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Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
1 
 
 
APARECIDA FERREIRA SILVA 
FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
 
 
 
 
 
UMA PROPOSTA DE ENSINO A RESPEITO DAS 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DE RECURSOS 
DIDÁTICOS MANIPULÁVEIS E DE RECURSOS 
TECNOLÓGICOS 
 
 
Atividade apresentada à Universidade Federal de 
Sergipe, Centro de Ciências Exatas e Tecnologia, 
Departamento de Matemática, como um dos pré-
requisitos para a conclusão da disciplina Laboratório de 
Ensino de Matemática. 
 
Orientadora: Professora Rita de Cássia Pistóia Mariani 
 
 
 
SÃO CRISTÓVÃO 
2013 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
As abordagens recentes das questões de ensino e aprendizagem, no que diz 
respeito à aquisição de conhecimentos matemáticos, têm sido marcadas por críticas feitas 
aos conteúdos ensinados com base na ideia de “transmissão” em oposição à “construção ” 
de conhecimento. Isso nos leva a indagar: será que a transmissão de conteúdos é o único 
meio de mediar o conhecimento? Ou melhor, será que esse é o objetivo de quem resolveu 
abraçar essa prática? 
Essas perguntas nos levam a pensar a respeito de como trabalhar com a 
Matemática para que não entremos nesse mesmo contexto de transmissor de conteúdo. 
Assim, através de teorias como as de D’AMBROSIO (1998), BIEMBENGUT (1999), 
LORENZATO (2006), MIGUEL e MIORIM (2005), ONUCHIC (2008), e outros da área 
da Educação Matemática, percebe-se que existem metodologias que possibilitam uma 
construção dos conhecimentos matemáticos diferenciando o ensino em sala de aula, e 
deixando o professor não mais, apenas, como detentor do conhecimento, mas como 
mediador e aprendiz; e os alunos passam a ser construtor dos conhecimentos que 
contribuirão em sua atuação como cidadão. 
Devido a essa forma de se trabalhar com os conteúdos matemáticos, fazendo 
uso apenas da transmissão como metodologia, surgiu à necessidade da elaboração desse 
Projeto Didático com o intuito de fazer com que os alunos do 1º ano do ensino médio 
possam construir os conhecimentos a respeito dos assuntos exponenciais e logaritmos. 
Assim, esse projeto será uma alternativa de sequências didáticas as quais 
enfatizam a construção do conhecimento por meio da Modelagem Matemática e das 
Tecnologias da Informação e Comunicação – (TIC) no ensino das Funções Exponenciais e 
Logarítmicas. 
Segundo Borba e Penteado 
Os estudos sobre as implicações do uso de tecnologia informática para a prática 
docente apontam para a necessidade de ações que forneçam estímulo e suporte 
para que o professor consiga lidar com as incertezas e imprevisibilidades de um 
ambiente informatizado. O uso de TICs exige movimento constante, por parte do 
professor, para áreas desconhecidas. É preciso atuar numa zona de risco, onde a 
perda de controle é algo que ocorre constantemente. Além dos problemas 
técnicos que freqüentemente perturbam o andamento das atividades propostas, 
há as perguntas imprev isíveis que, para grande parte dos professores, são a parte 
mais difícil de lidar na interação com os alunos. (BORBA e PENTEADO, 2002, 
p. 248.) 
Não adianta termos o computador à disposição, se não soubermos como utilizá-
lo e, ainda, o professor tem que se preparar quando for utilizar um software, no sentido de 
conhecer suas interfaces e estar aberto a aprender com o aluno, pois existe uma troca 
muito grande entre professor e aluno, quando se utiliza uma ferramenta tão vasta como é o 
computador. 
Assim, mesmo quando o professor utiliza o computador para ministrar 
conteúdos específicos da disciplina, ele necessita estar atento para perceber se está 
utilizando o computador apenas para transmitir o conteúdo já desenvolvido - uma literatura 
qualquer da internet, por exemplo, que retoma aquilo que já foi trabalhado por ele num 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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outro momento - ou se está utilizando o computador para construir o conhecimento com o 
aluno, orientando-o durante o processo, fazendo assim a contextualização desses 
conteúdos. 
De acordo com as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – (PCN+, 2002), faz-se necessário uso da 
contextualização para que os conhecimentos matemáticos possam ser mediados, e segundo 
Jurkiewicz e Fridemann (2007). 
O mundo circundante, com seus problemas e fenômenos, é uma das fontes de 
criação do desenvolvimento da Matemática. Para tratar-se matematicamente uma 
situação há necessidade, em algumas fases do estudo, de transladar-se desse 
mundo para uma realidade Matemát ica. Também existe o caso contrário: o 
desenvolvimento de alguma teoria matemática pode servir como base para 
explicar fenômenos que só são percebidos e/ou estudados tempos depois de a 
teoria ser concebida. (JURKIEWICZ e FRIDEMANN, 2007, p.16) 
Assim, o uso de situações que enfatize aspectos e investigação da vida real é o 
ponto de partida para transformar as aulas de Matemática em um espaço de construção e 
investigação dos problemas que permeiam a sociedade, para que se possam compreender 
as teorias matemáticas não só através da abstração, mas tendo em vista as áreas do 
conhecimento que fazem uso dos conteúdos construídos. 
Deste modo, através do Art. 22 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação 
Nacional – LDBN Lei nº 9394/96, e principalmente do item que fala sobre o progresso no 
trabalho e nos estudos posteriores, percebe-se a importância dessa contextualização por 
parte das disciplinas, pois só assim os conteúdos acadêmicos terão uma maior ligação com 
a realidade de quem os utilizam. Com isso as disciplinas precisam adequar-se a 
problematizar os conhecimentos para que os discentes possam ser atuantes no processo de 
ensino e aprendizagem. 
As ciências Matemática, Física, Química e Biologia, segundo os (PCN+, 
2002), “[...] são ciências que tem em comum a investigação da natureza e dos 
desenvolvimentos tecnológicos, compartilham linguagens para a representação e 
sistematização do conhecimento de fenômenos ou processos naturais e tecnológicos” 
(BRASIL, 2002, p. 23). As características supracitadas evidenciam a possibilidade de se 
trabalhar de forma interdisciplinar, não só entre essas áreas do conhecimento, fazendo uso 
de metodologias que possam mediar os conhecimentos de forma contextualizada 
favorecendo uma melhor articulação com os diferentes campos dos saberes específicos. 
Segundo o Artigo 8, Parágrafo 2° das Diretrizes Curriculares Nacionais para o 
Ensino Médio – DCNEM (2012, p. 3.): 
A organização por áreas de conhecimento não dilui nem exclu i componentes 
curriculares com especificidades e saberes próprios construídos e sistematizados, 
mas implica no fortalecimento das relações entre eles e a sua contextualização 
para apreensão e intervenção na realidade, requerendo planejamento e execução 
conjugados e cooperativos dos seus professores. (BRASIL, 2012, Art. 8, 
Parágrafo 2º, p. 3.) 
 
Segundo os (PCN+, 2002), 
A articulação e o sentido dos conhecimentos devem ser garantidos já no ensino 
médio, assim num mundo como o atual, de tão rápidas transformações e de tão 
difíceis contradições, estar formado para a vida significa mais do que reproduzir 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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dados, denominar classificações ou identificar símbolos. Significa: saber se 
informar, comunicar-se, argumentar, compreender e agir; enfrentar problemas de 
diferentes naturezas; participar socialmente, de forma prática e solidária; ser 
capaz de elaborar críticas ou propostas e especialmente, adquirir uma atitude de 
permanente aprendizado. (BRASIL, 2002, p. 9.). 
 
É através desses significados que mostraremos como as tendências 
metodológicas da Educação Matemática serão utilizadas nesse projeto didático e que 
estarão ancoradas nos seguintes recursos didáticos: Torre de Hanói, nos Softwares 
GeoGebrae no Editor de Planilhas. Estes recursos didáticos serão de grande importância 
no decorrer das aulas, pois servirão como ponte mediadora entre os conhecimentos 
matemáticos e os alunos, dando- lhes subsídio para assumirem o papel de agentes 
responsáveis por problematizar, pesquisar, levantar conjecturas e chegar a resultados 
satisfatórios percebendo a aplicabilidade dos conteúdos nas diversas áreas do 
conhecimento. Com base nesses recursos didáticos, os assuntos serão problematizados e 
apresentados aos educandos para que possam começar o processo de construção dos 
conhecimentos matemáticos. 
Assim, temos como meta orientar as aulas de Matemática sobre estudo das 
funções exponenciais e logarítmicas, articulando os recursos didáticos as propriedades 
inerentes as mesmas, para que se tenha uma visão concreta do comportamento dessas 
funções e se chegue a um modelo matemático que esteja subordinado as suas propriedades. 
É de grande valia o uso desses recursos didáticos para que os alunos possam atuar como 
sujeito investigativo e chegar a conclusões a respeito dos conhecimentos matemáticos 
sobre as funções exponenciais e logarítmicas, o que torna mais fácil a visualização do 
comportamento dessas funções. Assim, o ensino estaria voltado ao universo vivencial dos 
alunos o que aproxima a escola do mundo real. Para tal, o uso desses recursos didáticos 
fará das aulas um espaço de construção e pesquisa a respeito dos saberes matemático. 
 
