Metodo de cross

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Métodos Iterativos de Análise de Estruturas
1. - Generalidades
Quando um nó duma estrutura reticulada permite a transmissão total dos momentos das
peças lineares que nele convergem, diz-se tratar de um nó rígido. Os nós dum pórtico ou de
um quadro, como os da figura, são considerados nós rígidos.
Considerando positivos os momentos nas extremidades das peças lineares que produzem
rotações no sentido do movimento dos ponteiros do relógio, teremos como condição de
equilíbrio dum nó rígido A duma estrutura no qual concorrem n peças lineares
Como condição de continuidade, teremos que o nó rígido A rodar de um ângulo �A e as
tangentes a todas as peças lineares que convergem naquele nó rodam do mesmo ângulo,
mantendo as tangentes às peças lineares no nó os ângulos que formavam inicialmente entre
si
Assim, no caso do nó rígido dum pórtico plano no qual convergem em ângulo recto duas
barras, são apenas possíveis as deformações.
Em qualquer dos casos, os momentos transmitidos pelas barras ao nó rígido são iguais e de
sinais contrários.
A deformação a seguir esquematizada só é possível quando no nó está aplicado um
momento exterior (caso duma consola, por exemplo).
O método de análise mais adequado ao estudo das estruturas de nós rígidos é o método dos
deslocamentos. Com efeito, nestas estruturas o grau de indeterminação cinemático é, em
geral, menor que o grau de indeterminação estático, o que equivale a um número de
incógnitas menor.
Em algumas estruturas de nós rígidos, o grau de indeterminação cinemático pode ainda ser
reduzido pela não consideração das deformações axiais, em face da sua pequena
importância comparada com as deformações de flexão. Tal é o caso das estruturas
apresentadas a seguir.
Na estrutura em a) as translações dos nós rígidos A, B, C e D são desprezáveis qualquer
que seja o sistema de cargas actuante nas barras, enquanto que na estrutura em b) tal
condição só é impossível quando existe simetria de carregamento relativamente ao eixo de
simetria geométrico da estrutura.
No caso de pórticos a1tos não é de desprezar as deformações axiais.
Para as estruturas planas de nós fixos a análise pelo método dos deslocamentos resume-se a
determinação duma incógnita por nó (ângulo de rotação �i de cada nó rígido).
Para as estruturas planas de nós deslocáveis importa determinar além do ângulo �i de
rotação de cada nó, as componentes Dxi e Dyi da translação dos nós. Em muitos casos são
admissíveis simplificações de cálculo, podendo considerar-se como incógnita uma única
componente da translação dos nós. Na estrutura porticada indicada sujeita a solicitações
horizontais (por exemplo, a acção do vento), além das rotações dos nós, são relevantes
apenas as componentes horizontais das translações dos nós.
1.1. - Notações. Momento na extremidade de uma barra recta.
Seja a figura que representa a forma deformada N’F’ duma recta NF dum pórtico plano.
A translação relativa dos extremos segundo a direcção perpendicular à direcção original da
barra, yF-yN, produz flexão da barra. A translação relativa segundo o eixo dos x será
desprezada, isto é, admitiremos que não ocorre variação no comprimento das barras. A
rotação da corda é dada por :
l
yy NF ���
e será positiva se ocorrer no sentido do movimento dos ponteiros do relógio.
Representaremos por :
�N - rotação do extremo N
�F - rotação do extremo F
kNF - rigidez rotacional do extremo N, que é o momento em N correspondente a uma
rotação unitária do extremo N com o extremo F encastrado.
kFN – idem a respeito do extremo F
t - momento transmitido, que é o momento no extremo fixado F originado por uma rotação
unitária do extremo N; também é igual ao momento transmitido à extremidade N para uma
rotação unitária no extremo F
�NF - factor de transmissão de N a F = 
NFk
t
�FN - factor de transmissão de F a N = 
FNk
t
M NF - momento de encastramento perfeito no extremo N
M FN - momento de encastramento perfeito no extremo F
Os momentos kNF, kFN e t são os elementos duma matriz de rigidez da barra NF
correspondentes às coordenadas 1 e 2.
