APOSTILA-CURSO_IPED_ANEXO1

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ANEXO I 
Avaliação de imóveis 
A valorização dos imóveis de uma região depende infraestrutura urbana da 
região. 
No Brasil, a avaliação de imóveis é realizada segundo a NBR 14652-1 (ABNT, 
2001) e a NBR 14652-2 (ABNT, 2004), as quais detalham os procedimentos 
gerais da avaliação de bens imóveis urbanos, inserindo neste contexto glebas 
urbanizadas, unidades padronizadas e servidões urbanas. Dentre os métodos 
apresentados aconselha-se utilizar o método comparativo direto para avaliação 
de terrenos urbanos (Fiker, 2001). 
Método Definição 
Método comparativo direto de 
dados de mercado 
Identifica o valor de mercado do bem 
por meio de tratamento técnico dos 
atributos dos elementos comparáveis, 
constituintes da amostra. 
Método involutivo Identifica o valor de mercado do bem 
pelo seu aproveitamento, baseado em 
modelo de estudo de viabilidade 
técnico-econômica, mediante 
hipotético empreendimento 
compatível com as características do 
bem e com as condições do mercado 
no qual está inserido. 
Método evolutivo Identifica o valor do bem pelo 
somatório das parcelas componentes 
do mesmo. “Caso a finalidade seja a 
identificação do valor de mercado, 
deve ser considerado o Fator de 
Comercialização, preferencialmente 
medido por comparação no mercado.” 
Método da capitalização da renda Identifica o valor do bem, com base 
na capitalização presente da sua 
renda líquida prevista, considerando-
se os cenários viáveis. 
Fonte: Quadro definição dos métodos (modificado – ABNT, 2001). 
 
 
Segundo Saboya (1996), para caracterizar a estrutura do mercado 
devem ser analisados os seguintes aspectos: 
a) grau de concentração dos vendedores - descrito pelo número e 
distribuição dos mesmos, no mercado; 
b) perfil do universo de compradores - caracterização da população 
de possíveis compradores, inclusive do seu grau de concentração 
(se tal aspecto for relevante), ou do nível de pulverização, classes 
de renda, estratos sociais, em condições de participarem do 
mercado; 
c) grau de diferenciação do produto - no elenco dos diversos 
produtos, oferecidos pelos vendedores, diferenciados sob a ótica 
dos compradores; 
d) condições de entrada - identificação das facilidades e 
dificuldades de entrada no mercado por vendedores e compradores. 
Com respeito à conduta do mercado, é aspectos relevantes 
observar: 
a) as políticas de preços dos vendedores, se atuando isoladamente, 
ou em cartel, ou de ambas as formas - os objetivos perseguidos e 
métodos empregados, estabelecendo que preços e formas de 
pagamento adotam que novos produtos oferecem que alterações 
introduzem nos novos produtos, que custos absorvem em 
campanhas promocionais. 
b) os processos e mecanismos de interação e coordenação das 
políticas de vendedores competindo e interagindo-se em qualquer 
mercado. 
O desempenho de mercado deve ser observado identificando-se as 
tendências do mesmo, levando-se em conta as etapas e resultados 
finais que os vendedores vêm alcançando, pela sucessão de 
condutas adotadas, medidas em razão dos níveis de preços 
praticados e evolução das próprias condutas, implantação de novos 
empreendimentos, velocidade de ocupação do solo urbano, 
controles sobre a liquidez (velocidade de vendas), implementação 
de infraestrutura e de equipamentos urbanos, dinâmica dos 
mercados decorrentes de empreendimentos, de programas 
implantados e de mercados subjacentes. 
 
 
 
 
Anexo II 
Noções Básicas 
 
 O que é a Estatística? 
 
A Estatística é uma ciência que estuda a variabilidade apresentada 
pelos dados. 
 
 David Moore, em Perspectives of Contemporary Statistics, cita que 
podemos considerar três grandes áreas nesta ciência dos dados: 
 
· Aquisição de dados 
· Análise de dados 
· Inferência a partir dos dados 
 
 A Probabilidade é o instrumento que permite ao Estatístico utilizar a 
informação recolhida da amostra, para descrever ou fazer inferências sobre 
a População de onde à amostra foi recolhida. 
 
 Inferência Estatística 
 
É um processo de raciocínio indutivo, em que se procuram tirar 
conclusões partindo do particular, para o geral. 
 
Utiliza-se quando se pretende estudar uma população, estudando só 
alguns elementos dessa população, ou seja, uma amostra. 
 
Serve para, a partir das propriedades verificadas na amostra, inferir 
propriedades para a população. 
 
 
 Outro problema que se levanta com a escolha da amostra é dimensionar a 
amostra. 
Pode-se começar por dizer que, para se obter uma amostra que permita 
calcular estimativas suficientemente precisas dos parâmetros a estudar, 
a sua dimensão depende muito da variabilidade da população 
 
 
 
 
 ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 
 
 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA. 
 
2º - PLANEJAMENTO 
 
3º - COLETA DE DADOS 
 
 Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa 
ou organização que os haja recolhido. Ex: tabelas do censo 
demográfico do IBGE. 
 
 Dados secundários: quando são publicados por outra 
organização. Ex: quando determinado jornal publica estatísticas 
referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE. 
 
 Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte: Empresa 
que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos 
consumidores pela sua marca. 
 Coleta contínua: registros de nascimento, óbitos, casamentos; 
 Coleta periódica: recenseamento demográfico, censo industrial; 
 Coleta ocasional: registro de casos de dengue. 
 Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos elementos 
conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, 
indícios ou proporcionalização. 
 
4º - APURAÇÃO DOS DADOS: Resumo dos dados através de 
sua contagem e agrupamento. É a condensação e tabulação de dados. 
 
5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Há duas formas de 
apresentação, que não se excluem mutuamente. A apresentação 
tabular, ou seja, é uma apresentação numérica dos dados em linhas e 
colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas 
pelo Conselho Nacional de Estatística. A apresentação gráfica dos 
dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo 
uma visão rápida e clara do fenômeno. 
 
6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do 
trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada 
essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade 
principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). 
 
 
 DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é considerado a matéria-
prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos. 
 
 POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, 
uma característica comum. 
 
 AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que é 
examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre a essa 
população. 
 
 PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e 
que servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro devemos 
examinar toda a população 
 
 
 ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o 
uso da amostra. 
 
 ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um caráter 
qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses 
dados são designados genericamente de estatística de atributo. 
 
 VARIÁVEL: É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. 
 
 AMOSTRAGEM 
 
 MÉTODOS PROBABILÍSTICOS 
Exige que cada elemento da população possua determinada 
probabilidade de ser selecionado. Normalmente possuem a mesma 
probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade 
de cada elemento ser selecionado será 1/N. Trata-se do método que 
garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de 
inferências. Somente com base em amostragens probabilísticas é que 
se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir do 
conhecimento da amostra. 
 
