico, faça-o. 
5° - Peça que os alunos leiam o material e tentem compreender os conceitos 
abordados no texto base. 
6° - Após a leitura do material, os alunos devem resolver as questões propostas nas 
ATIVIDADES. 
7° - As respostas apresentadas pelos alunos devem ser comentadas e debatidas com 
toda a turma. O gabarito pode ser exposto em algum quadro ou mural da sala para que 
os alunos possam verificar se acertaram as questões propostas na Atividade. 
 
 Todas as atividades devem seguir esses passos para sua implementação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Orientação Didático-Pedagógica 
 
8 
 
 
 Na aula de hoje, vamos estudar o Conjunto dos Números Complexos. 
 Quando resolvemos a equação do 2º grau, por exemplo, x2 + 2x + 5 = 0, usando 
a Fórmula de Bháskara, encontramos: 
∆ = b² - 4ac = 22 – 4.1.5 = 4 – 20 = ─16 
 Neste caso temos que o valor do discriminante é menor que zero (∆ < 0), o que 
torna a solução desta equação impossível no Conjunto dos Números Reais. 
 A necessidade de obter a solução para este tipo de equação levou matemáticos 
como Girolamo Cardano (1501-1576), Friedrich Gauss (1777-1855) e René Descartes 
(1596 – 1650) a procurar novos conjuntos em que “o quadrado de um certo número 
pudesse ser negativo”. 
 
1 - UNIDADE IMAGINÁRIA: 
 
 Para ampliar o conceito de número de modo que a radiciação seja sempre 
possível, definimos o número i, não-real, denominado unidade imaginária, que satisfaz 
a seguinte condição: 
i2 = ─ 1 ou i = 1 
 
 Retornando a equação anterior, temos: 
x = 
i21
2
i42
x
i21
2
i42
x
2
i42
2
1162
2
162
2
1
 
 
 Assim, esta equação tem solução no Conjunto dos Números Complexos e sua 
solução é: 
S = {1 + 2 i, 1 -2 i} 
Aula 1: O conjunto dos Números Complexos 
 
9 
 Assim foi criado o Conjunto dos Números Complexos, que tem a forma z=a+bi, 
onde a e b são números reais, para abrigar tais “números”, conforme esquematizado a 
seguir: 
 
 René Descartes (1596 – 1650) foi o primeiro matemático a chamar, 
informalmente, 1 = i , entretanto, o matemático Leonhard Euler, em meados do 
século XVIII, de maneira mais sistematizada, ampliou os conjuntos numéricos, 
definindo que: 
 O conjunto ℂ representa os números Complexos; 
 O conjunto IR representa os Números Reais e este é subconjunto de ℂ; 
 O conjunto (ℂ – IR) representa os Números Complexos Imaginários que 
não são reais; 
 Observe que todo número real é complexo, entretanto, nem todo número 
complexo é real; 
 
EXEMPLO 01: 
O número 2 + i , é um número complexo “não-real”, sendo i = 1 a unidade 
imaginária. 
 
EXEMPLO 02: 
Usando novamente o conceito de unidade imaginária, vamos resolver a seguinte 
equação: x2 – 2x + 2 = 0. 
 
Resolução: 
Aplicando a formula de Baskára, teremos: 
 
10 
∆ = b² – 4 a c = 22 – 4.1.2 = 4 – 8 = -4 
x = 
i1
2
i22
x
i1
2
i22
x
2
i22
2
142
2
4)2(
2
1
 
S = {1 + i, 1 - i } 
 
EXEMPLO 03: 
Resolva a equação x2+ 25 = 0. 
Resolução: 
Para este tipo de equação não precisamos usar a fórmula de Bháskara. 
 x2+ 25 = 0 
 x2 = - 25 
 x = i5125i25 
Assim a solução é S = { +5 i, - 5 i } 
 
2 ─ FORMA ALGÉBRICA: 
 
 Dado um número complexo z = a + bi, em que a e b IR , temos: 
 
 a é chamado parte real de z e indica-se a = Re(z). 
 b é chamado parte imaginária de z e indica-se b = Im(z). 
 
 Observe alguns exemplos: 
 
a) Z1 = 3 + 4i a = 3 e b = 4 
b) Z2 = ─2i a = 0 e b = ─ 2 
c) Z3 = 5 a = 5 e b = 0 
 
 Nota-se que se b = 0 e z = a , isto é, z é um número real com a parte imaginária 
igual a zero, sou seja, Im(z) = 0. Por outro lado se a = 0 e z = bi , isto é, z é um 
 
11 
imaginário puro com parte real igual a zero, ou seja, Re(z) =0. 
 
EXEMPLO 04: 
O número complexo 1 + 2 i tem Re(z) = 1 e Im(z) = 2. 
Já o número 1 - 2 i tem Re(z) = 1 e Im(z) = - 2. 
 
EXEMPLO 05: 
O número complexo 5i tem Re(z) = 0 e Im(z) = 5. 
Já o número complexo - 5i tem Re(z) = 0 e Im(z) = ─ 5 e ambos são chamados de 
imaginário puro. 
 
 Agora vamos verificar se você aprendeu. Resolva os exercícios abaixo e em caso 
de dúvidas retorne aos exemplos. 
 