PROBLEMÁTICA 
 A abordagem dos conteúdos matemáticos, em sua maioria, é realizada sem 
interação com as outras áreas do conhecimento, de forma isolada, deixando os conteúdos 
como algo dissociado. 
Mas, apesar de toda essa dissociação, será que existe uma maneira de se 
construir os conhecimentos a respeito da Função Exponencial e Logarítmica, com o apoio 
dos recursos didáticos, e que possa mudar esse quadro nas aulas de Matemática? 
Podemos abordar os conceitos de Função Exponencial e Logarítmica por meio 
da aprendizagem com a utilização da Torre de Hanói fazendo uso da Modelagem 
Matemática e com o uso dos Softwares GeoGebra e do Editor de Planilhas, a partir do uso 
desses recursos didáticos o aluno poderá compreender o significado desses conteúdos 
matemáticos, tendo como ponto de partida a resolução de problemas por meio da História 
da Matemática e com a utilização de materiais manipuláveis. 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
 FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 01 
 
TÍTULO: O Mistério que Envolve o Fim do Mundo! 
CONTEÚDO(S) EXPLORADO(S): 
 Potenciação. 
 Noção de Exponencial. 
ANO/SÉRIE: 1º Ano do Ensino Médio. 
OBJETIVO(S): 
 Construir um modelo Exponencial através da manipulação da Torre de Hanói. 
 Confeccionar um modelo de Torre de Hanói utilizando EVA e cartolina. 
 Conhecer o mistério por trás da Torre de Hanói. 
 Compreender a importância da Exponencial para as outras áreas do conhecimento 
como a Biologia e a economia, através do modelo construído por meio da Torre de 
Hanói. 
RECURSO(S): 
Folha de papel com a lenda “Torre de Hanói”, EVA colorido, tesoura, régua, caneta ou 
lápis, folha de papel com o protótipo da Torre de Hanói, folha de papel A4 para montar a 
tabela e atividade impressa com situações-problemas. 
PROCEDIMENTOS: 
Em uma turma de 1ª ano do Ensino Médio, o educador pede que formem trios e 
entrega uma folha com a lenda “A Torre de Hanói” e pede que eles façam a leitura. 
A TORRE DE HANÓI 
 
Segundo um mito indiano, o centro do mundo está sob a cúpula do templo de 
Benares. Nele, há uma placa de latão onde estão fixadas três agulhas de diamantes. Ao 
criar o mundo, Brahma colocou, em uma dessas agulhas, sessenta e quatro discos de ouro 
puro de tamanhos diferentes, estando o maior junto à placa e o menor no topo. É a Torre de 
Brahma. Seguindo as imutáveis leis de Brahma, os sacerdotes do templo mudam os discos 
de uma agulha para outra, dia e noite, sem cessar, e cada sacerdote move apenas um disco 
por vez, sem nunca colocar um sobre outro menor. Quando os sessenta e quatro discos 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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tiverem sido transferidos de uma agulha para outra, a Torre, o templo e os sacerdotes serão 
transformados em pó, e o mundo desaparecerá com um trovão. 
 
Após, cada trio irá falar o que entendeu sobre a lenda e irão confeccionar o 
jogo da Torre de Hanói, seguindo as orientações do professor. Para essa atividade cada trio 
receberá pedaços de EVA, tesoura, régua, caneta ou lápis e uma folha representando o 
protótipo dos pinos da Torre de Hanói onde serão colocadas as peças. 
PROTÓTIPO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com esses materiais os alunos deverão, com base no tamanho do quadrado do 
protótipo, desenhar no EVA, com o auxílio da régua, cinco quadrados com os lados 
diferindo de um centímetro e meio de comprimento e recortá- los com a tesoura. Com os 
quadrados prontos os educandos deverão enumerá- los do menor para o maior e empilhá- los 
no primeiro quadrado do protótipo em ordem decrescente, onde o menor ficará no topo. O 
docente falará que esse jogo seguirá as mesmas regras da lenda que eles tinham lido, ou 
seja, só será permitido mover um quadrado de cada vez e sem colocar um maior em cima 
de um menor, com o objetivo de mover todas as peças para outra base. Assim os alunos 
começam a jogar. 
Em seguida, o professor entrega uma folha A4 aos trios para que eles 
construam uma tabela para anotar a quantidade de movimentos feitos para conseguir passar 
todos os quadrados para a outra marcação do protótipo e marcar a quantidade de 
movimentos de cada peça do jogo, seguindo as mesmas regras da lenda linda no início da 
aula. 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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MODELO DE TABELA QUE DEVERÁ SER CONSTRUÍDA PELOS ALUNOS 
Quantidade de discos 
da torre 
Quantidade de movimentos de cada peça Total de 
movimentos Peça 1 Peça 2 Peça 3 Peça 4 Peça 5 
 
 
 
 
 
 
Após, transcorridas algumas partidas o educador pede que eles comecem a 
jogar com apenas um quadrado e anote quantos movimentos foram necessários, isso será 
feito aumentando uma peça a cada partida. Com a tabela preenchida, os alunos deverão 
analisá- la e encontrar um modelo matemático que satisfaça a quantidade de movimentos 
mínimos para passar todos os n quadrados para outra base do protótipo. 
O educador deverá agir como um mediador do conhecimento conduzindo os 
educandos por caminhos cabíveis para chegar aos resultados corretos, mas isso, sem 
necessariamente, falar o resultado a ser encontrado. 
Com o modelo pronto, os discentes deverão mostrar quais caminhos foram 
seguidos e justificar com argumentos fundáveis e matemáticos que esse modelo servirá 
para quaisquer quantidades de peças no jogo. 
Com base no modelo encontrado, o professor falará que esse tipo de expressão 
é conhecido como Exponencial e que é de grande importância na Biologia, na Informática, 
na Economia e entre outras áreas. Para mostrar a atuação desse tipo de modelo matemático 
em outras áreas do conhecimento são entregue aos alunos uma atividade impressa 
contendo algumas situações-problemas para que eles possam resolvê- las com base nos 
conhecimentos adquiridos sobre exponencial. Se os alunos não conseguirem responder, ela 
será deixada para as futuras aulas, onde os conhecimentos já estarão mais esclarecidos. 
SITUAÇÕES-PROBLEMAS 
 
 
1ª) Uma cultura, inicialmente com 100 bactérias, reproduz-se em condições ideais. 
Suponha que, por divisão celular, cada bactéria dessa cultura dê origem a duas outras 
bactérias idênticas por hora. 
a) Qual a população dessa culturaapós 3 horas do instante inicial? 
b) Depois de quantas horas a população dessa cultura será de 51.200 bactérias? 
c) Encontre um modelo matemático para calcular a população de bactérias em n 
horas. 
 
2ª) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) = TA + 𝛼3𝛽𝑡, 
onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, TA é 
a temperatura ambiente, suposta constante, e 𝛼 e 𝛽 são constantes. O referido corpo foi 
colocado em um congelador com temperatura de – 18 °C. Um termômetro no corpo 
indicou que ele atinge 0 °C após 90 minutos e chegou a – 16 °C após 270 minutos. 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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a) Encontre os valores numéricos das constantes 𝛼 e 𝛽. 
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas 
(
2
3
) ºC superior à temperatura ambiente. 
 
3ª) A trajetória de um salto de um golfinho nas proximidades de uma praia, do instante em 
que ele saiu da água (t = 0) até o instante em que mergulhou (t = T), foi descrita por um 
observador por meio do seguinte modelo matemático. 
h(t) = 4t – t.20,2-t, 
com t em segundos, h(t) em metros e 0 ≤ t ≤ T. Qual o intervalo de tempo, em segundos, 
em que o golfinho esteve fora da água durante este salto? 
 
4ª) Uma pessoa deposita R$ 500,00 na caderneta de poupança e, mensalmente, são 
creditados juros de 2% sobre o saldo. Sabendo que o montante é igual ao capital mais o 
juro, determine: 
a) A função que permite encontrar o montante M dessa aplicação após x meses; 
b) O montante após um ano; 
c) O rendimento (juros) no primeiro ano. 
 
 
Após, terminarem de resolver as situações-problemas os discentes são 
orientados a apresentar as maneiras como conseguiram chegar aos resultados. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
COSTA. A. Torre de Hanói, uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio. 
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf. 
Acesso em 26 de jan. de 2013. 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa: 1ª série do 
Ensino Médio. 2ª ed. renov. São Paulo: FTD, 2005. p. 224-242. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio: Volume 1. 6ª ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 02 
 
TÍTULO DA AULA: Modelonencial. 
CONTEÚDO(S) EXPLORADO(S): 
 Definição de Função Exponencial. 
 Propriedades das Funções Exponenciais. 
 Representação Gráfica de Funções Exponenciais. 
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio. 
OBJETIVO(S): 
 Construir modelos matemáticos através da análise do comportamento de 
determinada situação-problema e através da utilização de materiais manipuláveis 
como recorte de papel. 
 Compreender a definição e as propriedades das funções exponenciais através de 
situações-problemas, do estudo de tabelas, da análise gráfica e da construção de 
modelos matemáticos por meio das conclusões a respeito do estudo das tabelas, 
gráficos e das situações-problemas. 
RECURSOS: 
Atividade impressa com situações-problemas, régua, papel colorido, papel milimetrado, 
tesoura, sala de aula e atividade impressa. 
PROCEDIMENTOS: 
Ao entrar na sala, o educador pede que os alunos se organizem em dez grupos 
com três componentes. Cada grupo receberá uma atividade contendo duas situações-
problemas, régua, papel colorido, papel milimetrado, papel A4 e tesoura. 
ATIVIDADE 01 
 
1ª Situação-Problema: 
Um biólogo acompanha o crescimento da folha com forma circular de uma planta aquática 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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(Vitória-Régia, típica da região amazônica). Durante suas observações, percebeu que a 
cada mês o diâmetro da folha da planta triplicava. Se no início das suas observaçõe s o 
biólogo mediu a folha e obteve 1 centímetro de diâmetro, qual será o diâmetro que ela terá 
ao final de prazo máximo de sobrevivência, que é de quatro meses? Construa uma tabela 
que represente o aumento do diâmetro da folha da planta em função do tempo. Através 
dessa tabela construa um modelo matemático que satisfaça esses resultados para um tempo 
indeterminado. Com o modelo pronto, construa o gráfico do diâmetro em função do tempo 
para esse modelo matemático no papel milimetrado. 
 