É uma técnica especialpara recolher amostras, que garantem, tanto 
quanto possível, o acaso na escolha. 
 
. 
 AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES 
É o processo mais elementar e frequentemente utilizado. É equivalente 
a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 
1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório 
qualquer, x números dessa sequência, os quais corresponderão aos 
elementos pertencentes à amostra. 
 
 .AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA: 
Quando a população se divide em estratos (subpopulações), convém 
que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais 
estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número 
de elementos desses estratos. 
 
 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA: 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há 
necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os 
prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes 
casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser 
feita por um sistema imposto pelo pesquisador. 
 
 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS) 
Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que 
se identifiquem seus elementos. Não obstante isso pode ser 
relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Em tais 
casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos 
(conglomerados) pode se colhida, e uma contagem completa deve ser 
feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são 
quarteirões, famílias, organizações, agências, edifícios etc. 
 
 
 MÉTODOS NÃO PROBABILÍSITCOS 
São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da 
amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a 
população, pois as amostras não probabilísticas não garantem a 
representatividade da população. 
 
 AMOSTRAGEM ACIDENTAL 
Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão 
aparecendo, que são possíveis de se obter até completar o número de 
elementos da amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, 
em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. 
 
 AMOSTRAGEM INTENCIONAL 
De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um 
grupo de elementos que irão compor a amostra. O investigador se dirige 
intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a 
opinião. 
 
 AMOSTRAGEM POR QUOTAS 
 Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em 
levantamentos de mercado e em prévias eleitorais. Ele abrange três fases: 
 
1ª - classificação da população em termos de propriedades que se 
sabe, ou presume, serem relevantes para a característica a ser 
estudada; 
 
2ª - determinação da proporção da população para cada característica, 
com base na constituição conhecida, presumida ou estimada, da 
população; 
 
3ª - fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará a 
responsabilidade de selecionar entrevistados, de modo que a amostra 
total observada ou entrevistada contenha a proporção e cada classe tal 
como determinada na 2ª fase. 
 
 TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos 
segundo linhas e colunas de maneira sistemática. 
 
 SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a distribuição de 
um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da 
espécie. 
 
 SÉRIES HOMÓGRADAS: são aquelas em que a variável descrita 
apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo temporal, 
geográfica ou específica. 
 
 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
São representações visuais dos dados estatísticos que devem 
corresponder, mas nunca substituir as tabelas estatísticas. 
 
 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as 
frequências (repetições de seus valores). 
 
 
 ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou 
decrescente). 
 
 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO 
 
 Histograma, Polígono de frequência e Polígono de frequência 
acumulada. 
 
 Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do 
sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Na linha 
horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável 
e na linha vertical (eixo das ordenadas), as frequências. 
 Histograma: é formado por um conjunto de retângulos 
justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de 
tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos 
médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é 
proporcional à soma das frequências simples ou absolutas. 
 Frequências simples ou absoluta: são os valores que 
realmente representam o número de dados de cada classe. A 
soma das frequências simples é igual ao número total dos dados 
da distribuição. 
 Frequências relativas: são os valores das razões entre as 
frequência absolutas de cada classe e a frequência total da 
distribuição. A soma das frequências relativas é igual a 1 (100 
%). 
 Polígono de frequência: é um gráfico em linha, sendo as 
frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, 
levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para 
realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos 
completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos 
pontos médios da classe anterior a primeira e da posterior à 
última, da distribuição. 
 
 Polígono de frequência acumulada: é traçado marcando-se as 
frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo 
horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites 
superiores dos intervalos de classe. 
 
 . MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência 
central ou pro médias (verifica-se uma tendência dos dados observados a 
se agruparem em torno dos valores centrais). 
 
 As medidas de tendência centrais mais utilizadas são: média aritmética, 
moda e mediana. Outros promécios menos usados são as médias: 
geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e bi quadrático. 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA = 
 
É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos 
valores. 
. 
onde xi são os valores da variável e n o número de valores. 
 
Propriedades da média aritmética 
 
 
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula. 
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos 
os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) 
dessa constante. 
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma 
variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou 
dividida) por essa constante. 
 Média Geométrica Simples 
 ou . 
 
 Média Geométrica Ponderada : 
 
 ou .. 
MÉDIA HARMÔNICA - h 
 
 É o inverso da média aritmética dos inversos. 
. 
 Média Harmônica Simples:. (para dados não agrupados) 
 
.. ou 
 
 
. 
 Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de 
frequências) 
 
. 
 
 OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, 
verifica-se aproximadamente a seguinte relação: 
 
 
g = ( .+ h ) /.2 
 MODA - Mo 
 
 É o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. 
 
 Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER: 
 
 Mo = l* + (d1/(d1+d2)) x h* 
 
l* = limite inferior da classe modal..... e..... L* = limite superior da classe modal 
d1 = freqüência da classe modal - frequência da classe anterior à da classe 
modal 
d2 = frequência da classe modal - frequência da classe posterior à da classe 
modal 
h* = amplitude da classe modal 
 
 MEDIANA - Md 
 
 A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem 
(crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto 
que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de 
elementos. 
 
 Método prático para o cálculo da Mediana: 
 Se a série dada tiver número ímpar de termos:O valor mediano 
será o termo de ordem dado pela fórmula : 
 
.( n + 1 ) / 2 
 Se a série dada tiver número par de termos: O valor mediano será o 
termo de ordem dado pela fórmula :.... 
 
.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 
 Notas: 
 Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá 
coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
 
 Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca 
haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A 
mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais 
da série. 
 
 Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, 
necessariamente, o mesmo valor. 
 
A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série 
ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes entre mediana e média (que 
se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). 
 Emprego da Mediana 
 Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas 
partes iguais. 
 Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média 
aritmética. 
 Quando a variável em estudo é salário. 
 
 
 
SEPARATRIZES Além das medidas de posição que estudamos, há outras 
que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, 
mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar a 
série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores. 
Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a 
mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. 
 Dispersão ou Variabilidade: É a maior ou menor diversificação dos valores 
de uma variável em torno de um valor de tendência central ( média ou 
mediana ) tomado como ponto de comparação. 
 A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade 
de representar uma série de valores - não pode, por si mesma, destacar 
o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os 
valores que compõem o conjunto. 
 AMPLITUDE TOTAL: É a única medida de dispersão que não tem 
na média o ponto de referência. 
 
 
 
DESVIO MÉDIO ABSOLUTO - Dm 
 
Para dados brutos: É a média aritmética dos valores absolutos dos 
desvios tomados em relação a uma das seguintes 
medidas de tendência central: média ou mediana. 
 
 
 para a Média = Dm = E | Xi - | / n 
 
 
 
 para a Mediana = Dm = E | Xi - Md | / n 
 
 
 As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos, 
prescindindo do sinal dos desvios. 
 