 
 
 
01. Resolva as equações a seguir: 
a) x2 - 4x + 5 = 0 
 
Resolução: 
∆ = b² – 4ac = (- 4)2 – 4 1 5 = 16 – 20= - 4 
i2
2
i24
x
i2
2
i24
x
2
i24
2
144
2
4)4(
x
2
1
 S = {2 + i, 2 - i} 
b) x2 – 6x + 13 =0 
 
Resolução: 
∆ = b² – 4ac = (-6)2 – 4 1 13 = 36 - 52 = -16 
Atividades Comentadas 1 
 
12 
i23
2
i46
x
i23
2
i46
x
2
i46
2
1166
2
16)6(
x
2
1
 S = {3 + 2i, 3 - 2i} 
c) x2 + 36 = 0 
 
Resolução: 
x2= - 36 
x = i6136i36 S= {+6i, -6i}d) x2 - 6x + 10 =0 
 
Resolução: 
∆ = b² – 4ac = (-6)2 – 4 1 10 = 36 - 40 = - 4 
i3
2
i26
x
i3
2
i26
x
2
i26
2
146
2
4)6(
x
2
1
 S = {3 + i, 3 - i} 
 
02. Assinale os números complexos: 
 
(A) 1 + 2i 
(B) -2i 
(C) -2 
(D) 
1
2 
(E) -5 – 3i 
 
Resolução: 
Devemos assinalar todos os números, pois se observarmos o diagrama apresentado 
nesta aula, vemos que o conjunto dos números complexos contém os demais conjuntos. 
Logo todo número real é também um número complexo. 
 
 
13 
03. Para cada número complexo abaixo destaque a parte real e a parte imaginária e 
identifique aquele que é imaginário puro: 
 
a) 2 + 3i Parte Real: 2 Parte Imaginária: +3i 
b) -1 -2i Parte Real:- 1 Parte Imaginária: - 2i 
c) - 2i Parte Real: 0 Parte Imaginária: - 2i (imaginário puro) 
d) -5 Parte Real: 5 Parte Imaginária: 0 
(E) -5 – 3i Parte Real: - 5 Parte Imaginária: - 3i 
 
04. Determine m IR, de modo que z = - 2 + (1 - m)i seja um número real 
 
Resolução: 
Para que z seja um número real é necessário que a parte imaginária seja igual a zero, 
isto é: 1 - m = 0 m = 1. 
 
 
 
 
 Agora que já conhecemos os números complexos, você pode estar se 
perguntando onde iremos construir gráficos envolvendo os números deste conjunto? 
Para o Conjunto dos Números Complexos teremos um plano especial para as 
representações gráficas. Vamos estudá-las? 
 
1. FORMA ALGÉBRICA E REPRESENTAÇÃO NO PLANO DE ARGAND-GAUSS: 
 
 Já vimos que todo número complexo é um numero da forma a + bi, com a e b 
reais e i = 1 (ou, i2 = -1). 
 Denotamos: 
 a de parte real, isto é, Re(z) = a; 
 b de parte imaginária, isto é, Im(z) = b; 
 
Aula 2: Plano de Argand-Gauss e potências de i 
 
 
14 
 i de unidade imaginária. 
 
 Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = a + bi e 
representado pelo ponto P(a, b). O ponto P é chamado de afixo do complexo z. O 
plano no qual representamos os complexos é chamado de Plano de Argand-Gauss. O 
eixo dos x é chamado de eixo real e o eixo dos y é chamado de eixo imaginário. 
 
 
Figura 1 
 
 Em particular o número complexo z = a + bi é chamado: imaginário puro se 
a = 0 e b ≠ 0; imaginário se a ≠ 0 e b ≠ 0 e real se b = 0. 
 
EXEMPLO O1: 
O números complexo z1= ─1 + 3i tem a Re(z) = ─1 e Im (z) = 3 e o afixo é o ponto ( ─1, 3). 
Já o números complexo z2= ─4 + 5i tem a Re(z) = 4 e Im (z) = 5 e o afixo é o ponto ( 4, 5). 
Para ambos temos as seguintes representações no Plano de Argand – Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02: 
Observando o Plano de Argand- Gauss a seguir podemos destacar os seguintes números 
complexos e seus afixos. 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto afixo de z 
Números Complexos 
correspondentes 
A ( 2 ,3 ) 2+3i 
B ( 6 ,0 ) 6 
C ( 0 , -3) -3i 
D ( -2 , 1) -2 + i 
E ( 2 , -2 ) 2 - 2i 
F ( -3, -2) -3 - 2i 
 
 
 
 
 
 
 
Repare que para o afixo B(6 , 0) temos 
o número complexo 6+0i, e para o 
afixo C( 0 , -3) o números complexo 
correspondente é 0 – 3i. 
escrever -3i
 
16 
2 ─ MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO ─ | z|: 
 
 O Módulo |z| do número complexo 
z = a + bi, com a,b IR, é a distância do afixo 
(a,b) ao ponto (0,0) do plano de Argand-Gauss. 
Se z = a + bi então |z| = 22 ba 
 
EXEMPLO 03: 
a) z = 3 + 4i |z| = 52516943 22 
b) z = 6 + 2i |z| = 1024043626 22 
c) z = 1 - 2i |z| = 541)2(1 22 
d) z = 8i |z| = 86464080 22 
 
 
3 ─ CONJUGADO: 
 
 Vamos chamar de conjugado do complexo z = a + bi, com a e b reais, e o 
complexo z = a – bi. 
 
EXEMPLO 04: 
a) z = 5 + 3i z = 5 – 3i 
b) z = - 6 - 2i z = - 6 + 2i 
c) z = 10i z = - 10i 
d) z = 8 z = 8 
 
 Podemos observar no Plano de Argand-Gauss que os números complexos 
conjugados têm imagens simétricas em relação ao eixo real. 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
4 ─ POTÊNCIAS DE i: 
 
 Para calcular as potências in, com n lN, vamos usar as propriedades de 
potenciação já conhecidas em ℂ e fazemos: 
 i0 = 1 
 i1 = i 
 i2 = -1 
 i3 = i2 . i = ─i 
 i4 = i2 .i2 = (-1).(-1) = 1 
 i5 = i4 . i = i 
 i6 = i4 . i2 = -1 
 i7 = i4 . i3= -i 
 i8 = i4 . i4 = 1 
 i9 = i8 . i = i 
 i10 = i8 . i2 = -1 
 
 Repare que os valores de in se repetem de 4 em 4. Então para calcular in, em que 
n IN, basta dividir o expoente n por 4 e o novo expoente de i será o resto desta 
divisão. 
 