2ª Situação-Problema: 
Dado um quadrado de lado 1 cm, são construídos outros quadrados de modo que, a partir 
do segundo quadrado, os pontos médios dos lados de cada um deles sejam os vértices do 
quadrado anterior. Veja a figura ao lado: 
Utilizando os papeis coloridos, para construir quadrados com cores 
diferentes, régua e tesoura, descubra, desconsiderando o primeiro 
quadrado, qual é a área do quinto quadrado construído? Crie uma 
tabela para mostrar o crescimento das áreas dos quadrados recortados 
e através dela encontrar um modelo matemático que possa ser usado 
para encontrar a área do n-ésimo quadrado. Por meio do modelo, construa em uma folha de 
papel milimetrado, o gráfico que representa esse modelo matemático. 
 
 
Através das duas situações-problemas será pedido aos alunos que expliquem 
suas semelhanças, encontre pontos em que a representação gráfica dos modelos 
matemáticos permaneça constante e valores que os anulam. Explique por que isso 
acontece. 
Após responder as duas atividades, os grupos explicarão como encontrar as 
respostas e a justificativa dada ao comportamento dos modelos matemáticos encontrados. 
Através das respostas o professor fará questionamentos a respeito dos pontos em que os 
modelos ficaram constantes e quando se anularam; e a partir dessa discussão será 
construída a definição de Função Exponencial, que consiste em uma função f, de em 
, que a cada número x associa o número ax, em que a ∈ R, 0 < a ≠ 1. 
 ƒ : ℝ → ℝ 
 x→ƒ(x) = ax 
Ao término das apresentações dos resultados, o docente pedirá que os trios 
multipliquem os valores que ocupam as mesmas posições em cada tabela e encontre um 
comportamento comum a ambos, depois multiplique os modelos das duas situações-
problemas por elas mesmas e estudem o seu comportamento. Após os educandos deverão 
repetir todo o processo novamente, só que dessa vez no lugar de multiplicar deve-se 
dividir; depois elevando a uma potência qualquer; radiciando o modelo; e elevando-o a um 
expoente negativo. 
Através da análise do gráfico, os trios deverão testar o seu comportamento se 
0 < 𝑎 < 1, e explicar o que aconteceu e o porquê desse comportamento. Cada grupo 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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deverá expor suas argumentações para a turma. Após, será entregue, aos discentes, uma 
atividade impressa contendo três questões sobre os conhecimentos construídos. 
ATIVIDADE 02 
 
 
1ª) Analise as funções e determine seus domínios, suas imagens e os intervalos onde são 
crescentes ou decrescentes. Depois, desenhe o gráfico de cada uma. 
a) 𝑓(𝑥) = (
1
4
)
𝑥
 
b) 𝑓(𝑥) = −2 + 5𝑥 
 
2ª) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou 
com 100 indivíduos. Admite-se que a taxa de mortalidade das bactérias seja nula. Os 
resultados obtidos na primeira hora são: 
 
Tempo decorrido (min) Número de bactérias 
0 100 
20 200 
40 400 
60 800 
 
Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, 
após quatro horas do início do experimento, de quanto será a população de bactéria? 
Construa um modelo matemático para encontrar o valor depoisde decorridas n horas. 
 
3ª) Em um depósito a prazo efetuado em um banco, o capital acumulado ao fim de certo 
tempo é dado pela fórmula 𝐶 = 𝐷(1 + 𝑡)𝑛, em que C representa o capital acumulado, D o 
valor do depósito, t a taxa de juros ao ano e n o número de anos. Supõe-se que, ao final de 
cada ano, os juros capitalizados sejam sempre acumulados ao depósito. 
 
a) Para um depósito de R$ 2000,00, a uma taxa de 12% ao ano, qual o capital 
acumulado ao fim de um ano? Calcule também o capital acumulado ao fim de cinco 
anos, de dez anos e de vinte anos. (Lembre-se que 12% = 
12
100
 = 0,12.) 
b) Se a taxa fosse de 9% ao ano, qual seria o capital acumulado nos mesmos períodos 
de tempo? 
c) Construa em papel milimetrado usando régua, em um mesmo sistema cartesiano, os 
gráficos que mostram a variação do capital em função de n nos itens a e b. 
d) Para um depósito de R$ 1000,00, à taxa de 10,5% ao ano, durante quantos anos o 
capital será menor ou igual a R$ 5000,00? (Se precisar use a calculadora para 
resolver.) 
 
 
Após, os alunos terminarem de resolver a Atividade 02, o educador fará 
questionamentos sobre o que os discentes conseguiram compreender a respeito das 
Funções Exponenciais e anotará na lousa as respostas dos questionamentos, e explicará 
formalmente esses conceitos, após, será pedido que os alunos anotem no caderno os 
tópicos que foram escritos no quadro para servir como modelo de resumo para estudar o 
assunto trabalhado na aula. 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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Definição de Exponencial 
A função 𝑓, de ℝ em ℝ, que a cada número x associa o número 𝑎𝑥 , com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, 
é denominada função exponencial de base 𝑎. 
 ƒ : ℝ → ℝ 
 x→ƒ(x) = ax, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
 
Propriedades da Função Exponencial 
A função exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 , com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, é a extensão para todos os valores da 
x da potência 𝑎𝑟 , com 𝑟 ∈ ℚ . Disso decorre que todas as propriedades das potências 
valem para a função exponencial 𝑦 = 𝑎𝑥 , com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
Assim, para quaisquer valores de 𝑚 e 𝑛 reais, temos: 
1) 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
2) 𝑎𝑚 ÷ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛, 𝑎 ≠ 0 
3) (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 
4) √𝑎𝑚
𝑛
 = 𝑎
𝑚
𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ 𝑛 > 1⁄ 
5) 𝑎−𝑛 = 
1
𝑎𝑛
, 𝑎 ≠ 0 
Além dessas propriedades, vale lembrar que: 
6) 𝑎0 = 1 
7) Se 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, temos 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 apenas se 𝑚 = 𝑛. 
 
Gráfico Cartesiano de Função Exponencial 
O Gráfico cartesiano de uma função exponencial 𝑓 da base 𝑎, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, e de 
domínio ℝ. 
 Está acima Ox, pois 𝑎𝑥 > 0 pata todo 𝑥 ∈ ℝ; 
 Tem 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+
∗ , e corta Oy em (0,1), pois 𝑎0 = 1; 
 Apresenta um destes aspectos: 
 
 𝑎 > 1 0 < 𝑎 < 1 
 
 Função Crescente em ℝ Função decrescente em ℝ 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio: Volume 1. 6ª ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
 FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 03 
 
 
TÍTULO DA AULA: Dançando no Plano Cartesiano. 
 
CONTEÚDO: 
 Propriedades das Funções Exponenciais. 
 Imagens e Gráficos de Funções Exponenciais. 
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio 
OBJETIVO(S): 
 
 Compreender o comportamento do gráfico de funções exponenciais e como ocorre o seu 
deslocamento nos eixos do plano cartesiano através da observação dos mesmos no software 
GeoGebra. 
 Identificar através de gráficos feitos no GeoGebra o domínio, imagem e contradomínio das 
funções exponenciais através da manipulação desse software. 
 
RECURSOS: 
 
Laboratório de Informática, software GeoGebra, projetor multimídia, papel milimetrado, 
régua, atividade impressa, 
PROCEDIMENTOS: 
A aula será iniciada com a organização da turma em quinze duplas, assim serão 
convidadas a se deslocarem até o laboratório de informática da escola. Ao chegar ao 
laboratório e cada dupla se organizar em um computador, deverão abrir o software 
GeoGebra, com o programa executado o professor apresentará, com auxilio do data show, 
as ferramentas desse software que serão usadas na aula, (mover, ponto novo, intersecção 
entre dois objetos, ponto médio, reta perpendicular, circunferência com centro fixo, ângulo, 
entrada de comandos, entre outras) e mostrará como introduzir uma função para construir 
gráficos nesse programa. 
Após, ter apresentado as ferramentas que serão utilizadas na aula, os discentes 
receberão papel milimetrado, régua e a seguinte atividade impressa: 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
14 
ATIVIDADE 01 
 
Na folha de papel milimetrado esboce os gráficos das seguintes funções exponenciais: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
Após terem esboçados os gráficos dessas funções, devem analisar o comportamento 
referente ao crescimento e decrescimento. Em sequência deverão apresentá- las para os 
demais colegas da turma. 
Assim, o docente solicita que os alunos insiram através da entrada de comando 
do software as duas funções que foram usadas e comparem a plotagem com o esboço feito 
no papel milimetrado. Em seguida deverão construir no GeoGebra o gráfico de funções do 
tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , onde 0 < 𝑎 < 1, ou seja, 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 < 1, e observar o comportamento 
dessas funções. 
Com a construção desses gráficos, os alunos deverão resolver os seguintes 
questionamentos: 
1) O que se pode concluir a respeito do comportamento do gráfico de uma 
função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 se 0 < 𝑎 < 1? Justifique sua resposta. 
2) Em qual ponto essas funções interceptam o eixo y? Esse fato ocorre em 
todas as funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥? 
3) Construa o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 1𝑥 . Essa função pode ser chamada de 
exponencial? Justifique sua resposta. 
4) Observe as funções que vocês construíram por meio do GeoGebra, escreva 
qual é o domínio, o conjunto imagem e o contradomínio delas. 
 