Para uma barra. prismática kNF = kFN = l
4EI
 e t =
l
2EI
, e os factores de transmissão �NF = �F
=
2
l
. Para as barras não prismáticas a rigidez e factores de transmissão terão de ser
devidamente determinados tendo em conta a lei de variação da secção transversal.
No sentido de estabelecer a expressão que determina o momento na extremidade,
considere-se de novo a deformada N’F’ de barra de um pórtico submetida a cargas laterais.
Ao movimento de translação da barra como corpo rígido não correspondem momentos,
caso da passagem da posição NF � N’F’ (corda). O momento MNF no extremo N pode ser
expresso como a soma de momentos devido à carga lateral com os extremos encastrados e
dos momentos induzidos pelas rotações (�N �� �) e (�F �� �) nos extremos N e F,
respectivamente. Assim,
MNF = kNF(�N � �) + t(�F � �) + M NF
ou
MNF = kNF�N + t�F � �( kNF + t) + M NF
Esta é a equação das inclinações ou “slope-deflection” para uma barra prismática ou não
prismática.
Quando a barra tem uma rigidez à flexão, EI, constante
kNF = l
4EI
 e t = 
l
2EI
, donde MNF = l
EI (4�N + 2�F � 6�) + M NF
2. - Método da distribuição de momentos ou método de Cross
O processo da distribuição de momentos foi desenvolvido em 1932 por Hardy Cross e
permite calcular os esforços numa estrutura porticada cinematicamente indeterminada sem
se passar pela etapa de resolução do sistema de equações [K]{D} + {F} = 0 e cálculo da
matriz de rigidez da estrutura.
O método consiste essencialmente na aplicação das várias etapas do método dos
deslocamentos a cada um dos nós da estrutura, procedendo-se em cada fase a verificação do
equilíbrio nodal. Sendo um processo iterativo, a aproximação ao resultado real é função do
interesse em obter-se um resultado mais ou menos preciso.
Numa primeira fase fixam-se todos os nós calculando-se os momentos de encastramento
perfeito e a partir destes os momentos desequilibrados em cada nó. Numa segunda fase
libertam-se os nós segundo determinada ordem calculando-se os momentos de distribuição
e os transmitidos pelas barras aos extremos adjacentes.
Para um melhor acompanhamento das diversas fases apresentam-se dois exemplos
ilustrativos. Assim, considere-se a viga ABC
Admita-se primeiramente que a rotação do nó B é impedida por um momento de restrição
extremo actuando em B. Devido às cargas laterais teremos nos extremos A e B da barra AB
e nos extremos B e C da barra BC os momentos de fixação ou encastramento perfeito, M .
Na figura seguinte os momentos de encastramento indicados são valores arbitrários tendo
os momentos positivos sentido idêntico ao do movimento dos ponteiros do relógio. Na
maior parte dos casos correntes estes momentos estão tabelados.
EXTREMIDADE AB BA BC CB
COEFICENTES DE DISTRIBUIÇÃO 0.40 0.60
�80 �100 �150 +180DISTRIBUIÇÃO
E TRANSMISSÃO +10 +20 +30 +15
MOMENTOS FINAIS
�70 +120 �120 +195
O momento de restrição necessário para impedir a rotação do nó B é igual à soma algébrica
dos momentos de fixação dos extremos das barras que ocorrem no nó, que no caso em
referência é MB = �50.
Refere-se que até ao momento o procedimento foi idêntico ao descrito quando do estudo do
método geral dos deslocamentos. Agora, e uma vez que na realidade o nó B não está
impedido de rodar, vamos permitir a rotação removendo o momento de restrição MB =
�50. Ora, este efeito é obtido aplicando ao nó B um momento externo M = +50. Este
origina nos extremos das barras BA e BC concorrentes em B uma rotação �B e os
momentos MBA e MBC, em função das rigidezas rotacionais do extremo B das barras AB
e BC (kBA e kBC),, teremos :
MBA = �B�kBA e MBC = �B�kBC
Donde se poderá tirar que :
M
kk
k
M e M
kk
kM
BCBA
BC
BC
BCBA
BA
BA �
�
��
Isto quer dizer que o momento de balanço M se distribui pelos extremos das barras
concorrentes no nó proporcionalmente à rigidez rotacional relativa dos extremos de cada
barra. A relação do momento distribuído e o momento de balanço dá o coeficiente de
distribuição. Concluímos assim que o coeficiente de distribuição para um extremo é igual à
rigidez rotacional do extremo dividido pela soma das rigidezas dos extremos concorrentes
no nó, 
�
�
�
n
1j
j
i
i
k
kC , onde i refere o extremo da barra considerada e n o número de barras
concorrentes no nó. É também evidente que a soma de todos os coeficientes de distribuição
dos extremos concorrentes num nó tem de ser igual à unidade.