EXEMPLO 05: 
Vamos calcular i107 aplicando a regra acima. 
 
18 
Resolução: 
107 4 
 23 26 
 3 
Sendo assim o resto da divisão de 107 por 4 é 3. Logo i107 = i3 = -i . 
 
EXEMPLO 06: 
Agora vamos calcular i2050 aplicando a regra acima. 
 
Resolução: 
2050 4 
 05 512 
 10 
 2 
Sendo assim o resto da divisão de 2050 por 4 é 2. 
Logo i2050 = i2 = -1 . 
 
 
 
 
 
 
 Agora vamos verificar o que você aprendeu. Resolva os exercícios a seguir e em 
caso de dúvidas retorne aos exemplos apresentados. 
 
 
 
 
 
 
Repare que para calcularmos as 
potências de in é importante 
sabermos as seguintes potências: 
i0 = 1, i1 = i, i2 = - 1 e i3 = - i . 
 
 
19 
 
 
01. Dê os afixos dos números complexos assinalados no Plano de Argand-Gauss, depois 
escreva o número complexo correspondente e calcule o seu módulo: 
 
 Ponto afixo 
de z 
Números Complexos 
correspondentes 
Módulo do Número Complexo | 
z| 
A (2,1) 2 + i 51412 22 
B (3,-1) 3 - i 1019)1(3 22 
C (-2,0) -2 24040)2( 22 
D (4,0) 4 41601604 22 
E (-2,-2) -2 -2i 22844)2()2( 22 
F (0,3) 3i 399030 22 
G (-2,2) -2 +2i 228442)2( 22 
 
Atividades Comentadas 2 
 
20 
02. Marque cada um dos números complexos a seguir no Plano de Argand-Gauss e 
indique os respectivos afixos: 
 
Resolução: 
a) z1 = 1+ 3i A (1, 3) 
b) z2 = -2 – 3i B (-2,-3) 
c) z3 = 2 – 4i C ( 2, -4) 
d) z4 = - 2 D (-2, 0) 
e) z5 = 3i E (0, 3) 
 
 
03. Determine o conjugado dos seguintes números complexos: 
 
a) z= 1 – i z = 1 + i 
b) z= 5 + 3i z = 5 - i 
c) z= - 2 - 2i z = - 2 + 2i 
d) z= 3 - 4i z = 3 + 4i 
e) z= - 5i z = + 5i 
 
 
04. Calcule as seguintes potências de i: 
a) i12 b) i549 c) i1324 
 
Resolução: 
a) 126 4 
 06 31 Sendo assim o resto da divisão de 126 por 4 é 2. 
 2 Logo i126 = i2= -1 
b) 549 4 
 14 137 Sendo assim o resto da divisão de 549 por 4 é 1. 
 29 Logo i549 = i1= i 
 
21 
 1 
c ) 1324 4 
 12 331 Sendo assim o resto da divisão de 1324 por 4 é 0. 
 04 Logo i1324 = i0= 1 
 0 
 
 
 
 
 Como já vimos, os números complexos são escritos na sua forma algébrica da 
seguinte maneira: a + bi, onde a e b são números reais. O valor de a é a parte real do 
número complexo e que o valor de bi é a parte imaginária do número complexo. 
 Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e 
multiplicação, obedecendo à ordem e às características da parte real e da parte 
imaginária. 
 
1 ─ IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS: 
 
 Dois números complexos são iguais se forem respectivamente iguais suas partes 
reais e imaginárias. Assim, dados z1 = a + bi e z2 = c + di, temos: 
 
z1 + z2 = a + bi = c + di, se e somente se, a = c e b = d 
 
EXEMPLO 01: 
Determine os valores numéricos de x e y de modo que 2x - 5yi = 4 + 15i. 
 
Resolução: 
Igualando as parte reais temos: 2x = 4 x =
2
4
 = 2 
Aula 3: Operações com Números Complexos 
 
22 
Por outro lado, igualando as partes imaginárias temos: 5y = 15 y = 
5
15= 3 
Logo x = 2 e y = 3. 
 
2 ─ ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS: 
 
 Dados dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao 
adicionarmos teremos: 
 z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) 
 = a + bi + c + di 
 = a + c + bi + di 
 = a + c + (b + d)i 
 = (a + c) + (b + d)i 
 Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. 
 
EXEMPLO 02: 
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma: 
 
Resolução: 
 z1 + z2 = (6 + 5i) + (2 – i) 
 = 6 + 5i + 2 – i 
 = 6 + 2 + 5i – i 
 = 8 + (5 – 1)i 
 = 8 + 4i 
 Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i. 
 
3 ─ SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS: 
 
 Dados dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtrairmos 
os dois números teremos: 
 z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) 
 
23 
 = a + bi – c – di 
 = a – c + bi – di 
 = (a – c) + (b – d)i 
 Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i. 
 
EXEMPLO 03: 
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = 1 + 3i, calcule a sua subtração: 
 
Resolução: 
 z1 - z2 = (4 + 5i) - (1 + 3i) 
 = 4 + 5i - 1 - 3i 
 = 3 + (5 – 3)i 
 = 3 + 2i 
 Portanto, z1 - z2 = 3 + 2i. 
 
EXEMPLO 04: 
Vejamos agora um outro exemplo de subtração de dois números complexos. Dado dois 
números complexos z3 = - 2 + 3i e z4 = 1 + 4i, calcule a sua subtração: 
 
Resolução: 
 z3 – z4 = (- 2 + 3i) – (1 + 3i) 
 = - 2 + 3i - 1 - 3i 
 = - 3 + 0i 
 =- 3 
 Portanto, z3 - z4 = -3. 
 
5 ─ MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS: 
 
 Dado dois números complexos quaisquer z1= a + bi e z2 = c + di, utilizaremos a 
propriedade distributiva para multiplicá-los, assim teremos: 
 z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) 
 
24 
 = ac + adi + bci + bdi2 
 = ac + adi + bci + bd X(-1) 
 = ac + adi + bci – bd 
 = ac - bd + adi + bci 
 = (ac - bd) + (ad + bc)i 
 Portanto, z1 . z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i. 
 