 
Após concluírem a Atividade 01, o docente pedirá que os alunos insiram as 
seguintes funções: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 𝑏 , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+𝑏 , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−𝑏 , 𝑓(𝑥) =
𝑏. 𝑎𝑥 , com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, através delas, os discentes deverão identificar: 
1) Quais as diferenças que há entre esses gráficos? 
2) O que ocorre com o gráfico dessas funções quando os valores de 𝑎 𝑒 𝑏 aumentam e 
quando diminuem? 
3) Através dessa análise o que se pode concluir a respeito desses tipos de funções 
exponenciais? Registre suas conclusões. 
 
Cada dupla mostrará os seus resultados para a turma, podendo fazer uso do 
quadro, giz, projetor multimídia ou outro recurso que o educando achar necessário; e 
através desta exposição será aberto um debate a respeito do comportamento dos gráficos 
das funções exponenciais e será pedido que os alunos identifiquem seu domínio, imagem e 
contradomínio. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio: Volume 1. 6ª Ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
15 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
 FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 04 
 
TÍTULO: O Mundo dos Logaritmos 
CONTEÚDO(S) EXPLORADO(S): 
 Conceitos históricos dos Logaritmos (Século XVII). 
 Definição dos Logaritmos. 
ANO/SÉRIE:1° Ano do Ensino Médio 
OBJETIVO(S): 
 Conhecer o contexto histórico a respeito da origem dos logaritmos e suas 
aplicações por meio de um caça-palavras sobre a historia dos logaritmos. 
 Identificar, compreender e aplicar as propriedades da definição dos logaritmos, com 
vista à resolução de situação-problema. 
RECURSOS: 
Projetor multimídia, computador, software PowerPoint, quadro e giz. 
PROCEDIMENTOS: 
A aula será iniciada com a organização da turma em nove grupos com três 
integrantes, assim que formados, será entregue a cada um dos grupos uma folha A4 
impressa que estar uma tabela com onze palavras formando um caça-palavras e os alunos 
não saberão ao que elas se referem, sendo que elas compõem à história dos logaritmos, o 
primeiro grupo que encontrar todas as palavras deverá expô-las no quadro. 
F M A T E M A T I C A 
P D G L B A T D L V F 
M O N A P I E R H J L 
K A T A C A L C U L O 
T L G E V V C G K X G 
A E B F N E L N O P A 
B R B A H C G E D D R 
U T D G S G I A Z S I 
A S G H P E A C T 
I E X P O E N T E A M 
O K T E R R E M O T O 
1. _______________ 
2. _______________ 
3. _______________ 
4. _______________ 
5. _______________ 
6. _______________ 
7. _______________ 
8. _______________ 
9. _______________ 
10. ______________ 
11. ______________ 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
16 
Em seguida, através das palavras no quadro e com o auxilio de um projetor 
multimídia o professor abordará o conteúdo dos logaritmos ressaltando os motivos que 
levaram a criação dos logaritmos, as aplicações que se faziam antigamente e as que se 
fazem hoje. 
Após ser apresentada a história dos logaritmos será entregue para os grupos 
uma folha A4 contendo a seguinte atividade: 
ATIVIDADE 01 
 
O matemático alemão Michael Stifel (1487-1567) construiu um quadro de 
potências de base 2, conforme a tabela abaixo. 
 
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∙∙∙ 
2𝑛 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ∙∙∙ 
 
1) Efetue as seguintes multiplicações: 
(a) 4 x 16 = 
(b) 16 x 128 = 
(c) 32 x 512 = 
Qual é a relação entre os resultados das multiplicações com a tabela 
acima? Justifique. 
2) Efetue as seguintes divisões: 
(a) 2048 : 128 = 
(b) 256 : 16 = 
(c) 4096 : 64 = 
Qual é a relação entre os resultados das divisões com a tabela acima? 
Justifique. 
 
 
Em seguida, assim que os grupos justificarem qual é a relação entre os 
resultados das multiplicações e divisões com a tabela, apresentarão seus resultados a turma, 
abrindo assim um debate entre eles. Após este debate, o docente conduzirá a aula 
mostrando como Michael Stifel conseguiu verificar este fato. 
A partir do livro Arithmetica Integra de Michael Stifel, Jhon Napier (1550-
1617) comparou as seguintes sequências numéricas: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∙∙∙ 
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ∙∙∙ 
 
Com base nessa sequência, para calcular 16 x 64, bastava somar os números 
correspondentes a 16 e a 64 na linha de cima (4 + 6 = 10). O resultado da multiplicação 
era o número correspondente a 10 na linha debaixo, ou seja, 1024. Assim 16 x 64 = 1024. 
Multiplicar números da segunda linha se reduzia a somar números da primeira 
linha. Simples, não? 
Isso valia também para a divisão. 
Para calcular 512÷32, basta subtrair os números correspondentes a 512 e a 32 
http://pt.wikipedia.org/wiki/1487
http://pt.wikipedia.org/wiki/1567
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
17 
na linha de cima. Como 9 – 5 = 4, o resultado da divisão era o número que correspondia a 
4 na linha debaixo, isto é, 16. Daí, 512÷32 = 16. 
Hoje, com o conhecimento sobre potências, é fácil encontrar uma exp licação 
para a relação entre as sequências: 
 
24𝑥26 = 24+6 = 210 e 29: 25 = 29−5 = 24 
 
Essa linguagem, no entanto, não existia naquela época. Ela é creditada a René 
Descartes (1596-1650), francês que a descobriu por volta de 1637. Jhon Napier e Jost 
Bürgi (1552-1632) percebendo que as sequências facilitavam os cálculos fizeram nascer 
às tabuas dos logaritmos. 
 
A partir das sequências de Stifel e dos conhecimentos sobre potenciação, 
elaborem um gráfico com respeito à tabela de Stifel até n = 6, e verifique o que acontece 
com este gráfico. 
Com isso percebe-se que a função é crescente para valores maiores que zero 
assim teria: 
2𝑥 = 1 → 2𝑥 = 20 ⇒ 𝑥 = 0 
2𝑥 = 2 → 2𝑥 = 21 ⇒ 𝑥 = 1 
2𝑥 = 4 → 2𝑥 = 22 ⇒ 𝑥 = 2 
2𝑥 = 8 → 2𝑥 = 23 ⇒ 𝑥 = 3 
2𝑥 = 16 → 2𝑥 = 24 ⇒ 𝑥 = 4 
2𝑥 = 32 → 2𝑥 = 25 ⇒ 𝑥 = 5 
 ... 
Foi através de equações exponenciais deste tipo que Napier, notou que para 
achar o valor correspondente a x, bastava calcular o logaritmo de um número positivo b na 
base a e o resultado seria o valor de x, assim foi definido que: 
O Logaritmo de um número positivo b na base a, tal que 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, é o 
expoente da potência à qual se deve elevar a para se obter b. 
Se 𝑏 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, então log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎
𝑥 = 𝑏 
Na igualdade log𝑎 𝑏 = 𝑥, temos que: 
a é a base do logaritmo; 
b é o logaritmando; 
x é o logaritmo de b na base a. 
As restrições impostas à base do logaritmo ( 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0 ) provém das 
condições sobre a função exponencial e garantem que o logaritmo exista e seja único. 
A restrição de 𝑏 > 0 é porque 𝑎𝑥 > 0 para todo valor de 𝑥 ∈ R. Dessa forma, 
temos também uma condição de existência o logaritmando que é 𝑏 > 0. 
 
 
Em seguida, os grupos receberão a seguinte atividade sobre logaritmos: 
ATIVIDADE 02 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
18 
 
 
1) Calcule os logaritmos na base 5 destes números. 
a) 5 c) 
1
5
 
 
b) 25 d) 625 
 
2) Calcule. 
a) log2 256 d) log2
3
729
64
 
 
b) log1
3
243 e) log2√2 32 
 
c) log5
3
27
125
 f) log10 0,0001 
 
3) Calcule o valor de x. 
a) log5 𝑥 =
4
3
 c) log𝑥 8 = 2 
 
b) log4(2𝑥 − 1) =
1
2
 d) log𝑥 5 =
1
2
 
 
 
4) Calcule o valor de. 
 
a) 52+log5 2 + 32−log3 2 
 
b) 10log5 2 ∙ 3log10 5 
 
 
Assim devem calcular esses logaritmos selecionados pelo docente, onde têm 
logaritmos simples de se resolver e outros mais complexos, os quais precisariam das 
propriedades da definição dos logaritmos. Ao perguntar se todos conseguiram efetuar os 
cálculos será explicado conforme as respostas deles o porquê de tal dificuldade para 
calcular esses outros logaritmos, as quais seriam necessárias conhecer as propriedades 
decorrentes da definição dos logaritmos. 
Sejam a, b e c números positivos, com 𝑎 ≠ 1, e m um número real, temos que: 
1 log𝑎 1 = 0, pois 𝑎
0 = 1. 
 
2 Da relação log𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇔ 𝑎
𝑥 = 𝑏, podemos escrever a 
 log𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑒 log𝑎 𝑎
𝑥 = 𝑥 
 
3 log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑐 
Aplicando a definição de logaritmo e a propriedade 2 em log𝑎 𝑏 = log𝑎 𝑐 
temos: 𝑏 = 𝑎 log𝑎 𝑏 = 𝑎log𝑎 𝑐 = 𝑐, então, 𝑏 = 𝑐 . 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
19 
Com essa definição os alunos são convidados a retomarem a atividade anterior 
para aplicar as propriedades nas questões que não conseguiram resolver. Após encontrarem 
as soluções o docente pergunta se eles tiveram dificuldade em aplicá-las e será deixada 
uma atividade sobre aplicação da definição dos logaritmos e as propriedades da definição 
dos logaritmos. 
ATIVIDADE 03 
 
1) Calcule o valor de x em cada item e utilize a notação de logaritmos para 
indicar a resposta. 
(a) (
2
5
)
𝑥
=
8
125
 
(b) (
1
3
)
𝑥
= 27 
(c) 32𝑥 = 16 
(d) 8𝑥 = 4 
 
2) Calcule o valor de x em cada item e utilize a notação de logaritmos para 
indicar a resposta. 
 