Sendo 
1.5
1
k
k
BC
BA � teremos que :
0.6
1.51
1.5C e 0.4
1.51
1C BCBA ��
��
�
�
3050)(0.60M e 2050)(0.4M BCBA ���	����	�
Mas a rotação do nó B induz momentos nos extremos A e C, ditos momentos transmitidos,
tendo valores iguais ao apropriado momento distribuído multiplicado pelo factor de
transmissão, MBA de B para A e MBC de B para C. O valor dum factor de transmissão
depende da variação da secção transversal da barra e para uma barra prismática é igual a
0.5, e quando o extremo oposto é livre é igual a zero.
O processo de distribuição de momentos seguido de transmissão constitui um ciclo. Os
momentos finais nos extremos obtém-se adicionando os momentos de fixação ( M ) aos
momentos causados pela rotação do nó.
Se a rotação ocorre em mais do que um nó, em geral, é necessário mais do que um ciclo de
distribuição e transmissão de momentos. Como exemplificação analisamos o pórtico da
figura a seguir esquematizado.
Desprezadas as deformações axiais os únicos deslocamentos possíveis dos nós são as
rotações em B e C. Admitindo que pórtico tem barras prismáticas os coeficientes de
transmissão são todos iguais a 
2
l
. A rigidez rotacional de qualquer das barras é 
l
4EI
 onde
EI é a rigidez de flexão e l o comprimento da barra. No caso em estudo são dados os
valores dos coeficientes k1 = l
I
 e vamos admitir que as cargas aplicadas são tais que temos
os momentos de encastramento indicados no quadro. Os coeficientes de distribuição foram
determinados por 
�
�
�
n
1j
j
i
i
k
kC .
O primeiro ciclo de distribuição e transmissão de momentos corresponde à rotação de B
com C restringido. No segundo ciclo permite-se a rotação do nó C com B restringido, sendo
o momento de ba1anço neste ciclo igual ao valor simétrico da soma algébrica dos M em
CB, CD e CE com os momentos transmitidos quando da rotação de
B, que é �(285 + 0 � 200 + 15) = �100. O ciclo estará terminado com a transmissão de
momentos aos extremos opostos das três barras concorrentes em C. É evidente que o 2º
ciclo induziu um desequilíbrio no nó B, isto é, libertando o nó B ocorrerá uma nova
rotação. Neste ciclo o momento desequilibrado neste nó é igual ao momento transmitido em
BC no ciclo precedente.
A transmissão no 3º ciclo origina um momento desequilibrado no nó C e daí deverá ser
outra vez equilibrado. O processo repete-se até aos momentos não equi1ibrados em todos
os nós sejam tão pequenos que sejam desprezáveis. Os momentos finais são obtidos pela
adição dos momentos de fixação M aos momentos introduzidos pelos deslocamentos dos
nós em todos os ciclos. Com a verificação do equilíbrio dos nós a soma dos momentos
finais nos extremos das barras concorrentes em qualquer dos nós deve ser nula.
Note-se que a distribuição de momentos pode ser realizada experimentalmente em modelo
da estrutura fixando e libertando os nós conforme foi indicado.
No exemplo precedente não foi feita nenhuma distribuição nos extremos encastrados A, D e
E porque nestes pontos pode-se imaginar os extremos das barras ligados a um corpo
infinitamente rígido e assim os coeficientes de distribuição para os extremos nestas
condições são nulos.