 
EXEMPLO 05: 
Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação: 
 
Resolução: 
 z1 . z2 = ( 5 + i ) . ( 2 – i ) 
 = 5 . 2 – 5i + 2i – i2 
 = 10 – 5i + 2i -(- 1) 
 = 10 + 1 – 5i + 2i 
 = 11 – 3i 
 Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i. 
 
EXEMPLO 06: 
Dado dois números complexos z3 = ( – 1 + 3 i ) e z4 = ( 2 + i )1 + 4i, calcule a 
multiplicação: 
 
Resolução: 
 z1 . z2 = ( – 1 + 3 i ) .( 2 + i ) 
 = (-1).2 - i + 6i + 3i2 
 = - 2 – 3 -i +6i 
 Portanto, z1 . z2 = -5 + 5 i. 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
5 ─ DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS: 
 
 Para se dividir números complexos, deve-se multiplicar ambos os números pelo 
conjugado do complexo do denominador. Ou seja, dados z1 e z2 para efetuarmos a 
divisão precisamos calcular da seguinte forma: 
 
 
 
EXEMPLO 07: 
Vamos calcular o valor de ( 5 + 3i ) : (2 - 7 i ). 
 
Resolução: 
 Para começar vamos multiplicar o divisor e o dividendo pelo conjugado do 
divisor como explicado acima: 
)i72()i72(
)i72()i35(
)i72(:)i35( 
 Para realizar o produto no denominador vamos recorrer aos produtos notáveis, 
mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos, onde temos 
que: 
(a + b ) . ( a – b ) = a2 – b2 
 
 Continuando o processo da divisão temos: 
 
53
i41
53
11
53
i41i11
)i7()2(
i21i6i3510
)i72()i72(
)i72()i35(
)i72(:)i35(
22
2
 
 
Para efetuarmos a 
multiplicação de dois 
Números Complexos, 
devemos lembrar que i2 = – 1 
http://www.matematicadidatica.com.br/ProdutosNotaveis.aspx
 
26 
 Note que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 2 – 7i e no final temos o 
divisor real 53. É por isso que utilizamos o conjugado como expediente para realizar a 
divisão e assim conseguimos transformar um divisor imaginário em um divisor real. 
 
EXEMPLO 08: 
Vamos dividir os números complexos z3 = 3+2i por z4 = 1 +i. 
 
Resolução: 
A divisão z1 : z2 pode ser calculada da seguinte forma: 
 
2
i
2
5
2
i5
11
i5
i1
i2i2i33
)i1()i1(
)i1()i23(
i1
i23
2
2
 
 
 Novamente, observe que inicialmente tínhamos o divisor imaginário 1+i e no 
final temos o divisor real 2. 
 
 Agora vamos verificar o que você aprendeu. Resolva os exercícios a seguir e em 
caso de dúvidas retorne aos exemplos apresentados. 
 
 
 
01. Determine x e y na igualdade : 6 + 5y = 2x - 10i. 
 
Resolução: 
Igualando as parte reais temos: 2x = 6 x = 
2
6
= 3 
Igualando as parte imaginárias temos: 5y = -10 y =
2
10
=- 
 
 
Atividades Comentadas 3 
 
27 
02. Dados z1 = 5 + 2i e z2 = 3 - 4i , calcule: 
 
a) z1 + z2 
b) z1 - z2 
c) z1 . z2 
 
Resolução: 
(A) z1 + z2 (5 + 2i) + (3 – 4i) = (5 + )+( 2- 4)i = 8 – 2i 
(B) z1 - z2 (5 + 2i) - (3 – 4i ) = (5 - 3 )+( 2-(- 4) )i = ( 5 - 3 )+( 2 +4 )i = 2 + 6i 
(C) z1 . z2 (5 + 2i) . ( 3 – 4i ) = (5.3 + 2.4) + (2.3 – 5.4) i = 23 – 14i 
 
 
03. Calcule o quociente de ( 3 + 2i ) por ( 4 - 3i ): 
 
Resolução: 
2
5
7
2
5
2
14
2
514
11
2512
)1(1
)1(2512
1
28312
)1()1(
)4()23(
34
23
2
2
iiii
i
i
iii
ii
ii
i
i
 
 
04. Dados z= 3 - 5i, calcular z2. 
 
Resolução: 
(3 – 5i)2= ( 3 – 5i). ( 3 – 5i) = 9 - 15i - 15i + 25i2 = 9 - 30i + 25(- 1) =9 - 30i - 25 = - 16 - 30i 
 
 
 
 Caro aluno, neta aula, daremos início ao estudo da geometria analítica, vamos 
agora fazer uma breve recapitulação do estudo de localização de pontos. 
 
Aula 4: Distância entre dois pontos 
 
28 
1 ─ SISTEMA CARTESIANO: 
 
 É constituído por duas retas x e y, perpendiculares entre si. 
 
 
 
Onde: 
 - A reta x é denominada eixo das abscissas; 
 - A reta y é denominada eixo das ordenadas; 
 - O ponto O é denominado origem; 
 - O número real a é denominado abscissa de P; 
 - O número real b é denominado ordenada e P; 
 - O par ordenado (a, b) representa as coordenadas de P. 
 
 
2 ─ DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS NO PLANO: 
 
 A distância entre dois pontos distintos A (xA, yA) e B(xB, yB) é o número real não 
negativo d (A,B), também denominado como comprimento do segmento AB . 
 Observe os seguintes casos abaixo: 
 
 
29 
1º caso: Se AB // OX , então: 
 
 
 
 
 d(A, B) = |xB - xA| 
 
 
 
2º caso: Se AB // OY , então: 
 
 
 
 
 d(A, B) = |yB - yA| 
 
 
 
3º caso: Se AB oblíquo aos eixos, então; 
 
 
 
 
 d(A, B) = 2
AB
2
AB
)yy()xx( 
 
 
 
 
 
 
 
30 
EXEMPLO 01: 
A distância entre dois pontos A e B, localizados sobre o eixo das abscissas, é 10. 
Sabendo que a abscissa A é - 7, calcule a abscissa de B. 
 