3) Responda as questões. 
(a) O logaritmo de 256 em certa base é 4. Qual é essa base? 
(b) O logaritmo de 729 em certa base é 6. Qual é essa base? 
 
4) Determinex para que estejam definidos: 
(a) log2(2𝑥 − 1) 
(b) log5(−4𝑥 + 8) 
(c) log3−𝑥(𝑥 − 1) 
(d) log𝑥−2(−2𝑥 + 8) 
 
5) (UFRJ – 2008) Dados a e b números reais positivos, 𝑏 ≠ 1, define-se 
logaritmo de a na base b como número real x tal que 𝑏𝑥 = 𝑎, ou seja, 
log𝑏 𝑎 = 𝑥. Para 𝛼 ≠ 1, um número real positivo, a tabela a seguir fornece 
valores aproximados para 𝛼𝑥 e 𝛼−𝑥 . Com base nesta tabela, determine 
uma boa aproximação para: 
(a) O valor de 𝛼. 
(b) O valor de log𝛼
1
10
. 
 
 
 
x 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 
𝛼𝑥 6,250 6,850 7,507 8,227 9,017 9,882 10,830 11,870 13,009 14,257 15,625 
𝛼−𝑥 0,160 0,146 0,133 0,122 0,111 0,101 0,092 0,084 0,077 0,070 0,064 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio: Volume 1. 6ª Ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
20 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
 FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 05 
 
TÍTULO: Modelando o Saber Matemático sobre os Logaritmos. 
CONTEÚDO(S) EXPLORADO(S): 
 Propriedades operatórias dos Logaritmos. 
 Logaritmos decimais. 
 Mudança de base dos Logaritmos. 
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio 
OBJETIVO(S): 
 Construir um modelo das propriedades operatórias dos logaritmos através do Editor 
de Planilhas. 
 Identificar e aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos, por meio de 
atividades didáticas. 
 Conhecer e diferenciar os logaritmos decimais dos logaritmos em outras bases, 
através da resolução de situação-problema. 
 Conhecer, identificar e aplicar a mudança de base para desenvolver logaritmos com 
base diferentes em base decimais. 
RECURSOS: 
Projetor multimídia, computador, software Editor de Planilhas e a calculadora. 
PROCEDIMENTOS: 
O professor iniciará a aula, solicitando que os alunos se desloquem até o 
laboratório e que eles se organizem em 15 duplas. Ao ligarem os computadores, os 
discentes abrirão o programa Editor de Planilhas. 
Com o projetor multimídia, o docente irá apresentar as ferramentas que poderá 
ser usadas no decorrer da aula (Barra de menus, Barra de ferramentas, Referência da célula 
selecionada, Janela de pastas de trabalho, Barra de status, Barra de fórmulas, Barra de 
ferramentas desenho, Guias de Planilhas; Linha, Coluna, Célula, Célula ativa, Endereço da 
Célula, Intervalo de células): 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
21 
 
 
Mostrará como construir uma tabela, como introduzir dados nela, como inserir 
fórmulas matemáticas, como mudar a cor da fonte, como alterar a cor do plano de fundo 
das células, como inserir um gráfico através dos dados já obtidos na planilha, entre outras 
que podem surgir como dúvidas para o aluno. 
Operador Nome Exemplo Resultado 
+ Adição =1+1 2 
- Subtração =2-1 1 
* Multiplicação =7*9 63 
/ Divisão =10/2 5 
% Porcentagem =15% 15,00% 
^ Exponenciação =3^2 9 
= Igual =8=8 Verdadeiro 
> Maior que =7>9 Falso 
< Menor que =5<6 Verdadeiro 
>= Maior que ou igual a =3>=4 Falso 
<= Menor que ou igual a =42<=63 Verdadeiro 
< > Diferente de =6< >4 Verdadeiro 
 
Após esta apresentação será entregue uma atividade que os alunos deverão 
desenvolver o Editor de Planilhas, o docente deverá atuar como observador e mediador do 
conhecimento. 
 
Cada dupla deverá montar em seus referentes computadores a seguinte tabela: 
 
𝑛 log 𝑛 log(𝑛) + log(𝑛 + 1) log(𝑛) − log(𝑛 + 1) log(𝑛)𝑛+1 log[(𝑛) ∙ (𝑛 + 1)] log (
𝑛
𝑛 + 1
) (𝑛 + 1) ∙ log 𝑛 
1 log 1 log(1) + log(2) log(1) − log(2) log(1)2 log[(1) ∙ (2)] log(1 2⁄ ) (2) ∙ log 1 
2 log 2 log(2) + log(3) log(2) − log(3) log(2)3 log[(2) ∙ (3)] log(2 3⁄ ) (3) ∙ log 2 
3 log 3 log(3) + log(4) log(3) − log(4) log(3)4 log[(3) ∙ (4)] log(3 4⁄ ) (4) ∙ log 3 
4 log 4 log(4) + log(5) log(4) − log(5) log(4)5 log[(4) ∙ (5)] log(4 5⁄ ) (5) ∙ log 4 
5 log 5 log(5) + log(6) log(5) − log(6) log(5)6 log[(5) ∙ (6)] log(5 6⁄ ) (6) ∙ log 5 
6 log 6 log(6) + log(7) log(6) − log(7) log(6)7 log[(6) ∙ (7)] log(6 7⁄ ) (7) ∙ log 6 
7 log 7 log(7) + log(8) log(7) − log(8) log(7)8 log[(7) ∙ (8)] log(7 8⁄ ) (8) ∙ log 7 
8 log 8 log(8) + log(9) log(8) − log(9) log(8)9 log[(8) ∙ (9)] log(8 9⁄ ) (9) ∙ log 8 
9 log 9 log(9) + log(10) log(9) − log(10) log(9)10 log[(9) ∙ (10)] log(9 10⁄ ) (10) ∙ log 9 
10 log 10 
 
Após terem finalizado esta primeira etapa que era construir a tabela, eles 
deverão analisar os resultados e daí estabelecer algumas conclusões sobre estes logaritmos 
que seja convincente, caso queira relacionar os valores iguais poderão colorir com cores 
iguais o plano de fundo de cada coluna. Desta forma ao comparar os resultados deverão 
montar um modelo matemático para as propriedades operatórias dos logaritmos. Assim os 
modelos que poderão ser encontrados seriam: 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
22 
 
𝐥𝐨𝐠[(𝟏) ∙ (𝟐)] = 𝐥𝐨𝐠(𝟏) + 𝐥𝐨𝐠(𝟐) 
𝐥𝐨𝐠(𝟏 𝟐⁄ ) = 𝐥𝐨𝐠(𝟏) − 𝐥𝐨𝐠(𝟐) 
𝐥𝐨𝐠(𝟏)𝟐 = (𝟐)∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟏 
 
O professor orientará caso os discentes não diferenciem estes logaritmos 
decimais de outros com bases diferentes. Assim definirá: 
 
Os logaritmos de base 10 são chamados de Logaritmos Decimais e sua 
importância se deve ao fato de as tábuas de logaritmos e as calculadoras trabalharem com 
essa base, que é também a base do sistema de numeração que utilizamos. 
Assim, são representados por: 
log10 𝑥 ou log 𝑥, para todo 𝑥 > 0. 
 
Também temos logaritmos que não são de base 10, assim o calculo dos 
logaritmos possui, além das propriedades da definição dos logaritmos, diferentes bases 
facilitando os cálculos mais extensos. 
1 Logaritmo de um produto 
O logaritmo, em qualquer base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), de um produto por dois 
números positivos é igual à soma dos logaritmos, nessa mesma base, dos fatores. 
 
Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑐 > 0, então log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐. 
 
De fato, essa propriedade pode ser provada fazendo-se log𝑎 𝑏 = 𝑥 e log𝑎 𝑐 =
𝑦; temos 𝑎𝑥 = 𝑏 e 𝑎𝑦 = 𝑐. Substituindo em log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐), obtemos: 
 
log𝑎(𝑏 ∙ 𝑐) = log𝑎(𝑎
𝑥 ∙ 𝑎𝑦) = log𝑎 𝑎
𝑥 +𝑦 = 𝑥 + 𝑦 = log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 
 
Observação: log𝑎(𝑏 + 𝑐) ≠ log𝑎 𝑏 + log𝑎 𝑐 
 
2 Logaritmo de um quociente 
O logaritmo, em qualquer base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), de um quociente de dois 
números positivos é igual à diferença entre os logaritmos, nessa mesma base, do 
dividendo e do divisor. 
Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑐 > 0, então log𝑎(
𝑏
𝑐⁄ ) = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐. 
 
Fazendo log𝑎 𝑏 = 𝑥 e log𝑎 𝑐 = 𝑦; temos 𝑎
𝑥 = 𝑏 e 𝑎𝑦 = 𝑐 . Substituindo em 
log𝑎(
𝑏
𝑐⁄ ), obtemos: 
log𝑎(
𝑏
𝑐⁄ ) = log𝑎 (
𝑎𝑥
𝑎𝑦⁄ ) = log𝑎 𝑎
𝑥 −𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 
 
Observação: log𝑎(𝑏 − 𝑐) ≠ log𝑎 𝑏 − log𝑎 𝑐 
 
3 Logaritmo de uma potência 
O logaritmo, em qualquer base a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), de uma potência e expoente 
real é igual ao produto pelo logaritmo, na base a, da base dessa potência. 
 