Podemos também notar que os momentos introduzidos nos extremos AB e DC em cada um
dos ciclos são iguais aos coeficientes de transmissão vezes os momentos introduzidos,
respectivamente, nos extremos BA e CD. Segue-se então que não é necessário registar os
momentos nos extremos AB e DC. Durante o processo de distribuição, calculando-se os
momentos finais nestes extremos pelas expressões :
MAB = M AB + �BA( MBA � M BA )
MDC = M DC + �DC( MCD � M CD )
2.1. - Estruturas de nós fixos
O procedimento aplicado a estruturas nas quais os únicos deslocamentos possíveis dos nós
são as rotações, poderá ser esquematizado do seguinte modo :
1. Determina-se os nós que rodarão quando a estrutura for submetida às cargas
externas. Calcula-se a rigidez dos extremos das barras bem como os factores de
transmissão.
Os coeficientes de distribuição são determinados por 
�
�
�
n
1j
j
i
i
k
kC .
A rigidez rotacional de qualquer extremo duma barra prismática é 
l
4EI
 e o coeficiente de
transmissão é 0.50. Se o extremo é rotulado a rigidez rotacional do outro extremo é 
l
3EI
 e
não há transmissão do momento para o extremo rotulado. Numa estrutura com todas as
barras prismáticas a rigidez rotacional dum extremo pode ser tomada como ki = l
I
 e quando
um extremo é rotulado a rigidez rotacional do outro extremo é 
4
3 ki = 4
3
l
I
. Na hipótese de
barras não prismáticas as rigidezas e coeficientes de transmissão terão de ser determinados
de modo apropriado.
2. Com todas as rotações dos nós impedidas, determinam-se os momentos de encastramento
perfeito devidos ao carregamento transversal.
3. E escolhem-se os nós a ser libertados no 1º ciclo.
Note-se que pode ser conveniente tomar os nós alternados. Por exemplo, no pórtico da
figura podemos libertar no 1º ciclo quer A, C e E ou D, B e F. Calculam-se os momentos
desequilibrados nos nós escolhidos � soma algébrica dos momentos de fixação dos
extremos. Se actuar qualquer momento externo em algum dos nós, adicionam-se aos
respectivos momentos de balanço.
4. Distribuem-se os momentos de balanço aos extremos das barras concorrentes nos
nós libertados. O momento distribuído a cada extremo é igual ao produto do coeficiente de
distribuição pelo respectivo momento de balanço. Os momentos distribuídos são então
transmitidos aos extremos opostos, sendo os momentos transmitidos iguais ao produto dos
momentos distribuídos pelos coeficientes de transmissão. Está assim terminado o 1º ciclo.
5. Libertam-se os restantes nós enquanto a rotação é impedida nos nós libertados no 1º
ciclo. O momento de balanço em qualquer nó é igual ao valor simétrico da soma algébrica
dos momentos de fixação dos extremos e dos momentos transmitidos no 1º ciclo. Os
momentos de balanço são distribuídos e estes transmitidos do mesmo modo que em 3.
Está completo o 2º ciclo.
6. Os nós libertados em 3 são novamente libertados enquanto a rotação dos restantes é
impedida. O momento de balanço de qualquer dos nós é igual ao valor simétrico da soma
algébrica dos momentos transmitidos aos extremos concorrentes no nó, no ciclo precedente.
7. Adicionam-se os momentos nos extremos obtidos nas fases 2 a 7 obtém-se assim os
momentos finais. As reacções ou diagramas de esforços poderão ser determinados por
simples considerações estáticas.
Se um pórtico tiver alguma barra em consola, podemos substituí-la por uma força e um
momento actuando no nó da ligação ao resto da estrutura.
Problema : Traçar o diagrama de momentos flectores na viga esquematizada.