Resolução: 
 Utilizando o desenho como motivação para ilustrar o problema, temos: 
 
 
 
 d(A, B) = 10 |b - (-7)| = 10 
 |b + 7| = 10 
 
Neste teremos duas possibilidades, observe: 
 b + 7 = 10 ou b + 7 = -10 
 b = 3 b = - 17 
Logo, a abscissa de B poderá ser 3 ou - 17. 
 
EXEMPLO 02: 
Calcule a distância entre os pontos A (5, - 3) e B (0, 9). 
 
Resolução: 
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: 
 d(A, B) = 2
AB
2
AB
)yy()xx( 
 d(A, B) = 22 ))3(9()50( 
 d(A, B) = 22 )12()5( 
 d(A, B) = 1316914425( 
Logo, a distância procurada é 13 unidades de comprimento. 
 
 
 
31 
3 ─ PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO: 
 
 O ponto médio do segmento de reta AB de extremos A (xA, yA) e B(xB, yB) é o 
ponto que divide o segmento dado em dois congruentes, isto é, de mesma medida é 
dado por: 
 
 
2
yy
,
2
xx
M BABA 
2
yy
y
2
xx
x
BA
M
BA
M
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 04: 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (5, - 2) e 
(- 1, - 4). 
 
Resolução: 
 Para obter as coordenadas do ponto médio procurado basta fazer a média 
aritmética das componentes das extremidades do segmento conforme a indicação 
acima, assim: 
Para obtermos a coordenada do ponto 
médio de um segmento, devemos fazer 
as médias aritméticas das primeiras e 
segundas componentes das extremidades 
do segmento. 
 
32 
Sendo M o ponto médio, temos: M=
3
2
6
242
2
)4(2
2
yy
y
2
2
4
2
15
2
)1(5
2
xx
x
BA
M
BA
M
 
Logo, M (2, - 3) 
 
 Caro aluno, chegou a hora de praticar! 
 Resolva as atividades a seguir para exercitar os conhecimentos que você 
aprendeu. 
 
 
 
01. Calcule a distância entre os pontos A (5, 7) e B (- 2, 7). 
 
Resolução: 
Observar que ambos pontos possuem a mesma 2ª componente, isto é, a ordenada é 
igual a 7. Desta maneira, a distância procurada entre os pontos é dado por 
 d(A, B) = |xB - xA| 
 d(A, B) = |- 2 - 5| 
 d(A, B) = |- 7| = 7 
Logo, d (A, B) = 7 
 
02. Determine a distância entre os pontos (2, -1) e (- 1, 3). 
 
Resolução: 
Aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: 
 d(A, B) = 2
AB
2
AB
)yy()xx( 
 d(A, B) = 22 ))1(3()21( 
 d(A, B) = 22 )4()3( 
Atividades Comentadas 4 
 
33 
 d(A, B) = 525169( 
Logo, a distância procurada é 5 unidades de comprimento. 
 
03. Calcule o perímetro, em centímetros, do triângulo de vértices A (3, 0), B (3, - 7) e 
C (27, 0). 
 
Resolução: 
 
 
d (A, B) = |- 7 - 0| = |- 7| = 7 A e B possuem mesma abscissa 
d (A, C) = |27 - 3| = |24| = 24 A e C possuem mesma ordenada 
d (B, C) = 2562649576724))7(0()327( 2222 
Então, o perímetro 2p = 7 + 24 + 25 = 56 cm. 
 
 
04. Sabendo que o ponto médio M do segmento AB tem coordenadas xM = 3 e yM = -2. 
 
Resolução: 
Sendo A (1, 0) encontre as coordenadas de B. 
Como M é o ponto médio de AB , temos: 
M=
4y
2
y0
2
2
yy
y
5x16x6x1
2
x1
3
2
xx
x
B
BBA
M
BBB
BBA
M
 
 
34 
 
 
 Caro aluno, iremos nesta aula a estudar a equação da reta, e para isso devemos 
em primeira mão, aprender a condição de alinhamento (colinearidade) de três pontos. 
 
1 ─ ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS: 
 
 Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), distintos dois a dois alinhados 
pela reta r. 
 
 
 
 
 
 
 
A, B e C são ditos colineares, se e somente se, 0
1yx
1yx
1yx
Cc
BB
AA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 5: Equação Geral da Reta 
Se o determinante acima for 
diferente de zero, diz-se que os 
pontos são vértices de um 
triângulo. 
 
35 
Observação: 
 Caro aluno, vamos agora fazer uma revisão de uma grande ferramenta para a 
obtenção da equação geral da reta que é o cálculo do determinante de ordem 3. Para 
calcular este determinante, podemos utilizar a Regra de Sarrus. 
 A Regra de Sarrus é um dispositivo prático para calcular o determinante de uma 
matriz de ordem 3 e devemos proceder seguindo os seguintes passos abaixo: 
 
1º Passo: Copiar as duas primeiras colunas da matriz a sua direita; 
 
 
 
 
 
2º Passo: Somar os produtos dos elementos da diagonal principal e das demais 
diagonais paralelas a ela; 
 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A 
 
(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) 
 
3º Passo: Somar os produtos dos elementos da diagonal secundária e também das 
diagonais paralelas a ela. 
 
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A 
(a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12) 
 
4º Passo: Agora vamos efetuar a subtração do primeiro somatório pelo segundo 
somatório, obtendo o determinante como mostramos a seguir: 
det A = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) - (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12) 
 
32
22
21
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A
 
36 
 Caro aluno, você poderá observar nos exemplos abaixo a aplicação da Regra de 
Sarrus na resolução do determinante do 3ª ordem para verificar o alinhamento de três 
pontos e também na obtenção da equação geral da reta. 
 Vamos, então, aos exemplos para fixar o conteúdo desta aula. 
 