Se 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0 e 𝑚 𝜖 ℝ, então log𝑎(𝑏
𝑚 ) = 𝑚 ∙ log𝑎 𝑏. 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
23 
Fazendo log𝑎 𝑏 = 𝑥, temos 𝑎
𝑥 = 𝑏. Substituindo em log𝑎(𝑏
𝑚), obtemos: 
log𝑎(𝑏
𝑚) = log𝑎((𝑎
𝑥 )𝑚) = 𝑚 ∙ 𝑥 = 𝑚 ∙ log𝑎 𝑏 
 
 
Com as propriedades operatórias explanadas, os discentes receberão uma 
atividade: 
 
ATIVIDADE 01 
(CEFET-SP-2007) Considere uma calculadora cientifica que se calcula 
logaritmos na base 10. Admita também que ela esteja com a tecla de número 4 quebrada. 
Nessa calculadora, para encontrar o log3 4, pode se calcular: 
 
(a) (2 ∙ log 2) ÷ log 3 
(b) (log 2 ∙ log 2) ÷ log 3 
(c) (2 ∙ log 2) − log 3 
(d) 2 ∙ (log 2 − log 3) 
(e) log 12 
 
 
 
Após resolverem este problema semo uso da calculadora e utilizando apenas 
logaritmos decimais e usando a propriedades dos logaritmos. 
Se houver dificuldade para encontrar o resultado, o professor entregará para 
cada dupla uma calculadora. Assim quando eles resolverem este problema, o docente 
definirá: 
 
Mudança de base 
Uma das formas de determinar esse valor é usar os logaritmos de base 10, pois 
as tábuas de logaritmos e as calculadoras trabalham com o sistema de logaritmos 
decimais. Existe uma propriedade dos logaritmos, denominada mudança de base, que 
permite o cálculo do logaritmo em qualquer base a partir dos logaritmos decimais. 
Inicialmente, vamos mostrar a chamada fórmula da mudança de base. 
 
Se 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0, 𝑏 ≠ 1 𝑒 𝑐 ≠ 1, então log𝑏 𝑎 ∙ log𝑐 𝑏 = log𝑐 𝑎. 
 
Agora observe: 
Fazendo {
log𝑏 𝑎 = 𝑥
log𝑐 𝑏 = 𝑦
 temos {
𝑏𝑥 = 𝑎 (1)
𝑐𝑦 = 𝑏 (2)
 
Substituindo (2) em (1), obtemos: 
(𝑐𝑦)𝑥 = 𝑎 ⇔ 𝑐𝑥𝑦 = 𝑎 ⇔ xy = log𝑐 𝑎 ⇔ log𝑏 𝑎 ⋅ log𝑐 𝑏 = log𝑐 𝑎 
Isolando log𝑏 𝑎 na relação log𝑏 𝑎 ⋅ log𝑐 𝑏 = log𝑐 𝑎, obtemos: 
 
log𝑏 𝑎 =
log𝑐 𝑎
log𝑐 𝑏
 
Que é a fórmula da mudança de base . 
 
Com a definição explicada, o professor deixará como atividade de fixação que 
eles respondam as questões referentes às propriedades operatórias dos logaritmos, 
logaritmos decimais e a mudança de base. 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
24 
ATIVIDADE 02 
 
1) Sabendo que log 𝑎 = 6 ∙ log 𝑏, 2 ∙ log 𝑏 = log 𝑐 e que log 𝑐 = 45, calcule o valor 
numérico da expressão 
log √
𝑎3 ∙ 𝑏4
𝑐2
5
 
 
2) Escreva na forma de um único log: 
a) log5 6 + log5 11 
b) log7 28 − log7 4 
c) 4 ∙ log 3 
 
3) Sendo log𝑎 2 = 20 e log𝑎 5 = 30, calcule o valor de log𝑎 100. 
 
4) Sendo log𝑥 2 = 𝑎 e log𝑥 3 = 𝑏, calcule log𝑥 √12
3
 em função de a e b. 
 
5) Determine a expressão P sabendo que: 
a) log 𝑃 = 2 ∙ log 𝑎 + 5 ∙ log 𝑏 
b) log𝑥 𝑃 = log𝑥 𝑎 −
1
2
∙ log𝑥 𝑏 
 
6) Escreva usando logaritmos na base 10: 
a) log2 5 c) log2(𝑥 − 1) 
b) log𝑥 2 d) log(𝑥+1)(𝑥 − 3) 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio: Volume 1. 6ª Ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
25 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 06 
 
 
TÍTULO DA AULA: Uso de software na construção gráfica de funções logarítmicas e 
exponenciais. 
 
CONTEÚDO: 
 
 Gráfico da função logarítmica e exponencial 
 
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio 
OBJETIVO(S): 
 
 Perceber e compreender a relação que se estabelece entre a função logarítmica e 
exponencial, representada por gráficos e expressões algébricas, com vista a 
resolução de situações-problema por meio do uso do GeoGebra. 
 
RECURSOS: 
 
Projetor multimídia; computador/ notebook; software GeoGebra, quadro negro; giz; livro 
didático e folha de papel A4. 
PROCEDIMENTOS: 
 
Inicialmente, à turma será conduzida ao laboratório de Informática, no qual os 
30 alunos serão organizados em equipes com 3 integrantes, cada grupo ficará com um 
computador. O professor distribuirá para a turma livros didático de diversos autores e 
solicitará que façam uma revisão a respeito do comportamento do gráfico de uma função 
logarítmica e exponencial. Durante esse tempo, o docente esclarece as dúvidas que 
surgirão. 
Diante da revisão literária, faz-se necessário que eles observem as condições 
que determinam uma função crescente e decrescente, seu domínio e imagem. 
Função Exponencial e Logarítmica 
Crescente: A base é um número real maior que 1: a > 1; 
Decrescente: A base é um número real, maior que 0 e menor que 1: 0 < a < 1; 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
26 
Função Exponencial: D(f) = R ; Im(f) = R+
∗ . 
Função Logarítmica: D(f) =R+ 
∗ ; Im(f) = R. 
 
 Em seguida, o professor pede que todos liguem os computadores, e apresenta 
aos alunos as ferramentas disponíveis no editor de planilhas, após solicitará que criem duas 
planilhas. 
As planilhas constarão de três colunas cada, na primeira encontram-se os 
valores de x, estabelecidos pelo professor, na segunda está à função e a terceira coluna os 
alunos encontrarão os valores de y, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Planilha 1 Planilha 2 
 
 Através dos dados da primeira e da segunda planilha, respectivamente, 
os alunos deveram construir em um mesmo sistema coordenado, os gráficos de y = log2 x 
e y = 2x, e em outro sistema deverão construir os gráficos de y = (
1
2
)x e y = log1
2
 x, a 
construção será realizada no GeoGebra ( programa já apresentado aos alunos). 
Em seguida, o professor fará os seguintes questionamentos e solicitará que as 
equipes respondam: 
O que pode se observar na representação dos gráficos, em relação à simetria? 
O que ocorreria se trocássemos os eixos entre si? 
Por que as funções exponenciais e logarítmicas são consideradas inversas? 
Classifique as funções em crescente ou decrescente? 
X log2x Y 
 
1
4
 log2
1
4
 
 
 
1
2
 log2
1
2
 
 1 log21 
 2 log22 
 4 log24 
X log
1
2
x Y 
 
1
4
 log
1
2
1
4
 
 
 
1
2
 log
1
2
1
2
 
 1 log1
2
1 
 2 log1
2
2 
 4 log1
2
4 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
27 
É esperado, que os alunos percebam que como a função logarítmica é a inversa 
da exponencial, na construção do gráfico, basta construir apenas o de uma das funções e 
em seguida permutar as coordenadas dos pontos desse gráfico, a fim de obter as 
coordenadas do outro. 
O professor orienta as equipes em toda a atividade e estipula um tempo para 
que cada equipe discuta os questionamentos. Após esse período, alguns grupos serão 
convidados a apresentarem a atividade e por meio de intervenções, o professor esclarece as 
dúvidas que forem surgindo. 
Após, será entregue a cada trio um roteiro de atividades, e o professor irá 
propor, um campeonato entre eles, o qual obedecerá às seguintes regras: 
Todos só podem dar início à resolução de cada atividade no mesmo instante; 
Ao término de cada questão, as equipes mostrarão ao professor a resolução 
feita na folha de papel A4, entregue pelo docente, e em seguida aos demais colegas; 
Ao final ganhará a equipe que tiver feito corretamente as atividades, em um 
menor tempo. 
 