 
Exemolo: 
 Calcular o desvio médio do conjunto de números { - 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 } 
 = - 0, 2 e Md = - 2 
 
 
Tabela auxiliar para cálculo do desvio médio 
 
 Xi Xi - | Xi - | Xi - Md | Xi - Md | 
- 4 (- 4) - (-0,2) = -3,8 3,8 (- 4) - (-2) = - 2 2 
- 3 (- 3) - (-0,2) = -2,8 2,8 (- 3) - (-2) = - 1 1 
- 2 (- 2) - (-0,2) = -1,8 1,8 (- 2) - (-2) = 0 0 
3 3 - (-0,2) = 3,2 3,2 3 - (-2) = 5 5 
5 5 - (-0,2) = 5,2 5,2 5 - (-2) = 7 7 
 
 E = 16,8 E = 15 
 
Pela Média : Dm = 16,8 / 5 = 3,36 Pela Mediana : Dm = 
15 / 5 = 3 
 
DESVIO PADRÃO - S 
 
É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em 
consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador 
de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em 
torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a 
raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada 
por S . 
 
 
 A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de 
dados não agrupados. 
 
Exemplo: 
 Calcular o desvio padrão da população representada por - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Xi 
- 4 - 0,2 - 3,8 14,44 
- 3 - 0,2 - 2,8 7,84 
- 2 - 0,2 - 1,8 3,24 
3 - 0,2 3,2 10,24 
5 - 0,2 5,2 27,04 
 
 E = 62,8 
 
Sabemos que n = 5 e 62,8 / 5 = 12,56. 
 
A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54 
 
Obs: Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas, 
partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva 
população, convém efetuar uma modificação, que consiste em usar o 
divisor n - 1 em lugar de n. A fórmula ficará então: 
 
 
 Se os dados - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 representassem uma amostra o desvio 
padrão amostral seria a raiz quadrada de 62,8 / (5 -1) = 3,96 
 O desvio padrão goza de algumas propriedades, dentre as quais 
destacamos: 
 
1ª = Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de 
uma variável, o desvio padrão não se altera. 
 
2ª = Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por 
uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado ( ou 
dividido) por essa constante. 
 
 Quando os dados estão agrupados (temos a presença de frequências) a 
fórmula do desvio padrão ficará : 
 
 ou quando se trata de 
uma amostra 
 
Exemplo: Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo: 
 
 Xi f i Xi . f i . f i 
0 2 0 2,1 -2,1 4,41 8,82 
1 6 6 2,1 -1,1 1,21 7,26 
2 12 24 2,1 -0,1 0,01 0,12 
3 7 21 2,1 0,9 0,81 5,67 
4 3 12 2,1 1,9 3,61 10,83 
 
Total 30 63 E = 32,70 
 
- Sabemos que E fi = 30 e 32,7 / 30 = 1,09. 
 
- A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão = 1,044 
- Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio 
padrão seria : a raiz quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062 
 
Obs: Nas tabelas de frequências com intervalos de classe a fórmula a 
ser utilizada é a mesma do exemplo anterior. 
 
 
VARIÂNCIA - S2 
É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma medida que tem 
pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante 
na inferência estatística e em combinações de amostras. 
 
 MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA 
 
Coeficiente de Variação de Pearson - CVP 
 
 Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem grandes 
limitações. Assim, um desvio padrão de 2 unidades pode ser 
considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; 
no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. 
 
 Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma 
unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar 
duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou 
variabilidade, quando expressas em unidades diferentes. 
 
 Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a 
dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor 
médio, medida essa denominada de CVP: Coeficiente de Variação de 
Pearson (É A RAZÃO ENTRE O DESVIO PADRÃO E A MÉDIA 
REFERENTES A DADOS DE UMA MESMA SÉRIE). 
 
 
CVP = (S / ) x 100 
 
 
 o resultado neste caso é expresso em percentual, 
entretanto pode ser expresso também através de um fator 
decimal, desprezando assim o valor 100 da fórmula. 
 
Coeficiente de Variação de Thorndike - CVT 
É igual ao quociente entre o desvio padrão e a mediana. 
 
CVT = ( S / Md ) x 100 % 
 
Coeficiente Quartílico de Variação - CVQ 
 
 Esse coeficiente é definido pela seguinte expressão: 
 
 
CVQ = [(Q3 - Q1) / (Q3 + Q1)] x 100 %. 
 
 
 
 
 
 MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
Introdução: 
 
 Uma distribuição com classes é simétrica quando : 
 
Média = Mediana = Moda 
 
 Uma distribuição com classes é : 
 
Assimétrica à esquerda ou negativa quando : Média < Mediana < Moda 
 
Assimétrica à direita ou positiva quando : Média > Mediana > Moda 
 
 
Coeficiente de assimetria: A medida anterior, por ser absoluta, apresenta 
a mesma deficiência do desvio padrão, isto é, 
não permite a possibilidade de comparação 
entre as medidas de duas distribuições. Por 
esse motivo, daremos preferência ao 
coeficiente de assimetria de Person: 
 
 
 As = 3 ( Média - Mediana ) / Desvio Padrão 
 
 
Escalas de assimetria: 
 
| AS | < 0,15  assimetria pequena 
 
0,15 < | AS | < 1  assimetria moderada| AS | > 1  assimetria elevada 
 
Obs: Suponhamos AS = - 0,49  a assimetria é considerada 
moderada e negativa 
 
Suponhamos AS = 0,75  a assimetria é considerada 
moderada e positiva 
 
 
 MEDIDAS DE CURTOSE 
 
Introdução: 
 
Denominamos CURTOSE o grau de achatamento de uma distribuição 
em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva 
correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade). 
 
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais 
fechada que a normal (ou mais aguda ou afilada em sua parte 
superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. 
 
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais aberta 
que a normal (ou mais achatada em sua parte superior), ela recebe o 
nome de platicúrtica. 
 
A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o nome de 
mesocúrtica. 
 
Coeficiente de curtose 
 
 
C1 = (Q3 - Q1) / 2(P90 - P10) 
 
 
 Este coeficiente é conhecido como percentílico de curtose. 
 
 Relativamente à curva normal, temos: 
 
 
C1 = 0,263  curva mesocúrtica 
C1 < 0,263  curva leptocúrtica 
C1 > 0,263  curva platicúrtica 
 
 
 O coeficiente abaixo ( C2 )será utilizado em nossas análises: 
 
 
 
 
onde S é desvio padrão 
 
 
C2 = 3  curva mesocúrtica 
C2 > 3  curva leptocúrtica 
C2 < 3  curva platicúrtica 
 
 
 
 Concluindo: 
 
Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados. 
 
Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. 
Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, 
objetivo essencial da Estatística. 
 
Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão 
de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada 
doença. 
 
 
 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode 
ser qualitativa, quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), 
ou pode ser quantitativa, quando seus valores são expressos em números. 
 
População é o conjunto de portadores de, pelo menos, uma característica 
comum. 
 
Amostra é um subconjunto finito de uma população. 
 
A amostra é escolhida através de processos adequados que garantam o acaso 
na escolha 
 
 Amostragem - É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada 
elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido. Dentre 
os processos de amostragem podem-se destacar três: amostragem casual ou 
aleatória simples, amostragem proporcional estratificada e amostragem 
sistemática. 
 
 
Série estatística é toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de 
dados estatísticos em função da época, do local, ou da espécie. 
 
Pode-se classificar em: histórica, geográfica, específica 
 
a) Séries históricas (cronológicas, temporais) - descrevem os valores da 
variável, em determinado local, em função do tempo 
 
b) Séries geográficas (espaciais, territoriais ou de localização) - descrevem os 
valores da variável, em um determinado instante, em função da região 
 
 
 
c) Séries Específicas (categóricas) - descrevem os valores da variável, em um 
determinado instante e local, segundo especificações. 
 
Custo médio das campanhas eleitorais em 
1998, segundo estimativa dos candidatos em 
milhões de reais. Fonte: TSE 
Presidente 25 
Governador 6 
Senador 3,5 
Deputado Federal 1,5 
Deputado Estadual 0,5 
 
d) Séries Conjugadas - Tabela de Dupla Entrada 
 
 
As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10, 100, 1000, 
etc. para tornar o resultado mais inteligível (claro) 
 
 
 Distribuição de Frequência 
 
Tabela Primitiva e Rol 
 
Tabela primitiva - elementos da variável ainda não foram numericamente 
organizados 
Ex: 
Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões 
166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 
162 161 168 163 156 173 160 155 164 168 
155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 
154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 
 
Rol - é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente). 
Ex: 
 
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 
 
 Distribuição de frequência 
 
Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de 
Frequência, sendo a frequência o numero de elementos relacionados a um 
determinado valor da variável. 
 
 
Pontos Frequência Pontos Frequência Pontos Frequência 
150 1 158 2 167 1 
151 1 160 5 168 2 
152 1 161 4 169 1 
153 1 162 2 170 1 
154 1 163 2 172 1 
155 4 164 3 173 1 
156 3 165 1 
157 1 166 1 total 40 
 
Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os valores 
em intervalos de classe. 
E 
Total de pontos (acertos) obtidos em 
um teste de 175 questões por 40 alunos 
Total de 
pontos 
Freqüência 
150 |- 154 4 
154 |- 158 9 
158 |- 162 11 
162 |- 166 8 
166 |- 170 5 
170 |- 174 3 
Total 40 
Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior, ou seja, do rol 
já partir para a tabela de distribuição de frequências com intervalos de classe. 
 
4.3 Elementos de uma distribuição de frequência 
 
a) Classes de frequência: são os intervalos de variação da variável, 
representados por i, 
sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número total de classes. 
 
Em nosso exemplo k = 6 
 
b) Limites da classe: são os extremos de cada classe. 
 
Limite superior Li Limite inferior li 
 
O símbolo li |- Li significa inclusão de li e exclusão de Li 
 
l2 = 154 e L2 = 158 
 
c) Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que 
define a classe 
 
 h = Li - li h2 = 154-158 = 4 
 
d) Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior 
da ultima classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira 
(limite inferior mínimo). 
 
AT = L(max) - l (min) 
 
AT = 174 - 150 = 24 
 
Deve-se notar que AT/h = k 24/4 = 6 
 
e) Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo da amostra 
 
AA = x(máx) - x(mín) AA = 173-150 = 23 
 
f) Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de classe 
em duas partes iguais 
 
xi = (li+Li)/2 x2 = (154+158)/2 = 156 
 
f) Frequência simples ou absoluta: é o número de observações 
correspondentes a essa classe ou a esse valor 
 
f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3 
nf
k
1i
i 

 
40f
6
1i
i 

 
 
 Número de Classes, Intervalos de Classe 
 
Determinação do número de classes: utiliza-se a regra de Sturges (obs: não é 
obrigatório, é apenas uma orientação) 
nlog3,31k  onde, k é o número de classes e n é o numero total 
de dados. Esta fórmula nos permite obter a seguinte tabela 
n k 
3 |-| 5 3 
6 |-| 11 4 
12 |-| 22 5 
23 |-| 46 6 
47 |-| 90 7 
91 |-| 181 8 
182 |-| 362 9 
 
Para determinação do intervalo de classe h aplica-se 
k
AA
h 
 Quando o resultado não é exato, deve-se arredondá-lo para mais. 
No caso 
48,3
6
150173
h 


 , ou seja, 6 classes de intervalo 4. 
 
Exercício: .As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram: 
 
1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 
2 3 3 4 5 6 6 7 8 8 
2 3 4 4 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 6 7 8 9 
2 3 4 5 5 6 7 7 8 9 
 
Complete a distribuição de frequência abaixo 
 
i Notas xi fi 
 0 |- 2 
 2 |- 4 
 4 |- 6 
 6 |- 8 
 8 |- 10 
 Total 50 
 
 Tipos de frequências 
 
a) Frequência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número de 
dados de uma classe, onde : 
nf
k
1i
i 

 
 
 
 
 
b) Frequência Relativa (fri): é a porcentagem entre a frequência simples e a 
frequência total: 
 %100
f
f
fr
k
1i
i
i
i 


 
No exemplo: fr3 = 11/40 = 0,275 x 100 = 27,5 % 
É obvio que: 
%100fr
k
1i
i 

 
 
O propósito das frequências relativas é o de permitir a análise e facilitar 
comparações.c) Frequência Acumulada (Fi): é o total das frequências de todos os valores 
inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe. 
k321k ffffF   ou 


k
1i
ik fF 
No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24, o que significa que existem 24 
alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira 
classe) 
 
d) Frequência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a frequência 
relativa acumulada da classe e a frequência total da distribuição. 
 %100
f
F
Fr
k
1i
i
i
i 


 
No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6 = 60 %, o que significa que 60 % dos 
alunos acertaram menos de 162 questões 
 
Pode-se então montar a seguinte tabela: 
 
i Total de 
Pontos 
xi fi fri (%) Fi Fri (%) 
1 150 |- 154 152 4 10,00 4 10,00 
2 154 |- 158 156 9 22,50 13 32,50 
3 158 |- 162 160 11 27,50 24 60,00 
4 162 |- 166 164 8 20,00 32 80,00 
5 166 |- 170 168 5 12,50 37 92,50 
6 170 |- 174 172 3 7,50 40 100,0
0 
 Total 40 100,0
0 
 
 
Que nos ajuda a responder: 
1) Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questões ? Resp. 9 
alunos 
2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154? Resp. 
10% 
3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp. 24 alunos 
4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp. 40-
13 = 27 alunos 
 
 Representação Gráfica de uma Distribuição de Frequência 
 
Pode-se ser representado basicamente por um histograma, por um polígono de 
frequência ou por um polígono de frequência acumulada. 
 
a) Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos 
justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo 
que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de 
classe. Seja o exemplo: 
 
i Total de 
Pontos 
xi fi Fi 
1 150 |- 154 152 4 4 
2 154 |- 158 156 9 13 
3 158 |- 162 160 11 24 
4 162 |- 166 164 8 32 
5 166 |- 170 168 5 37 
6 170 |- 174 172 3 40 
 Total 40 
 
 
 150 154 158 162 166 170 
174 
 Total de Pontos 
 
b) Polígono de frequência: É um gráfico em linha, sendo as frequências 
marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos 
pontos médios dos intervalos de classe. 
 