 
EXEMPLO 01: 
Verifique se os pontos abaixo estão alinhados: 
a) A (6, 5), B (3, 4) e C (- 3, 2) 
 
Resolução: 
Representando inicialmente o determinante D = 
123
143
156
, e em seguida calculando-o, 
temos: 
D = (6 4 1 + 5 1 (- 3) + 1 3 2) - (- 3 4 1 + 2 1 6 + 1 3 5) = 
D = (24 - 15 + 6) - (- 12 + 12 + 15) = 
D = 15 - 15 = 0 
Logo, os pontos A (6, 5), B (3, 4) e C (- 3, 2) estão alinhados (são colineares). 
 
b) D (4, 3), E (2, 4) e F (5, - 1) 
 
Resolução: 
Representando inicialmente o determinante D = 
115
142
134
, e em seguida calculando-o 
temos: 
D = (4 4 1 + 3 1 5 + 1 2 (- 1)) - (5 4 1 + (- 1) 1 4 + 1 2 3) = 
D = (16 + 15 - 2) - (20 - 4 + 6) = 
D = 29 - 22 = 7 
 
37 
Logo, os pontos D (4, 3), E (2, 4) e F (5, - 1) não estão alinhados (não são colineares), 
portanto são vértices de um triângulo. 
 
2 ─ EQUAÇÃO GERAL DA RETA: 
 
 Caro aluno, você sabia que uma reta é perfeitamente caracterizada se são 
conhecidos dois de seus infinitos pontos? Sim, essa afirmação é verdadeira, pois, 
apenas uma única reta passa pelos pontos distintos A (xA, yA), B(xB, yB). 
 Sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa reta, teremos ,então, o alinhamento de 
P com A e B, assim, verifica-se a condição de alinhamento, isto é: 
 
 
 
0
1yx
1yx
1yx
BB
AA
 
 
Resolvendo o determinante acima pela Regra de Sarrus, temos: 
 
(x yA 1 + y 1 xB + 1 xA yB) - (xB yA 1 + yB 1 x + 1 xA y) = 0 
xyA + yxB + xAyB - xByA - yBx - xAy = 0 
 
Colocando o x e o y em evidência, temos: 
 
x(yA - yB) + y(xB - xA) + (xAyB - xByA) = 0 (*) 
 
38 
Vamos fazer as seguintes considerações a fim de tornar a equação acima mais simples: 
 
a = yA - yB 
b = xB - xA 
c = xAyB - xByA 
 
E substituindo em (*), temos ax + by + c = 0, chamada equação geral da reta r. 
 
EXEMPLO 02: 
Obtenha a equação geral da reta r que passa pelos pontos A (2, -1) e B (1, 3). 
 
Resolução: 
 Para obter a equação da reta r, deve-se resolver o determinante abaixo: 
0
131
112
1yx
 
[x (- 1) 1 + y 1 1 + 1 2 3] – [1 (- 1) 1 + 3 1 x + 1 2 ] = 0 
- x + y + 6 + 1 - 3x - 2y = 0 
- 4x - y + 7 = 0, que equivale a 4x + y - 7 = 0 
 
 Agora vamos verificar se você aprendeu. Resolva os exercícios abaixo e em caso 
de dúvidas retorne aos exemplos. 
 
 
 
01. O valor de x para que os pontos (1, 3), (- 2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: 
 
(A) 8 
(B) 9 
(C) 10 
Atividades Comentadas 5 
 
39 
(D) 12 
(E) 13 
 
Resolução: 
0
10x
142
131
 
 (1 4 1 + 3 1 x + 1 (- 2) 0) - (x 4 1 + 0 1 1 + 1 (- 2) 3) = 0 
 4 + 3x + 0 - 4x - 0 + 6 = 0 
 - 4x + 3x + 10 = 0 
 - x = - 10 (- 1) x = 10 
Letra: (C) 
 
 
02. Os pontos A (k, 0), B (1, - 2) e C (3, 2) são vértices de um triângulo. Então, 
necessariamente: 
 
(A) k = - 1 
(B) k = - 2 
(C) k = 2 
(D) k - 2 
(E) k 2 
 
Resolução: 
0
123
121
10k
 
 (k (- 2) 1 + 0 1 3 + 1 1 2) - (3 (- 2) 1 + 2 1 k + 1 1 0) 0 
 - 2k + 0 + 2 + 6 - 2k + 0 0 
 - 4k + 8 0 
 - 4k - 8 (- 1) 
 
40 
 4K 8 
 k 2 
Letra: (E) 
 
03. Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos (- 1, - 2) e (- 2, 3). 
 
Resolução: 
Para obter a equação da reta r, deve-se resolver o determinante abaixo: 
0
132
121
1yx
 
(x (- 2) 1 + y 1 (- 2) + 1 (- 1) 3) - (- 2 (- 2) 1 + 3 1 x + 1 (- 1) y) = 0 
- 2x - 2y - 3 - 4 - 3x + y = 0 
- 5x - y - 7 = 0 ou 5x + y + 7 = 0 
 
04. Determine a equação da reta que passa por A (7, 2) e B (3, 6). 
Resolução: 
0
163
127
1yx
 
(x 2 1 + y 1 3 + 1 7 6) - (3 2 1 + 6 1 x + 1 7 y) = 0 
2x + 3y + 42 - 6 - 6x - 7y = 0 
- 4x - 4y + 36 = 0 (: 4) 
- x - y + 9 = 0 ou x + y - 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 Continuando o estudo de geometria analítica, nesta aula, iremos estudar a uma 
outra forma de escrever a equação da reta!! A equação da reta pode se apresentar de 
diferentes formas! Vamos estudar a equação reduzida da reta. Veja como é simples!! 
 