Resolução :
O efeito da consola AB no resto da viga é o mesmo que a força de 10 tf e o momento de 6
tfm actuando em B. O extremo B fica assim livre e a distribuição de momentos terá de ser
realizada somente nos nós C,D e E. Durante a distribuição o nó B poderá rodar livremente e
por isso, é considerada uma rótula em B, não havendo transmissão de momentos de C para
B. A rigidez rotacional de EB é 
4
3 k1 = 4
3l
I
 estando os coeficientes de distribuição
indicados no quadro. Os momentos de fixação para os extremos BC e CB são os da viga
rotulada em B e encastrada em C submetida ao momento de 6 tfm em B. os restantes
momentos de encastramento perfeito são calculados do modo usual. A distribuição de
momentos é realizada no nó D e nos nós C e E no ciclo seguinte. Os momentos produzidos
nos extremos CB, EF e FE não são registados sendo os momentos finais nestes extremos
calculados dos valores dos momentos finais no outro extremo das respectivas barras. Sendo
:
MCB = �MCD = �2.85 tfm e
MEF = �MED = 5.32 tfm, M EF = M FE = 0 , �EF = 2
1
da equação
MFE = M FE + �EF( MEF � M EF )
MFE = 2
M EF
 = �2.66 tfm
O diagrama dos momentos está traçado a seguir ao quadro
2.1.1. - Rigidezas rotacionais ajustadas
Em certos casos o processo de distribuição de momentos pode ser encontrado se forem
usadas as rigidezas rotacionais ajustadas em vez das usuais rigidezes.
A rigidez rotacional kAB foi definida como o momento necessário em A para rodar o
extremo da viga dum ângulo unitário com o extremo oposto B fixo. Similarmente kBA é o
momento necessário em B para produzir uma rotação unitária com A fixo. As formas
deformadas das vigas correspondentes a estas, duas condições
O momento no extremo fixo tem o mesmo valor nas duas configurações deformadas. Note-
se que estas configurações esboçadas poderão igualmente ser representadas conforme
Ambas as configurações indicam a ocorrência de uma rotação unitária sem translação do
extremo. Como vimos, para a barra prismática,
kAB = kBA = l
4EI
 e t = 
l
2EI
desprezadas as deformações axiais e por esforço transverso.
Vamos considerar agora alguns casos especiais
a) rotação num extremo da barra com o extremo oposto rotulado
b) rotações nos extremos simétricas e anti-simétricas
As rigidezas rotacionais ajustadas serão anotadas por k com um sub-índice indicando a viga
e um sobre-índice indicando as condições no extremo oposto.
c) a rigidez rotacional ajustada kAB correspondente a translação livre em A.
Vamos experimentar em seguida as rigidezas ajustadas 1ABk , 2ABk , 3ABk e 4ABk em termos das
rigidezes kAB, kBA e t para a mesma viga.
As forças e os deslocamentos nas cooordenadas 1 e 2 estão relacionadas por [K]{D}={�F}
em que [K] = 
�
�
�
�
BA
AB
kt
tk
, {D} são as rotações dos extremos e {�F} os momentos nos
extremos.
No caso a) D1 = 1 e F2 =0, F1 = 1ABk donde substituindo na equação [K]{D}={F} virá :
BA
2
1
ABAB
1
AB
2BA
AB
k
tkk 
0
k
D
1
kt
tk �
��
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
Em termos dos coeficientes de transmissão,
�AB = 
ABk
t
 e �BA = 
BAk
t
)(1kk BAABAB1AB ����
Para uma barra prismática �AB = �BA = 2
1
 e AB
1
AB k4
33EIk ��
l
No caso b) com rotações nos extremos simétricos D = �D2 = 1 e F1 = F2 = kAB donde :
)(1ktkk 
k
k
1
1
kt
tk
ABABAB
2
AB2
AB
2
AB
AB
AB
������
��
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
Para uma barra prismática 
l
2EIk 2AB �
No caso de b) com rotações nos extremos antissimétricos D1 = D2 = 1 e F1 = F2 = kAB
donde [K]{D}+{F} � )(1ktkk ABABAB3AB �����
Para uma barra prismática 
l
6EIk 3AB �
A matriz de rigidez para a viga AB considerada correspondente às coordenadas 1* e 2* (
para o caso considera-se o extremo encastrado )
� �
�
�
�
�
��
�
�
ll
l
2tkkk
tkk
K
BAABAB
AB
AB
*
Os elementos *11k e 
*
12k desta matriz poderão ser rapidamente obtidos através da equação
“slope-deflection”
MNF = kNF�N + t�F ��(kNF + t) + M NF
Os elementos *21k e 
*
22k poderão ser obtidos dos momentos nos extremos *11k e *12k por
simples considerações estáticas tendo em conta que representam o esforço transverso em A.