Total de Pontos 
c) Polígono de frequência acumulada: É traçado marcando-se as frequências 
acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos 
pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 
Histograma
0
2
4
6
8
10
12
150 |- 154 154 |- 158 158 |-162 162 |- 166 166 |- 170 170 |- 174
Estaturas (cm)
F
re
q
u
ê
n
c
ia
s
 f
i
0
2
4
6
8
10
12
148 152 156 160 164 168 172 176
Estaturas [cm]
f
 
Total de pontos 
 
 
 
 
 Os Quartis 
 
Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes 
iguais. Portanto, há três quartis. São mais aplicados em distribuição de 
frequência com intervalos de classe. 
 
Primeiro Quartil (Q1) - 25 % dos dados são menores que ele e os 75 % 
restantes são maiores. 
Segundo Quartil (Q2) - coincide com a mediana, 50 % para cada lado. 
Terceiro Quartil (Q3) - 75 % dos dados são menores que ele e os 25 % 
restantes são maiores. 
 
Para o caso de dados agrupados, basta aplicar: 
4
fk i
, sendo k o número de 
ordem do quartil. Então: 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
150 154 158 162 166 170 174
Estaturas [cm]
F
 
i
i
i1
f
hantF
4
f
Q












 
 
i
i
i2
f
hantF
4
f2
Q










 
 
i
i
i3
f
hantF
4
f3
Q










 
Exemplo: 
i Total de 
Pontos 
fi Fi 
1 150 |- 154 4 4 
2 154 |- 158 9 13 
3 158 |- 162 11 24 
4 162 |- 166 8 32 
5 166 |- 170 5 37 
6 170 |- 174 3 40 
 Total 40 
Primeiro Quartil 
10
4
40
4
f i


, logo classe do 1o Quartil é i = 2  = 154 F(ant) 
= 4 
h = 4 f2 = 9 
 
 
7,15666,15666,2154
9
4410
154Q1 

 
 
Segundo Quartil = Mediana 
20
2
40
4
f2 i


, logo classe do 2o Quartil é i = 3  = 158 F(ant) 
= 13 
h = 4 f3 = 11 
 
 
5,1605,2158
11
41320
158MdQ2 

 
 
Terceiro Quartil 
30
4
403
4
f3 i




, logo classe do 3o Quartil é i = 4  = 162 F(ant) 
= 24 
h = 4 f4 = 8 
 
 
1653162
8
42430
162Q3 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS 
 
 
 