1 ─ EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA: 
 
 Dada a equação geral da reta: ax + by + c = 0 
 Isolando y, temos: 
 y = 
b
c
x
b
a
 (*) 
Considerando: 
 m = 
b
a
 Coeficiente Angular (É a tangente do ângulo que a reta forma 
como eixo das abscissas) 
 n = 
b
c
 Coeficiente Linear (É o ponto exato onde a reta corta o eixo das 
ordenadas) 
 
 Assim, podemos reescrever (*), da seguinte maneira: 
 
y = mx + n. 
 
Desse modo, denotamos a equação y= mx + n, Equação Reduzida da Reta. 
Aula 6: Equação Reduzida da Reta 
 
42 
 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: 
 
 I - m = 
x
y
xx
yy
xx
yy
b
a
BA
AB
BA
BA m = tg = 
x
y
b
a
 
 II Se a reta r é horizontal, ela forma ângulo nulo com o eixo das abscissas, isto 
é, m = tg 0° = 0 e a equação reduzida da reta torna-se simplesmente y = n. 
 
 
 
 
 III - Se a reta r é vertical, ela forma ângulo reto com o eixo das abscissas, isto é, 
m = tg 90°, é impossível escrever a forma reduzida da equação de qualquer reta 
vertical. 
 
43 
 
 
EXEMPLO 01: 
Considere os pontos A ( - 1, 3) e B (2, 4). 
a) Escreva a equação geral da reta AB . 
b) Determine a equação reduzida da reta AB . 
 
Resolução: 
a) Devemos ter: 
0
142
131
1yx
 
 
 - 4x + 3x + 2y - 4x - 6 + y = 0 
 - x + 3y - 10 = 0 
 x - 3y + 10 = 0 
 
b) x - 3y + 10 = 0 - 3y = - x - 10 (- 1) 
 3y = x + 10 
 y = 
3
10
x
3
1
 
 
 
 
 
 
44 
EXEMPLO 02: 
Determine o coeficiente angular e o linear da reta 2x - 3y + 1 = 0. 
 
Resolução: 
 2x - 3y + 1 = 0 
 3y = 2x + 1 
 y = 
2
1
x
3
2
 
Logo, o coeficiente angular é 
3
2
 e o linear é 
3
1
. 
 
 
 Agora vamos verificar se você aprendeu. Resolva os exercícios abaixo e em caso 
de dúvidas retorne aos exemplos. 
 
 
 
01. Obtenha a equação reduzida da reta que possui coeficiente angular e coeficiente 
linear respectivamente iguais a - 2 e 8. 
 
Resolução: 
Como m = - 2 e n = 8, a equação da reta procurada é y = - 2x + 8. 
 
02. Dada a equação da reta 2x - 3y + 5 = 0, escreva-a na forma reduzida. 
 
Resolução: 
Para passarmos a equação dada para a forma reduzida, basta isolarmos o y: 
2x - 3y + 5 = 0 - 3y = - 2x - 5 y = 
3
5x2
 y = 
3
5
x
3
2
 
 
Atividades Comentadas 6 
 
45 
03. A reta t forma um ângulo de 60° com o eixo das abscissas e intercepta o eixo das 
ordenadas no ponto (0, - 1). Determine a equação reduzida da reta t. 
Resolução: 
Temos que mt = tg 60° = 3 e n = - 1 
Assim, t: y = 3 x - 1. 
 
04. A inclinação do segmento de reta que passa pelos pontos A (0, 3) e B(3, 0) é: 
 
(A) + 1 
(B) - 1 
(C) 0 
(D) 3 
(E) 1/3 
 
Resolução: 
m = t 1
3
3
30
03
xx
yy
x
y
AB
AB 
 
 
 
 Caro Professor Aplicador, sugerimos duas diferentes formas de avaliar as turmas 
que estão utilizando este material: uma avaliação e uma pesquisa. 
 Nas disciplinas em que os alunos participam da Avaliação do Saerjinho, pode-se 
utilizar a seguinte pontuação: 
 
 Saerjinho: 2 pontos 
 Avaliação: 5 pontos 
 Pesquisa: 3 pontos 
 
 
Avaliação 
 
46 
 Nas disciplinas que não participam da Avaliação do Saerjinho podem utilizar a 
participação dos alunos durante a leitura e execução das atividades do caderno como 
uma das três notas. Neste caso teríamos: 
 
 Participação: 2 pontos 
 Avaliação: 5 pontos 
 Pesquisa: 3 pontos 
 
 A seguir apresentaremos as avaliações propostas neste caderno para este bimestre. 
Abaixo você encontrará o grupo de questões que servirão para a avaliação dos alunos. 
As mesmas questões estão disponíveis para os alunos no Caderno de Atividades 
Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada – 03. 
 
 
 
 Segue o gabarito das questões da avaliação proposta no caderno de atividades 
do aluno: 
 
01. Calculando corretamente as raízes da equação x2 + 4x + 5 = 0 , encontramos 
valores complexos para as raízes: 
 
(A) –2 + i e –2 – i 
(B) –2 + 4i e –2 – 4i 
(C) –1 + 2i e –1 – 2i 
(D) 1 + 2i e 1 – 2i 
(E) 2 + i e 2 – i 
 
Resolução: 
∆ = b² – 4 a c = (4)2 – 4.1.5 = 16 - 20 = - 4 
Avaliação Comentada 
 
47 
i2
2
i24
x
i2
2
i24
x
2
i24
2
144
2
44
x
2
1
 
S= { -2 + i, -2 – i} que é a opção (A) 
 
02. No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores 
invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número 
complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático italiano, foi o primeiro a 
escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos. 
 Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação 
incorreta é: 
 
(A) o conjugado de (1 + i) é (1 - i) Está correto! 
(B) |1 + i| = 2 Está correto, pois 211 22 
(C) (1 + i) é raiz da equação x² – 2x + 2 = 0 Está correto! 
∆ = b² – 4 a c = (-2)2 – 4.1.2 = 4 - 8 = - 4 
i1
2
i22
x
i1
2
i22
x
2
i22
2
142
2
4)2(
x
2
1
 