Roteiro de Atividade 
 
1) Construa em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções reais 
y = log2x e y = -log2x. 
2) (Vunesp-SP) A figura representa o gráfico de y = 𝑙𝑜𝑔10x.Sabe-se que OA = BC. 
Então, pode-se afirmar que: 
 
3) Classifique como crescente ou decrescente as funções de domínio ]0,+∞[. 
a. f(x) = log√2 x 
b. f(x) = log√3/2 x 
4) Período de desintegração (meia-vida) é o tempo gasto para desintegração de metade 
dos átomos radiativos, metade da massa de determinado isótopo de um elemento 
químico. 
Ocorre que a massa do isótopo não desaparece, apenas diminui, pelo fato de o 
isótopo se converter em outro isótopo. 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
28 
Como exemplo, o cobalto 60 é usado para tratamento de pacientes com câncer, 
considerando uma amostra de 10g de cobalto 60, obtenha: 
A expressão exponencial e o gráfico da função que relaciona a massa (m) da 
amostra em função do número de meias-vidas; 
A massa do isótopo de cobalto dentro de 5 anos e de 25 anos. 
5) Um determinado tipo de vegetal cresce dobrando a sua altura mensalmente. 
Sabendo que sua altura inicial é 1 mm, determine a expressão exponencial altura y 
(mm) em função do tempo t (meses) e construa o gráficocartesiano dessa função. 
Obs.: Os gráficos devem ser realizados no software Geogebra. 
Ao final de toda a atividade, alguns alunos serão convidados a fazerem um 
breve relato do conhecimento adquirido nessa aula, e o professor esclarece os principais 
pontos que devem ser observados e compreendidos por toda a classe. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GENTIL, Nelson et al. Matemática para o 2ºgrau. São Paulo: Ática, 1997. 
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto . Matemática Aula por Aula. 2º ed. 
São Paulo: FTD: 2005. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio. 6ª ed. São Paulo: 
Saraiva, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
29 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 07 
 
TÍTULO DA AULA: As relações entre conceitos matemáticos sobre equações e 
inequações. 
 
CONTEÚDO: 
 
 Equações e Inequações Exponenciais e Logarítmicas 
 
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio 
OBJETIVO(S): 
 
 Identificar as principais características de uma equação e inequação exponencial e 
logarítmica, para que sejam capazes de compreender a relação que se estabelece 
entre esses conteúdos, por meio de resolução de problemas. 
 
RECURSOS: 
 
Cartolina, tesoura, quadro negro; giz e livro didático. 
PROCEDIMENTOS: 
 
A aula será iniciada, com o professor organizando uma turma de 30 alunos em 
duplas e em seguida, distribuirá uma folha de cartolina a cada dupla. 
O professor solicita que as equipes comecem a dobrar a cartolina em partes 
iguais e que um faça anotações enquanto o outro faz as dobraduras. Enquanto isso, o 
professor pede que eles observem que relação há entre o número de dobras e o número de 
folhas obtidas. 
No quadro é colocada a seguinte pergunta: Quantas dobras deverão ser feitas, 
para se obter 128 folhas? 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
30 
 
Esquema da atividade 
Após um tempo, o professor convida algumas duplas a apresentarem à turma, a 
solução da atividade e aproveita os resultados, para abordar o conceito de equações 
exponenciais. 
O professor explica que a atividade realizada por eles, faz parte do contexto de 
equações exponenciais, em que existe uma incógnita como expoente, na atividade essa foi 
as dobras, e uma igualdade de mesma base. Os alunos são questionados, se ao invés de 
uma igualdade de mesma base, nos deparar-nos com uma igualdade de bases diferentes, e 
que não seja possível reduzir à mesma base. 
Nesse contexto, o professor aborda o conceito de equação logarítmica, ou seja, 
quando não for possível reduzirmos à mesma base, recorremos aos logaritmos. 
Os alunos, agora serão questionados se ao invés de uma = (igualdade), 
usássemos uma ≥ ou ≤ (desigualdade), o que mudaria fora o sinal, que conceito poderia se 
pensar agora. Através das respostas dos alunos, o professor age como um mediador do 
conhecimento e leva-os a perceber as diferenças que existem entre quando trabalhamos 
com equações, estamos procurando um valor que iguale a outro, em contrapartida, na 
inequação determinaremos valores que atestem aquela desigualdade. E que a técnica para 
resolver inequações é a mesma das equações, a única diferença é que temos que analisar a 
base, em virtude do problema da função ser crescente e decrescente, e também obter a 
condição de existência para a solução final. 
 
O professor fará um detalhamento, das condições para que seja considerada 
inequações exponenciais: 
Dada uma desigualdade de potências, sendo an > am: 
1.º caso – Se a > 1, então n > m (se as bases de duas potências são iguais e 
maiores que 1, é maior a potência de maior expoente, ou seja, a desigualdade é 
conservada); 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
31 
2.º caso – Se 0 < a < 1, então m > n (se as bases de duas potências são iguais e 
menores que 1, é maior a potência de menor expoente, ou seja, a desigualdade não é 
conservada). 
Em seguida, as condições de inequações logarítmicas serão abordadas: 
Sendo a > 1, como a função é crescente 
 
log𝑎 𝐴 > log𝑎 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 > 𝐵, as desigualdades possuem o mesmo sentido. 
Sendo 0 < a < 1, como a função é decrescente. 
log𝑎 𝐴 > log𝑎 𝐵 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴 < 𝐵, as desigualdades possuem os sentidos 
contrários. 
O professor seleciona algumas atividades para serem resolvidas: 
1. (ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos em geral, com 8, 
16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5cm x 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal 
fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor 
aproveitamento possível do papel disponível. 
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas): 
 
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel 
com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando 
uma única folha de: 
a) 84 cm x 62 cm 
b) 84 cm x 124 cm 
c) 42 cm x 31 cm 
d) 42 cm x 62 cm 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
32 
e) 21 cm x 31 cm 
2. Numa determinada cultura há 200 bactérias em condições ideais. A cada 
duas horas a quantidade dobra. Determine o número de bactérias, 12 horas após o início do 
estudo, sabendo que esse crescimento é dado pela lei exponencial: 
N(t) = N0 Kt (número de bactérias em função do tempo), onde N0 (nº inicial de 
bactérias). 
3. As populações de duas cidades A e B são dadas em milhares de habitantes 
pelas expressões A = 𝐿𝑜𝑔2( 1+t)
2 e B = 𝐿𝑜𝑔2 ( 4t+4) em que a variável t representa o 
tempo em anos. 
a) Complete a tabela abaixo. 
Tempo (anos) População da Cidade A População da Cidade B 
1 
7 
15 
 
b) Determine em que instante a população de uma cidade é maior ou igual ao 
da outra. 
4. Numa fábrica, o lucro y originado pela produção de x peças é dado, em 
milhares de reais, pela expressão: 
Y = 𝑙𝑜𝑔10 (100 + x) + k, sendo K uma constante real. 
a) Sabendo que não há produção não há lucro, determine k. 
b) Determine o número de peças que é necessário para produzir um lucro 
superior a 1000 reais. 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
33 
5.(FGV-SP) A solução da desigualdade (
1
2
) x^2-4 ≤ 8x+2 é o conjunto dos x reais 
tais que: 
a) -2 ≤ x ≤ 2. 
b) x ≤ -2 ou x ≥ -1. 
c) -1 ≤ x ≤ 2. 
d) -2 ≤ x ≤ -1. 
e) x ≤ -1ou x ≥ 2. 
Após um tempo, algumas duplas serão convidadas a apresentarem sua 
resolução, aos colegas, e o professor tenta sanar as dúvidas obtidas. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
GENTIL, Nelson et al. Matemática para o 2ºgrau. São Paulo: Ática, 1997. 
SILVA, Claudio Xavier da; FILHO, Benigno Barreto . Matemática Aula por Aula. 2º ed. 
São Paulo: FTD: 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
34 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 
TURMA: N1 
ALUNOS: APARECIDA FERREIRA SILVA 
 FERNANDO CARDOSO DE MENEZES 
 MÁRCIO PONCIANO DOS SANTOS 
DATA: ___/___/_______ 
 
 
PLANO DE AULA 08 
 
TÍTULO: TUR-Logaritmonencial 
CONTEÚDO(S) EXPLORADO(S): 
 Relação entre Função Exponencial e Logarítmica. 
ANO/SÉRIE: 1° Ano do Ensino Médio 
OBJETIVO(S): 
 Revisar os conceitos a respeito das funções exponenciais e logarítmicas através da 
utilização do Jogo Logaritmonencial. 
 Confeccionar um jogo que servirá para relembrar os passos seguidos para encontrar 
os resultados de expressões exponenciais e logarítmicas por meio da resolução de 
expressões envolvendo as exponenciais e logaritmos. 
 Fixar de formalúdica os conteúdos trabalhados em salas de aula a respeito de 
exponenciais e logaritmos fazendo uso do joo confeccionado em sala de aula. 
RECURSOS: 
Papel cartão, tabela, tesoura, cola, papel A4, laboratório de informática, 
computador, software Geogebra, impressora e régua. 
PROCEDIMENTOS: 
A aula será iniciada com a organização da turma em grupos com quatro 
componentes; a estes, serão entregues 24 folhas de papel cartão, no formato de quadrados 
de lado 21 cm; uma tabela com exponenciais, logaritmos, equações e inequações 
exponenciais e logarítmicas, funções exponenciais e logarítmicas; tesoura, cola e papel A4 
para que os alunos possam usar como rascunho para resolver as expressões da tabela 
abaixo que deverá ser registrado em seus cadernos. 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 
 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
 
 
𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
+ 3 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 3. 2𝑥−1 
 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
 
𝑓(𝑥) = 5𝑥 +3 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
35 
 
 
𝑓(𝑥) = 5𝑥 −3 
 
 
(√2
3
)
𝑥
= 8 
 
(9𝑥+1)𝑥−1 = 3𝑥
2 +𝑥+4 
 
 
𝑓(𝑥) = (
3
7
)
2𝑥
− 4 
 
 
√8𝑥−1 . √42𝑥−3
𝑥+1
= √25𝑥+3
6
 
 
(
1
5
)
𝑥
≥ 125 
 
 
(2𝑥)𝑥+4 = 32 
 
8𝑥+1 = √4𝑥−1
3
 
 
 
4𝑥 + 6𝑥 = 2. 9𝑥 
 
 
(
1
9
)
𝑥
≤ 243 
 
(27𝑥−1)𝑥+1 ≥ (9𝑥+1)𝑥−3 
 
 4𝑥−
1
2 + 5. 2𝑥 + 2 > 0 
 
log100 √10
3
 
 
 log
√9
3 √
1
27
 
 
𝑓(𝑥) = 7𝑥−4 + 9 
log3 (
𝑎. 𝑏2
𝑐
) 
 
f(x) = log(3−𝑥)(𝑥 + 2) 
 