As forças e os deslocamentos nas coordenadas 1* e 2* estão relacionadas por
[K*]{D*}={F*}.
No caso c) temos que �1D = 1, �2F = 0 e �1F = 4ABk donde resolvendo a equação anterior
2tkk
tkkk
BAAB
2
BAAB4
AB ��
�
�
Para uma barra prismática 
l
EIk 4AB �
É óbvio que para o equilíbrio da viga em c) o momento extremo em B tem de ser igual e
oposto ao momento extremo em A. Então o factor de transmissão para uma barra
prismática ou não prismática nestas condições é �AB = �1.
2.1.2. - Momentos de fixação ajustados
Considere-se a viga da figura com os dois extremos encastrados submetida a uma carga
transversal qualquer, seja M AB e M BA os momentos nos extremos e FA e FB as reacções
verticais
Admita-se que a viga é não prismática com rigidezas rotacionais dos extremos kAB e kBA,
factores de transmissão �AB e �BA e momentos transmididos t. Vamos procurar
determinar os momentos nos extremos de uma viga similar submetida ao mesmo
carregamento transversal mas com os seguintes apoios
Em a) o extremo A é rotulado sendo a rotação livre em A. Daí que há só um momento 1ABM
a ser determinado. Em b) a rotação é impedida em A e a translação pode ocorrer
livremente. Haverá neste caso que determinar os dois momentos extremos 2ABM e 2BAM .
Em alguns casos concretos e para abreviar a distribuição de momentos poderemos utilizar
os momentos de fixação ajustados 1ABM , 2ABM e 2BAM juntamente com as rigidezas
rotacionais ajustadas. Considere-se primeiramente a viga AB com os extremos encastrados.
Os momentos nos extremos são M AB e M BA. Para uma rotação do extremo A tal que seja
produzida por um momento �M AB o momento correspondente desenvolvido em B é
�AB M AB. Sobrepondo os momentos nos extremos teremos um momento nulo em A o que
equivale as condições da figura a). O momento no extremo B será por conseguinte
ABABBAAB MMM ��� onde M AB e M BA são os momentos de encastramento perfeito e
�AB é o coeficiente de transmissão de A para B. Para uma viga prismática
2
MMM ABBA1AB �� .
Considere-se agora a mesma viga AB submetida a uma força descendente FA no extremo A.
Este extremo pode deslocar-se livremente na direcção de FA mas sem rotação.
Os momentos extremos nesta viga obtidos da equação “slope-deflection” ou por outro
método são :
2t)k(k
tkFM 
2t)k(k
tkFM
BAAB
AB
A
3
BA
BAAB
AB
A
3
AB ��
�
�
��
�
� ll
onde l é o comprimento da viga, t = �ABkAB = �BAkBA
Os momentos extremos da viga em b) podem ser obtidos por sobreposição dos momentos
de encastramento perfeito com os momentos indicados na figura c)
2t)k(k
t)(kFMM
2t)k(k
t)(kFMM
BAAB
BA
ABA
2
BA
BAAB
AB
AAB
2
AB
��
�
��
��
�
��
l
l
Para uma viga prismática 
2
FMM AAB2AB
l
�� e 
2
FMM ABA2BA
l
�� .
Se na figura a) o extremo A é encastrado enquanto o extremo B pode sofrer translação o
momento de fixação ajustado pode ser obtido das equações anteriores substituindo os
índices. Na figura b) podemos utilizar as equações anteriores intermutando os índices A e
B. Neste caso é evidente que em vez de FA aparecerá FB correspondendo ao sentido
descendente o sinal positivo.
Problema : Determinar o diagrama de momentos flectores no pórtico simétrico da figura.
Sugestão : substitua o carregamento dado por um carregamento simétrico e antissimétrico
equivalente.
Resolução : Anote-se que qualquer carga numa estrutura simétrica pode ser substituída pela
soma dum carregamento simétrico e um antissimétrico. Assim, no caso em questão teremos
que nos vai possibilitar utilizar as rigidezas e os momentos de fixação ajustados.