4 0 8 9 3 2 1 5 0 9 7 2 3 1 1 2 2 9 9 1 6 3 2 2 0 7 3 3 4 2 7 5 7 9 3 5
9 4 2 9 8 8 3 9 5 6 5 6 0 3 5 4 2 1 5 6 0 8 7 6 7 4 7 5 8 4 4 7 4 5 7 4
9 1 6 2 3 4 9 3 5 1 3 1 7 4 6 7 5 9 1 2 3 1 0 9 3 3 7 2 1 7 4 5 0 3 0 7
1 8 9 3 3 5 4 0 7 7 8 0 6 0 0 2 8 8 8 2 0 7 0 6 3 7 2 0 8 6 8 3 4 6 6 7
5 4 6 3 4 6 8 1 0 6 9 1 3 2 0 3 4 5 8 5 1 1 0 4 0 8 4 1 6 6 3 6 5 8 2 2
8 9 7 1 4 1 9 7 8 6 9 5 9 4 1 0 4 3 8 6 8 6 3 7 7 8 0 4 7 7 9 7 7 1 9 3
3 3 3 4 4 8 5 8 0 1 4 1 7 8 0 9 4 9 7 5 9 8 7 7 6 8 6 8 7 9 9 6 6 0 3 7
4 5 4 1 4 2 7 4 5 4 5 3 7 9 6 3 0 7 0 7 8 4 3 7 5 1 0 5 0 0 3 7 8 5 8 3
0 9 3 7 3 7 5 9 0 2 2 6 2 8 6 5 4 3 8 3 6 8 7 6 8 0 0 5 7 6 7 3 0 8 2 3
0 0 3 1 2 5 7 2 2 7 0 0 5 3 8 3 0 1 6 8 9 9 2 0 3 2 6 7 5 0 6 8 9 5 9 7
4 0 5 8 6 0 2 8 6 8 1 9 6 0 1 1 2 4 1 1 2 0 4 9 5 2 8 1 3 8 2 8 3 9 8 0
4 8 5 1 7 7 0 8 2 9 6 1 6 1 5 1 5 1 9 8 3 9 5 2 9 3 6 1 7 7 5 3 4 2 1 3
8 3 7 7 3 8 8 0 7 7 6 8 1 1 0 4 2 1 3 9 2 1 6 8 0 9 1 6 7 5 5 4 5 3 4 4
9 4 7 8 1 3 9 9 9 4 5 8 0 9 3 0 1 4 7 1 2 6 1 1 3 1 3 2 5 3 0 0 1 9 3 7
7 2 5 5 0 1 7 6 5 1 3 7 4 6 7 5 3 8 9 7 0 1 1 2 1 1 1 0 5 2 5 2 3 3 8 0
7 5 0 2 3 0 9 7 0 3 3 6 8 9 7 5 1 7 7 2 7 8 3 8 5 9 5 8 9 2 5 5 8 0 2 2
0 5 4 8 6 6 0 5 9 8 7 6 8 7 8 3 1 6 8 7 4 6 6 8 9 6 3 6 5 4 0 2 2 1 0 1
7 7 3 3 6 5 7 7 5 2 5 9 4 2 7 4 3 6 6 2 1 2 2 4 9 0 6 4 8 9 9 7 0 7 9 8
8 7 1 2 0 7 3 1 5 0 9 1 9 0 1 8 2 9 8 3 1 3 6 4 8 9 6 1 1 5 1 8 1 6 8 8
9 1 4 1 8 8 4 0 5 1 7 4 1 2 9 3 2 5 3 3 9 8 7 6 6 9 3 6 4 7 4 8 4 2 3 5
1 3 3 3 9 9 4 1 5 8 1 8 8 1 2 0 9 7 2 6 1 5 7 5 2 5 2 0 7 5 1 5 8 9 4 5
6 4 0 9 5 0 9 5 0 4 3 3 2 3 6 5 5 6 7 6 0 2 2 9 5 7 8 4 8 6 0 9 0 4 1 5
6 6 1 2 3 5 2 3 3 4 5 3 9 0 2 9 5 4 3 6 5 9 5 0 6 5 6 4 4 7 1 6 7 2 0 6
3 6 8 4 3 8 5 3 1 7 3 3 9 9 3 3 8 5 9 8 1 1 7 1 3 7 6 9 3 2 3 4 4 5 7 9
6 0 9 7 0 3 9 6 6 1 9 5 8 7 2 2 4 8 1 2 4 3 4 4 7 8 7 1 3 8 1 5 8 2 6 9
2 9 5 9 4 1 2 2 8 6 4 5 0 3 4 3 2 8 2 6 7 0 9 0 9 3 9 2 1 4 7 0 4 6 8 6
9 4 9 5 5 5 9 2 5 3 8 8 2 4 9 3 6 4 7 0 3 9 6 7 6 0 7 0 6 8 6 5 6 3 9 2
6 6 7 9 3 5 6 9 3 0 0 3 0 1 3 3 1 7 8 5 1 7 0 7 7 6 5 8 7 0 5 5 9 0 6 5
6 6 5 0 6 2 3 2 2 8 9 5 2 9 0 5 1 5 1 5 4 0 7 5 0 4 9 4 4 2 2 1 2 7 4 1
6 2 6 1 2 2 0 6 0 5 2 5 2 6 3 9 2 8 3 6 2 6 5 9 1 3 5 0 8 2 1 9 6 5 0 3
2 6 6 6 3 1 7 2 8 4 3 5 1 2 8 1 2 6 0 4 9 8 0 1 6 6 0 7 2 2 9 7 6 8 1 4
6 3 1 4 6 0 4 4 7 5 2 9 5 1 7 4 3 7 3 7 7 1 1 5 2 0 8 6 7 8 6 0 5 2 2 4
2 3 1 5 5 0 4 6 7 3 2 9 1 0 3 8 3 7 8 2 3 0 7 8 1 4 3 4 3 6 8 8 8 1 9 1
9 2 8 1 4 2 3 1 5 8 2 0 8 4 0 1 6 9 1 2 5 2 4 0 2 6 5 2 9 4 2 0 0 6 7 1
9 4 8 6 1 3 9 1 3 1 5 8 1 1 7 0 3 6 4 6 3 8 9 1 4 1 7 2 6 0 4 5 1 2 3 9
9 3 1 8 4 1 6 1 2 8 4 8 0 9 0 4 7 5 6 0 0 4 5 8 5 0 4 1 8 0 1 2 7 1 8 0
4 5 8 4 2 0 2 4 6 0 6 4 9 8 2 5 0 7 5 1 8 3 4 8 9 5 9 9 2 6 0 0 6 1 6 8
8 7 5 2 6 5 0 7 2 0 2 2 0 7 2 0 0 6 2 1 5 0 9 2 0 8 2 2 9 9 4 6 8 5 9 3
7 6 6 1 7 5 1 3 7 8 6 5 6 8 9 1 3 1 3 6 4 8 7 8 9 0 7 1 3 6 2 9 8 8 7 3
3 1 7 8 9 0 4 7 7 2 9 4 4 1 4 5 1 1 5 9 4 4 7 1 6 5 7 6 9 5 6 0 2 1 0 0
9 0 5 2 8 9 1 6 6 9 2 2 4 0 4 7 2 1 9 9 2 7 7 5 7 7 4 5 4 9 2 7 6 5 4 3
9 3 3 7 7 4 8 0 4 7 3 2 8 0 6 3 6 5 9 5 8 6 8 2 2 5 6 3 3 8 9 8 7 2 9 4
9 8 4 3 7 1 9 9 8 0 0 2 4 4 5 0 7 3 1 1 8 5 8 1 8 5 8 6 8 6 7 7 0 0 7 3
2 2 9 9 6 4 8 9 2 9 5 4 1 8 1 4 3 1 0 4 6 9 3 6 9 5 0 0 8 6 6 9 2 0 5 3
7 9 9 9 4 7 9 2 9 0 9 4 3 0 1 2 2 4 7 3 6 0 2 4 1 0 2 8 9 5 3 5 5 0 0 9
8 1 6 2 9 6 3 1 5 6 3 1 0 8 5 8 8 5 5 9 2 0 9 1 9 4 4 8 2 1 6 3 5 6 9 3
4 5 7 2 1 6 5 0 1 2 9 9 8 9 2 9 1 1 5 8 3 6 9 5 1 6 6 7 5 3 2 7 1 6 8 2
7 4 0 2 0 7 8 8 9 1 4 0 1 8 7 8 9 1 1 1 1 8 5 3 5 9 8 5 3 8 5 4 2 9 2 9
9 0 2 1 4 0 9 2 5 0 6 3 0 9 9 0 1 1 2 4 9 7 1 5 22 4 6 8 3 9 9 9 2 1 5
8 7 4 1 4 7 9 7 4 8 7 0 8 6 2 7 4 5 1 7 0 4 5 1 5 0 3 9 4 4 4 8 3 6 9 0
3 3 5 3 8 3 6 1 0 6 8 9 0 0 7 1 5 2 0 1 8 0 7 4 2 8 2 7 2 8 2 1 8 7 3 5
6 1 8 0 4 8 5 7 8 4 0 3 4 9 2 9 4 4 1 2 7 5 4 9 8 3 5 2 8 0 5 6 0 2 8 2
6 6 5 6 6 0 8 3 9 5 1 6 7 3 7 9 1 7 4 2 5 5 4 2 9 8 6 0 5 5 7 3 8 3 0 4
9 1 3 6 3 8 0 0 4 3 5 2 6 8 2 2 5 4 1 0 3 5 3 7 0 9 9 7 8 0 7 0 8 6 3 1
3 2 3 9 0 5 8 7 8 4 4 0 0 9 6 1 2 2 6 1 4 1 2 3 3 1 5 2 9 3 2 7 3 3 1 4
6 3 8 1 2 7 1 9 8 8 3 7 1 9 7 3 2 7 4 0 0 5 9 5 9 2 3 1 3 2 5 6 3 2 9 4
Tamanho da Amostra para populações finitas 
 
    
      n/x1n/xze1N
Nn/x1n/xz
n
22
2


 
 
n = tamanho da amostra 
N = tamanho da população 
e = % de erro na forma unitária 
z = intervalo de confiança, 1,96 para 95% de confiança (valor usual) 
2,58 para 99% de confiança. 
x/n = proporção esperada. O valor de n é máximo para x/n = 0,50 
 