 
(D) (1 + i) - ( 2 + 2i) = 1 – i Está incorreto! 
(1 - 2) + (1 - 2)i = - 1 - i 
(E) (1 + i) ² = 2i Está correto! 
(1 + i) ² = (1 + i).(1 + i) = (1.1+i2)+(1.1+1.1)i = 0+2i =2i 
 
 
48 
03. Qual o é resultado da divisão 
i1
i31
: 
(A) 1 + 2i 
(B) 2 + i 
(C) 2 + 2i 
(D) 2 + 3i 
(E) 3 + 2i 
 
Resolução: 
i2i
2
2
2
4
2
i24
11
3i21
i1
i3i3i1
i1
i1
i1
i31
i1
i31
22
2
 Opção (B) 
 
4. A reta da equação 2x + 3y - 5 = 0 intercepta o eixo y no ponto: 
 
(A) (0, 5) 
(B) (5/3, 0) 
(C) (0, 5/3) 
(D) (0, - 5/3) 
(E) (0, 5/2) 
 
Resolução: 
No eixo y, o x é zero, logo: 
2 (0) + 3y - 5 = 0 3y = 5 y = 5/3 
Portanto, o ponto que a reta intercepta o eixo y é (0, 5/3) 
 
05. Dados os pontos A (- 1, - 1), B (5, - 7) e C (x, 2), determine x sabendo que o ponto C 
é equidistante dos pontos A e B. 
 
Resolução: 
d(A,C) = d(B,C) 2222 )72()5x()12()1x( 
Logo, (x + 1)2 + 32 = (x - 5)2 + 92 
 
49 
x2 +2x +1 + 9 = x2 - 10x + 25 + 81 
2x + 10 = - 10x + 106 
2x + 10x = 106 - 10 
12x = 96 x = 8 
 
06. Obtenha a equação geral da reta que a passa pelos pontos A (9, - 2) e B (6, 7). 
Resolução: 
0
176
129
1yx
 
(x (- 2) 1 + y 1 6 + 1 9 7) - (6 (- 2) 1 + 7 1 x + 1 9 y) = 0 
- 2x + 6y + 63 + 12 - 7x - 9y = 0 
- 9x - 3y + 51 = 0 (: 3) 
- 3x - y + 17 = 0 ou 3x + y - 17 = 0 
 
 
 
 Caro professor aplicador, agora que o aluno já estudou todos os principais 
assuntos relativos ao 3° bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância 
deles em suas vidas. 
Neste estudo, relembre o aluno a noção de função, a importância de se 
identificar as grandezas e as relações de dependência que apresentam-se em 
problemas do nosso dia a dia. Ainda, estimule-o a ler dados e gráficos que apresentem 
situações do nosso cotidiano, ressaltando que essa análise não pertence somente ao 
campo Matemático, mas na maioria das vezes trata-se de temas sociais e políticos. E 
por isso, a necessidade de interpretação dos dados neles contidos. 
Portanto, agora, oriente-o a ler atentamente as questões a seguir respondendo 
cada uma das questões propostas de forma clara e objetiva. 
 
 
Pesquisa 
 
50 
 ATENÇÃO: Não se esqueça de ressaltar a importância de identificar as Fontes 
de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros e sites os quais foram utilizados. 
 
I – O vídeo que você assistirá apresenta uma breve história dos números complexos 
com destaque para os principais personagens envolvidos nesta história. 
Após a apresentação relate sobre o que você entendeu. 
O vídeo está disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=iFoG9T2kEmk 
 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
 
 
II – Apresente algumas aplicações práticas dos conhecimentos de Geometria Analítica 
que você aprendeu: 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________III – Assista ao vídeo sugerido sobre Forma trigonométrica de um complexo, e escreva 
suas observações sobre as definições de afixo, módulo e argumento de um número 
complexo. O vídeo está disponível em: htt p://www.gilmaths.mat.br/page_32.html 
_____________________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________ 
file:///C:/p:/www.gilmaths.mat.br/page_32.html
 
51 
 
 
[1] IEZZI, GELSON. Fundamentos de Matemática Elementar 7: Geometria Analítica. 3ª 
ed. São Paulo: Atual, 1985. 
[2] IEZZE, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade. 6ª. Edição. São Paulo: 
Atual, 2009. 
[3] DINIZ,M.; SMOLE,K. Matemática: Ensino Médio. 6ª. Edição. São Paulo: Saraiva, 
2010. 
[4] LOPES, M; Tratamento da Informação. Rio de Janeiro: Editora Universitária, 
IM/UFRJ, 1997. 
[5] PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação 
Básica. Curitiba: SEED, 2006 
[6] MARTAIX, M. El Discreto encanto de las matemáticas. Barcelona: Marcombo, 1986.
86.
 
Referências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADORES DO PROJETO 
 
Diretoria de Articulação Curricular 
Adriana Tavares Mauricio Lessa 
 
Coordenação de Áreas do Conhecimento 
Bianca Neuberger Leda 
Raquel Costa da Silva Nascimento 
Fabiano Farias de Souza 
Peterson Soares da Silva 
Marília Silva 
 
 COORDENADORA DA EQUIPE 
 Raquel Costa da Silva Nascimento 
Assistente Técnico de Matemática 
 
 PROFESSORES ELABORADORES 
 Ângelo Veiga Torres 
Daniel Portinha Alves 
Fabiana Marques Muniz 
Herivelto Nunes Paiva 
Izabela de Fátima Bellini Neves 
Jayme Barbosa Ribeiro 
 Jonas da Conceição Ricardo 
Reginaldo Vandré Menezes da Mota 
Tarliz Liao 
Vinícius do Nascimento Silva Mano 
 Weverton Magno Ferreira de Castro 
 
 
Equipe de Elaboração