Com simetria ou antissimetria de carregamento é suficiente fazer a distribuição de
momentos em metada da estrutura. As rigidezes rotacionais dos extremosdas barras
concorrentes em B serão calculadas.
Caso a)
l
l
l
4EIk
2EIk
3EIk
BE
BC
BA
�
�
�
Caso b)
l
l
l
4EIk
6EIk
3EIk
BE
BC
BA
�
�
�
Podendo-se com facilidade calcular os coeficientes de distribuição que estão indicados nos
quadros seguintes :
É importante notar que na hipótese simétrica os momentos extremos das barras da metade
direita do pórtico são quais em grandeza e sinal oposto nos momentos na metade esquerda,
enquanto na hipótese antissimétrica são iguais e do mesmo sinal nas duas metades. A soma
dos momentos nas duas hipóteses dá o momento no pórtico.
EXTREMO BA BE BC EB CD CF CB FC
CARGA SIMÉTRICA +5.00
�3.34 �1.66 �1.67 �5.00 +3.34 +1.66 +1.67
CARGA ANTI-SIMÉTRICA +5.78
�2.32 �3.46 �1.16 +5.78 �2.32 �3.46 �1.16
MOMENTOS FINAIS +10.78
�5.66 �5.12 �2.83 +0.78 +1.02 �1.80 +0.51
O diagrama de momentos será :
Problema : Traçar o diagrama de momentos flectores na viga simétrica não prismática
representada. As rigidezas rotacionais dos extremos, os coeficientes de transmissão e os
momentos de fixação dos extremos são os indicados no quadro dado.
EXTREMO AB BC
RIGIDEZ ROTACIONAL DO
EXTREMO
AB
BA
AB
AB
EI5.0k
EI4.2k
l
l
�
�
BC
CBBC
EI5.3kk
l
��
FACTOR DE TRANSMISSÃO
�AB = 0.57
�BA = 0.48
�BC = �CB = 0.5
MOMENTO DE FIXAÇÃO
DEVIDO À CARGA UNIFORME 2
ABBA
2
ABAB
0.095 M
0.078M
ql
ql
��
��
2
BCCB
2
BCBC
0.089 M
0.089M
ql
ql
��
��
Sendo a viga simétrica e simetricamente carregada utilizando as rigidezas e momentos de
fixação ajustados bastará levar a cabo a distribuição de momentos no nó B. Teremos :
 kBA = kBA(1 � �AB�BA) = 6
EI
	 5.0(1 � 0.57	0.48) = 0.605EI
 kBC = kBC(1 � �BC) = 8
EI
	 5.3(1 � 0.56) = 0.292EI
 CBA = 67060502920
6050
.
..
.
�
�
 CBC = 33060502920
2920
.
..
.
�
�
tfm.qlql 050.1390.078)0.57(0.095MMM 2AB2ABABABBA1BA ��	�����
 tfm.ql 750.089M 2BC2BC ����
Como se verifica é necessário somente um ciclo de distribuição sem transmissão. O
diagrama de momentos é portanto o seguinte :
	Métodos Iterativos de Análise de Estruturas
	Representaremos por :
	MNF = kNF(?N ( ?) + t(?F ( ?) + nullNF
	MNF = kNF?N + t?F ( ?( kNF + t) + nullNF
	Quando a barra tem uma rigidez à flexão, EI, constante
	kNF = null e t = null, donde MNF = null(4?N + 2?F ( 6?) + nullNF
	
	MBA = ?B(kBA e MBC = ?B(kBC
	MAB = nullAB + ?BA( MBA ( nullBA )
	MCB = (MCD = (2.85 tfm e
	da equação
	MFE = nullFE + ?EF( MEF ( nullEF )
	MFE = null = (2.66 tfm
	O diagrama dos momentos está traçado a seguir ao quadro
	Vamos considerar agora alguns casos especiais
	As forças e os deslocamentos nas cooordenadas 1 e 2 estão relacionadas por [K]{D}={(F} em que [K] = null, {D} são as rotações dos extremos e {(F} os momentos nos extremos.
	
	Para uma barra prismática ?AB = ?BA = null e