Resultando em: 
 
 
   
  9604,0e1N
N9604,0
n
50,0150,096,1e1N
N50,0150,096,1
n
2
22
2







 
 
Cálculo do erro 
    
n
n/x1n/x
ze

 para população desconhecida 
 
    
1N
nN
n
n/x1n/x
ze




 para população conhecida 
 
para z = 1,96 e x/n = 0,50 tem-se: 
n
1
98,0e  para população desconhecida 
 
)1N(n
nN
98,0e


 para população conhecida 
Inferência Estatística é o estudo de técnicas que possibilitam a extrapolação, a 
um grande conjunto de dados, das informações e conclusões obtidas a partir 
de subconjuntos de valores, usualmente de dimensões muito menores. Deve-
se notar que se tivermos acesso a todos os elementos que desejamos estudar, 
não é necessário o uso das técnicas de inferência estatística; entretanto, elas 
são indispensáveis quando existe a impossibilidade de acesso a todo o 
conjunto de dados, por razões de natureza econômica, ética ou física. 
Existe uma técnica especial, a amostragem, para recolher amostras, que 
garantam, tanto quanto possível, o caráter de representatividade do todo, que 
possam ser usadas para permitir fazer inferências acerca da população de que 
originou. 
Quanto mais complexa for à amostragem, maiores cuidados deverão ser 
tomados nas análises estatísticas utilizadas; em contrapartida, o uso de um 
esquema de amostragem mais elaborado pode levar a uma diminuição no 
tamanho da amostra necessário para uma dada precisão. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
COSTA NETO, P. L. de O. Probabilidades. São Paulo: Editora Edgard Blucher 
Ltda, 1985. 
 
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 
17o ed. 1999. 
 
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 17o ed. 1999. 
 
DANTE, L. R. Matemática: Contexto de Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 
1999. 
 
DOWNING, D. , CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 
2000. 
 
KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: 
Editora Makron books Ltda., 1982. 
 
LAPPONI, J. C. Estatística Usando Excel. São Paulo: Editora Lapponi, 2000. 
 
LEVIN, J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas, 2a edição. São Paulo: 
Editora Harper & Row do Brasil Ltda, 1978. 
 
NICK, E. , KELLNER, S. R. O. Fundamentos de Estatística para as Ciências 
do Comportamento. Rio de Janeiro: Editora Renes, 1971. 
 
SIEGEL, S. Estatística Não Paramétrica. São Paulo: Editora McGraw-Hill do 
Brasil Ltda, 1975. 
 
STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora 
Harper & Row do Brasil Ltda, 1981. 
 
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos Editora S.A., 7a ed. 1999. 
 
 
 
ANEXO III 
 
Estatística e avaliação de imóveis 
As variáveis utilizadas nos modelos estatísticos de avaliação de imóveis 
urbanos são classificadas em dependente e independente (ABNT, 2004). A 
dependente consiste na forma de expressão do valor do bem avaliado, 
expresso como o valor do metro quadrado de um terreno. As independentes 
fazem referência: 
 (1) às características físicas do imóvel – área, largura, profundidade; 
 (2) às condicionantes locacionais – logradouro, distância do polo de influência 
ou centralidade; 
 (3) às econômicas – oferta, período e condição do imóvel. 
 
Observa-se que essas variáveis podem ser tanto quantitativas como 
qualitativas; a quantitativa não necessita realizar ajuste formal, apenas caso se 
deseje normalizar os valores; enquanto as qualitativas devem-se realizar a 
transformação da condição a que se refere em códigos, trabalhando com 
variável tipo dummy – código binário “0” e “1”. 
 
Para a quantificação das variáveis qualitativas, faz-se necessário estabelecer 
uma codificação numérica. Em algumas situações são atribuídas às variáveis 
apenas duas opções, com respostas do tipo sim ou não, ausência ou presença 
de determinado atributo, tais como: oferta ou transação, bairro comercial ou 
residencial, Avenida A ou avenida B. Estas variáveis são chamadas de 
binárias, dicotômicas ou ainda dummies. 
As variáveis dicotômicas representam importante instrumento de análise, 
possibilitando aferir cientificamente a influência de diversos fatores na dinâmica 
do mercado imobiliário, tais como: 
• oferta/venda; 
• esquina; 
• frente para o mar; 
• ocupação; 
• elevador; 
• garagem; 
 
Podemos considerar outros exemplos: 
 Acessibilidade 
Corresponde à medida de distância para o centro da cidade ou estado, a 
distância média das zonas ou ao polo de atração, à distância ao transporte 
público, comércio ou escolas. 
 Econômicas 
Corresponde a indicadores como ano de transação, mês de referência da 
venda, tipo de financiamento, ITBI, data de comercialização e valor original. 
 Ambientais 
Compreende variáveis como topografia do terreno, posição terreno na quadra, 
latitude e longitude do imóvel, percentual de área livre, nível de ruído, 
qualidade da paisagem e nível de qualidade de vida. 
 Infraestrutura 
Compreende parâmetros como organização e tecnologia do sistema de 
transportes, qualidade da infraestrutura implantada, relação entre as linhas de 
ônibus e sistema viário, presença de rede de água tratada, de esgotos e de 
energia elétrica, pavimentação da via, calçada e presença de equipamentos 
públicos. 
 Espacial e socioeconômicas 
Corresponde à distribuição espacial do Centro Econômico, ás características 
socioeconômicas da população, ao zoneamento municipal, uso do solo, 
densidade demográfica, população, localização do imóvel (região ou bairro) ou 
endereçamento. 
 Físicas 
Compreendem parâmetros como área construída, estilo, forma e idade da 
edificação; área, dimensões, forma e grau de inclinação do terreno, presença 
de benfeitorias e elevador no imóvel, número de vagas na garagem, etc. 
 
 
 
 
 
 Cadastro 
O conteúdo e as finalidades dos sistemas cadastrais modificam-se durante 
o tempo histórico e diferenciam-se de um país para o outro. Porém, as 
necessidades atuais de Gestão e do Planejamento em informação verídica 
e atualizada sobre um determinado espaço fazem com que, de uma forma 
comum, o Cadastro Técnico, defina-se como “o registro oficial e sistemático 
do serviço público de um determinado território ou jurisdição de lotes e 
parcelas em forma: (a) gráfico (planta cadastral na escala grande) e (b) 
descritivo (número de parcela, proprietário, área, uso atual, etc.)", utilizado 
como base para outros registros oficiais e particulares, assim como para 
arrecadação de impostos imobiliários e territoriais (GEODESIA-online, 
2000). A definição acima descriminada consta na declaração sobre o 
Cadastro da Fedération Internationale des Géométres (FIG) e é 
internacionalmente reconhecida. 
 