𝑓(𝑥) = log2(1 − 2𝑥) 
 
log2 1024 
 
 
log3(log2 3) = 1 
 log
√100
3 √0,1
6
 
 
f(x) = log 1
10
𝑥 
 
 
log3 2. log8 3 
 
log
√16
3 √8 
 
(
1
3
)
−3
 
 
𝑓(𝑥) = log1
3
𝑥 
 
3𝑥 = 2𝑥+2 
 
log5 𝑥 =
4
3
 
 
10log5 2.log10 5 
 
16 ≤ 2𝑥 < 33 
 
log3−𝑥(𝑥 − 1) 
 
log3(2𝑥 − 6) < log3 4 
 
log 𝑥 + log 2 = 2 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
36 
 
log2 𝑥 < −3 
 
log1
2
(𝑥2 − 1) ≥ log1
2
3 
 
2𝑥
2−3𝑥 ≥
1
4
 
 
(
1
2
)
𝑥2
< (
1
4
)
4𝑥−6
 
 
2𝑥+1 + 2𝑥 ≤ 3𝑥−1 + 3𝑥 
 
(0,2)𝑥−2 > 1 
 
Sendo log 2 = 0,3 
e log 3 = 0,4 
calcule log2 6 
 
𝑓(𝑥) = log5 𝑥 
 
log √0,1 = 𝑥, então 
𝑥2 é: 
 
Após, terminarem de resolver as expressões da tabela os discentes deverão se 
deslocar até o Laboratório de Informática, ligar os computadores, executar o programa 
GeoGebra e plotar os gráficos das funções que estavam na tabela. Com as plotagens salvas 
deve-se imprimi- las em folha A4 com um tamanho que caibam seis gráficos de funções 
diferentes em cada folha. Com os gráficos impressos os alunos deverão recortá-los, o 
mesmo será feito com as expressões que estavam na tabela para serem colados nas folhas 
de papel cartão com 21 cm de lado, essa folha deverá ser marcada conforme a figura 
abaixo. Com os gráficos já cortados e as expressões também, deve-se colá- los na folha de 
papel cartão duas expressões e duas respostas, uma em cada triângulo, só que as respostas 
não poderão ficar no mesmo quadrado das expressões correspondentes, para que se possa 
construir o jogo: Logaritmonencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o jogo pronto as peças serão distribuídas igualmente entre os 
participantes. Sorteia-se o primeiro a jogar, que deve colocar a peça na mesa e anotar numa 
tabela de pontos, o maior resultado contido nesta peça. O próximo deve colocar uma peça 
encostada naquela que está sobre a mesa, fazendo corresponder cálculo e resultado e 
marcando na tabela o resultado do cálculo que completou. Caso o jogador não tenha uma 
log
√16
3 √8 
(
1
5
)
𝑥
≥ 125 
log2 1024 
 
(
1
3
)
−3
 
 
27 
𝑥 ≥ −3 
𝑥 =
9
8
 
𝑥 = 10 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
37 
peça para colocar, passa a vez e perde o número de pontos que o próximo jogador fará 
desde que ainda tenha cartas. No final do jogo, não tendo mais como colocar peças, o 
jogador perde o número de pontos do maior resultado possível de cada uma destas peças. 
Ganha o jogo quem tem o maior número de pontos. 
TABELA DE PONTOS 
Aluno A 
Aluno B 
Aluno C 
Aluno D 
 
Após jogarem algumas partidas os alunos vencedores deverão mostrar para a 
turma quais foram os cálculos realizados para realizar as jogadas. Com os resultados 
expostos, os discentes serão convidados a analisá- los e deverão destacar as propriedades 
usadas em cada jogada exposta na aula e a qual conteúdo pertence: Exponencial ou 
Logaritmo e registrar esses resultados nos cálculos que eles já haviam feito quando 
resolveu as expressões da tabela. 
 
REFERÊNCIA(S) BIBLIOGRÁFICA(S): 
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática 
Elementar 2: Logaritmos. 3ª ed. São Paulo: Atual, 1977. 
QUARTIERI, M. T.; REHFELDT, M.; GIONGO, I. M. Jogos para o Ensino Médio. 
Disponível em: < 
http://www.univates.br/ppgece/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf>. Acesso em 
10 de mar. 2013. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Ensino Médio: Volume 1. 6ª Ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.univates.br/ppgece/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
38 
CRONOGRAMA 
ORDEM DAS 
AULAS 
CONTEÚDOS 
MATEMÁTATICOS 
RECURSOS 
DIDÁTICOS 
TENDÊNCIAS 
METODOLÓGICAS 
AULA 01 
Potenciação. 
Definição de Exponencial. 
Torre de Hanói 
Modelagem 
Matemática 
AULA 02 
Propriedades da 
Exponencial e sua 
representação no Plano 
Cartesiano. 
Situações-Problemas 
Modelagem 
Matemática 
AULA 03 
Propriedades das Funções 
Exponenciais. 
Imagens e Gráficos de 
Funções Exponenciais. 
GeoGebra 
Tecnologias da 
Informação e 
Comunicação. 
AULA 04 
Conceito de Logaritmo. 
Propriedades dos 
Logaritmos. 
História da 
Matemática 
Editor de Planilha 
Calculadora 
Modelagem 
Matemática 
AULA 05 
Propriedades Operatórias 
dos Logaritmos. 
Logaritmos Decimais. 
Mudança de base dos 
Logaritmos. 
GeoGebra 
Modelagem 
Matemática 
AULA 06 
Comparação de Gráficos 
das Funções Exponenciais e 
Logarítmicas. 
GeoGebra 
Editor de Planilha 
Tecnologias da 
Informação e 
Comunicação 
AULA 07 
Equações e Inequações 
Exponenciais e 
Logarítmicas. 
 
Situações-Problemas 
Resolução de 
Problemas 
AULA 08 
Relação entre Função 
Exponencial e Logarítmica. 
Jogo: 
Logaritmonencial 
Jogos 
 
 
 
 
 
 
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
39 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BIEMBENGUT, Maria Salett. Modelagem & Etnomatemática: pontos (in)comuns – 
disponível em: <http://www2.fe.usp.br/~etnomat/site-
antigo/anais/MariaSalettBiembengut.html>. Acesso em: 17 de mar. 2013. 
 
BORBA, Marcelo C.; PENTEADO, Miriam G. Pesquisa em Informática e Educação 
Matemática. In: Educação em Revista, Belo Horizonte, nº36, dez.2002, p. 239-253. 
 
BRASIL. Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDB Lei nº 9394/96. 
 
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. 
Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN+) - Ciências da Natureza, Matemática e suas 
Tecnologias. Brasília: MEC, 2002. 
Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias / Secretaria de Educação Básica. – 
Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2006. 135 p. 
(Orientações Curriculares para o ensino médio; volume 2) 
 
COSTA. A. Torre de Hanói, uma Proposta de Atividade para o Ensino Médio. 
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf. 
Acesso em 26 de janeiro de 2013. 
D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: Reflexões sobre Educação e Matemática. 
Campinas, São Paulo: Summus, 1986. 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Completa: 1ª série do 
Ensino Médio. 2ª ed. renov. São Paulo: FTD, 2005. p. 224-242. 
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática 
Elementar 2: Logaritmos. 3ª ed. São Paulo: Atual, 1977. 
JURKIEWICZ, S.; FRIDEMANN,C. V. P. Modelagem Matemática na escola e na 
formação do professor. Zetetiké, Campinas – SP, v. 15, nº 28, p.16, jul./dez., 2007. 
LORENZATO, Sérgio. O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de 
Professores. Campinas - SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de 
professores). 
MIGUEL, Antonio; MIORIM, Maria Ângela. História na Educação Matemática - 
propostas e desafios. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 
 
ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. O Ensino de Matemática: mudanças no ensino, na 
aprendizagem, na avaliação e no uso de tecnologia – disponível em: 
<http://lourdesonuchic.blogspot.com.br/2008/07/o-ensino-de-matemtica-mudanas-no-
ensino.html>. Acesso em: 17 de mar. 2013. 
 
QUARTIERI, M. T.; REHFELDT, M.; GIONGO, I. M. Jogos para o Ensino Médio. 
Disponível em: < 
http://www2.fe.usp.br/~etnomat/site-antigo/anais/MariaSalettBiembengut.html
http://www2.fe.usp.br/~etnomat/site-antigo/anais/MariaSalettBiembengut.html
http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf
http://30porcento.com.br/busca.php?autor=Antonio%20Miguel,%20Maria%20%C2ngela%20Miorim
http://30porcento.com.br/livro/8575261207-Hist%C3%B3ria-na-Educa%C3%A7%C3%A3o-Matem%C3%A1tica---Propostas-e-Desafios
http://30porcento.com.br/livro/8575261207-Hist%C3%B3ria-na-Educa%C3%A7%C3%A3o-Matem%C3%A1tica---Propostas-e-Desafios
http://lourdesonuchic.blogspot.com.br/2008/07/o-ensino-de-matemtica-mudanas-no-ensino.html
http://lourdesonuchic.blogspot.com.br/2008/07/o-ensino-de-matemtica-mudanas-no-ensino.html
Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas 
 
 
LEM 
40 
http://www.univates.br/ppgece/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf>. Acesso em 
10 de mar. 2013. 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio: Volume 1. 6ª ed. 
São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
 
http://www.univates.br/ppgece/docs/materiais2009/Jogos_Pedagogicos.pdf