 Planta de valores genéricos 
 
A Planta de Valores Genéricos é parte integrante e básica do sistema de 
informações do Cadastro Municipal e juntamente com o Cadastro 
imobiliário é à base de todo cálculo do IPTU. 
 
A Planta de Valores Genéricosconsiste em um documento gráfico que 
representa a distribuição espacial dos valores médios dos imóveis em 
cada região da cidade, normalmente apresentados por face de quadra 
 
 
 
 
Atualmente, os tributos imobiliários representam uma importante fonte 
de arrecadação para as prefeituras. As principais dificuldades na 
determinação de Planta de Valores inferenciais estão relacionadas à 
consideração dos efeitos de vizinhança e localização que não são 
mensuráveis diretamente. 
 
 
 
 Classificação dos bens, vistoria e coleta de dados (transcrições Normas 
técnicas brasileiras NBR 14653-2)) 
 
1.2.1 Classificação dos imóveis urbanos 
 
• Quanto ao uso: 
a) residencial; 
b) comercial; 
c) industrial; 
d) institucional; 
e) misto. 
 
• Quanto ao tipo do imóvel, entre outros: 
 
a) terreno (lote ou gleba); 
b) apartamento; 
c) casa; 
d) escritório (sala ou andar corrido); 
e) loja; 
f) galpão; 
g) vaga de garagem; 
h) misto; 
i) hotéis e motéis; 
j) hospitais; 
k) escolas; 
l) cinemas e teatros; 
m) clubes recreativos; 
n) prédios industriais. 
• Quanto ao agrupamento dos imóveis: 
 
a) loteamento; 
b) condomínio de casas; 
c) prédio de apartamentos; 
d) conjunto habitacional (casas, prédios ou mistos); 
e) conjunto de salas comerciais; 
f) prédio comercial; 
f) prédio comercial; 
g) conjunto de prédios comerciais; 
h) conjunto de unidades comerciais; 
i) complexo industrial. 
 
 Vistoria 
 
A vistoria deve ser efetuada pelo engenheiro de avaliações com o 
objetivo de conhecer e caracterizar o bem avaliando e sua adequação 
ao seu segmento de mercado, daí resultando condições para a 
orientação da coleta de dados 
 
. 
 Caracterização da região 
Aspectos gerais: análise das condições econômicas, políticas e 
sociais, quando relevantes para o mercado, inclusive usos 
anteriores atípicos ou estigmas 
 Aspectos físicos: condições de relevo, natureza predominante do 
solo e condições ambientais. 
 
 Localização: situação no contexto urbano, com indicação dos principais 
polos de influência. 
 
 Uso e ocupação do solo: confrontar a ocupação existente com as leis de 
 zoneamento e uso do solo do município, para concluir sobre as 
tendências de 
 modificação a curto e médio prazo. 
 Infraestrutura urbana: sistema viário, transporte coletivo, coleta de 
resíduos sólidos, água potável, energia elétrica, telefone, redes 
de cabeamento para transmissão de dados, comunicação e 
televisão, esgotamento sanitário, águas pluviais e gás canalizado. 
 
 Atividades existentes: comércio, indústria e serviço. 
 
 
 Equipamentos comunitários: segurança, educação, saúde, 
cultura e lazer. 
 
 Caracterização do terreno 
 
 Caracterização das edificações e benfeitorias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coleta de dados 
É recomendável que seja planejada com antecedência, tendo em vista: as 
características do bem avaliando, disponibilidade de recursos, informações e 
pesquisas anteriores, plantas e documentos, prazo de execução dos serviços, 
enfim, tudo que possa esclarecer aspectos relevantes para a avaliação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anexo IV 
Métodos de avaliação 
 Método comparativo direto de dados de mercado 
Identifica o valor de mercado do bem por meio de tratamento técnico dos 
atributos dos elementos comparáveis, constituintes da amostra. 
Preferencialmente utilizado na busca do valor de mercado de terrenos, casas 
padronizadas, lojas, apartamentos, escritórios, armazéns, entre outros, sempre 
que houver dados semelhantes ao avaliando. 
 Método involutivo 
Identifica o valor de mercado do bem, alicerçado no seu aproveitamento 
eficiente, baseado em modelo de estudo de viabilidade técnico-econômica, 
mediante hipotético empreendimento compatível com as características do bem 
e com as condições do mercado no qual está inserido, considerando-se 
cenários viáveis para execução e comercialização do produto. Utilizado no 
caso de inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. 
 Método evolutivo 
Identifica o valor do bem pelo somatório dos valores de seus componentes. 
Caso a finalidade seja a identificação do valor de mercado, deve ser 
considerado o fator de comercialização. Indicado para obter o valor de mercado 
no caso de inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. É o 
caso de residências de alto padrão, galpões, entre outros. 
 Método da capitalização da renda 
Identifica o valor do bem, com base na capitalização presente da sua renda 
líquida prevista, considerando-se cenários viáveis. Recomendado para 
empreendimentos de base imobiliária, tais como shopping-centers, hotéis 
 
O Método Comparativo Direto de Dados de Mercado é aquele que define o 
valor através da comparação com os preços de bens similares, que foram 
transacionados (vendidos, locados, etc...) recentemente, ou estão ofertados. As 
particularidades dos dados pesquisados que exercem influência na formação 
dos preços deverão ser ponderadas através de ajustes, ou pelo Tratamento por 
Fatores (Homogeneização) ou através de Tratamento Científico (inferência 
Estatística). 
 
A aplicação adequada do método comparativo está fundamentada na 
metodologia da pesquisa científica, que se desenvolve através das seguintes 
fases: 
1 - Preparação da pesquisa: 
2 - Trabalho de campo; 
3 - Processamento e análise dos dados: 
4 - Interpretação e explicação dos resultados; 
5 - Redação do laudo avaliatório. 
Dubin (1992) considera que o principal fator determinante do preço de 
um imóvel é sua localização. Portanto, a qualidade da vizinhança e a 
acessibilidade, componentes básicos da localização, devem afetar o preço dos 
imóveis. Porém, os métodos empíricos utilizados para estimar o valor da 
localização, como os modelos hedônicos mostram poucos coeficientes 
significativos nas variáveis de vizinhança e acessibilidade. 
Não há um consenso na literatura sobre as medidas mais apropriadas para 
acessibilidade e vizinhança (CAN, 1990). Por outro lado, propriedades com 
características similares e próximas apresentam um valor de mercado 
semelhante, ou seja, a imobilidade produz um “valor de localização” e esta 
semelhança tende a diminuir com o aumento da distância que os separa. 
Portanto, é razoável supor que o nível dos preços de um imóvel seja 
influenciado pelos imóveis vizinhos.